广西高一下学期期中数学试卷
广西钦州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)
2023～2024学年度期中考试卷考试模块：必修第二册考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章~第四章第1节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知扇形的半径为3，面积为则该扇形的圆心角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．3．在中，则（ ）A．4B ．C ．3D ．4．不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量则在上的投影向量的坐标为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）ME EN PN +-=MN MP NM PM3π,2π6π4π33π4ABC △120,15,A C AC === BC =πtan 13x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭()5πππ,π612k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z ()5ππ2π,2π612k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z ()πππ,π24k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z ()ππ2π,2π24k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭Z ()()1,1,2,3,a b =-=b a 11,22⎛⎫⎪⎝⎭11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ<()f x π6()g xA ．B ．C ．D ．7．设的内角的对边分别为若的周长为则（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知内有一点满足则向量与的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．平角二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数则（ ）A ．的最小正周期为B ．是偶函数C ．的图象关于直线对称D ．在区间上单调递增10．某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为根据以上数据得到塔高为米，则（）()sin2g x x=()π2sin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()2sin2g x x=()π2sin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ABC △,,A B C ,,,a b c ABC △sin ,sin sin sin a BA B C+-2π3C =2π3B =π3C =π3B =ABC △O 2222,OA OB AC BC -=-OC AB ()πcos 2,6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x 2ππ12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 5π12x =()f x π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦AB AB C A ,βBC a D A ,αhA ．米B ．米C ．米D ．米11．已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ）A ．B ．C ．D ．当时，与的夹角为锐角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知则______．13．在边长为2的菱形中，分别为的中点，则______．14．在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点．（1）求的值；（2）求的值．16．（本小题满分15分）已知向量()sin sin AC αβα=-()sin sin sin a h αββα=-()sin sin a AD ββα=-()sin cos 1sin BD a αββα⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,,a b c2,a c a b a +=-= ()2c c a⊥+ ()()2a b a b-⊥- 12a ab >- 12λ<-c a c λ- πcos 2x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()sin πx +=ABCD ,M N ,BC CD 5,AM AB ⋅=AM AN ⋅= ABC △,,A B C ,,,a b c 222sin sin sin sin sin ,A B C A C -+=ABC △ABC △αx )1P -2sin cos 2sin cos αααα+-()()()()()sin πcos 2πtan π5πsin cos 3πsin 2αααααα---⎛⎫--- ⎪⎝⎭()()3,2,2,1,2.a b c a b ==--=+（1）若求实数的值；（2）若向量满足且求向量的坐标．17．（本小题满分15分）已知的内角的对边分别为（1）求角的大小；（2）若的面积为求的周长．18．（本小题满分17分）如图，在梯形中，点分别为线段上的三等分点，点是线段上的一点．（1）求的值；（2）求的值；（3）直线分别交线段于两点，若三点在同一直线上，求的值．19．（本小题满分17分）对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系（1）若判断与是否具有关系并说明理由；（2）若与具有关系求实数的取值范围；（3）已知为定义在上的奇函数，且满足：①在上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意有()()//,a b b mc -+m d ()()2a d c d d +⋅-=- (),d ab ⊥+d ABC △,,A B C ,,,a bc tan .A =B ABC △14,b =ABC △ABCD 4,6,2,AD DC CB AB DC ====,,,E F G H ,DC AB P BC AB AD ⋅EGAP ,EG FH ,M N ,,B N D AMAN12,D D ()(),f x g x ,k 1122,,x D x D ∈∈()()12,f x g x k -=()f x ()g x ().M k ()()[]ππ2sin ,,;cos ,0,π,22f x x x g x x x ⎡⎤=∈-=∈⎢⎥⎣⎦()f x ()g x ()3,M -()cos 1f x x =-()22cos sin sin g x x x x =-+(),M k k ()0,a h x >R []0,2a 2ax =()h x ,x ∈R ()()0.h a x h a x ++-=判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．期中数学答案1．B 故选B2．C 由扇形的面积公式得故选C ．3．C 由得所以故选C ．4．A 由题意，得解得故选A ．5．C 因为所以在上的投影向量的坐标为故选C 6．D 由函数的图象知：则所以则因为点在图象上，所以则即因为则所以，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到故选D ．7．A 由题意可知由正弦定理得即整理得由余弦定理得又所以故选A ．8．B 由条件得则所以所以，所以所以贝所以向量与的夹角为故选B ．()0,a a >()()sin2πf x x h x =+()()cos2πg x h x x =-()4,M a .ME EN PN MN NP MP +-=+=212S r α=2π2.3S r α=÷=120,15,A C ==45,B =.sin120BC = 3.BC ==()πππππ.234k x k k -+<+<+∈Z ()5ππππ.612k x k k -+<<-+∈Z ()()21,12,3231,2,a b a ⋅=-⋅=-+== b a ()11,12a b a a a ⋅⋅=-=11,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭313ππ3π2,.41234A T ==-=π,T =2π2,πω==()()2sin 2,f x x ϕ=+π,23⎛⎫⎪⎝⎭2πsin 1.3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2ππ2π,,32k k ϕ+=+∈Z π2π,,6k k ϕ=-∈Z π,2ϕ<π,6ϕ=-()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π6()ππ2sin 266g x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 2.6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin .sin sin sin a B a b c A B C ++=+-,aba b c a b c++=+-()(),a b c a b c ab +++-=222,a b c ab +-=-2221cos .222a b c ab C ab ab +--===-0π,C <<2π.3C =2222,OA OB CA CB -=-2222,OA OB CA CB -=- ()()()().OA OB OA OB CA CB CA CB +⋅-=-⋅+ ()().OA OB BA BA CA CB +⋅=⋅+ ()().OA CA AB AB CB OB -⋅=⋅- OC AB AB CO ⋅=⋅ 20,OC AB ⋅= 0,OC AB ⋅=OC AB 90.9．BC 因为，则故A 错误；是偶函数，故B 正确；故C 正确；由得因为在不单调，故D 错误．故选BC ．10．BCD 在中，所以米，A 错误；在中米，B 正确；在中，所以米，C 正确；在中，米，所以米，D 正确．故选BCD ．11．ACD 由两边平方，得所以所以，A 正确；由得所以所以所以．B 错误；由不共线可得得所以，C正确；因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，则即所以D 正确．故选ACD ．12所以13． 因为分别为的中点，所以所以所以()πcos 2,6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2ππ,2T ==πππcos 2cos2.12126f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5π5ππcos 2 1.12126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5π,.46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π1π2,.636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦cos y x =2π11π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ACD △().sin sin AC CD αβα=-()sin sin a AC αβα=-Rt ABC △()sin sin sin sin a h AC αβββα==-ACD △()(),sin πsin AD CD ββα=--()sin sin a AD ββα=-Rt ABC △()sin cos tan sin h a BC αβββα==-()sin cos 1sin BD a αββα⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭a c a += 2222,a c a c a ++⋅= ()20,c c a ⋅+= ()2c c a ⊥+ 2a b -= .a 22244.a a b b a -⋅+= 22340.a a b b -⋅+= ()()30.a b a b -⋅-=()()3a b a b -⊥- ,a b 2a a b a b a =->-- 2.a a b >- 12a ab >- ,ac ,a c c λ-c a c λ- ()0,a c c λ-⋅> 22212a c c c c λλ⋅-=--= 210,2c λ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭1,2λ<-πcos sin 2x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭()sin πsin x x +=-=132,M N ,BC CD ()215,2AM AB AB BM AB AB AD AB ⋅=+⋅=+⋅= 2,AD AB ⋅=221111513.222242AM AN AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14． 