中国剩余定理(孙子问题)

合集下载

中国剩余定理(孙子定理)

中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。

上面给出了解法。

再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最小公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）35+63+30=1284、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）x=128-105=23那么满足题意得最小的数就是23了。

一共有四个步骤。

下面详细解释每一步的原因。

（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。

105÷3=35。

显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。

相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。

那么这个基础数就是35。

记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。

体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。

21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。

中国剩余定理的证明过程

中国剩余定理的证明过程（原创实用版）目录一、引言二、中国剩余定理的概念和背景三、中国剩余定理的证明过程1.求解模数2.求解余数3.构造同余方程4.求解同余方程四、中国剩余定理的应用五、结论正文一、引言中国剩余定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子提出的一个著名数学定理。

该定理描述了这样一个问题：已知一个整数被若干个正整数（除数）除，所得的余数都相同，求这个整数的最小值。

这个问题在古代被称为“物不知其数”，而中国剩余定理则给出了解决这个问题的方法。

二、中国剩余定理的概念和背景中国剩余定理的表述如下：设整数 a、b、c 分别为除数 d1、d2、d3 的余数，且 d1、d2、d3 两两互质，则存在整数 x、y、z 使得：ax ≡ 1 (mod d1)by ≡ 1 (mod d2)其中，x、y、z 为整数，且 x≥1，y≥1，z≥1。

中国剩余定理的背景可以追溯到古代数学家孙子提出的“物不知其数”问题。

孙子问题描述了这样一个情景：有三个牧羊人，他们分别放牧的三群羊总数相同，但每群羊的数量分别除以 3、5、7 的余数相同。

问：至少有多少只羊？三、中国剩余定理的证明过程为了证明中国剩余定理，我们可以采用两种方法：一种是基于数学归纳法和模运算的证明，另一种是基于鸽巢原理（中国剩余定理的另一种称呼）的证明。

1.求解模数首先，根据题意，我们需要求出除数 d1、d2、d3 的最小公倍数 d。

d 即为所求整数的模数。

2.求解余数根据题意，我们可以得到以下同余方程组：ax ≡ 1 (mod d1)by ≡ 1 (mod d2)cz ≡ 1 (mod d3)我们可以通过扩展欧几里得算法求解这个同余方程组，得到 x、y、z 的值。

3.构造同余方程根据求解得到的 x、y、z，我们可以构造如下同余方程：x = 1 + d1 * r1y = 1 + d2 * r2其中，r1、r2、r3 分别为 x、y、z 除以 d1、d2、d3 的余数。

中国剩余定理

中国剩余定理中国剩余定理：中国剩余定理（孙⼦定理）是⽤于解决⼀次同余⽅程组的⼀种⽅法。

定理的思路是将两个同余⽅程合为⼀个再下⼀个⽅程合并，最后得到答案。

那么先来看看对于两个⽅程的合并：x = a1(mod n1)x = a2(mod n2)将⽅程都转换为乘积与和的形式：x = n1 * T1+a1x = n2 * T2+a2将上述两式合并整理得：n1T1=(a2-a1)+n2T2设gcd(n1,n2) = d,c = a2 - a1,则合并的同余⽅程可变形为(n1/d)*T1 = (c/d)(mod n2/d)T1 =（c/d）*（n1/d)^-1(mod n2/d)不妨设S = （c/d）（n1/d)^-1,则T1=t(n2/d) + S,那么x = n1[t(n2/d)+S]+a1 = (n1n2/d) t + n1S+a1,即x = n1S+a1(mod n1n2/d)那么在带⼊求解时新的a3 = n1S + a1，n3 = n1n2/d,最终，其中最⼩的x就是最后剩余的⽅程的a(mod n)#include"iostream"using namespace std;typedef long long LL;LL r[1001],m[1001],N;LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}LL d = ex_gcd(b,a%b,x,y);LL t = x;x = y;y = t -(a/b)*y;return d;}LL Inv(LL a,LL b){LL d = gcd(a,b);if(d!=1)return -1;LL x,y;ex_gcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;}bool megre(LL r1,LL m1,LL r2,LL m2,LL &r3,LL &m3){LL d = gcd(m1,m2);LL r = r2-r1;if(r%d)return 0;r = (r%m2+m2)%m2;m1/=d;m2/=d;r/=d;r*=Inv(m1,m2);r%=m2;r*=m1*d;r+=r1;m3 = m1*m2*d;r3 = (r%m3+m3)%m3;return 1;}LL CRT(){LL A1 = r[1],B1 = m[1];for(int i = 2;i <= N;i++){LL A2 = r[i],B2 = m[i];LL A3,B3;if(!megre(A1,B1,A2,B2,A3,B3))return -1;A1 = A3;B1 = B3;}return (A1%B1+B1)%B1;}int main(){cin >> N;for(int i = 1;i <= N;i++)cin >> m[i];for(int i = 1;i<= N;i++)cin >> r[i];cout <<CRT(); return 0;}。

