(完整版)小升初五年级数学培优教材(第一期)共四期.docx

目录
第 1加减法便算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2第 2乘除法便算⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6第 3植⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11第 4周期⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16第 5数列的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 21第 6等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 26第 7等差数列求和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第 8原⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯36第 9相遇（一）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41第 10假法兔⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯46第 11消去法解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51第 12形的周与面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯56
第 1 讲加减法简便计算
【知识要点】
在加减运算中，我们常用改变运算顺序、互补两数凑整、借数凑整以及选择基准数等方法，把数学算式巧妙变形，从而使运算简便。

【例题精讲】
例 1、用简便方法计算下面各题。

1）1834 - (334 + 613) - 3872）4256 + 175- 256+ 825
3）7324 - 29984）1308-(308-149)
例2、用简便方法计算下面各题。

1）0.9 + 9.9 + 99.9 + 999.9 + 9999.9
2）101 - 0.9 - 0.09 - 0.009 - 0.0009
例 3、算：
1）(4+7+ ⋯+25+28)-(2+5+⋯+23+26)
2）1 –2 + 3 –4 + 5 –6 + ┉ + 2001 –2002 + 2003
例4、用便方法算。

486+482+485+483+487
例 5、用便方法算。

1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+⋯ +9+8+7-6-5-4+3+2+1
【基础夯实】
1、巧算下面各题。

1）6234 - (234 + 187)2）964 –598 + 98
3）4976 - (976 - 249) + 2514）5498 –1928 –387 –1072 –1613 2、计算下列各题。

1）19 + 199 + 1999 + 19999 + 199999
2）8999999 + 799999 + 69999 + 5999 + 499 + 39 + 7
3、计算： 2000 + 1999 - 1998 + 1997–1996 + ...... + 3 –2 + 1
4、算： 276+285+291+280+277
【能力提升】
1、巧算下面各。

1）9+99+999+⋯⋯ +999999999
2）19 + 199 + 199 + 1999 + ⋯ + 1999⋯999
1999 个 9
2、算，从 1 到 100 些自然数中所有数字的和是多少？
第 2 讲乘除法的简便运算
【知识要点】
乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。

乘法变换律： a ×b = b × a
乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律：(a + b) × c= a × c + b × c
商不变性质： a ÷b= (a × c) ÷(b × c)
a ÷
b = (a c)÷ (b÷ ÷c)(b ≠0， c≠ 0)
除法的运算性质： a ÷b ÷c=a ÷(b × c)
【例题精讲】
例 1、用简便方法计算下面各题。

1） 79 + 79 × 992）75×101
3） 125 × 32 × 254） 1111 × 9999
例 2、计算。

1）6800 ÷ 25 ÷ 42）5600 ÷ (25× 7)
例 3、计算：
1）（38×96× 50）÷（25×19× 48）
2）536 × 317 ÷ 816÷ ×317816÷ 536
例 4、计算：
1） (578 × 743+232 )÷(744× 578 - 346)
2）9999 × 2222 + 3333 × 3334
例5、计算 (1 + 23 + 34) × (23 + 34 + 65)-(1 + 23 + 34 + 65)× (23 + 34)
【基础夯实】
1、用简便方法计算下列各题。

1） 125 × 562）617 ×58 + 617 ×43 –617
3） 74 ×984）102×25
2、用简便方法计算下列各题。

1） 51600 ÷25÷42）（625× 333×384）÷（ 125×128×111）
3） 261 × 438 ÷292÷438× 292÷261
4） (1 + 17 + 19) (17×+ 19 + 92) - (1 + 17 + 19 + 92) (17 + 19) ×
【能力提升】
1、简便计算下列各题。

1）1234 × 1000100012）6666 × 2490 + 2222 × 2530 3）280 + 930 × 4
2、巧算。

1）66666 ×666662）78999921÷79 3）(43 × 98 + 39)(99÷ × 43 - 4)
第 3 讲植树问题
【知识要点】
1、植树问题是研究在植树过程中有关棵数与段数之间的关系，它们之间的关系
中段数相对固定，棵数则因线路类型和具体种植要求会作一定变化。