在中，由正弦定理得由余弦定理得因为为的内角，则所以因为的外接圆的半径为由正弦定理得所以由余弦定理得即因为所以当且仅当时取等号，故的面积所以面积的最大值为15．解：（1）根据三角函数的定义，得（2）原式又原式16．解：（1）由得所以由得解得（2）设所以由得所以①由得所以则②由①②得故ABC △222sin sin sin sin sin ,A B C A C -+=222,a c b ac +-=cos B =2221,22a c b ac +-=B ABC △0π,B <<π.3B =ABC △sin sin sin a b cA B C===6,b B ===2222cos ,b a c ac B =+-2236,a c ac =+-222,a c ac +≥36,ac ≤6a c ==ABC △1sin 2S ac B =≤ABC △tan α==212sin cos 2tan 132sin cos 2tan 1αααααα⎛⨯+ ++∴===---()()()sin cos tan tan ,cos cos sin cos αααααααα-==---cos tan αα===tan cos αα=-=()()3,2,2,1,a b ==-- ()()()23,222,11,0,c a b =+=+--=-()()5,3,2,1,a b b mc m -=+=---()()//,a b b mc -+ ()()51320,m ⨯----=1.3m =-(),,d x y =()()()()223,21,423,a d c d x y x y x y x y +⋅-=++⋅---=----- 222.d x y =+ ()()2,a d c d d +⋅-=-2222423,xy x y x y -----=--4230,x y ++=(),d a b ⊥+ ()0,d a b ⋅+=()(),1,10,x y ⋅=0,x y +=33,,22x y =-=33,.22d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17．解：（1所以由正弦定理得则又所以又所以（2）由（1）得所以所以又根据余弦定理得即所以故的周长为18．解：（1）设即（2）（3）连接三点共线，为的中点，设则设在中， 解得tan A =tan ,A =tan ,A =tan ,A =tan 0,A ≠tanB =()0,π,B ∈2.3B π=sin B =1sin 2ac B =60,ac =14,b =()22222cos ,b a c ac B a c ac =+-=+-()219660,a c =+-16.a c +=ABC △30.a b c ++=,.AB a AD b ==11,22CB CD DA AB a ba ab =++=--+=-22215236.4CB a a b b a b ∴=-⋅+=-⋅=16.AB AD a b ⋅=⋅= 11111,,33266AE AD DC b a a b EG AG AE a b =+=+⨯=+=-=- EG === ,,,BD B N D ,BH DF =,DFN BHN N ∴∴△≌△BD 1111.2222AN AB AD a b ∴=+=+,AM AN λ= .22AM a b λλ=+ 1.6GM GE b a μμ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ AMG △.MG AG AM =- 11,6322b a a a b λλμ⎛⎫∴-+=-- ⎪⎝⎭0,112,163220,632a b λμλλμμμλ⎧-=⎪⎪⎛⎫⎛⎫∴-+=-∴⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-+=⎪⎩ 4.7λ=44.77AM AM AN AN ∴=⋅=19．解：（1）与具有关系理由如下：当时当时，当时，此时故与具有关系（2）则当时，则则（3）不具有关系，理由如下：在上，当且仅当时，取得最大值1，且为定义在上的奇函数在上，当且仅当时，取得最小值－1．由对任意有得关于点对称，又故的周期为故的值域为当时，时，若此时有()f x ()g x ()3,M -ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]2sin 2,2,f x x =∈-[]()[]0,π,cos 1,1,x g x x ∈=∈-1π2x =-()π2,2f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20x =()()01,g x g ==()π03,2f g ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()3.M -()[]cos 12,0,f x x =-∈-()222219cos sin sin 12sin sin 2sin ,48g x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=--+ ⎪⎝⎭[]sin 1,1,x ∈- sin 1x =-219212,48⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭()92,,8g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()1225,2,8f x g x ⎡⎤⎡⎤∴-∈-⎣⎦⎢⎥⎣⎦25,2.8k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()4M []0,2a 2ax =()h x ()h x R ∴[]2,0a -2ax =-()h x ,x ∈R ()()0,h a x h a x ++-=()y h x =(),0a ()()(),h a x h a x h x a +=--=-()h x 2,a ()h x [][][]1,1;sin2π1,1,cos2π1,1,x x -∈-∈-()11h x =112,;sin2π12a x na n x =+∈=Z 11,,4x k k =+∈Z 12,24a na k +=+41,,,82k a k n n +=∈+Z ()()111sin2π2;f x x h x =+=当时，时，若则时，有不存在使得故与不具有关系()21h x =-222,;cos2π12ax ma m x =-+∈=Z 2,.x t t =∈Z 2,2a ma t -+=2,,41t a t m m =∈-Z ()()222cos2π 2.g x h x x =-=-()()1122412,sin2πcos2π4,8241k t a x h x x h x n m +=≠∴++-<+- ∴12,,x x ∈∈R R ()()1122sin2πcos2π4,x f x x f x ++-=()()sin2πf x x h x =+()()cos2πg x h x x =-()4.M。
广西南宁市重点中学高一(下)期中数学试卷
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知为虚数单位，在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( ) i 11‒i A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知平面向量，，若，则( ) ⃗a =(1,2)⃗b =(‒2,y )⃗a //⃗b ⃗a +⃗b=A. B. C. D.(‒1,‒2)(‒1,6)(‒1,3)(‒1,1)3. 若函数，则( )f (x )={x 2+1,x ≤0log 3(x +3),x >0f (f (‒2))=A. B. C.D.12344. 已知集合，则( ) A ={x |y = x +3},B ={x |x ‒3x ‒1<0}A ∪B =A.B.C.D.(‒3,+∞)[‒3,+∞)(‒3,3)[‒3,3)5. 已知角的终边经过点，则( )α(‒1, 3)tan(α+π2)+sin(2α‒3π)=A.B.C.D.32‒34‒ 365 366. 如图所示，的直观图是边长为的等边，则在原图中，边上的高为△ABC 2△A 'B 'C 'BC ( )A. B. C. D.2 6 623 37. 若，则( ) sin α=2sin β,sin(α+β)⋅tan(α‒β)=1tan αtan β=A.B.C.D.2321128. 在平行四边形中，，，设，，则( ) ABCD ⃗BE =12⃗EC ⃗DF =2⃗FC ⃗AE =⃗a ⃗AF =⃗b ⃗AC =A.B. C. D. 67⃗a+37⃗b37⃗a+67⃗b34⃗a+13⃗b13⃗a+34⃗b二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9. 已知，，为虚数单位，且，复数，则以下结x y ∈R i (x +1)i ‒y =‒1+2i z =(1‒i )x +y 论正确的是( )A. 的虚部为B. 的模为z ‒2i z 2C. 的共轭复数为D. 对应的点在第四象限z 2i z 10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是( ) △ABC A ,B ,C a ,b ,c A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 △ABC sin A >cos B B. 若，则为等腰三角形 sin2A =sin2B △ABC C. 命题“若，则”是真命题A >B sin A >sin B D. 若，，，则符合条件的有两个 a =8c =10B =π3△ABC 11. 下列说法正确的是( )A. 若，且，则 ⃗a ⋅⃗b =⃗a ⋅⃗c ⃗a ≠⃗0⃗b ≠⃗cB. 若，为复数，则z 1z 2|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|C. 设，是非零向量，若，则 ⃗a ⃗b |⃗a +⃗b |=|⃗a ‒⃗b |⃗a ⋅⃗b=0D. 设，为复数，若，则z 1z 2|z 1+z 2|=|z 1‒z 2|z 1z 2=012. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则( ) .⃗a ⃗b |⃗a |=|⃗b |=2|⃗a +⃗b |=2 3A. B. 与的夹角为 ⃗a ⋅⃗b =‒2⃗a ⃗bπ3C. D. 在上的投影向量为|⃗a ‒⃗b |>|⃗a +⃗b|⃗a ‒⃗b ⃗b ‒12⃗b 第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知命题，命题，若假真，则实数p ：∃x 0∈R ,x 20+2x 0+a ≤0q ：∀x >0,x +1x >a p q a的取值范围为______ ．14.．1‒tan 75∘1+tan 75∘=15. 若圆被直线平分，则的最小值为x 2+y 2‒2ax ‒2by =0(a >0,b >0)x +y =11a +2b ______ ．16. 如图，在中，已知，为上一点，且满足，若△ABC ⃗BD =12⃗DC P AD ⃗CP =m ⃗CA +49⃗CB△ABC 的面积为，，则的最小值为______ ．3∠ACB =π3|⃗CP |四、解答题（本大题共6小题，共70分。
广西壮族自治区高一下学期4月期中数学试题(解析版)
故选：C. 8．D
【分析】根据条件推出 f x 的周期即可.
【详解】由题意， f x π f x sin x, f x 2π f x π sin x π sin x ，
f x 2π f x π sin x f x sin x sin x f x ，
G
x
3x2 205x
20x, 0 18000
x
x
40, x N 3350, 40 x
80,
x
N
，每台高级设备售价为
2
万元，假设每
年生产的高级设备能够全部售出.
(1)求企业获得年利润 P x （万元）关于年产量 x（百台）的函数关系式（利润 销售
收入 成本）；
(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
3 5
，则
cos
π 2
3 5
C． π 与 17 π 是终边相同的角 66
D．函数 f x tan(2x π ) 的最小正周期
4
π 为
2
10．已知函数
f
x
sin
2
x
π 3
(
0)
的最小正周期为
π
，则下列说法正确的是
（）
A． 1
C．函数 f x 的图象关于直线 x π 对称
12
B．函数
22．已知函数
f
x
4x
1 2x 1
m
.
(1)若 f x 0 在区间1, 上恒成立，求 m 的取值范围；
(2)当 m 10 时，证明： f x 在区间 0, 内至少有 2 个零点.
