等差数列及等比数列的性质总结

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等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理一、等差数列的公式和相关性质1.等差数列的定义：如果一个数列的后一项减去前一项的差为一个定值，那么这个数列就是等差数列。

记为：an-an-1=d（d为公差）（n≥2，n∈N*）。

2.等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

推广公式：an=am+(n-m)d。

变形推广：d=(an-am)/(n-m)。

3.等差中项：（1）如果a、b、A成等差数列，那么A就是a与b的等差中项，即b成等差数列，A=(a+b)/2；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2.4.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=n^2+(a1-d)n/2=An^2+Bn（其中A、B是常数，当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）。

特别地，当项数为奇数2n+1时，an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项，Sn=(2n+1)(a1+an)/2= (2n+1)an+1/2.5.等差数列的判定方法：（1）定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2；（3）数列{an}是等差数列，当且仅当an=kn+b（其中k、b是常数）；（4）数列{an}是等差数列，当且仅当Sn=An^2+Bn（其中A、B是常数）。

6.等差数列的证明方法：定义法：若an-an-1=d或an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列。

7.等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）设项技巧：一般可设通项an=a1+(n-1)d。

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6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ）； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ）
8..等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，
5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．（2）等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。（4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
即当 a1 0，d 0，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值．
或求 an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对
称轴最近的整数时， Sn 取最大值（或最小值）。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
S奇 S偶
n 1 n

数列的等差与等比性质知识点总结

数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。

在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。

本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。

一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。

2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。

b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。

c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。

d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。

二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。

2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。

b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。

c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。

d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。

三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。

2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。

b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。

c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。

等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结一、等差数列1、等差数列的定义：（d为常数）（）；2、等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项: 推广：、从而；3、等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项、即：或（2）等差中项：数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列、（2）等差中项：数列是等差数列、⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法定义法：若或(常数)是等差数列、7、提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8、、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0、（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有、注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1、当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）、（8）、的前和分别为、，且，则、（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

等差等比数列性质总结

等差数列性质总结1.等差数列的概念式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推行： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）若是a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，因此当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）专门地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方式（1）概念法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方式概念法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提示：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为大体元素。

等差等比数列性质总结

等差等比数列性质总结一、等差数列1、定义：等差数列是指在数列中任意两项之间的差值相等的数列。

2、正则式：若等差数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，n为正整数，则其等差数列正则式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$3、数列函数：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，则其函数形式为：$$f(x)=a_1+(x-1)d$$4、首项和公差：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之差为公差d，则$$d = \left( {a_2 - a_1} \right) = \left( {a_3 - a_2} \right) = \left( {a_n - a_{n - 1}} \right)$$5、求和公式：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，公差为d，n为正整数，则$a_1$+$a_2$+$a_3$+……+$a_n$的和$$S_n=n \cdot a_1 + \frac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot d$$二、等比数列1、定义：等比数列是指在数列中任意两项之比都相等的数列。

2、正则式：若等比数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公比为q，n为正整数，则其等比数列正则式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$3、数列函数：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的第一项为$a_1$，公比为q，则其函数形式为：$$f(x)=a_1q^{x-1}$$4、首项和公比：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之比为公比q，则。

数列的等差数列与等比数列知识点总结

数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。

等差数列可以是正差、零差或负差的数列。

2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。

（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。

（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。

3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。

4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。

用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。

1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。

等比数列可以是正比、零比或负比的数列。

2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。

（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。

3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。

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等差数列性质总结1. 等差数列的定义式： a n a n 1 d （ d 为常数）（ n 2 ）； 2．等差数列通项公式：a n a 1 (n 1)d dn a 1 d ( nN *)，首项 : a 1 ，公差 :d ，末项 : a n推广： a na m ( n m)d ．从而 da nam ；n m3．等差中项（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： a b A2或 2 A a b（2）等差中项：数列 a n 是等差数列 2a nan -1a n 1 (n 2, n N + )2a n 1 a n a n 24．等差数列的前 n 项和公式：S n n( a 1 a n )na 1 n(n 1) dd n 2 (a 11 d)nAn 2Bn2222（其中 A 、B 是常数，所以当 d ≠ 0时， S n 是关于 n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 2n 1 时， a n 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S2n 12n 1 a 1a2 n 12n 1 a n 1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间2项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若 a n a n 1（2）等差中项：数列 a n⑶数列 a n 是等差数列（4）数列 a n 是等差数列d 或 a n 1 a n d ( 常数 nN ) a n 是等差数列．是等差数列 2a n an-1 a n 1 (n 2)2a n 1 a n a n 2 ．a n knb （其中 k ,b 是常数）。

S nAn 2 Bn , （其中 A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若 a n a n 1d 或 a n 1 a nd ( 常数 n N )a n 是等差数列等差中项性质法： 2a n a n-1a n 1(n2， n N ) ．7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a 1 、d 、n 、 a n 及 S n ，其中 a 1 、d 称作为基本元素。