中国剩余定理

中国剩余定理我国古代著名的数学书《孙子算经》中有这样一道名题“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何？”此乃就是著名的“孙子问题”，俗称“韩信点兵”。

关于它的解法就是享誉国内外的“孙子定律”或“孙子定理”。

外国人称之为“中国剩余定理”。

一、“孙子定理”某数除以3余2，除以5余3，除以7余2。

这个数最小是多少？它的解题思路是：除以3余2的数要在5和7的公倍数数中去找。

5和7的最小公倍数是35.35÷3=11 (2)35符合除以3余2的条件。

除以5余3的数要在3和7的公倍数中去找，3和7的最小公倍数是21。

但21÷5=4 (1)条件要求是除以5余3，如果是21，余数只能是1，要满足余数是3的条件，就必须使被除数、除数、商、余数同时扩大3倍。

21×3=63则63÷5=12 (3)63符合除以5余3的条件。

除以7余2的数，要在3和5的公倍数中去找。

3和5的最小公倍数是15，条件要求除以7余2，如果是15，余数只能是1，要满足余数是2的条件，被除数、除数、商、余数，必须扩大2倍。

15×2=3030÷7=4 (2)30符合除以7余2的条件。

把1、2、3式的被除数和起来，35+63+30=128加得的结果128符合题目中所提的全部条件。

因为35加上的都是3的倍数，所以它们的和128，除以3的余数，不会改变；对63来讲，它所加上的数都是5的倍数。

因此，它们的和除以5的余数，也不会改变；对30来讲，它所加上的都是7的倍数，因此，它们的和除以7的余数，也不会改变。

由于3、5、7的最小公倍数是105，题目中要求的是满足条件的最小的数，因此128-105=23，这所得的差，除以3、5、7的余数也没变，所以23符合题目中所有条件的最小的一个数。

这就是著名的“孙子定理”，世界称之为“中国剩余定理”。

二、“变更被除数法”约定：将“N”分别除以n1,n2…nk所得的余数依次为r1、r2…rk。

行测技巧：速解中国剩余定理

行测技巧：速解中国剩余定理余数问题在行测考试中考察频率都非常高，而且以不同的形式考察，比如说对余数基本定义的考察，以及同余数特性题型的考察。

掌握好解余数问题的一些技巧，对考生来说至关重要。

今天主要来说说中国剩余定理的解题方法。

中国剩余定理有着千年的文化历史，早在春秋时期就出现过，是我国悠久历史的象征，中国剩余定理是一个大的数学体系，而今天主要是学习现有的公职类考试中常见题型的考察形式，以及解题方法。

一、什么是中国剩余定理：中国剩余定理最早出现在《孙子算经》中，又名物不知数问题。

今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何?”这个问题称为“孙子问题”，后经宋朝人传入西方，引起西方广大关注，以至于后来该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