2、植树问题的线路有封闭和不封闭两种。

3、基本数量关系：
① 路长÷间距＝段数；
②不封闭线路：
1）两端都植树：棵数 =段数＋ 1=路长÷间距＋ 1；
2）一端植树，一端不植树：棵数=段数=路长÷间距；
3）两端都不植树：棵数 =段数 -1 =路长÷间距 -1 ；
③封闭线路：棵数 =段数 =路长÷间距
4、要解决植树问题，首先要牢记三要素：①总线段长；②间距；③棵数。

只
要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个。

【例题精讲】
例1、长 120 米的公路两旁从头到尾种树 62 棵（两行），树间间距相同，求相邻两树之间的距离是多少？
例2、一座桥全长168 米，计划在桥的两侧的栏杆上各安装16 块花纹图案，每块图案的横长为3 米，靠近桥头的图案距离桥端都为15 米，求相邻两块图案之间相隔几米？
例3、有一圆形花坛，绕它一圈 120 米，如果沿着一圈每隔 6 米栽一棵丁香，再在每相邻的两棵丁香之间等距离种 2 棵月季。

那么共可栽丁香和月季各多少棵？
例 4、有海、陆、空三支士兵组成的仪仗队，每军种队伍400 人，都排成 8 纵队并排前进，陆军前后每两人隔 1 米，海军前后每两人隔 2 米，空军前后每两人隔3 米，每军种队伍之间隔 4 米。

三军种士兵每分钟都走80 米，那么这支仪仗队通过 98 米长的检阅台要多少时间？
【基础夯实】
1、某公园有一个圆形水池，计划在水池周围种花。

水池周长405 米，每隔 5 米种一棵，一共可以种多少棵花？
2、在一座长 800 米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202 盏，相邻两盏之间的距离都相等，求相邻两盏彩灯之间的距离。

3、有一幢 10 层的大楼，由于停电电梯停开，某人从 1 层走到 3 层需要 30 秒，照
这样计算，他从 3 层走到 10 层需要多少秒？
4、20 个运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长2米，前后两车相距 18 米，如果每辆车的车速为每秒 12 米，他们绕运动场表演 9 圈，需要多少时间？
【能力提升】
1、小明站在一棵梧桐树下，公路旁每隔8 米栽一棵梧桐树，小明骑自行车出发
5 分钟又连续看到125 棵梧桐树，小明每分钟骑多少米？
2、在一条路上按相等的距离植树。

甲、乙二人同时从路的一端某一棵树出发，
当甲走到从自己这边数的第22 棵时，乙刚走到从他那一边数的第10 棵树。

已知
乙每分钟走 36 米，求甲每分钟走多少米？
3、将长 5 米的木料，从一头开始，按 30 厘米一段和 20 厘米一段的长度交替截下来，每截一次要 10 分钟，中间要停 4 分钟，全部截完一共要几分钟？
4、把 50 枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每
个角上有一枚。

然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。

问：每条边上黑、白棋子共有多少枚？
第 4 讲周期问题
【知要点】
在我日常生活中，有一些象是按照一定的律不断重复出的，例如：每周有七天，从星期一起到周日束，是以 7 天个循不断重复出的。

像种特殊的
律性，我称之周期。

解答周期关是找律，找准周期。

确定周期后，用量除以周
期，再看余数是几，就是周期中的第几个数，正好是整数周期的，果周期里最后一个
数。

【例精】
例1、有一列数， 1、4、2、8、5、7、1、4、2、 8、 5、 7、⋯⋯来排列的。

（1）第 58 个数是多少 ?（2）58个数相加的和是多少？
例2、2009 年的 6 月 1 日是星期一，：① 2009 年 10 月 1 日是星期几？
② 2009 年 12 月 25 日是星期几？
例3、如所示，每列上、下一个字和一个字母成一，例如，第一是（我，A），第二是（，B），第 62 是什么？
我看雪花我看雪花我⋯⋯
A B C D E F G A B C D E⋯⋯
例4、假所有自然数排列起来，如所示， 27 排在哪个字母下面？ 84 排在哪个字母下面？ 300 排在哪个字母下面？
A B C D E
12345
678910
1112131415
⋯⋯⋯⋯⋯
例 5、71998表示 1998 个 7 乘，它的果末位上的数字是几？
【基夯】
1、有一列数 5， 7， 1， 4， 2， 8， 5， 7， 1， 4，2，8，⋯⋯
：①第 173 个数是几？② 380个数的和是多少？
2、有、黄、黑珠子共280 个，按 6 个珠、 5 个黄珠、 3 个黑珠排成一串。