2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年广西来宾市忻城高级中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z =3−2i(i 为虚数单位)的虚部为( )A. 2B. −2C. 2iD. −2i2.已知向量a =(t,1),b =(t +2,1)，若a ⊥b ，则实数t =( )A. −2B. −1C. 1D. 23.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2 2,b =2,A =π4，则B =( )A. π6 B. π3 C. 5π6 D. π6或5π64.向量a =(6,2)在向量b =(2,−1)上的投影向量为( )A. (2,−1)B. (1,−12)C. (4,−2)D. (3,1)5.在正方体中，E ，F ，G ，H 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E ，F ，G ，H 四点共面的是( )A. B.C. D.6.侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )A. 2 155 B. 155 C. 2 D. 17.如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，BD =2DC ，AE =4ED ，则BE =( )A. 1115a−815bB. 23a−815bC. −1115a +815bD. −23a +815b8.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B +sin 2C−sin 2A =sinBsinC ，且bcosC +ccosB =2，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 1B. 3C. 2D. 2 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a =(5,2),b =(1,m)，则以下说法正确的是( )A. 若|b |>|a |，则m >2 7B. 若b ⊥a ，则m =−52C. 若b //a ，则m =25D. 若b 与a 夹角为锐角，则m 的取值范围为(−52,+∞)10.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )A. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nB. 若m//n ，m//α，则n//αC. 若m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 是异面直线D. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n 或m ，n 是异面直线11.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是( )A. 若A >B ，则sinA >sinBB. 若A =π6，a =5，则△ABC 外接圆半径为10C. 若a =2bcosC ，则△ABC 为等腰三角形D. 若b =6，a =2c ，B =π3，则三角形面积S △ABC =63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广西桂林市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某某某市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则θ是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角2．空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（）A． B．3 C． D．43．圆C1：x2+（ y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．内含4．函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．5．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．在△ABC中，∠C=90°，0°＜A＜45°，则下列各式中，正确的是（）A．sinA＞sinB B．tanA＞tanB C．cosA＜sinA D．cosB＜sinB7．过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为（）A．17 B．18 C．19 D．208．已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣9．以圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣）2+（y﹣）2=2C．（x+1）2+（y+1）2=1 D．（x+）2+（y+）2=210．已知函数（x∈R），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为π的奇函数B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象关于点对称11．若实数x，y满足，则的取值X围为（）A． B．C． D．12．过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．化简=．14．点P（x，y）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为．15．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则正实数a的值为．16．已知函数f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，直线x=m与f（x），g（x）的图象分别交M，N两点，则|MN|的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．化简下列各式：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）（2）．18．求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）的圆的方程．19．已知α，β均为锐角，sinα=，cos（α+β）=，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，]上的最大、最小值及相应的x的值．21．已知f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若y=f（x+φ）关于直线x=对称，求|φ|的最小值；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数解，某某数m的取值X 围．22．已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．2016-2017学年某某某某中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则θ是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据cosθ＜0，在二，三象限，且tanθ＜0，在二，四象限，综合可得答案．【解答】解：∵cosθ＜0，在二，三象限，且tanθ＜0，在二，四象限，综合可得：θ在第二象限的角．故选：B．2．空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（）A． B．3 C． D．4【考点】JI：空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0），∴|MN|==2．故选C．3．圆C1：x2+（ y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．外切 D．内含【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：圆C1：x2+（ y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的圆心坐标分别为（0，1）和（3，4），半径分别为r=1和R=5，∵圆心之间的距离d=，R+r=6，R﹣r=4，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：A．4．函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan （）的最小正周期为2π，排除B．【解答】解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A5．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先把y=sin（2x+）整理为sin2（x+）；再根据图象平移规律即可得到结论．（注意平移的是自变量本身，须提系数）．【解答】解：因为：y=sin（2x+）=sin2（x+）．根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2（x+）相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．故选：D．6．在△ABC中，∠C=90°，0°＜A＜45°，则下列各式中，正确的是（）A．sinA＞sinB B．tanA＞tanB C．cosA＜sinA D．cosB＜sinB【考点】HP：正弦定理．【分析】先确定0°＜A＜B＜90°，再利用正弦函数，正切函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，∴A=90°﹣B，∵0°＜A＜45°，∴0°＜A＜B＜90°∴sinB＞sinA，故A错误，tanB＞tanA，故B错误，∴sinB＞sin（90°﹣B），sinB＞cosB，故D正确，∴sin（90°﹣A）＞sinA，cosA＞sinA，故C错误，故选：D．7．过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为（）A．17 B．18 C．19 D．20【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的圆心C（1，2），半径r=5，设点A（1，﹣1），|AC|=3＜r，从而点A在圆内，进而最大弦长为2r=10，最小弦长为：2．由此能求出结果．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的圆心C（1，2），半径r==5，设点A（1，﹣1），|AC|==3＜r，∴点A在圆内，∴最大弦长为2r=10，最小弦长为：2=2=8．∴过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为：10+8=18．故选：B．8．已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式和根据同角三角函数关系式即可求解．【解答】解：由=，可得：2cos2α=cos（）得：4cos22α=cos2（）∵cos2（）=2cos2（）﹣1，即1﹣sin2α=2cos2（）∴8cos22α=1﹣sin2α由cos22α+sin22α=1．∴8（1﹣sin22α）=1﹣sin2α解得：sin2α=．故选：B．9．以圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣）2+（y﹣）2=2C．（x+1）2+（y+1）2=1 D．（x+）2+（y+）2=2【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先确定公共弦的方程，再求出公共弦为直径的圆的圆心坐标、半径，即可得到公共弦为直径的圆的圆的方程．【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0，∴两圆相减可得公共弦方程为l：2x﹣2y=0，即x﹣y=0又∵圆C1：x2+y2+4x+1=0的圆心坐标为（﹣2，0），半径为；圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的圆心坐标为（﹣1，﹣1），半径为1，∴C1C2的方程为x+y+2=0∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣1），∵（﹣2，0）到公共弦的距离为：，∴公共弦为直径的圆的半径为：1，∴公共弦为直径的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=1故选：C．10．已知函数（x∈R），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为π的奇函数B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象关于点对称【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的图象和性质判断即可．【解答】解：函数=﹣cos2（x﹣）=﹣cos（2x﹣）．最小正周期T=，f（﹣x）=﹣cos（﹣2x﹣）=﹣cos（2x+）≠﹣f（x），不是奇函数，A不对．当x=时，即f（）=﹣cos（2×﹣）=﹣，不是最值，B不对．由f（x）在≤2x﹣是单调递减，可得：．∴函数f（x）在区间上是减函数，C不对．当x=﹣时，即f（﹣）=﹣cos（﹣2×﹣）=﹣cos=0．函数f（x）的图象关于点对称．D对．故选：D．11．若实数x，y满足，则的取值X围为（）A． B．C． D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设过原点的右半个圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，求得k的值，可得的取值X围．【解答】解：由题意可得，表示右半个圆x2+y2=1上的点（x，y）与原点（0，﹣2）连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，可得r==1，平方得k2=3求得k=±，故的取值X围是[，+∞），故选：D．12．过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】J7：圆的切线方程．【分析】连接PM、AM，根据圆的性质和轴对称知识，得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线l⊥PM，且PM平分∠APB．因此计算出圆的半径和点M到直线l的距离，在Rt△PAM中利用三角函数定义算出∠APM的度数，从而得到∠APB的度数．【解答】解：连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，∵圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=，∴点M坐标为（3，2），半径r=，点M到直线l：2x﹣y=0的距离为PM==，由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM==，得∠APM=30°，∴∠APB=2∠APM=60°．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．化简=．【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的减法运算即可得出．【解答】解：原式==．故答案为．14．点P（x，y）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可．【解答】解：角﹣60°的终边为点P（x，y），可得：tan（﹣60°）=．故答案为：．15．已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则正实数a的值为．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】由题意可得圆心（0，0）到直线l：x+y=a的距离d满足d=1，根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值方程求得实数a的值．【解答】解：因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d=1，即d==1，解得a=±．（﹣舍去）．故答案为：．16．已知函数f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，直线x=m与f（x），g（x）的图象分别交M，N两点，则|MN|的最大值为 4 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】依题意可设M（m，2sinm），N（m，2cosm），|MN|=|2sinm﹣2cosm|，利用辅助角公式即可．【解答】解：直线x=m与和f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，的图象分别交于M，N两点，设M（m，2sinm ），N（m，2cosm），则|MN|=|2sinm﹣2cosm|=4|sin（m﹣）|当且仅当m=，k∈z时，等号成立，则|MN|的最大值4，故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．