等差、等比数列性质总结

--等差数列性质总结1.等差数列的定义式:d a a n n =--1（d 为常数）(2≥n ）；2．等差数列通项公式:*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ,公差:d ，末项：n a 推广： d m n a a m n )(-+=. 从而mn a a d mn --=； 3.等差中项(1）如果a ，A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2b a A +=或b a A +=2(2）等差中项:数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+(其中A 、B 是常数,所以当d ≠０时，S ｎ是关于ｎ的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+１的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)５.等差数列的判定方法（１) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． (2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=(其中b k ,是常数）。

（４）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1（常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，.7.提醒:(1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到５个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

(完整版)等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=；当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。

等差数列与等比数列的性质

3.4等差数列与等比数列的性质一、.等差数列的性质 1若公差，则为递增等差数列，若公差 ,则为递减等差数列,若公差 ,则为常数列.2．若数列{a n }成等差数列，则数列{Aa n ＋B }也成等差数列．3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则特别地，若m+n=2k ，则与首末两项距离相等的两项之和相等,即 a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…4．若数列{a n }成等差数列，则数列{a 2n －1}， {a 2n }、。

也成等差数列．（下标成等差，对应的项也成等差）5．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m, S 2m －S m, S 3m －S 2m ¡构成等差数列．a k , a k+m a k+2m , a k+3m ,…成等差数列S 2k-1=（2k-1）a k6 若{a n }、{b n }是等差数列，S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则{pa n +qb n }、{s n / n}是等差数列，（其中p 、q 是常数）7 若{a n }是等差数列，则 (a ≠0)成等比数列；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }是等差数列.8 在等差数列{a n }中，当项数为偶数 2n 时;S 偶-S 奇= nd ;项数为奇数 2n -1 时; S 奇-S 偶= a 中，S 2n -1=(2n -1)·a 中(这里a 中即a n );S 奇∶S 偶=(k +1)∶k .9若等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为Sn 、Tn ,且 =f (n ),则 = = =f (2n -1).10“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和.思考：类比等差数列的基本性质，归纳总结等比数列的基本性质．二.等比数列的性质(1)当m +n =p +q 时，则有 , 特别地，当 m +n =2p 时，则有与首末两项距离相等的两项之积相等,即 a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…(2)若{a n }是等比数列，则{ka n }、{a n 2}、{1/a n }成等比数列；注意：下标成等差，对应的项成等比(3)若{a n }、{b n }成等比数列，则{a n b n }、{ n na b }成等比数列; (4)若{a n }是等比数列,且公比q ≠-1,则数列 S n S 2n -S n S 3n - S 2n … 也是数列.当 q = -1,且n 为偶数时,数列S n S 2n -S n S 3n -S 2n …是常数数列 0,它不是等比数列.(5)若a 1>0,q >1,则{a n }为数列；若a 1<0,q >1,则{a n }为数列;若a 1>0,0<q <1,则{a n }为递减数列；若a 1<0,0<q <1，则{a n }为递增数列；若q <0,则{a n }为摆动数列；若q =1,则{a n }为数列.(6)当q ≠１时,S n = 11a q --q n +11a q-= aq n +b ,这里 a +b =0，但a ≠0，b ≠0，这是等比数列前n项和公{}n a a n n S T n n a b (21)(21)n n n a n b --2121n n S T --式的一个特征，据此很容易根据S n 判断数列{a n }是否为等比数列.(7) S m+n =S m +q m S n =S n +q n S m .(8) 在等比数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶= qS 奇；项数为奇数2n -1时,S 奇=a 1+qS 偶.(9) 如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数数列，故常数数列{a n }仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.1．等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=90，则a 8等于（） A 452 B 12 C 454D 6 2．等比数列{a n }中，如果 346781a a a a ⋅⋅⋅=,则a 1a 9的值为（）A ．3B ．9C ．±3D ．±93．设2a =3，2b =6，2c =12，那么数列a 、b 、c （） A ．是等比数列，但不是等差数列 B ．是等差数列，但不是等比数列C ．既是等比数列，又是等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列4．(2009·海南)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．95．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( )A ．12B ．18C ．24D ．426．有2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )7．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则数列 b n ＝ (n ∈N *)也为等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有d n ＝______ _____(n ∈N *)也是等比数列．8.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11=4a 7，数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,则b 5+b 9等于（）A.2B.4C.8D.161. 若三个数a ，A ，b 成等差⇔2A ＝a ＋b ；2．若三个数a ，G ，b 成等比⇒G 2＝ab .例1 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若{S n }是等差数列，则q ＝________.1. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n .若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于 ( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1虽然等差(比)数列的有关计算和证明，都可围绕其首项和公差(比)进行，但是熟练地掌握等变式差(比)数列的性质，则可以大幅度地减少运算量，以达到事半功倍的作用．比如在等差数列中 S 2n －1＝(2n －1)a n ；在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (q ≠1)时，也构成等比数列等． “成对下标和”性质(1)已知数列{θn }为等差数列,且θ1+θ8+θ15=2π，则tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.C.D.-(2)(2009广东卷)已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…，且a 5a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( )A. n(2n-1)B. (n+1)2C. n 2D. (n-1)2本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的成对下标和的性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法. 2 (2010湖北省模拟)设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和,且n n S T =21n n + ,则log b5a 5= . “和与部分和”性质（1）两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和的比是(7n ＋2)∶(n ＋3)，这两个数列中第7项的比a 7∶b 7.= ，(2) 已知数列{a n }是等比数列，且S m ＝10，S 2m ＝30，则S 3m ＝________. (3) 等差数列的前n 项和为54，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 .巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要. 巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.对于有穷的等差、等比数列的相关计算问题有着特殊的计算方法，比如在一个项数n 为奇数的等差数列中 (其中为中项)．(1) 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项和项数． (2) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为 32∶27，求等差数列的公差．例2 点评变式例3 点评例43.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．【方法规律】1 知三求二：在等差（比）数列中，a 1,d (q ),n ,a n ,S n 共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算.2 了解和掌握等差数列和等比数列的基本性质，有利于更深刻地理解等差数列和等比数列问题，使有关的计算和证明问题能做到更简洁、明了、快速和准确．巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.3．除去以上所列出的等差数列和等比数列的基本性质之外，还要注意以下的一些常见情况：(1)若等差数列{a n }的项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ；(2)若等差数列{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd ；(3)若等比数列{a n }的项数为2n ，公比为q ，则＝q .(4)等比数列的相关结论可以看作是等差数列结论的¡°运算升级¡±.(本题满分12分)若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，(1)求数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求{a n }的通项公式.【考卷实录】【分析点评】变式1.考题对等差数列和等比数列进行综合考查，考卷实录中第(1)问很好把握了等差数列前n项和的特征S n＝An2＋Bn.而第(2)问利用了已知S n求a n，要注意a n＝要注意对a1＝S1是否适合a n＝S n－S n－1，n≥2的检验．2．本题的一般解法具体如下：(1)由已知条件得S22＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得：d2＝2a1d，又d≠0，则d＝2a1，＝4，数列S1，S2，S4的公比为4.(2)由已知条件4a1＝4，则a1＝1，d＝2，a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1.【课后作业】天府数学活页练习3.2 1—9 题 3.3 1—9题。