：①第 178 个珠子是什么色？②前227个珠子里珠共有多少个？
3、2010 年的 6 月 1 日是星期二，： 2010 年的 10 月 1 日是星期几？ 2011 年的元旦是星期几？
4、伸出左手，然后从大拇指起开始数，当数到 200 的候，正好数到哪根手指？
【能力提升】
1、将自然数 1，2， 3， 4，5，⋯，按下面的方法排列，那么 55 个数排在第几列？ 117 个数排在第几行第几列？
一二三四五
一1234
二5678
三9101112
四⋯13141516
⋯⋯⋯⋯⋯
2、某年的三月有 5 个星期三， 4 个星期二，一年的十月一日是星期几？
3、12415表示 15 个 124 连乘，所得积的末位数字是几？
4、下面是一个 11 位数，每 3 个相邻数字之和都是 17，你知道“？”表示的数字是几吗？
8？6
第 5 讲数列的认识
【知要点】
一、基本概念：
1、数列的定：按一定律排列的一列数叫数列。

2、数列的与数：
数列中的每个数叫做数列的。

数按序排列于数列的第几位叫第几。

排在第一位的数叫做个数列的第 1 ，通常叫首，排在最后一位的叫末。

二、数列的基本性及按性分。

1、数列性的察。

2、数列的分方法
①按数列中的个数来分：
数有限的数列“有限数列” ，如数列： 1， 3， 5，7，9，11，13⋯⋯ 101；共 512 ，所以它是“有限数列” ；
数无限的数列“无限数列” ，如数列： 1，3，5，7，9⋯⋯有无数多个，所以它是“无限
数列”。

②按数列中的化律来分：
从第 2 起每一都大于它的前一的数列叫做“ 增数列” ；如： 1，2，3，
4，5， 6， 7， 8⋯⋯ 100，它是增数列。

从第 2 起每一都小于它的前一的数列叫做“ 减数列” ；如： 100，99，
98，97⋯⋯ 2，1
数列中各都相等的数列叫做“常数列”。

如： 1，1，1，1，1⋯⋯ 1，个数列的每都是“1”，所以它是常数列。

3、数列的重要型：
①等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与前一的差等于同一个常数，
个数列就叫做等差数列，个差叫做等差数列的公差。

② 推数列：一般地，具有某推关系的数列，就叫推数列。

例如， 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89⋯⋯个数列从第 3 起每等于前两之和，那么
就是它的推关系，就是一个推数列。

个数列又叫做斐波拉契数列。

③周期数列：数列的各呈周期性（有律反复出）化的数列叫做周期数列：如， 1，2，3，4，1， 2，，3，4，1，2，3，4⋯数列由“ 1”，“2”，“3”，“ 4”有律反复出而形成，所以它是周期数列。

【例精】
例 1、察数列，特点。

① 1， 3， 5， 7， 9 ⋯⋯② 1， 4， 7，10，13 ⋯⋯
③ 1， 5， 9， 13，17④ 100，98，96，⋯⋯ 6 ，4，2
⑤ 99，97，⋯⋯ 51 ，49，47⑥1949，1959，1969，1979，1989，1999于上述 6 个数列：
（ 1）属于无限数列的是属于有限数列的是
（ 2）属于增数列的是属于减数列的是
（ 3）相两的差相等的是属于奇数数列的是
例 2、察与分析下面各列数的排列律，然后填空。

（ 1） 5， 9， 13，17，，。

（2） 1， 3， 9， 27，______，______。

（ 3） 1， 4， 9， 16，，。

（ 4） 4， 9， 7， 12，10， 15，，。

（5） 1， 1， 2， 3，5，______， ______。

例3、有一个数列 : 2， 5， 8， 11，14， 17，⋯，那么个数列的第 2014 个数是多少？2012 是个数列的第几个数？
例4、已知数列 1， 4， 3， 8， 5， l2，7，16，⋯⋯，：个数列第 1997 个数是多少？第2000 个数呢？
【基夯】
1、察以下数列，特点。