化简下列各式：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）（2）．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简即可；（2）把1=tan替换，根据正切的和与差公式可得答案．【解答】解：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）原式=﹣sinα+tanα•cosα=﹣sinα+=0；（2）．原式==tan（45°﹣15°）=tan30°=．18．求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）的圆的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心到直线2x+y=0上，设圆心Q为（a，﹣2a），由题意得到圆心到直线的距离等于|PQ|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心Q为（a，﹣2a），根据题意得：圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=|PQ|，即=，解得：a=1，∴圆心Q（1，﹣2），半径r=，则所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．19．已知α，β均为锐角，sinα=，cos（α+β）=，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）【考点】GR：两角和与差的正切函数；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．（2）由（1）可求tanα，tan（α+β），进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵α均为锐角，sinα=，得cosα=，又∵α+β∈（0，π），cos（α+β）=，可得：sin（α+β）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣=…6分（2）∵tanα=，tan（α+β）=，…9分∴tan（2α+β）===…12分20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，]上的最大、最小值及相应的x的值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．（2）由x的X围，可求2x﹣的X围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由图象可知，A=2，…周期T= [﹣（﹣）]=π，∴=π，ω＞0，则ω=2，…从而f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，2），得sin（+φ）=1，则+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=﹣+2kπ，k∈Z，…又|φ|＜，则φ=﹣，…∴f（x）=2sin（2x﹣）．…（2）∵x∈[0，]，则 2x﹣∈[﹣，]，…∴当2x﹣=，即x=时，f（x）max=2，…当2x﹣=﹣，即x=0时，f（x）min=﹣．…21．已知f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若y=f（x+φ）关于直线x=对称，求|φ|的最小值；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数解，某某数m的取值X 围．【考点】H5：正弦函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；（2）求出f（x+φ），由y=f（x+φ）关于直线x=对称，可得2φ+=kπ，k∈Z，得φ=，k∈Z．进一步求得|φ|的最小值；（3）画出|f（x）|在[0，]上的图象，数形结合得答案．【解答】解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1===．由，k∈Z，得，k∈Z．∴函数f（x）在R上的单调递减区间是[]，k∈Z；（2）f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+），∵x=是f（x+φ）的对称轴，∴2φ+=kπ，k∈Z，即φ=，k∈Z．∴|φ|的最小值为；（3）|f（x）|在[0，]上的图象如下：当直线y=m与函数y=|f（x）|的图象有4个不同交点时，就是方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数根，由图可知，m的取值X围是∅．22．已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，由此能求出曲线E的方程．（2）由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，由此利用圆的几何性质，能求出线CD的方程．【解答】（1）解：设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，…整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，∴曲线E的方程为（x﹣2）2+y2=3．…（2）解：由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），…设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，由，解得点，…由圆的几何性质，，…而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，…∴直线CD的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3．…。
广西2021-2022年高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
广西2021-2022年高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·重庆期末) 已知的三个内角所对的边分别为，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·桂林期中) 数列1，，，，，…的一个通项公式是（）A .B .C .D .3. （2分）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 中的对边分别是其面积，则中的大小是（）A .B .C .D .5. （2分）在等差数列中，，则前13项之和等于（）A . 13B . 26C . 52D . 1566. （2分）已知a>0，x、y满足约束条件，若的最小值为，则a= （）A .B .C . 1D . 27. （2分）公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（）A . 100B . 200C . 300D . 4008. （2分） (2018高一上·珠海期末) 设函数，对于满足的一切值都有，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·朝阳模拟) “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（）A . 5049B . 5050C . 5051D . 510110. （2分） (2016高一下·长春期中) 在△ABC中，已知c= ，b=1，B=30°，则A等于（）A . 30°B . 90°C . 30°或90°D . 60°或120°11. （2分） (2020高二上·南阳月考) 若数列是正项递减等比数列，表示其前项的积，且，则当取最大值时，的值等于（）A . 9B . 10C . 11D . 1212. （2分） (2020高一下·深圳月考) 在△ABC中，已知a＝9，b＝，C=150° , 则c等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·河南月考) 在中，角，，的对边分别为，，，若，则 ________.14. （1分） (2016高二上·黄浦期中) 数列{an}满足an+1= （n=2，3，…），a2=1，a3=3，则a7=________．15. （1分） (2020高二上·兰州期中) 中，角所对的边分别为，已知A=60°，b=2，，则 ________.16. （1分） (2018高三上·河南期中) 已知实数x，y满足则z＝x－2y的最大值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2020高二上·泉州月考) 在平面直角坐标系中，已知点坐标分别为，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点 .（1）当点坐标为时，求直线的方程；（2）求与面积之和的最小值.18. （5分）(2016·中山模拟) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=2，且4S1 ， 3S2 ， 2S3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=|2n﹣5|•an ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （10分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．20. （5分）(2019·中山模拟) 已知等比数列的前项和为，且成等差数列．（1）求的值及数列的通项公式；（2）若求数列的前项和．21. （10分）(2017·朝阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c， c﹣2bsinC=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b= ，c=1，求a和△ABC的面积．22. （10分） (2017高一下·徐州期末) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且an=2﹣2Sn ，数列{bn}为等差数列，且b5=14，b7=20．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=an•bn ，n∈N* ，求数列{cn}的前n项和Tn ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
广西南宁市2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
南宁2023-2024学年度下学期高一期中考试数学（答案在最后）（时间120分钟，共150分）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）1.已知i 是虚数单位，则i1i =-（）A.12i 2- B.1i 2-+ C.2i 2+ D.12i 2+2.已知直线a ，b 和平面α，a ⊂α，b α⊂，则“//a α”是“//a b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示，ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则BE =（）A .2136BA BC +B.1133+BA BC C.2133+BA BC D.1136BA BC +4.已知向量()2,0a =r，,2b λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若向量b 在向量a上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，则b = （）A.B.C.104D.15.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）A.4B.5C.2D.56.已知m ，n 为实数，1i -（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则m n +=（）A.0B.1C.2D.47.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为（）A.(]0,16 B.[]0,16 C.()0,4 D.[]0,48.在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）9.下列说法错误．．的是（）．A.过三个点有且只有一个平面B.已知直线,l m ，平面,αβ，l β ，m β∥，l ⊂α，m α⊂，则αβ∥C.已知直线,l m ，平面α，m l ∥，l α∥，则m α∥D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线10.复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.|z |5= B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2D.z 在复平面内的对应点位于第一象限11.把函数()sin f x x =的图像向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A.最小正周期为πB.在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32C.图像的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D.图像的一条对称轴为直线12x π=12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，E 是棱1BB 上的一点，点F 在棱1DD 上，则下列结论正确的是（）A .若1A ，C ，E ，F 四点共面，则BE DF=B.存在点E ，使得//BD 平面1A CEC.若1A ，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥11C A ECF -的体积为定值D.若E 为1BB 的中点，则三棱锥11E A CC -的外接球的表面积是32π三、填空题（每小题5分，共20分）．13.半径为2cm ，圆心角为23π的扇形面积为.14.已知向量()1,2AB =-，()2,3AC = ，(),3AD m =-u u u r ，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．15.在ABC 中，若1a =，15cos 4A =，b x =，三角形有唯一解，则整数x =______．16.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112A B =，22AB =，该棱台体积1433V =，则该棱台外接球的表面积为__________．四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知平面向量,a b 满足||2a = ，||4b = ，a 与b的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．18.已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若22sin cos sin sin BB A C=，求角A 的大小．19.如图，在正方体中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是BC 、DC 、SC 的中点.（1）求证：平面EFG ∥平面11DBB D ；（2）若正方体棱长为1，过A 、E 、1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.20.如图，现有一直径2AB ＝百米的半圆形广场，AB 所在直线上存在两点C ，D ，满足2OC OD ＝＝百米（O 为AB 的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB 上选取一点E ，各修建一条地下管道EC 和ED 通往C 、D 两点．（1）设EOB θ∠＝，试将管道总长（即线段EC ED +）表示为变量θ的函数；（2）求管道总长的最大值．21.已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos sin A c A +=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围．22.定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（1）设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM ，若存在，求出与OM共线的单位向量；若不存在，请说明理由．（2）已知点(),M a b 满足：10,2ba ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan2x 的取值范围．南宁2023-2024学年度下学期高一期中考试数学（时间120分钟，共150分）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项．）1.已知i 是虚数单位，则i1i =-（）A.12i 2- B.1i 2-+ C.2i 2+ D.12i 2+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论.