二、中国剩余定理的通用形式：M除以A得到余数a;M除以B得到余数b;M除以C得到余数c;求M为多少?三、中国剩余定理的解法:1.余同加余：M÷3 (1)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到余数相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加一，如下：M=12N+12.和同加和：M÷3 (2)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到余数与除数的加和相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加上余数与除数的相应的和，如下：M=12N+53. 差同减差：M÷5 (2)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到除数与余数的差相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差，如下：M=12N-34. 逐步满足法：根据条件从除数最小的式子用数逐步满足题目要求，试探的找出答案。

5. 带入排除法：将答案依次带到题目中，判断那个选项符合要求。

【小升初专项训练】10 孙子定理

第13讲孙子定理第一关求被除数【知识点】1 .孙子定理的含义：也叫中国剩余定理.《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数∙∙之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数.这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵.其正确解法叫做孙子剩余定理.2 .中国轲余定理的结论：令任意固定整数为M,当M/A余a,MZB余b,M/C余c,M/D余d,…，M/Z余Z时，这里的A,B,C,D,…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为。

，没有任何意义，如果为1,在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括O和1）时；余数a,b,c,d,Z为自然整数时.1 .当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解.2 .当M在两个或两-个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小.3 .正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A,B,C,D,…，Z不同的余数组合个数=A,B,C,D,…，Z的最小公倍数二不同的余数组合的循环周期.【例1】有一个整数，除以3余数是2,除以5余数是3,除以7余数是4,这个数可能是多少？A.67B.73C.158D.22【答案】C【例2】一个自然数除以13余6,除以29余7,这个自然数最小是多少？【答案】123【例3】一个数除以4余3,•除以5余2,除以6余1,这个数最小是多少？【答案】7【例4】有一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,除以9余5.这个数至少是多少？【答案】158【例5】被4除余1,被5除余2,被6除余3的最小自然数是多少？【答案】57【例6】一个数被2,3,7除结果都余1,这个数最小是多少？【例7】被3除余2,被5除余4,被7除余4的最小自然数是多少？【答案】74【例8】一个数，它除以11余8,除以13余10,被3除余1,这个数最小是多少？【答案】283【例9】某数用6除余3,用7除余5,用8除余1,这个数最小是几？【答案】33【例10】一个数除以5余2,除以6余2,除以7余3,求能漏足这三个条件的最小自然数是多少？【答案】122【例11】一个自然数除以3余2,除以5余4,除以7余6,这个自然数最小是多少？【答案】104【例12】一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1,这个数最小是多少？【答案】210【例13】•筐橘子，三三数之余一，五五数之余四，七七数之余二，筐里最少有多少个橘子？【答案】79【例14】一堆糖.分给A、B、C三个班级的小朋友（每班人数互不相同），如果A班每人6颗，则多3颗；乙班每人7颗，则少3.颗；丙班每人8颗，则少7颗，问这堆糖至少有多少颗？【答案.】81【例15】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有多少个？【答案】62【例16】有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒,乒乓球至少有多少个？【答案】123【例17】一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个.如果按6个一堆放，最后多出4个.如果按7个一堆放，还多出1个.这筐苹果至少有多少个？【答案】148【例18】五年级的学生排队做操，如果10人一行则余2人，如果12人一行则余4人，如果16人一行则余8人，那么五年级最少有多少人？【答案】232【例19】一个三位数被3除余1,被5除余3,被7除余5,这个数最大是多少？【答案】943【例20】设。

中国剩余定理论文

中国剩余定理一、中国剩余定理的由来原始问题据记载最先来源于《孙子算经》中的题目：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》中的解法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

我们就要问解法中的三个关键数70，21，15，如何来的，有何性质呢?为什么分别与余数2，3，2相乘呢？分析：70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a 是3除余a ，而5与7都除得尽的数；21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b 是5除余b ，而3与7除得尽的数；同理，15c 是7除余c ，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a ，5除余b ，7除余c 的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105（105=3×5×7）仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解，其中a 、b 、c 都是正整数，下同。

即题目的最小正整数答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23满足题目的所有答案为：70a+21b+15c-105n （n 为使结果为正数的整数，可正、负、为0）推广问题《孙子算经》中的题目几几数之剩几都是一个确定的数，而且是用三个数来数的。