① 1， 1， 2， 3， 5，8，13，⋯⋯②2014，2012，,2010 ，⋯⋯， 2③ 1， 10，100， 1000④1，5，9，13，
⑤ 5， 5， 5， 5， 5，5⑥1，3，5，7，⋯⋯， 99
于上述 6 个数列：
（ 1）属于无限数列的是属于有限数列的是
（ 2）属于增数列的是属于减数列的是
（ 3）相两的差相等的是属于奇数数列的是
2、找出下列各数列的律，在横上填出适当的数。

（ 1） 2， 5， 8， 11，14，，，23。

（ 2） 1， 2， 2， 5，9，16，30， 55，，。

（ 3） 2， 3， 5， 7，11，13，，，23， 29。

（ 4） 5， 15，45，135，，。

（ 5） 60，63，68，75，，。

（ 6） 180，155，131，108，，。

（7） 45，5，42，10，39，15， ______，______。

（8） 81，64，49，36，_____， 16，9，4，______。

3、根据律填数。

①(15， 30) 、(24，12) 、(19，38) 、(__，17) 、 (__， 62)。

② (17， 8)、 (25， 12) 、 (57， 28) 、(65，__) 、(__，43)。

4、有一列由三个数成的数，它依次是：（1，5，10）、（2，10，20）、（ 3， 15，30）⋯⋯ , 第 99 个数内三个数的和是多少？
5、0，1，2，3，6，7，14，15，30，31，( )， ( )。

上面个数列是小明按照一定律写下来的，那么个数列的最后三的和是多少？
【能力提升】
1、察下列各式：
13121323321323326213233343102⋯⋯
猜想： 132333L L103。

2、用同大小的黑色棋子按下所示的方式形，按照的律下去，
第 n 个形需棋子多少枚（用含n 的式子表示）？
⋯
第 1 个图第2个图第3个图
3、数列 3，48，1，5，49，4，7，50，7，9，51， 10，11，⋯的第 2002 个数是多少？
4、下是一个向右和向下方可以无限延伸的棋 , 横排行 , 排列 , 将自然数按已填好的 4×4 个方格中的数字的律填入方格中。

1247(1)求位于第 3 行、第 8 列的方格内的数。

35812
691318
10141925
(2)数 321 在第几行第几列的方格内 ?
第 6 讲等差数列
【知要点】
一等差数列的基本概念
1、等差数列：从第 2 起，后与前之差都相等的数列称等差数列。

2、公差（ d）：等差数列中后与前的差称等差数列的公差。

3、等差数列是由若干个数排列的，数列中的每一个数称，其中第一首（ a1），
最后一末（ a n），数列中数的个数称数 (n) 。

二、等差数列的基本公式
1、第 n （末） =首 +公差×（数－ 1)a n=a1+ d×( n -1)
2、数 =（末 - 首）÷公差 + 1n= ( a n -a1 )÷ d +1
3 、公差 =（末 - 首）÷（数－ 1)d=(a n-a1 )÷( n -1)【例精】
例 1、23,28,33,38 ，⋯⋯， 78，⋯⋯，a20，⋯⋯， 123，⋯⋯，a31，⋯⋯求：①上的数是第几；② a20， a31是多少？
例 2、如果一个等差数列的第 4 是 21，第 6 是 33，求它的第 8 。

例 3、在自然数 10 到 30 之插入 4 个数，使其成一个等差数列， 4 个数分是多少？例 4、所有被 4 除余 1 的三位数的和是多少？
【基夯】
1、在 14,17,20,23,26，⋯⋯中，（1）第50是多少？（2）296在第几？
2、在一个等差数列中，第 6 是 29，第 10 是 45，首是几？
3、已知等差数列 5，9，13，17，⋯， 801， 805，个数列共有多少？
4、一堆木有律的堆成了8 ，已知最底堆了 28 根，往上一每次减少2根，最有多少根木？
5、求 100 以内，除 3 余 2 的自然数的和。