【详解】()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2+-+==--+.故选：B.2.已知直线a ，b 和平面α，a ⊂α，b α⊂，则“//a α”是“//a b ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.【详解】根据线面平行的判定定理可得，若//a b ，则//a α，即必要性成立，若//a α，则//a b 不一定成立，故充分性不成立，所以“//a α”是“//a b ”的必要不充分条件.故选：B3.如图所示，ABC 中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则BE =（）A.2136BA BC +B.1133+BA BC C.2133+BA BC D.1136BA BC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可【详解】因为点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，所以BE BD DE=+1223BC DA =+12()23BC BA BD =+-121()232BC BA BC =+-2136BA BC =+,故选：A4.已知向量()2,0a =r ，3,2b λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若向量b 在向量a 上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，则b = （）A.B.C.4D.1【答案】D 【解析】【分析】利用b 在a上的投影向量的定义求解.【详解】解：由已知可得，b 在a 上的投影向量为()2,0222a ba a a aa λλλ⋅⋅===⨯，又b 在a 上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，所以12λ=.所以1b ==== ，D 正确．故选：D.5.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）A.4B.5C.2D.5【答案】B 【解析】【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为r ，由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高2h r =，则圆柱的侧面积212π24πS r r r =⨯=，圆锥的侧面积22πS r ==，则2125S S ==.故选：B .6.已知m ，n 为实数，1i -（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则m n +=（）A.0B.1C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】由1i -是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则1i +是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，结合根与系数的关系求解即可.【详解】由1i -是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则1i +是关于x 的方程20x mx n -+=的一个根，则1i 1i 2m =-++=，(1i)(1i)2n =-⨯+=，即2m =，2n =，则4m n +=，故选：D.7.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为（）A.(]0,16 B.[]0,16 C.()0,4 D.[]0,4【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.【详解】取CD 的中点E ，连接PE，如图所示，所以PE 的取值范围是2AD AE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，即2,⎡⎣，又由()()PC PD PE ED PE EC ⋅=+⋅+ 22244CD PE PE =-=-，所以[]0,16PC PD ⋅∈.故选：B.8.在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】根据正弦定理，由sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin tan tan tan tan cos cos a b A B A Ba b A B A B A B A B A BA B+=+⇒+=⇒+=+22sin sin cos cos (sin cos )(cos sin )A B A B A A B B ⇒+=+⇒-=-2222sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos A A A A B B B B ⇒+-=+-1sin 21sin 2sin 2sin 2A B A B ⇒-=-⇒=，因为,(0,π)A B ∈，所以2,2(0,2π)A B ∈，所以有22A B =，或22πA B +=，或223πA B +=，当22A B =时，有A B =，此时有ππsin cos 44A A A AB =⇒=⇒==，即π2C =，所以此时该三角形是等腰直角三角形；当22πA B +=时，即π2A B +=，所以此时三角形是直角三角形；当223πA B +=时，即3π2A B +=，不符合三角形内角和定理，舍去，综上所述：ABC 的形状一定是直角三角形，故选：B二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）9.下列说法错误．．的是（）．A.过三个点有且只有一个平面B.已知直线,l m ，平面,αβ，l β ，m β∥，l ⊂α，m α⊂，则αβ∥C.已知直线,l m ，平面α，m l ∥，l α∥，则m α∥D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】ABC 【解析】【分析】由立体几何公理判断AD ，由面面平行的判定及线面关系判断CD ．【详解】对于A ，过不共线的三个点有且只有一个平面，故A 错误；对于B ，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故B 错误；对于C ，若m l ∥，l α∥，则m α∥或m α⊂，故C 错误；对于D ，由平面相交公理，可知D 正确；故选：ABC ．10.复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.|z |=B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.11.把函数()sin f x x =的图像向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A.最小正周期为πB.在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32C.图像的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭D.图像的一条对称轴为直线12x π=【答案】AD 【解析】【分析】根据伸缩平移变换可得函数()g x 的解析式，进而判断各选项中图像性质.【详解】()sin f x x =的图像向左平移3π个单位长度得函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，得22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则当232x ππ+=，即12x π=时，()g x 取最大值为1，B 选项错误；令23x k ππ+=，Z k ∈，得+62k x ππ=-，Z k ∈，所以函数()g x 的对称中心为+,062k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不成立，C 选项错误；令232x k πππ+=+，Z k ∈，解得122k x ππ=+，Z k ∈，所以函数()g x 的对称轴为122k x ππ=+，Z k ∈，当0k =时，12x π=，D 选项正确；故选：AD.12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，E 是棱1BB 上的一点，点F 在棱1DD 上，则下列结论正确的是（）A.若1A ，C ，E ，F 四点共面，则BE DF =B.存在点E ，使得//BD 平面1A CEC.若1A ，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥11C A ECF -的体积为定值D.若E 为1BB 的中点，则三棱锥11E A CC -的外接球的表面积是32π【答案】BCD 【解析】【分析】利用假设法即可判断A ，利用线面平行的判定即可判断B ，利用棱锥体积公式即可判断C ，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D.【详解】对A ，由1,,,A C E F 四点共面，得1//CF A E ，则1DF B E =，若E 不是棱1BB 的中点，则BE DF ≠，故A 错误.对B ，当E 是棱1BB 的中点时，取1AC 的中点G ，连接1,GE B D ，则G 为1B D 的中点.因为E 为1BB 的中点，则//GE BD .因为GE Ì平面1,A CE BD ⊄平面1A CE ，所以//BD 平面1A CE ，则B 正确.根据长方体性质知11//BB CC ，且1CC ⊂平面11A CC ，1BB ⊄平面11A CC ，所以1//BB 平面11A CC ，同理可得1//DD 平面11A CC ，则点E ，F 到平面11A CC 的距离为定值，又因为11A CC △的面积为定值，所以三棱锥11E A CC -和三棱锥11F A CC -的体积都为定值，则四棱锥11C A ECF -的体积为定值，故C 正确.取棱1CC 的中点1O ，由题中数据可得1122,4CE C E CC ===，则22211CE C E CC +=，所以1CC E 为等腰直角三角形，所以1O 是1CC E 外接圆的圆心，1CC E 外接圆的半径2r =.设三棱锥E -11A CC 的外按球的球心为O ，半径为R ，设1OO d =，则()22222211118(2)R d r O B A B d d =+=+-=+-，即2248(2)d d +=+-，解得2d =，则28R =，此时O 点位于1DD 中点，从而三棱锥11E A CC -的外接球的表面积是24π32πR =，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）．13.半径为2cm ，圆心角为23π的扇形面积为.【答案】243cm π【解析】【分析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可.【详解】因为半径为2cm ,圆心角为23π的扇形,弧长为43π,所以扇形面积为:221442233cm cm ππ⨯⨯=故答案为243cm π.【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题.14.已知向量()1,2AB =-，()2,3AC = ，(),3AD m =-u u u r ，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．【答案】16-【解析】【分析】根据题意求,BC BD，结合向量共线的坐标运算求解.【详解】由题意可得：()()3,1,1,5BC AB AC BD AD AB m =-==-=+-，若B ，C ，D 三点共线，可知//BC BD，则115m +=-，解得16m =-.故答案为：16-.15.在ABC 中，若1a =，cos 4A =，b x =，三角形有唯一解，则整数x =______．【答案】1或4【解析】【分析】关键知道三角形有唯一解的充要条件是a h =或a b ≥，然后根据这个条件即可解得整数b 的值.【详解】如图：已知h 是AB 边上的高，由三角形有唯一解的等价条件是a h =或a b ≥，由1cos sin 4A A =⇒=，因为b x =，所以sin 4x h b A ==，又因为1a =，根据唯一解的条件可知：14x=或1x ≥，解得4x =或1x ≤，又因为x 为整数，b x =,所以b 的值为1或4．故答案为：1或4．16.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B =，AB =，该棱台体积3V =，则该棱台外接球的表面积为__________．【答案】16π【解析】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.【详解】连接11,B D BD ，取11,B D BD 的中点,E F ，连接1,,C E CF EF ，则外接球球心在直线EF 上，设球心为O ，如图所示，则1OC OC R ==，则EF ⊥平面ABCD ，因为正四棱台1111ABCD A B C D -中，112A B =，22AB =，故114,2BD B D ==，所以11,2C E CF ==，设四棱台的高为h ，故(2211432222833h ⎡++⨯=⎢⎣，解得3h =故3E F 设OF m =，则22224OC OF CF m =+=+，)222221113OC C E OE m=+=+，故)222413m m +=+，解得0m =，故半径042R =+=，故该棱台外接球的表面积为24π16πR =.故答案为：16π【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知平面向量,a b 满足||2a = ，||4b = ，a 与b的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．【答案】（1）（2）3132k -=【解析】【分析】（1）由a b -=（2）由题得()()0a kb ka b +⋅-= 列出方程，求解即可．【小问1详解】因为=2,4,a b a = 与b 的夹角为2π3，所以2π1cos 24432a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以a b -==．【小问2详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()2221a kb ka b ka k a b kb+⋅-=+-⋅- ()2441160k k k =---=，化为2310k k +-=，解得32k -±=．18.已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．（1）证明：2222a b c +=；（2）若22sin cos sin sin BB A C=，求角A 的大小．【答案】（1）证明见解析（2）90 【解析】【分析】（1）借助正弦定理与余弦定理化简即可得；（2）借助正弦定理与余弦定理化简后可得2225a c b +=，结合（1）中所得可得,,a b c 间的关系，再借助余弦定理即可得解.【小问1详解】由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=，由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab++--⋅=，化简得2222a b c +=；【小问2详解】由22sin cos sin sin B B A C =得222222a c b b ac ac+-=，化简得2225a c b +=，又2222a b c +=，故c =，所以a =，故222222cos 02b c a A bc +-==．所以角A 为90 .19.如图，在正方体中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是BC 、DC 、SC 的中点.（1）求证：平面EFG ∥平面11DBB D ；（2）若正方体棱长为1，过A 、E 、1C 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，截面面积62【解析】【分析】（1）根据中位线得到线线平行，根据线面平行的判定定理得线面平行，再根据面面平行的判定定理可得面面平行.（2）取11A D 的中点H ，连11,,,C H AH AE C E ，可证四边形1AEC H 为平行四边形，从而可得11,,,C H AH AE C E 就是交线，求出AE 和AE 上的高，可得截面面积.【小问1详解】连SB ，如图：因为E 、F 分别是BC 、DC 的中点，所以EF BD ∥，因为EF ⊄平面11DBB D ，BD ⊂平面11DBB D ，所以//EF 平面11DBB D ；因为E 、G 分别是BC 、SC 的中点，所以//EG SB ，因为EG ⊄平面11DBB D ，SB ⊂平面11DBB D ，所以//EG 平面11DBB D ；因为EF EG E = ，且EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面11DBB D .【小问2详解】取11A D 的中点H ，连11,,,C H AH AE C E ，因为1AC 与HE 交于正方体的中心，且互相平分，所以四边形1AEC H 为平行四边形，则11,,,C H AH AE C E就是截面与正方体的交线，过C 作AE 的延长线的垂线CM ，垂足为M ，连1C M ，因为1C C ⊥平面AB CD ，EM ⊂面ABCD ，所以1C C EM ⊥，因为1CC CM C = 且都在面1C CM 内，所以EM ⊥平面1C CM ，又1C M ⊂面1C CM ，所以1EM C M ⊥，所以11sin sin 225AB CM CE CEM CE AEB AE =⋅∠=⋅∠=⨯==，所以1305C M ==，所以截面面积为152AE C M ⨯==.20.