8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程
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18.94 18.94
3.16 i
2
21.05 i
25.26
30.79
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP
1
i
l
EI1=∞ EI1=∞
i
2
i
i
l
基本结构 解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
4
EI 设 i l
i AC i
则
iBC
8i 3
解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。
典型方程为
r11Z1 R1 0
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。
r11 12i
代入典型方程解得
R1 6i
Z1 R1 r11 2
k21 26.7 26.7
10
MP 图
10
F1P=-36.7
30
F2P=-3.3
★结点集中力偶不影响MP图, 但影响F1P。 将系数和自由项代入方程，解得 35.5 2.9 13 M图 （4）利用叠加原理，做弯矩图 6.5 1
1 3.24/ i
2 0.534/ i
2.1
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。
（5）按照区段叠加法 作出弯矩图
5ql 2 16
3ql 2 16
M图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。
30kN 20kN/m C 30kN D 4m
【解】 （1）基本未知量 D点的转角位移Δ1 C、D点水平位移Δ2 （2）杆端弯矩
(3)求系数的自由项
6i/l
6i/l
1 1
k11 k21
k11= 24i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 k21=- 24i/l 2
M 1图
6i/l 6i/l 6i/l
k12
k12= -24i/l 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
k22
12i/l 2
12i/l 2
12i/l 2
3.16 3 21.05 M AC 2i i 25.26kN m i 2 i 3.16 3 21.05 M CA 4i i 18.94kN m i 2 i 3.16 M CD 6i 18.96kN m i 3 21.05 M BD i 15 30.79kN m 4 i
M AC 20 42 3i 2 / 4 3i 2 / 4 40 8 3i 1 30
A 4m
B
2m
60kNm 20kN/m C
30kN D
M DC
M DB 4i 1 6i 2 / 4
A B
M DB 2i 1 6i 2 / 4
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【解】 （1）基本未知量 C、B点水平位移Δ1
l
i A
i B
q
（2）杆端弯矩
ql 2 3i 1 / l 8
F M AC 3i AC 1 / l M AC
MBD 3iBD 1/ l 3i 1/ l
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3ql 3i 1 / l 8
2
FQCA 3i 1/ l 2
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
FQCA FQ DB 0
FQCA FQDB
3ql 6i 1 / l 0 8
2
3ql 3 1 48i
（4）求杆端弯矩
M AC 5ql 16
2
M BD
3ql 2 16
(3)求系数和自由项，解方程 k11 4i k21 k11 8i 8i 4i k21
1 1
4i
M 1图
2i
4i k11=12i k21=4i k22 4i
k12
8i
k22
k11
2 1
4i 4i 6i
8i
4i
6i
M 2图
2i
k12=4i
k21=18i
F1P
26.7
26.7 F2P
30
F2P
r12
12i l
R1P 0
R2P F
代入典型方程解得
Fl Fl 2 Z1 ， Z2 52i 39i
由
M M1Z1 M 2 Z 2 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座 B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
【例题】试做图示刚架的弯矩图。
20kN/m 40kN 2EI 4m Δ1 Δ2
10kNm
EI
2EI EI 4m
2m
2m
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
12i/l 2
k22=48i/l 2 12i/l 2
M 2图
12i/l 2
FP FP
F1P
FP FP
F1P=-FP
6i/l
F2P
F2P=-FP
MP 图 将系数和自由项代入方程,解得
★结点集中力不影响MP图, 但影响F1P。
FP l / 4 FP l / 4 FP l / 2
M图
3FP l 1 24i
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3i 2 / l 2 3ql 3i 2 / 16 30 8
FQ DB 6i 1/ l 12i 2 / l 2 3i 1/ 2 3i 2 / 4
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
M DC
D
MDC MDB 0
B点转角位移Δ1
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（2）写出杆端弯矩
FP A B
Δ1
Δ1 B
q
C
20 6 M AB 2i 1 2i 1 15 8 20 6 M BA 4i 1 4i 1 15 8
M BC
2 62 3i 1 3i 1 9 8
6i Fl 7iZ1 Z 2 0 l 8 6i 15i F Z1 2 Z 2 0 l l 2
Z1、Z2
各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
2 有侧移结构 【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。
E1A=∞ D C
M AC 120.87kN m M DB 52.17kN m M DC 52.17kN m M BD 106.96kN m
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
60
52.17 40
120.87 106.96
M图(kNm)
F1 0
F2 15kN
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（4）求基本未知量。 10i1 1.5i 2 0
3.16 1 i
1.5i1 0.9375 i 2 15 0
(5) 作弯矩图
21.05 2 i
1
M M11 M 22 M
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 典型方程为 r21 Z1 r22 Z 2 R2P 0
设 i
EI 则iAB=3i，iBC=i l
绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。
r11 16i
12i r21 l