假如用n 个数来数，每个数都是参数，余数也是参数，那么问题有解吗？有没有通解呢？我们可将问题变为有一个数除正整数i a 余正整数i R （i=1，2……k ），即(mod )i i N a R ，那么问题有解吗，有没有通解呢？中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

中国剩余定理的结论：令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。

行测数量关系技巧：中国剩余定理

行测数量关系技巧：中国剩余定理行测数量关系技巧：中国剩余定理各位考生，很多同学在备考的过程中遇到中国剩余定理的题目除了代入排除这一种方法就有些不知所措，其实，中国剩余定理问题备考起来还是比较容易掌握的，下面就跟着来一块学习这部分的内容吧。

什么是中国剩余定理呢，中国剩余定理最早出现在《孙子算经》中，又名“物不知数问题”，有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

中国剩余定理的通用形式是：M除以A得到余数a;除以B得到余数b;M除以C得到余数c;求M为多少?在其中也有一些特殊模型如下：一、余同加余，例如：M÷3…1，M÷4…1，则M=12n+1下面来看一个例题：例1. 一个大于10的正整数，除以3余2，除以4余2，除以5余2。

问这个数最小是多少?A.60B.61C.62D.63（答案）C。

解析：一个数M除以A得到余数a;除以B得到余数b;除以C得到余数c，求这个数的形式，符合中国剩余定理。

而且余数都为2，符合余同加余的模型。

这道题目当中符合题意的数应是3，4，5的公倍数加2，所有这样的数可表示为60n+2n为整数，因为这个数大于10，当n取1时，这个数最小为62。

选C。

二、差同减差，例如：M÷5…2，M÷4…1，则M=20n-3下面来看一个例题：例2.一个小于200的正整数P除以11余8，除以13余10，那么P是多少?A.139B.140C.141D.142（答案）B。

解析：这道题目是小于二百的数除以11余8，除以13余10，求这个数的形式，符合中国剩余定理。

11-8=3，13-10=3，除数与余数的差都为3，且11、13 的最小公倍数为143，根据差同减差可知，P=143n-3，那么在小于200的数中，P的值为140。

中国剩余定理

汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。

又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。

计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。

一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。

未知”。

原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。

问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。

孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。

因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。

1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。

明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。

除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。

意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。

在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。

例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。

中国剩余定理计算过程

中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念和基本原理三、中国剩余定理的算法实现四、中国剩余定理的应用案例五、结论正文：一、引言中国剩余定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子提出的一个著名数学定理。

该定理指出，对于一组互素的正整数，给定任意整数k，若将这k 个整数分别除以这组正整数，所得的余数构成一个同余方程组，那么这个同余方程组必有解。

中国剩余定理在数学、密码学等领域有着广泛的应用，本文将详细介绍中国剩余定理的计算过程。

二、中国剩余定理的概念和基本原理中国剩余定理的定义：设有m 个正整数a1, a2,..., am，它们两两互素，即最大公约数为1。

给定任意整数k，将整数ki 分别除以这m 个正整数，所得的余数为r1, r2,..., rm。

若同余方程组：x ≡ r1 (mod a1)x ≡ r2 (mod a2)...x ≡ rm (mod am)有解，那么这个同余方程组必至少有一个解x 满足：0 ≤ x < a1 * a2 *...* am中国剩余定理的基本原理是基于数学的模运算和欧几里得算法。