【能力提升】
1、已知一数列 2002，2001，1，2000， 1999，1，1998，1997，1，⋯， 1，4，3，1，2，1，1，个数列共有多少？
2、小算从 1 开始若干个自然数的和，果把 1 当成 10 来算，得到的果恰好是100，你能帮小正？小算的是哪些自然数的和？
3、已知一个数列： 1、1、2、 2、 2、 2、 3、 3、 3、 3、 3、 3⋯⋯， 15 是个数列中的第几个到第几个数？
4、若在等差数列 2，5，8，⋯的每相两中插入三，使它构成一个新的等差数列，
原数列的第 10 ，是新数列的第几？
第 7 讲等差数列求和【知识要点】
等差数列求和公式：
总和 =（首项 +末项）×项数÷ 2n
=（a1
+
n
）× n
÷
2
S a
【例题精讲】
例1、计算 1+2+3+4+⋯⋯+2013+2014+2015
例 2、求 200 与 800 之间所有能被 7 整除的数的和。

例 3、小刚准备在黑板上从 1 开始写下了若干连续自然数，写完之后发现漏掉了1 个数，并且黑板上所有数的和为 198。

请问小明原本准备写多少个数？漏写了哪个数？
例 4、求下列方中所有数的和：
1、 2、 3、 4、⋯⋯、 49、 50；
2、 3、 4、 5、⋯⋯、 50、 51；
3、 4、 5、 6、⋯⋯、 51、 52；
⋯⋯
49、50、 51、52、⋯⋯、 97、 98；
50、 51、 52、 53、⋯⋯、 98、 99。

【基夯】
1、算。

（ 1） 6＋ 11＋16＋⋯＋ 501（2）100＋99－98＋97－96＋⋯＋3－2＋1 2、1－3＋5－7＋9－11＋⋯－ 1995＋1997
3、一个物体从空中降落，第一秒落下9 米，以后每秒都比前一秒多落下 9 米， 10 秒
到达地面，个体原来离地面的高是多少米？
4、在 1 ~ 200 以内所有除以 7 余 2 的数的和多少？
【能力提升】
1、小明家住在一条胡同里，胡同里的牌号从 1 号开始摸着排下去。

小明将全胡同的牌号数行口算求和，果把 1 看成 10，得到的果 114，那么上全胡同有多少家？
2、有一列数： 1、2002、2001、1、2000、1999、1、⋯⋯、从第三个数开始，每个数都是它
前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第 2002 个数止 2002 个数的和是多少？
3、小明和小比口算，算： 1+2+3+4+⋯⋯ +n，当算到定的那个加数，小明的得数是60，小的得数是 66，老他两人的得数有一个了。

：
他算了，在哪里？
4、求 1—— 9999 个自然数的所有数字的和。

第 8 讲还原问题
【知识要点】
还原问题的特点是：已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数。

解决还原问题的基本思路是：一步一步退回去，原来是加的，退回去用减；原来是减
的退回去用加；原来是乘的，退回去用除；原来是除的，退回去用乘；也就是一
步一步退还到原来的出发点。

又叫逆运算问题。

对于简单的，每次变化不太复杂的还原问题，可直接列式一步步倒着退算；
对于变化较复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。

【例题精讲】
例 1、一个数的 4 倍加上 5 等于 53，求这个数。

例2、小刚的奶奶今年年龄减去 7 后，缩小 9 倍，再加上 2 之后，扩大 10 倍，恰好是 100 岁。

小刚的奶奶今年多少岁 ?
例3、小强从甲地到乙地，他第一次行了全程的一半多 5 千米，第二次行了余下的一半少 10 千米，第三次行了 20 千米，这时他离开乙地还有 5 千米，甲乙两地相距多少千米？
倒4、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分
又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。

问：原来至少有多少
枚棋子？
【基础夯实】
1、一个数的 3 倍加上 6，再减去 9，最后乘上 2，结果得 60。

这个数是多少？
2、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9．除以4，减去
2，再乘上 3，恰好是 30 岁。