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
48i r22 2 l
（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。 取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程
M BA
B
M BC
M BA M BC 0
6 1 7i
7i 1 6 0
解得
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。
6 M AB 2i 15 16.72kN m 7i 6 M BA 4i 15 11.57kN m 7i 6 M BC 3i 9 11.57kN m 7i
7i 1 3i 2 30 0 2 (a)
M DB
30
FQCA FQDB
FQCA FQ DB 30 0
15i 2 3i 1 60 0 2 16
(b)
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
630 1 23i 2480 1 23i
（4）求杆端弯矩
得： r11 12i / l 2 3 FSF ql 3A 8 由： Fx 0
得： R 11 ql 2 1F 8
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（4）列典型方程求解未知量 R1F 11ql 3 r11 R1F 0 Z1 r11 96i （5）作内力图
FS13 FS24 0
设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得
6i Fl M 13 4iZ1 Z 2 l 8 M 12 3iZ1
6i 12i F FS13 Z1 2 Z 2 l l 2 3i FS12 2 Z 2 l
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
由平衡条件可得
M M 1Z1 M F
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例8-5 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。
（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
解： （1）选取基本结构 （2）作载荷弯矩图和 单位位移弯矩图 （3）求系数和自由项
2 2 FSBA 3 i / l 6 i / l BA s3A
FS 2 A FS 3 A 3i / l 2 由： Fx 0
2
FP l 2 12i
2
FP l / 2
(5) 利用叠加法作出弯矩图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。 FP=20kN，q=2kN/m。
FP A 3m Δ1 B Δ1 B q
B
3m 6m q
C
FP A
C
【解】 （1）基本未知量
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
16.72 11.57 3.21
15.85
M图（kNm）
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
例8-4 用位移法作图示刚架的内力图。
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
k111 k12 2 F1 0 k211 k22 2 F2 0
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（3）求系数和自由项。
k22 0.1875i
15
k11＝4i +6 i＝10 i k12＝ k21＝ -1.5 i k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
3.16 i
2
21.05 i
25.26
30.79
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP
1
i
l
EI1=∞ EI1=∞
i
2
i
i
l
基本结构 解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
4
EI 设 i l
i AC i
则
iBC
8i 3
解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。
典型方程为
r11Z1 R1 0
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。
r11 12i
代入典型方程解得
R1 6i
Z1 R1 r11 2
k21 26.7 26.7
10
MP 图
10
F1P=-36.7
30
F2P=-3.3
★结点集中力偶不影响MP图, 但影响F1P。 将系数和自由项代入方程，解得 35.5 2.9 13 M图 （4）利用叠加原理，做弯矩图 6.5 1
1 3.24/ i
2 0.534/ i
2.1
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。
（5）按照区段叠加法 作出弯矩图
5ql 2 16
3ql 2 16
M图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。
30kN 20kN/m C 30kN D 4m
【解】 （1）基本未知量 D点的转角位移Δ1 C、D点水平位移Δ2 （2）杆端弯矩
(3)求系数的自由项
6i/l
6i/l
1 1
k11 k21
k11= 24i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 12i/l 2 k21=- 24i/l 2
M 1图
6i/l 6i/l 6i/l
k12
k12= -24i/l 2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
k22
12i/l 2
12i/l 2
12i/l 2
3.16 3 21.05 M AC 2i i 25.26kN m i 2 i 3.16 3 21.05 M CA 4i i 18.94kN m i 2 i 3.16 M CD 6i 18.96kN m i 3 21.05 M BD i 15 30.79kN m 4 i
M AC 20 42 3i 2 / 4 3i 2 / 4 40 8 3i 1 30
A 4m
B
2m
60kNm 20kN/m C
30kN D
M DC
M DB 4i 1 6i 2 / 4
A B
M DB 2i 1 6i 2 / 4
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【解】 （1）基本未知量 C、B点水平位移Δ1
l
i A
i B
q
（2）杆端弯矩
ql 2 3i 1 / l 8
F M AC 3i AC 1 / l M AC
MBD 3iBD 1/ l 3i 1/ l
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3ql 3i 1 / l 8
2
FQCA 3i 1/ l 2
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
FQCA FQ DB 0
FQCA FQDB
3ql 6i 1 / l 0 8
2
3ql 3 1 48i
（4）求杆端弯矩
M AC 5ql 16
2
M BD
3ql 2 16
(3)求系数和自由项，解方程 k11 4i k21 k11 8i 8i 4i k21
1 1
4i
M 1图
2i