等差等比数列的性质20条

1等差数列和等比数列的性质1、等差数列的性质：（11条）（1）首尾项性质：在有穷等差数列中，距首末两项等距离的两项之和就等于首末两项之和，即：n n n a a a a a a --+=+=+=12132特别的，若总项数为奇数，则等于中间项的两倍，即：n a a a +=12中推广：1、若(),,,*p q r s p q r s N +=+∈，则P q r s a a a a +=+ 2、若m n p +=2，则m n p a a a +=2（2）若{}{},n n a b 均为等差数列，则{}{}(),,n n n ma ma kb m n R ±∈也为等差数列；依次将等差数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等差数列；依次将等差数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等差数列；（3）{}n a 是有限项公差为d 的等差数列，则1、若总项数为n -21，则()(),-,+-,n n n S na S n a S S n a ===121奇偶奇偶,-,n S n S S a S n ==-1奇奇偶偶（其中n a 为中间项） 2、若总项数为n 2，则(),,+,n n n n S na S na S S n a a ++===+11奇偶奇偶 ,-,n n S a S S nd S a +==1奇偶奇偶（其中n a 和n a +1为中间两项）（4）顺次n 项和性质：若{}n a 为等差数列，则其前n 项和n S 、次n 项和n nS S -2、末n项和n nS S -32仍成等差数列，即()()n n n n n S S S S S -=+-2322（5）若等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则有,n n n n a S b T --=2121（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若有()()m n m SS n ---=-2212212121，则有,m n a m a n -=-2121（7）若{}n a 为等差数列，且,p q a q a p ==，则p q a +=0（8）若{}n a 为等差数列，且,p q S q S p ==，则()p q S p q +=-+ （9）若{}n a 为等差数列，若()p q S S p q =≠，则p q S +=0 （10）若{}n a 为等差数列，则{}(),na Cc c >≠01是等比数列。

等差等比数列的性质总结

等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2．等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:推广：．从而；3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或（2）等差中项：数列是等差数列4．等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列．（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若或(常数)是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：①一般可设通项②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）8..等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：，（4）若、为等差数列，则都为等差数列（5）若{}是等差数列，则，…也成等差数列（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

等差数列与等比数列的知识点总结

等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。

它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。

本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。

一、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。

2. 特点（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。

（2）首项和公差可以确定一个等差数列。

（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 常见性质（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。

（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。

（3）若相邻两项互换，则公差不变。

（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。

等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。

在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。

二、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。

2. 特点（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。

（2）首项和公比可以确定一个等比数列。

（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 常见性质（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。

（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。

（3）若相邻两项互换，则公比不变。

（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。

等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。