”王老师今年多少岁？
3、小红、小兰和小刚三个人共有故事书 60 本。

如果小兰向小红借 3 本后，又借给小刚 5 本，结果三个人的故事书本数正好相等。

这三个人原来各有多少本书？
4、甲乙丙三个鸡笼共养 36 只小鸡，如果从甲笼取 6 只到乙笼，再从乙笼取 5 只到丙笼，那么三个笼里的鸡就一样多。

求三个笼里原各有多少只鸡？
5、甲、乙、丙三人各有连环画若干本，如果甲给乙 5 本，乙给丙 10 本．丙给甲15 本，那么三人所有的连环画都是 35 本，他们原来各有多少本 ?
【能力提升】
1、将八个数从左到右排成一排，从第 3 个数开始，每个数都是恰好等于它前面两个数之和，如果第 7 个数和第 8 个数分别是 81，131，那么第 1 个数是多少？
2、书架上分上中下三层，共放 192 本书，现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同
样多的书放到上层，这时三层书架所放的书本数相等，这个书架上中下层原来各放多少本书？
第 9 讲相遇问题（一）
【知识要点】
本讲我们主要研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动，也就是在同一道路上的两个运动物体沿着相反的方向运动的问题，即相遇问题和相背问
题。

所谓相遇问题就是两个物体从不同的地点相向而行；所谓相背问题，就是指
两个物体从同一地点背向而行，那么两个物体就有：
总路程 = 速度和x 相遇时间。

速度和 = 总路程÷ 相遇时间
相遇时间= 总路程÷速度和
【例题精讲】
例1、甲乙两人分别从相距50 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时行6 千米，乙每小时行 4 千米，两人几小时后相遇？
例2、甲乙两个港口相距 840 千米，两艘轮船同时从两个港口相向开出． 8 小时后
相遇，第一艘轮船每小时行 52 千米，第二艘轮船的速度是多少 ?
例 3、甲乙两地相距 300 米，小冬和小青各从甲、乙两地同时相背而行， 7 分钟后
两人相距 860 米，小冬每分钟走 37 米，小青每分钟行多少米？
例 4、小明和小红两人在周长400 米的环形跑道上跑步，如果两人从同一地点出
发背向而行．经过 2 分钟相遇；如果两人从同一地点同向而行，那么经过 20 分钟两人相遇，巳知小明的速度比小红快，两人的速度各是多少？
例5、亮亮带着心爱的小狗与爸爸同时从相距 2000 米的两地相向而行，亮亮每分钟行 90 米．爸爸每分钟行 110 米，而小狗与亮亮同时同向而行，每分钟行 500 米，遇到爸爸后又立即跑向亮亮，遇到亮亮后又立即回头跑向爸爸，这样不断来回跑，直到亮亮与爸爸相遇为止，小狗共行了多步米？
【基础夯实】
1、快车和慢车同时从 A 、B 两城相向而行，经 4 小时相遇，已知快车每小时行90 千米，是慢车速度的 1.5 倍， A 、B 两城相距多少千米？
2、客货两车分别从相距 240 千米的甲乙两城同时出发，相向而行．已知客车到
达乙城要 4 小时，货车到达甲城要 6 小时，问两车出发后多少小时相遇 ?
3、甲、乙两人相距 400 米，两人同时相向而行， 5 分钟后，两人相距 200 米，已
知甲的速度是 30 米每分钟，求乙的速度。

4、东、西两镇相距 45 千米，甲乙两人分别从两镇同时出发相向而行 ,甲比乙每小时
多行 1 千米， 5 小时后两人相遇，两人速度分别是多少？
5、小星从甲地到乙地步行需 36 分钟，小红骑自行车从乙地到甲地需 12 分钟，小
星从甲地，小红从乙地同时相向出发，经过几分钟相遇？
【能力提升】
1、两辆汽车从相距322 千米的两城同时出发，相向而行。

一辆摩托车以每小时
80 千米的速度在两汽车之间不断往返联络。

已知两汽车的速度分别是63 千米和
52千米，两汽车相遇时，摩托车一共行了多少千米？
2、甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去, 已知学校到少年宫的距离是2400 米 ,甲到少年宫后立即返回学校, 在距离少年宫300 米处遇到乙 ,此时他们离开学校已30 分钟 .甲、乙每分钟分别走多少米？
3、一辆汽车前 10 分钟用半速行驶，后 10 分钟用全速行驶， 20 分钟共行驶 21 千米，这辆汽车全速行驶每分钟行驶多少千米？
4、甲、乙两人分别从相距 35.8 千米的两地出发，相向而行 .甲每小时行 4 千米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟 ;乙每小时行 12 千米，则经过多长时间两人相遇？
第 10 讲鸡兔问题
【知识要点】
1、鸡兔问题泛指具有如下典型结构的一类应用题：
某两类特征不同的事物混合在一起，已知总数而要求根据特征求得各自数目。