通过模运算，可以将同余方程组转化为一个模某个正整数的方程组。

而欧几里得算法可以用来求解模某个正整数的方程组。

三、中国剩余定理的算法实现中国剩余定理的算法实现可以分为两个主要步骤：判断正整数是否两两互素和计算同余方程组的解。

1.判断正整数是否两两互素要判断正整数是否两两互素，可以使用辗转相除法。

对于给定的两个正整数a 和b，如果它们的最大公约数为1，则它们是互素的。

辗转相除法的基本原理是：两个整数的最大公约数等于其中较小的整数和两整数差的最大公约数。

通过不断用较小的整数去除两整数差，直到两整数差为1，就可以判断两个整数是否互素。

2.计算同余方程组的解计算同余方程组的解可以使用欧几里得算法。

欧几里得算法的基本思想是：对于两个整数a 和b，如果它们的最大公约数为d，则存在整数x 和y，使得ax + by = d。

物不知数——中国剩余定理

“物不知数”——孙子定理有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理.孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为：70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n关键是找出70 21 15宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答.明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法.意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后减去105（或者105的倍数），得到的余数就是答案.比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23.又例今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4.试问这类数中最小的正整数是多少？35+63+60-105=5353第一步：在 5,7的公倍数中找出“除以3余数是2”的数；35第二步：在 3,7的公倍数中找出“除以5余数是3”的数；21,42, 63第三步：在 3,5的公倍数中找出“除以7余数是4”的数，15,30,45, 6035+63+60=158,158肯定是符合“除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4”的，但不一定最小，去掉若干个3,5,7的最小公倍数，使之变成最小的正整数。

中国剩余定理

中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。

2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。

N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。

孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。

孙子定理公式详解

孙子定理公式详解孙子定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。

这定理听起来是不是有点高大上，让人感觉摸不着头脑？别担心，咱一步步来把它弄明白。

先来说说孙子定理到底是个啥。

想象一下，你有一堆苹果，要分给几个小伙伴。

但是呢，你只知道这些苹果除以某个数会余几，除以另一个数又会余几，然后你想知道到底有多少个苹果。

这时候孙子定理就派上用场啦！比如说，有一堆物品，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，那这堆物品最少有多少个？这就是孙子定理能解决的问题。

咱们来看看孙子定理的公式。

假设整数 m1，m2，... ，mk 两两互质，M = m1 × m2 ×... × mk，Mi = M / mi（i = 1，2，... ，k），则同余方程组：x ≡ a1（mod m1）x ≡ a2（mod m2）...x ≡ ak（mod mk）的解为：x = （a1M1y1 + a2M2y2 +... + akMkyk）mod M ，其中 yi满足Miyi ≡ 1 （mod mi）（i = 1，2，... ，k）。

哎呀，这公式是不是看起来有点复杂？别着急，咱们通过一个具体的例子来理解。

就拿前面说的那堆物品的例子，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7余 2。

首先，3、5、7 两两互质，M = 3×5×7 = 105。

M1 = 105÷3 = 35，M2 = 105÷5 = 21，M3 = 105÷7 = 15。

接下来要找 y1、y2、y3，使得35y1 ≡ 1 （mod 3），21y2 ≡ 1（mod 5），15y3 ≡ 1 （mod 7）。

对于35y1 ≡ 1 （mod 3），因为 35 = 3×11 + 2，2×2 ≡ 1 （mod 3），所以 y1 = 2。

对于21y2 ≡ 1 （mod 5），因为 21 = 5×4 + 1，所以 y2 = 1。

高中数学知识点精讲精析中国剩余定理

4 中国剩余定理1．中国剩余定理也称孙子定理。

是中国先圣们对一次同余论的重大贡献。

.2．问题叙述在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。

我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》卷下记载：物不知数今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。

这个被称做孙子问题。

3．孙子算经之解法《孙子算经》所给答案是N＝23。

由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。

但是《孙子算经》并不是这样做的。

“物不知数”题的术文指出的解法为：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

列成算式就是：N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。

有一首口诀就描述了孙子问题的解法：孙子歌三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。

后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。

《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

4．现代数论求解孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组N=3x+2N=5y+3N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②孙子问题求解过程如下：最小公倍数在每一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；在每二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；在每三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。

但不一定是最小的。

再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。

中国剩余定理

中国剩余定理【定理概述】中国剩余定理（孙⼦定理）是中国古代求解⼀次同余式组的⽅法。

是数论中⼀个重要定理。

⼀元线性同余⽅程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？即，⼀个整数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。

《孙⼦算经》中⾸次提到了同余⽅程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中⽂数学⽂献中也会将中国剩余定理称为孙⼦定理。