4i k11=12i k21=4i k22 4i
k12
8i
k22
k11
2 1
4i 4i 6i
8i
4i
6i
M 2图
2i
k12=4i
k21=18i
F1P
26.7
26.7 F2P
30
F2P
r12
12i l
R1P 0
R2P F
代入典型方程解得
Fl Fl 2 Z1 ， Z2 52i 39i
由
M M1Z1 M 2 Z 2 M P
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座 B产生竖向位移 3 Δ l 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。
由
M M1Z1 M
【例题】试做图示刚架的弯矩图。
20kN/m 40kN 2EI 4m Δ1 Δ2
10kNm
EI
2EI EI 4m
2m
2m
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
12i/l 2
k22=48i/l 2 12i/l 2
M 2图
12i/l 2
FP FP
F1P
FP FP
F1P=-FP
6i/l
F2P
F2P=-FP
MP 图 将系数和自由项代入方程,解得
★结点集中力不影响MP图, 但影响F1P。
FP l / 4 FP l / 4 FP l / 2
M图
3FP l 1 24i
由杆端弯矩求得杆端剪力
FQ CA 3i 2 / l 2 3ql 3i 2 / 16 30 8
FQ DB 6i 1/ l 12i 2 / l 2 3i 1/ 2 3i 2 / 4
（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量
M DC
D
MDC MDB 0
B点转角位移Δ1
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（2）写出杆端弯矩
FP A B
Δ1
Δ1 B
q
C
20 6 M AB 2i 1 2i 1 15 8 20 6 M BA 4i 1 4i 1 15 8
M BC
2 62 3i 1 3i 1 9 8
6i Fl 7iZ1 Z 2 0 l 8 6i 15i F Z1 2 Z 2 0 l l 2
Z1、Z2
各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
2 有侧移结构 【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。
E1A=∞ D C
M AC 120.87kN m M DB 52.17kN m M DC 52.17kN m M BD 106.96kN m
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
60
52.17 40
120.87 106.96
M图(kNm)
F1 0
F2 15kN
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（4）求基本未知量。 10i1 1.5i 2 0
3.16 1 i
1.5i1 0.9375 i 2 15 0
(5) 作弯矩图
21.05 2 i
1
M M11 M 22 M
r11 Z1 r12 Z 2 R1P 0 典型方程为 r21 Z1 r22 Z 2 R2P 0
设 i
EI 则iAB=3i，iBC=i l
绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。
r11 16i
12i r21 l
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
48i r22 2 l
（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。 取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程
M BA
B
M BC
M BA M BC 0
6 1 7i
7i 1 6 0
解得
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。
6 M AB 2i 15 16.72kN m 7i 6 M BA 4i 15 11.57kN m 7i 6 M BC 3i 9 11.57kN m 7i
7i 1 3i 2 30 0 2 (a)
M DB
30
FQCA FQDB
FQCA FQ DB 30 0
15i 2 3i 1 60 0 2 16
(b)
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
630 1 23i 2480 1 23i
（4）求杆端弯矩
得： r11 12i / l 2 3 FSF ql 3A 8 由： Fx 0
得： R 11 ql 2 1F 8
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（4）列典型方程求解未知量 R1F 11ql 3 r11 R1F 0 Z1 r11 96i （5）作内力图
FS13 FS24 0
设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得
6i Fl M 13 4iZ1 Z 2 l 8 M 12 3iZ1
6i 12i F FS13 Z1 2 Z 2 l l 2 3i FS12 2 Z 2 l
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
由平衡条件可得
M M 1Z1 M F
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
例8-5 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。
（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
解： （1）选取基本结构 （2）作载荷弯矩图和 单位位移弯矩图 （3）求系数和自由项
2 2 FSBA 3 i / l 6 i / l BA s3A
FS 2 A FS 3 A 3i / l 2 由： Fx 0
2
FP l 2 12i
2
FP l / 2
(5) 利用叠加法作出弯矩图
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。 FP=20kN，q=2kN/m。
FP A 3m Δ1 B Δ1 B q
B
3m 6m q
C
FP A
C
【解】 （1）基本未知量
（5）按照区段叠加法作出弯矩图
16.72 11.57 3.21
15.85
M图（kNm）
§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程
图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1 的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0
M12 M13 0
如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0
例8-4 用位移法作图示刚架的内力图。
解 （1）选取基本体系。
（2）建立位移法典型方程。
k111 k12 2 F1 0 k211 k22 2 F2 0
§8-4 位移法的典型方程及计算例题
（3）求系数和自由项。
k22 0.1875i
15
k11＝4i +6 i＝10 i k12＝ k21＝ -1.5 i k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i