2021年中央电大经济数学基础应用题和计算题考点版
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五、应用题（本题20分）
1．设生产某种产品q 个单位时成本函数为：q q q C 625.0100)(2
++=（万元）, 求：（1）当10=q 时总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？
解：（1）总成本q q q C 625.0100)(2
++=，
平均成本625.0100
)(++=
q q
q C ， 边际成本65.0)(+='q q C ．
因此，1851061025.0100)10(2
=⨯+⨯+=C （万元）， 5.1861025.010
100
)10(=+⨯+=
C （万元） 116105.0)10(=+⨯='C ．
（万元） （2）令 025.0100
)(2
=+-
='
q q C ，得20=q （20-=q 舍去）． 由于20=q 是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值，因此当20=q 时，平均成本最小.
2．.某厂生产某种产品q 件时总成本函数为2
01.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解：成本为：2
01.0420)(q q q C ++=
收益为：201.014)(q q qp q R -==
利润为：2002.010)()()(2
--=-=q q q C q R q L
q q L 04.010)(-='，令004.010)(=-='q q L 得，250=q 是惟一驻点，利润存在最
大值，因此当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为
12302025002.025010)250(2=-⨯-⨯=L （元）。
3．投产某产品固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='q q C (万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：成本函数为：36)402()(0
++=
⎰
q
dx x q C
当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为
=+=+=∆⎰6
46426
4|40|)402(x x dx x C 100（万元）
364036)402()(20
++=++=⎰q q dx x q C q
q
q q C 36
40)(+
+=∴ 2361)(q q C -='，令036
1)(2=-='q
q C 得，6,6-==q q （负值舍去）。6=q 是惟
一驻点，平均成本有最小值，因此当6=x （百台）时可使平均成本达到最低.
3、投产某产品固定成本为36（万元），且边际成本为602)(+='q q C （万元/百台）。试求产量由4百台增至6百台时总成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。
解：成本函数为：36)602()(0
++=
⎰
q
dx x q C
当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为
=+=+=∆⎰6
46426
4|60|)602(x x dx x C 140（万元）
366036)602()(20
++=++=⎰q q dx x q C q
q
q q C 36
60)(+
+=∴
2361)(q q C -='，令036
1)(2=-='q
q C 得，6,6-==q q （负值舍去）。6=q 是惟
一驻点，平均成本有最小值，因此当6=x （百台）时可使平均成本达到最低。
4．已知某产品边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益q q R 02.012)(-='，求：①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量基本上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：边际利润为：q q C q R q L 02.010)()()(-='-'='
令0)(='q L 得，500=q 。500=q 是惟一驻点，最大利润存在，因此 ①当产量为500件时，利润最大。 ② =-=-=
∆⎰
550
5002550500550
500
|01.0|10)02.010(x x dx x L - 25（元）
即利润将减少25元。
5．已知某产品边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：由于总成本函数为
⎰
-=q q q C d )34()(=c q q +-322
当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即
C (q )=18322
+-q q 又平均成本函数为
q
q q q C q A 18
32)()(+-==
令 018
2)(2
=-
='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该问题的确存在使平均成本最低产量. 因此当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
93
18
332)3(=+-⨯=A (万元/百台)
6、已知生产某产品边际成本为q q C +='4)( (万元/百台)，收入函数为22
110)(q q q R -
=（万元），求使利润达到最大时产量，如果在最大利润产量基本上再增长生产200台，利润将会发生如何变化？
解：边际利润为：q q q q C q R q L 26410)()()(-=---='-'='
令0)(='q L 得，3=q 3=q 是惟一驻点，而最大利润存在，因此当产量为3百台时，利润最大。当产量由3百台增长到5百台时，利润变化量为
5
32535
3
||6)26(x x dx x L -=-=∆⎰)35()35(622---⨯=
41612-=-=（万元） 即利润将减少4万元。
7..设生产某产品总成本函数为 x x C +=5)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时边际收入为x x R 211)(-='（万元/百吨），求：⑴利润最大时产量；⑵在利润最大时产量基本上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ .解：⑴由于边际成本为 1)(='x C ，边际利润
x x C x R x L 210)()()(-='-'='
令0)(='x L ，得5=x 可以验证5=x 为利润函数)(x L 最大值点. 因而，当产量为5百吨时利润最大.
⑵当产量由5百吨增长至6百吨时，利润变化量为 6
5
2
6
5
)10(d )210(x
x x x L -=-=
∆⎰