如图，现有一直径2AB ＝百米的半圆形广场，AB 所在直线上存在两点C ，D ，满足2OC OD ＝＝百米（O 为AB 的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB 上选取一点E ，各修建一条地下管道EC 和ED 通往C 、D两点．（1）设EOB θ∠＝，试将管道总长（即线段EC ED +）表示为变量θ的函数；（2）求管道总长的最大值．【答案】（1）()f θ=[]0,πθ∈，（2）【解析】【分析】（1）在DOE 和COE 中，根据余弦定理即可求得；（2）结合（1），对函数平方处理，可得()210f θ⎡⎤=+⎣⎦.【小问1详解】在DOE 中，由余弦定理得：2222cos EOD 4122cos 54cos ED OD OE OD OE θθ=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=-，在COE 中，由余弦定理得：()2222cos EOC 4122cos π54cos EC OC OE OC OE θθ=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯-=+，所以()EC ED f θ+=，[]0,πθ∈，∴将管道总长（即线段EC +ED ）表示为变量θ的函数为：()f θ=[]0,πθ∈，【小问2详解】由（1）可得：()2210f θ⎡⎤==+⎣⎦10=+，因为，[]0,πθ∈，所以20cos 1θ≤≤，()2101020f θ⎡⎤=++⎣⎦（百米）当且仅当2cos 0θ=，即π2θ=时取等号，因为()0f θ=，∴()f θ≤=．∴管道总长的最大值为21.已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos sin A c A +=．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3C =（2）3,33⎛- ⎝⎦【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案；（2）法1：根据锐角三角形内角的性质，可得角的取值范围，利用正弦定理，用角表示边，将三角形的面积整理为三角函数，可得答案；法2：利用内切圆的性质得到内切圆半径r 关于角A 的表达式，利用三角恒等变换，结合锐角三角形内角的性质得到解A 的范围，从而得解.【小问1详解】cos sin A c A +=，cos sin sin )C A C A B A C +==+，cos sin sin cos cos C A C A A C C A +=+，sin sin cos C A A C =，又0πA <<，得sin 0A >，所以sin C C =，即sin tan cos C C C ==由0πC <<，解得π3C =.【小问2详解】法1：由题意可知2π3ADB ∠=，设DAB α∠=，π3ABD α∴∠=-，π022α<< ，又πππ20,32B α⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭ ，ππ,124α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB AD ADB ABD =∠∠．即：22ππsin sin 33AD α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π3AD α⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，11πsin 2sin 223ABD S AB AD ααα⎛⎫∴=⋅⋅=⨯- ⎪⎝⎭21cos 22sin cos sin 2sin 2cos 2233ααααααα-=-=-=+-1πsin 2cos 2sin 23223363ααα⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π3sin 2,36333α⎛⎛⎫∴+-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以三角形面积的取值范围为3,33⎛ ⎝⎦．法2：设ABC 内切圆半径为r ，由题知，D 为ABC 内切圆的圆心，由面积公式，得11sin ()22ABC S AC BC C AC BC AB r ∴=⋅⋅=⨯++⨯，所以2AB BC r AC BC AB ⋅⋅=++①，在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin sin AB AC BC C B A ==．即：2π2πsin sin sin 33AC BC A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以2πsin()33AC A -=，sin 3BC A =，代入①式，结合积化和差，和差化积公式，得2π2π2π32sin sin()[cos cos(2)]3332cos()32332A A A AB BC r AC BC AB ⋅----⋅⋅==++22π1π1cos(2)cos ()π13234)]32A A A -+--==--，由ABC 为锐角三角形，得π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62A <<，所以11π1π12cos cos 223232ABD S AB r A A ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦ 23π3cos 333A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π3cos ,33333A ⎛⎛⎫∴--∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以三角形面积的取值范围为3,33⎛ ⎝⎦.22.定义非零向量(),OM a b = 的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b = 称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．（1）设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM ，若存在，求出与OM共线的单位向量；若不存在，请说明理由．（2）已知点(),M a b 满足：10,2b a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan2x 的取值范围．【答案】（1）存在，13,22⎛-- ⎝⎭或13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（2）[4,0)3-【解析】【分析】（1）利用和差角公式化简函数()h x ，结合所给定义得到“相伴向量”)OM =，再求出与其共线的单位向量；（2）依题意可得()sin cos f x a x b x =+，再由辅助角公式化简，从而得到01tan tan x ϕ=，再根据b a的范围求出tan ϕ的范围，最后根据二倍角公式及函数的性质计算可得.【小问1详解】存在，1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为()ππ3cos 63h x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin3cos cos sin sin6633x x x x⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭ππππcos sin3cos cos3sin sin6633x x x x=-++33cos sin sin cos3cos2222x x x x x x=-++=+，所以函数()h x存在“相伴向量”)OM=，所以与OM共线的单位向量为)1,22OMOM⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或)1,22OMOM⎛⎫-==--⎪⎪⎝⎭.【小问2详解】(),OM a b=的“相伴函数”()()sin cosf x a x b x xϕ=+=+（其中tanbaϕ=），因为()f x在x x=处取得最大值，所以当0π2π,Z2x k kϕ+=+∈，即π2π,Z2x k k-ϕ=+∈时()f x，所以0πsin sin2πcos2x k-ϕϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，0πcos cos2πsin2x k-ϕϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以0cos1tansin tanxϕϕϕ==，因为1tan0,2baϕ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，[)12,tanϕ∈+∞，所以[)cos1tansin tan2,xϕϕϕ∈==+∞，所以022tan2tan211tan tantanxxx xx==--，令0tant x=，[)2,t∈+∞，则011tantanx tx t-=-，因为1,y y tt==-均为[)2,+∞上的单调递减函数，所以1y t t =-在[)2,+∞上单调递减，所以00113tan ,tan 2x t x t ⎛⎤-=-∈-∞- ⎥⎝⎦，所以0020002tan 24tan 2,011tan 3tan tan x x x x x ⎡⎫==∈-⎪⎢-⎣⎭-，所以0tan 2x 的取值范围为4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。
2019-2020学年广西南宁三中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年广西南宁三中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合m，，且，则实数m为A. 2B. 3C. 0或3D. 0，2，3均可2.文科函数的大致图象是A. B. C. D.3.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.4.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则A. B. C. D.5.数列是等差数列，，，则A. 12B. 24C. 36D. 726.若向量，满足，，，则向量，的夹角为A. B. C. D.7.函数的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象A. 向右平移个长度单位B. 向左平移个长度单位C. 向右平移个长度单位D. 向左平移个长度单位8.已知的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰中，，，点P是边BC上的动点，则A. 为定值10B. 为定值6C. 最大值为18D. 与P的位置有关10.函数的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 711.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A、B两岛屿的距离为海里．A. B. C. D.12.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于A. 8B. 6C. 4D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的最大值为______．14.在数列中，，，则______．15.已知为锐角，，则______．16.给出以下四个命题：若，则；已知直线与函数的图象分别交于点M，N，则的最大值为；若数列为单调递增数列，则取值范围是；已知数列的通项，其前n项和为，则使的n的最小值为12．其中正确命题的序号为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系中，已知，．Ⅰ若，求实数k的值；Ⅱ若，求实数t的值．18.在四边形ABCD中，，，，．Ⅰ求；Ⅱ若，求BC．19.已知数列是等差数列，，公差，且，，是等比数列；Ⅰ求；Ⅱ求数列的前n项和．20.已知函数．Ⅰ当时，求函数的值域；Ⅱ将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求函数的表达式及对称轴方程．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B.Ⅰ求角C；Ⅱ若，且的面积是，求的周长．22.设正项数列的前n项和为，且满足：，，．求数列的通项公式；Ⅱ若正项等比数列满足，，且，数列的前n项和为，若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证，属于基础题．根据元素，得到或，解方程即可．【解答】解：m，，且，或，解得或或．当时，集合0，不成立．当时，集合0，不成立．当时，集合3，成立．故．故选：B．2.答案：B解析：解：首先函数的定义域为，解得，或，再根据对数函数的性质，当时，，当时，，并且在上单调递增，因为函数为偶函数，可知在上单调递减，综合以上可判断B符合，ACD不符合．故选：B．根据对数函数的性质和对数函数的定义域，以及函数函数为偶函数，得到结论本题考查对数函数的图象，要求学生能熟练运用对数函数的有关性质．3.答案：D解析：解：，，，，故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，函数满足，则有，又由为定义在R上的奇函数，则；故选：C．根据题意，由可得，结合函数的奇偶性可得，由函数的解析式分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的周期性，属于基础题．5.答案：C解析：解：等差数列中，，，所以．故选：C．根据等差数列的性质与前n项和公式，计算即可．本题考查了等差数列的性质与前n项和公式计算问题，是基础题．6.答案：C解析：解：向量，满足，，，，；即，设向量，的夹角为，则，，向量与夹角为：，故选：C．由，，，利用平面向量数量积的运算公式可求得向量与夹角余弦值，进而求得夹角．本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握公式是解决问题的关键，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据函数的图象，可得，，，故．再根据五点法作图可得，求得，故将的图象向左平移个单位，可得的图象，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式；再利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值；函数的图象变换规律，属于基础题．8.答案：A解析：解：，由正弦定理可得，，可得．又，．故的形状是等腰三角形，故选：A．由题中条件并利用正弦定理可得，转化为；再根据的范围，可得，从而得出选项．本题主要考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到，是解题的关键，属于基础题．9.答案：A解析：解：由题意可设，又因为在等腰中，，，，，代入式化简得：．故选：A．先利用向量共线的条件把向量用表示出来，然后代入结论化简即可．本题考查平面向量的性质及其应用，利用基底思想和三点共线的推论切入是解决本题的关键．属于中档题．10.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得，令，可得函数，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数，令，可得函数，函数在上单调递增，即当，，时，函数取得最大值5．故选B．11.答案：A解析：解：由已知，，，则在中由正弦定理：，则，又，，，又，在中由余弦定理得，，故选：A．利用已知条件，首先在三角形ADC中求出AC的长，结合直角三角形BCD有一角是得，最后在中由余弦定理可求AB长．本题考查三角形的实际应用，考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．12.答案：A解析：【分析】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，属于中档题．函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数，与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，如图：当时，，而函数在上出现个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点A、B、C、D且：，故所求的横坐标之和为8．故选：A．13.答案：2解析：解：由已知，当即，时，函数取的最大值为2．故答案为：2．先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可直接求解．本题主要考查了正弦函数最值的取得条件的应用，属于基础试题．14.答案：解析：解：在数列中，，，可得：，，，，累加可得：，．故答案为：．利用累加法，结合等比数列求和公式求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为为锐角，所以，，，则．故答案为：由已知结合同角平方关系可求，然后由，结合和角余弦公式展开可求．本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．16.