其名称来自于古代趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？——《孙子算经》。

2、解题思路与技巧：
①鸡兔问题常用假设法解题。

采用这种方法解题时，往往把题目所给的条件
作某种假设，然后依照这个假设和已知条件进行推算，推算的结果往往与
题目与它相应的已知数量出现差异，再找出产生差异的原因，从而求得正
确的答案。

②如果题目既要求甲又要求乙，假设全是甲，先求出的是乙；假设全是乙，
先求出的是甲。

③当有三类事物混合时，要相对施用“捆住法”：把特征共性相对多一些的
某两类融成一类对待，一分为二后再次采用同样的步骤解决；有时还将有
倍数关系的予以“捆住”。

【例题精讲】
例 1、鸡兔同笼，上有29 头，下有 92 条腿。

求笼中鸡兔各有多少只？
例2、松鼠采松子，晴天每天可采 20 个，雨天每天可采 12 个。

它一连几天共采了112 个松子，平均每天采 14 个。

那么这些天中有多少天是雨天？
例3、学校买来 4 个篮球和 5 个排球，一共用去 185 元，已知一个篮球比一个排
球贵 8 元。

那么篮球、排球的单价各是多少元？
例4、现有大、小桶共 50 个，每个大桶装油 4 千克，每个小桶装油 2 千克，而所有大桶比所有小桶共多装 20 千克。

求大、小桶各有多少个？
例5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共有 18 只，共有腿 118 条、翅膀 20 对。

已知蜻蜓有 6 条腿、 2 对翅膀；蜘蛛有 8 条腿；蝉有 6 条腿、 1 对翅膀。

求三种动物各有多少只？
【基础夯实】
1、鸡兔同笼，头共46 ，足共 128，鸡兔各几只？
2、班级买来 50 张杂技票，其中一部分票价是 15 元，另一部分是 20 元，总票价是880 元，两种票各买了多少张？
3、现有大、小车共 50 辆，每辆大车装货 6 吨，每辆小车装货 4 吨，而所有大车比
小车多装 30 吨，求大、小车各多少辆？
4、某小学举行数学竞赛，共20 道题，若做对一题得5 分，做错或没做一题扣2 分，
李冬得了 79 分，他做对了多少道题 ?
5、壹分、贰分、伍分的硬币共有 100 枚，价值 2.2 元。

如果贰分的硬币的枚数与
壹分硬币的枚数一样，那么三种硬币各有多少枚？
【能力提升】
1、某厂运进 66 吨煤，先供一号炉使用，每天用煤 1.2 吨；后供二号炉使用，每天
用煤 1.5 吨。

前后经 50 天烧完了这批煤。

求一、二号炉各烧煤多少吨？
2、甲、乙两人生产某种零件，甲先做了 5 分钟，而后两人又一起做了 3 分钟，一共生产零件 960 个。

已知甲每分钟比乙每分钟多生产 10 个，那么甲比乙一共多生产了多少个零件？
3、水果市场的苹果重量是香蕉的 4 倍。

春节期间，平均每天批发 300 千克香蕉、1040 千克苹果，几天后香蕉全部批发完，苹果还剩 800 千克。

这个水果市场原有苹果、香蕉各多少千克？
4、学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232 支，价值100 元。

其中铅笔的数量是圆珠笔的 4 倍，已知每支铅笔 0.2 元，每支圆珠笔 0.9 元，每支钢笔 2.1 元。

求三种笔各有多少支？
第 11 讲消去法解题
【知识要点】
在某一类数学问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系，解决这一类问题，通常采用“消去法”——即通过
分析比较，去同求异，设法消去一个未知量，从而将问题简化。