【求逆元】逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

ax≡1(mod p)。

⼀个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯⼀存在，注意这⾥的唯⼀是指在群中唯⼀。

其实如果求出⼀个逆元x0，那么x0 + p*k都会满⾜上⾯的等式，但是我只取p内的正整数x0.【证明】由ax≡1(mod p)等价于这样⼀个⽅程a*x + p*y = 1 ，或者说这个⽅程x有解的话x必然满⾜ ax≡1(mod p)这个⽅程什么时候有解呢？很显然，当gcd(a,p) | 1时有解，所以gcd(a,p)只能是1，即a,p互质，证明完毕。

由此还可以得到⼀个结论，如果要求逆元，可以⽤扩展欧⼏⾥得求⼀组解（x,y），再求出x的最⼩正整数（x+p）%p,x就是a的唯⼀逆元。

⽅法1：费马⼩定理求逆元，p是，且gcd(a,p)=1在模为素数p的情况下，有费马⼩定理a p-1 ≡ 1（mod p）则a * a p-2 ≡ 1（mod p）所以a的逆元就是a p-2，⽤快速幂求即可。

#include<iostream>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b , a%b);}long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){long long ans = 1;//如果n的⼆进制最后⼀位是1 结果参与运算//因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响while(n > 0){if(n & 1)ans = (ans* a) % mod;a = (a*a) % mod;//底数加倍n >>= 1;//移位}return ans;}//long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和模数不互质则必然不存在逆元if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod);}int main(){long long a,b;int x,y;while(cin>>a>>b){cout<<invEle(a,b)<<endl;}}⽅法2：扩展欧⼏⾥得求逆元（⾼效）typedef long long ll;void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}ll inverse(ll a,ll n){ll d,x,y;extgcd(a,n,d,x,y);return d==1?(x+n)%n:-1;}⽅法3：欧拉定理求逆元（很少⽤到）模p不是素数的时候需要⽤到欧拉定理逆元打表：typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;}}【解⽅程组】根据定理概述以及解法，得到以下⽅法int CRT(int a[],int m[],int n){int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;}【扩展中国剩余定理】当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？摘⾃博客:https:///acdreamers/article/details/8050018这种情况就采⽤两两合并的思想，假设要合并如下两个⽅程那么得到在利⽤扩展欧⼏⾥得算法解出的最⼩正整数解，再带⼊得到后合并为⼀个⽅程的结果为这样⼀直合并下去，最终可以求得同余⽅程组的解。

中国剩余定理（孙子定理）

中国剩余定理（孙⼦定理）中国剩余定理，也叫孙⼦定理，是数论中的⼜⼀个重要定理，那么它是⼲什么⽤的呢？简单来说，这是⼀个⽤来求⼀元线性同余⽅程组的定理。

叫做孙⼦定理的原因就是该定理最早可见于南北朝时期的著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？翻译⼀下，就是说，⼀个数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。

接下来，我们把这⼀道题作为例题，探究⼀下如何利⽤孙⼦定理搞定同余⽅程组例1：求解⼀元线性同余⽅程组： x ≡ 2 ( mod 3 ) x ≡ 3 ( mod 5 ) x ≡ 2 ( mod 7 ) 解：做题依据：当p1 , p2 , ……互质的时候，有 x ≡（a1 q1 q1-1+ a2 q2 q2-1+……）mod P 其中P = p1 p2……， q i = p / p i ，q i-1为 q i 在模p i 意义下的逆元对于这道题，x ≡（2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1+ 2 * 15 * 1）mod 105 = 23例2：求解⼀元线性同余⽅程组： x ≡ 3（mod 12） x ≡ 2（mod 18）解：做题依据当p不互质时，有x ≡ a1 ( mod p1 ) = = > x = a1 + p1 b1, x ≡ a2 ( mod p2 ) = = > x = a2 + p2 b2 所以p1 b1 - p2 b2 = a2 - a1 ⽤扩展欧⼏⾥得得解因此不断合并⽅程即可2019-04-09 11:39:10。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出的一种数学定理，该定理在小学数学学习中有着丰富的运用。