答案：解析：解：若，则、两角的同时在x轴正半轴或者在负半轴上，故，此命题正确；已知直线与函数的图象分别交于点M，N，则的最大值为，由于，此命题正确；若数列为单调递增数列，则取值范围是，由二次函数的性质及数列的特征得，即，故此命题不对；已知数列的通项，其前n项和为，则使的n的最小值为12，数列前十一项的值分别为，，故，使的n的最小值为11，此命题错误．故答案为若，可知，、两角的同时在x轴正半轴或者在负半轴上，有此则可得；已知直线与函数的图象分别交于点M，N，则的最大值为，的最大值即为的最大值，验证即可；若数列为单调递增数列，则取值范围是，由二次函数的性质及数列的离散性特征转化出参数所满足的不等式即可；已知数列的通项，其前n项和为，则使的n的最小值为12，研究数列的前11项的值即可得出结论．本题考查数列与函数的关系，数列的最值，三角函数的最值等，涉及到的知识点较多，判断较繁．17.答案：解：Ⅰ，，，解得；Ⅱ，，，解得．解析：Ⅰ可以求出，根据即可得出，解出k即可；Ⅱ可以求出，根据即可得出，进行向量坐标的数量积的运算即可求出t的值．本题考查了向量坐标的加法、减法、数量积和数乘运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．Ⅱ由题设及知，．在中，由余弦定理得．所以．解析：Ⅰ由正弦定理可得的正弦值，再由角的范围求出其余弦值；Ⅱ由余弦定理可得BC的值．本题考查正弦定理余弦定理的应用，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由，，是等比数列，可得，即计算得：或舍去，所以；Ⅱ数列的前n项和为，当时，，即有；当时，，，即有，．解析：Ⅰ运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，即可得到所求通项公式；Ⅱ求得数列的前n项和为，讨论当时，；当时，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力，属于基础题．20.答案：解：Ⅰ，故，，Ⅱ将函数的图象向右平移个单位后，可得函数的图象；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象．令，，求得，故函数的图象的对称轴方程为，．解析：Ⅰ由条件利用三角函数的恒等变换求得函数的解析式，再根据，利用正弦函数的定义域和值域，求得的值域．Ⅱ根据函数的图象变换规律，求得的解析式，从而求得它的对称轴方程．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．21.答案：解：由，及正弦定理可得．由余弦定理可得，，所以，，故，因为，，所以，所以，，所以的周长为．解析：由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos C，进而可求C；由已知结合三角形的面积公式可求ab，然后结合余弦定理可求，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．22.答案：解：Ⅰ因为，所以，两式相减得：，即，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，，可得，所以当时上式成立，即数列是首项为1、公差为2的等差数列，所以．Ⅱ由Ⅰ可知，，所以；．得：，，，恒成立，等价于恒成立，所以恒成立，设，则，所以当时，当时，所以所以当的最大值为，故，即实数m的取值范围是：．解析：Ⅰ写出，得到，推出数列是首项为1、公差为2的等差数列，然后求解通项公式．Ⅱ求出；利用错位相减法求解数列的和，通过恒成立，等价于恒成立，得到恒成立，设，利用函数的单调性转化求解实数m的取值范围．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，数列与不等式相结合，还考查分析问题解决问题的能力，是难题．。
广西桂林中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷
广西桂林中学2021-2022学年下学期高一期中卷数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．ln ln a b > D ．21a b ->2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7a =2b =，1c =， 则B C +=（ ） A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°3．在ABC 中，若25a =，30b =，42A =︒，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5624a a a +=+，则17S =（ ） A ．4B ．68C ．136D ．2725．已知关于x 的不等式220x mx n -+<的解集是()2,3，则m n +的值是（ ） A ．2-B ．2C ．22D ．22-6．在ABC 中，若1AB =，5AC =，45B =︒，则AB AC ⋅=（ ）A ．522B ．522-C ．3-D ．37．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，101S =，3013S =，40S =（ ） A ．51-B ．20-C ．27D ．408．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ） A ．20B ．17C ．19D ．219．已知[1,1]a ∈-，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(3,)∞-∞+ B ．(,1)(2,)∞-∞+ C ．(,1)(3,)∞-∞+D ．(1,3)10．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax ->的解集中的整数解恰有3个， 则（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．13a <<D ．35a <<11．已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（ ） A ．(,2](1,6)-∞-- B ．(,2](6,)-∞-+∞ C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（ ） A ．3974B ．3976C ．3978D ．3980第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．不大于100的正整数中，被3除余1的所有数的和是_________． 14．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为__________．15．已知函数2()1f x x ax =--，当[]0,3x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________．16．已知数列{}n a 满足11a =，()121221n n a na a a n n +++⋅⋅⋅+=+，令()21sin 2n n n b a π-=⋅， 则数列{}n b 的前100项和为_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）当102x <<时，求(12)y x x =-的最大值； （2）当1x >时，求函数(1)1x x y x +=-的最小值．18．（12分）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2B C =，35b c =． （1）求cos C ；（2）若3c =，求ABC 的面积．19．（12分）已知函数()22f x x ax -=+．（1）若()4f x ≤-的解集为[2，b ]，求实数a ，b 的值；（2）当1,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，若关于x 的不等式()21f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知函数()2f x x x =-，当,1[]x n n ∈+（n ∈N +）时，记函数()f x 的值域中，整数的个数为n a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S λ<恒成立，求整数λ的最小值．21．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足a 1＝b 2＝2，S 5＝30，b 4+2是b 3与b 5的等差中项． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．（12分）已知定义R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()21f x x x =++． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式：()()()2220f ax x f ax a -+->∈R ．答 案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】A ．当1,1a b ==-时，11a b>，故错误； B ．当1,1a b ==-时，22a b =，故错误；C ．当1,1a b ==-时，ln ln a b >，不成立，故错误；D ．由a b >，则0a b ->，则21a b ->，故正确， 故选D ． 2．【答案】C【解析】因为7a =2b =，1c =，所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯， 由0180A ︒︒<<，则120A =︒，18060B C A ∴+=︒-=︒，故选C ． 3．【答案】B【解析】由正弦定理可得sin sin a b AB=，sin 6sin sin sin 5b A B B A a ∴=⇒=， sin30sin sin 45A <︒<︒，12sin 22A <<，3632sin 555A <<， 332sin 155B ∴<<<， b a >，得B A >，B 可能为锐角，也可能为钝角，∴B 有两个值，故选B ．4．【答案】B【解析】由等差数列的性质可得562294a a a a a +=+=+，则94a =， 因此()1171791717682a a S a +===，故选B ． 5．【答案】C【解析】由题意得：2与3是方程220x mx n -+=的两个根，故232m +=，232n⨯=， 所以101222m n +=+=，故选C ． 6．【答案】C【解析】由题，根据正弦定理sin sin AB ACC B =1sin 2C=，求得2sin 10C =， 又因为sin sin C B <，所以角C 为锐角，故2cos 10C =， 因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+222232102105=-+=-， 所以3cos 1535AB AC AB AC A ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】D【解析】由{}n a 是等比数列，且1010S =>，30130S =>，得200S >，400S >，且20113S <<，4013S >，所以10S ，2010S S -，3020S S -，4030S S -成等比数列， 即1，201S -，2013S -，4013S -构成等比数列，∴()()220201=113S S -⨯-，解得204S =或203S =-（舍去），∴()()()220204013113S S S -=--，即()2409313S =⨯-，解得4040S =，故选D ． 8．【答案】C【解析】∵数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<， 设公差为d ，则有14380a d +<，即12190a d +<， 故有()()1110119100a d a d a a +++=+<，且19.5a d <-． 再由前n 项和n S 有最大值，可得数列为递减数列，公差0d <．结合10110a a ⋅<，可得10190a a d =+>，111100a a d =+<，故1910d a d -<<-． 综上可得199.5d a d -<<-． 令0n S >，且+10n S ≤，可得1(1)02n n na d -+>，且()()11102n n n a d +++≤． 化简可得1102n a d -+>，且102na d +≤，即121a n d <-+，且12a n d≥-． 再由199.5d a d -<<-，可得121819a d<-<，∴19≤n ≤19，∴19n =， 故选C ． 9．【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得1x <或3x >，x ∴的取值范围为()(),13,-∞+∞，故选C ．10．【答案】C【解析】关于x 的不等式()()22x b ax ->，即()222120a x bx b -+-<， ∵01b a <<+，()()110a x b a x b +-⋅-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个，∴1a >，∴不等式的解集为,11bb a a -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭， 又011ba <<+，∴解集中的整数为2-，1-，0， ∴321b a -≤-<--，即231b a <≤-， ∴2233a b a -<≤-，∵1b a <+，∴221a a -<+，解得3a <， 综上，13a <<，故选C ． 11．【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<， 因此，不等式2056ax b x x +≥--化为22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--， 于是有220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x ≤-，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<， 所以所求不等式的解集为(,2](1,6)-∞--，故选A ． 12．【答案】D【解析】由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数， 前n 次共取了()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=个数，且第n 次的最后一个数为2n ， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为2633969=，∴64n =时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，．．．， ∴第2022个数为3980，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1717【解析】100以内的正整数中，被3除余1由小到大构成等差数列，其首项为1，公差为3，共有34项， 它们的和为3433134317172⨯⨯+⨯=， 故答案为1717．14．【答案】2332【解析】由234x y xy +=，得243x y x =-，则有22043x xy x =>-，有34x >， 同理可得12y >， 由234x y xy +=两边除以xy 得324x y+=，于是得323434)())231112(2)(8(82444y x y xx y x y x x x y yy ++≥⋅+=++==+，当且仅当34y x x y=时取“=”， 由34324y xx y x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得3313x y ++==， 所以当331342x y ++==时，2x y +取得最小值23， 故答案为23． 15．【答案】[1,4]【解析】2|()|5515f x x ax ≤⇔-≤--≤， ①当0x =时，a ∈R ；②当0x ≠时，264|()|5515f x x ax x a x x x≤⇔-≤--≤⇔-≤≤+， min 44242x x ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，max 6321x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，14a ∴≤≤，综上所述14a ≤≤，故答案为[]1,4． 16．【答案】5050- 【解析】因为()121221n n a na a a n n +++⋅⋅⋅+=+， 所以当1n =时，2114a a ==，故24a =．当2n ≥时，121(1)212n n a n a a a n n --++⋅⋅⋅+=-，所以()()11212n n n n a a na n n n+-=-+， 整理得()1221n na a nn +=+． 又2212121a a ==，2n a n =，所以()()1221sin122n n n n b n π+-=⋅=-⋅， 所以()22222212100123499100121005050b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+=-， 故答案为5050-．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）18；（2）223．【解析】（1）因102x <<，有021x <<，则2112(12)12(12)[]2228x x y x x +-=⋅-≤⋅=，当且仅当212x x =-，即14x =时取“=”， 所以，当14x =时，(12)y x x =-取最大值18． （2）当1x >时，10x ->， 则[(1)1][(1)2]22(1)3(1)323111x x y x x x x x -+-+==-++≥-⋅=---，当且仅当211x x -=-，即21x =时取“=”， 所以当21x =时，函数(1)1x x y x +=-取最小值223． 