【例题精讲】
例1、学校课外小组第一次买了 3 瓶墨水和 4 支圆珠笔，共付 10 元，第二次买了 3 瓶墨水和 2 支圆珠笔，共付 8 元。

求每瓶墨水和每支圆珠笔的价格各是多少？
例2、3 筐苹果和 5 筐鸭梨共重 138 千克， 9 筐同样的苹果和 4 筐同样的鸭梨共重216 千克。

1 筐苹果和 1 筐鸭梨各重多少千克？
例3、小吃城本月运来大米 7 袋，面粉 4 袋共重 1640 千克，上月运来大米 3 袋，面粉 6 袋共重 1560 千克，问每袋大米，每袋面粉各重多少千克？
例5、5 头牛、 6 匹马、 2 只羊每天吃草 143 千克； 6 头牛、 5 匹马、 4 只羊每天吃草 133 千克； 3 头牛、 2 匹马、 1 只羊每天吃草 55 千克， 1 头牛、 1 匹马、 1 只羊每天吃草多少千克？
【基础夯实】
1、某家具店 6 张桌子和 6 把椅子共卖了 1200 元，同样的 6 张桌子和 4 把椅子共
卖了 1100 元，桌子和椅子的单价各是多少？
2、学校买来 11 根跳绳和 9 个皮球共用去 69 元，后来又买了同样的7 根跳绳和
3 个皮球共用去33 元，每根跳绳和每个皮球各多少元？
3、商店第一天卖出 3 件上衣和 4 条裤子共收入 325 元，第二天卖出同样的 4 件上
衣和 3 条裤子共收入 375 元，每件上衣比每条裤子贵多少元？
4、3 只热水瓶与 8 只玻璃杯共值 27.6 元，5 只热水瓶与 6 只玻璃杯共值 35 元，一只热水瓶与一只玻璃杯各多少元？
【能力提升】
1、甲商店有 5 盒软糖，乙商店有 4 盒水果糖，共值 44 元。

如果对换一盒，则各
家商店糖的价值相等。

一盒软糖和一盒水果糖各值多少元？
2、有大、中、小三种船。

2 条小船、 3 条中船和 1 条大船共坐 23 人； 3 条小船、4 条中船和 2 条大船共坐 35 人； 1 条小船、 2 条中船和 3 条大船共坐 26 人。

每种船各能坐多少人？
3、5 本语文书、 2 本数学书、 1 本科学书共值 8.01 元；2 本语文书、 1 本数学书、3 本科学书共值 5.36 元； 4 本语文书、 3 本数学书、 2 本科学书共值 8.58 元，求每本书的单价。

第 12 讲图形的周长与面积
【知识要点】
长方形、正方形的面积和周长公式的运用，我们已经学过，实际运用时，常
会遇到由许多长方形或正方形拼合成的规则或不规则的图形，那么对于求解较复杂的问题，我们要学会用平移、转化、分解、合并等方法来求解。

【例题精讲】
例1、下面各图都是在大正方形上挖走了一个小正方形，求剩下部分的面积和
周长各是多少？ (单位： cm)
2cm2cm
6cm6cm
例 2、求下面台阶的周长和面积。

(单位： cm)
2cm
2cm
6cm
例 3、用两种方法求下图的周长和面积。

（单位： cm）
6cm
2cm
4cm
例4、学校操场原来是一个长 50 米，宽 40 米的长方形，经过拓宽，长和宽各增加了 20 米，现在的操场比过去增加了多少平方米？
【基础夯实】
1、下面的大正方形上加了一个小正方形，求它的周长与面积各是多少？
(单位： cm)
2cm
6cm
2、求下图十字形的周长和面积。

（单位： m）
2
22
3、学校操场原来长 50 米，宽 20 米，扩建后长增加 50 米，宽增加 20 米，这个操场的面积增加多少平方米？
4、一个长方形，如果它的长减少 4 厘米或者宽减少 3 厘米，那么它的面积都减少24 平方厘米，求这个长方形原来的面积是多少平方厘米？
5、有一个长方形的市民广场，长80 米，宽 60 米，广场中间留了两条宽 4 米的人行
道，把广场平均分成了四块（如下图），每一块的面积是多少？
【能力提升】
1、把长方形的长去掉 8 厘米后，余下的是一个面积 49 平方厘米的正方形，原来长方形的面积是多少？。