中国剩余定理的表述是：如果我们知道一个数除以几个不同的数的余数，并且这些除数互质，那么我们可以通过这些余数以及除数的乘积之积恢复出这个数。

在小学数学学习中，中国剩余定理可以应用在许多问题中，例如：1. 节省运算步骤：使用中国剩余定理可以将一个大的除法问题转化为若干小的除法问题，并最后合并答案。

这样可以大大节省运算的步骤，减小计算量，提高计算效率。

2. 解决同余方程问题：同余方程是小学数学中的一个重要概念，中国剩余定理提供了一个有效的求解方法。

通过建立同余方程组并应用中国剩余定理，可以解决例如“小明今年的年龄是一个不大于12的正整数，除以3余2，除以4余3，除以5余4”的问题。

3. 推理规律性：小学数学学习中，推理规律性是一个重要的能力培养目标。

通过运用中国剩余定理，可以帮助学生建立数学模型，观察问题中的规律，通过归纳和演绎思维进行推理分析。

运用中国剩余定理的例子：例子一：小明买苹果。

他买了苹果，每袋15个粒，还剩2个苹果；如果每袋20个粒，还剩3个苹果；如果每袋32个粒，还剩7个苹果。

问小明买了多少个苹果？解答：我们可以建立如下的方程组：x ≡ 2 (mod 15)x ≡ 3 (mod 20)x ≡ 7 (mod 32)其中符号≡表示同余。

由中国剩余定理，我们可以解得：x ≡ 17 (mod 480)所以小明买了480个苹果。

例子二：某个居民小区购买新的电梯。

共有100户居民，为了满足居民的需求，电梯安装在了离每一栋楼房最近的位置。

电梯间隔每4个楼房就有一台电梯，间隔每7个楼房就有一台电梯。

问这个小区共安装了多少部电梯？所以这个小区共安装了28部电梯。

通过以上两个例子，我们可以看到中国剩余定理在小学数学学习中的灵活运用。

它能够使学生在解决问题时灵活思考，培养学生观察规律、建立数学模型、进行推理分析的能力。

孙子剩余定理

孙子剩余定理
摘要：
一、孙子剩余定理的概念
二、孙子剩余定理的公式表示
三、孙子剩余定理的应用领域
四、我国对孙子剩余定理的研究与贡献
正文：
一、孙子剩余定理的概念
孙子剩余定理，又称孙子问题，是数论中一个有关同余方程组解的问题。

它是由我国古代数学家孙子（孙武）提出的一个著名数学问题，也是我国古代数学成就的一部分。

二、孙子剩余定理的公式表示
孙子剩余定理可以用以下公式表示：
a_1^m ≡ a_2^m (mod n)
a_1^n ≡ a_2^n (mod m)
其中，a_1、a_2为整数，m、n为正整数，且m、n互质。

三、孙子剩余定理的应用领域
孙子剩余定理在现代数学领域具有广泛的应用，尤其在密码学、计算机科学、通信技术等方面具有重要意义。

它在解决许多同余方程组问题、简化计算过程、提高计算效率等方面发挥着关键作用。

四、我国对孙子剩余定理的研究与贡献
作为孙子剩余定理的发源地，我国对这一定理的研究历史悠久，成果丰硕。

许多数学家为孙子剩余定理的发展作出了巨大贡献，如秦九韶、李冶、朱世杰等。

中国剩余定理(孙子问题)

中国剩余定理(孙子定理)

中国剩余定理的证明过程

中国剩余定理

中国剩余定理

行测技巧：速解中国剩余定理

【小升初专项训练】10 孙子定理

中国剩余定理论文

行测数量关系技巧：中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理计算过程

物不知数——中国剩余定理

中国剩余定理

孙子定理公式详解

高中数学知识点精讲精析 中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理（孙子定理）

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

孙子剩余定理

高中数学知识点精讲精析中国剩余定理