18．【答案】（1）56；（2）119．【解析】（1）35b c =，∴由正弦定理可得3sin 5sin B C =，2B C =，sin sin 2B C ∴=，3sin 25sin C C ∴=，即6sin cos 5sin C C C =，()0,C π∈，sin 0C ∴≠，5cos 6C ∴=．（2）3c =，35b c =，5b ∴=，()0,C π∈，211sin 1cos 6C C ∴=-= 511sin sin 22sin cos 18B C C C ∴===，2257cos cos 22cos 111818B C C ==-=-=， ()5115711811sin sin sin cos cos sin 18618627A B C B C B C ∴=+=+=+⨯=， 118112011sin 5322279ABCSbc A ∴==⨯⨯⨯=． 19．【答案】（1）5,3a b ==；（2）(,22-∞．【解析】（1）若()4f x ≤-的解集为[2，b ]，则260x ax -+≤的解集为[2，b ]，所以226b ab +=⎧⎨=⎩，解得5,3a b ==．（2）由()21f x x ≥-得2210x ax -+≥对1,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即12a x x ≤+在区间1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，所以min 112,,4a x x x ⎛⎫⎡⎫≤+∈+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，又112222x x x x +≥⋅=21,24x ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭时，取等号， 所以min 1222x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22a ≤故实数a 的取值范围为(,22-∞． 20．【答案】（1）21n a n =+；（2）5． 【解析】（1）函数()2f x x x =-的对称轴为12x =， 可得f （x ）在[],1n n +（n ∈N +）上递增，可得()f x 的值域为22,[]n n n n -+， 所以21n a n =+． （2）()12122n n a n n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭， 则()()23111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111113572121222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，上面两式相减可得()2311111113221222222nn n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11111342221121212n n n +-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅-+⎛⎫⎪⎝⎭⋅-，化简可得()25251n S n n =-+⋅⎛⎫⎪⎝⎭，由()12520n n ⎛⎫+⋅ ⎪⎝>⎭，可得5n S <，若n S λ<恒成立，则λ≥5， 所以整数λ的最小值为5．21．【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）321,3324,3n n nn n T n n ⎧+-⎪⎪=⎨---⎪⎪⎩为偶数为奇数． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为a 1＝2，所以55410302S d ⨯=+=，解得d ＝2， 所以()2212n a n n =+-=； 由题意知()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =， 所以12n n b -=．（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅， 当n 为偶数时，()()()()1231122 24682122222212n n n n T n ----⨯-=-+-+-++-+-+-+=⨯+--2132133n n n n -+-=+=；当n 为奇数时，()()2312468212222n n T n -=-+-+--+-+-+--，即()()()1122 12132 4221221233n n n n n n T n n n ----⨯-------=⨯-+=--+=--， 综上所述，321,3324,3n n nn n T n n ⎧+-⎪⎪=⎨---⎪⎪⎩为偶数为奇数． 22．【答案】（1）()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩；（2）见解析．【解析】（1）()f x 为定义R 上的奇函数()00f ⇒=，当0x <时，()()()()2211f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-+=-+-⎣⎦()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪⇒==⎨⎪-+-<⎩．（2）()()()()()22220222f ax x f ax f ax x f ax f ax -+->⇒->--=-， 当0x >时，()f x 单调递增且()1f x >，()()00f f x =⇒在[)0,∞+上单调递增， 又()f x 为奇函数()f x ⇒在R 上单调递增222ax x ax ⇒->-，()()()2220210ax a x ax x -++>⇒-->， ①当2a >时，()2,1,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；②当2a =时，()(),11,x ∈-∞+∞；③当02a <<时，()2,1,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；④当0a =时，(),1x ∈-∞；⑤当0a <时，2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，综上：当2a >时，解集为()2,1,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a =时，解集为()(),11,x ∈-∞+∞；当02a <<时，解集为()2,1,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；当0a =时，解集为(),1x ∈-∞；当0a <时，解集为2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．。
2021-2022学年广西玉林市直五所普通高中高一下学期期中考试数学试题(解析版)
广西玉林市直五所普通高中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量(,1)a x =，(1,2)b =，且//a b ，则x 的值是( ) A ．12B ．0C ．1D ．2〖解 析〗//a b ，210x ∴-=，解得12x =． 〖答 案〗A2．已知复数342iz i-=-，则z 的虚部是( ) A ．i - B ．1- C ．i D ．1〖解 析〗(34)(2)1052(2)(2)5i i iz i i i -+-===--+，z ∴的虚部是1-．〖答 案〗B3．如图所示的是用斜二测画法画出的AOB ∆的直观图（图中虚线分别与x '轴，y '轴平行），则原图形AOB ∆的面积是( )A ．8B ．16C ．32D ．64〖解 析〗根据题意，原图形AOB ∆的底边AB 的长为4，高为16， 其面积1416322S =⨯⨯=．〖答 案〗C4．已知A ，B 为球O 的球面上两点，过弦AB 的平面截球O 所得截面面积的最小值为9π，且OAB ∆为等边三角形，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．54πC ．108πD ．144π〖解 析〗过弦AB 的平面截球O 所得截面面积的最小值为9π， 则以AB 为直径的截面面积为最小值，则29()62AB AB ππ=⇒=， OAB ∆为等边三角形，∴球O 的半径为6r =，则球O 的表面积为24144r ππ=． 〖答 案〗D5．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为( )A ．14πB C ．143πD ．〖解 析〗依题意知，圆台上底面半径为1r =，下底面半径为2R =，如图所示，圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD ，其小扇形弧长2AD π= ，大扇形弧长4BC π=，由2BC AD=，可知OA AB l ==，则圆台的侧面积11||||622S BC OB AD OA π=-=⇒母线长2l =，所以高h =所以圆台的体积221()3V h r rR R π=++．〖答 案〗B6．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．B ．30kmC ．15kmD ．〖解 析〗设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，航行45km 后处C 处，如图所示 60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =603030ABC ∴∠=︒-︒=︒，18060120BAC ∠=︒-︒=︒． ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1)sin 2BC ABC AC km BAC ∠===∠．即船与灯塔的距离是)km ．〖答 案〗A7．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断正确的是( )A ．60B =︒，4c =，5b =，有两解 B ．60B =︒，4c =， 3.9b =，有一解C ．60B =︒，4c =，3b =，有一解D ．60B =︒，4c =，2b =，无解〖解 析〗已知60B =︒，4c =，如图，作AD BD ⊥于D．易知sin 60AD c =⨯︒=①当b =4b 时，有一解；②当b <③当4b <时，两解．结合四个选项，可知A ，B ，C 三项错误，D 正确． 〖答 案〗D8．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若14AD BE =-，则λ的值为( ) A ．12B ．2C ．13D ．3〖解 析〗由题意画出图象如图：2BC BD =，D ∴为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，CA CE λ=，∴11CE CA ACλλ==-，则1(1)BE AE AB CE CA AB AC AB λ=-=--=--，1·4AD BE =-，∴111()?[(1)]24AB AC AC AB λ+--=-， 22111(1)?(1)?2AB AC AB AC AC AB λλ--+--=-22111()?(1)2AB AC AB AC λλ--+-=-，1111()111(1)22λλ-⨯⨯⨯-+-=-， 解得3λ=． 〖答 案〗D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，若1iz i =+，则( ) A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是i -C ．1z i =+D ．||2z =〖解 析〗1iz i =+，∴21(1)1i i iz i i i++===-， z ∴的实部是1，虚部为1-，故A 正确，B 错误，∴1z i =+，故C 正确，||z ，故D 错误．〖答 案〗AC10．下面关于空间几何体叙述正确的是( ) A ．正四棱柱是长方体B ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C ．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥〖解 析〗因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱是长方体，故选项A 正确； 因为底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥，故选项B 错误；由棱台的定义，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台，故选项C 错误；直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，故选项D 正确． 〖答 案〗AD11．已知向量(4,2)a =-，(2,)b t =，则下列说法正确的是( ) A ．当a b ⊥时，4t = B ．当//a b 时，1t =C ．a 与b 夹角为锐角时，则t 的取值范围为(4,)+∞D ．当2t =时，a 在b 上的投影向量为(1,1)-- 〖解 析〗对于A ，a b ⊥，∴820a b t ⋅=-+=，解得4t =，故A 正确，对于B ，当//a b 时，则440t --=，解得1t =-，故B 错误，对于C ，a 与b 夹角为锐角时，820a b t ⋅=-+>，解得4t >，故C 正确，对于D ，当2t =时，(2,2)b =，844a b ⋅=-+=-，2(,2||b b =，所以a 在b 上的投影向量为(1,1)||||a b bb b ⋅⋅=--，故D 正确． 〖答 案〗ACD12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．下列四个命题中正确的是()A ．若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形C ．若cos cos a C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 〖解 析〗对于A ：若2220a b c +->，整理得222cos 02a b c C ab+-=>，故C 为锐角，但是不能保证A 和B 为锐角，故A 错误；对于B ：由于cos cos a A b B =，整理得：sin2sin2A B =，故A B =或2A B π+=，所以ABC∆为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：由于cos cos a C c B b +=，利用正弦定理：sin cos sin cos sin()sin cos cos sin A C C B A C A C A C +=+=+，故sin cos sin cos C B C A =，由于0C π<<，整理得：A B =，整理得a b =， 所以ABC ∆为等腰三角形，故C 正确； 对于D ：由于cos cos cos a b c A B C ==，整理得2sin 2sin 2sin cos cos cos R A R B R CA B C==， 故tan tan tan A B C ==，由于A 、B 、(0,)C π∈，所以A B C ==，故ABC ∆为等边三角形． 〖答 案〗CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．化简：366384500i i i ++= ． 〖解 析〗21i =-，3i i ∴=-，41i =36638450049124964125()()()1111i i i i i i i ∴++=⋅++=-++=． 〖答 案〗114．已知三角形的三边之比为5:7:8，则该三角形最大角的余弦值是 ． 〖解 析〗设三边分别为5x ，7x ，8x ，设最大角为θ，由余弦定理可得，2222549641cos 2577x x x x x θ+-==⋅⋅．〖答 案〗1715．三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = ． 〖解 析〗如图，三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，A ∴到底面PBC 的距离不变，底面BDE 底面积是PBC 面积的14BDE PBC S S ∆∆=， ∴12113143BDE PBC SV V S ∆∆==． 〖答 案〗1416．已知A 、B 、C 三点共线，对该直线外任意一点O ，都有4(,0)OC mOA nOB m n =+>，则14m n+的最小值为 ． 〖解 析〗根据题意，A 、B 、C 三点共线，对该直线外任意一点O ，都有4(,0)OC mOA nOB m n =+>，则有41m n +=，141416()(4)88216n m n m n m n m n m n m +=++=+++=， 当且仅当4n m =时等号成立，即14m n+的最小值为16． 〖答 案〗16四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在长方形ABCD 中，E 为边DC 的中点，F 为边BC 上一点，且23CF CB =．设,AB a AD b ==．（Ⅰ）试用基底{a ，}b ，表示,AE EF ；（Ⅱ）若G为长方形ABCD 内部一点，且3243AG a b =+．求证：E ，G ，F 三点共线．解：（Ⅰ）由题，111222AE AD DE AD DC AD AB b a =+=+=+=+，121212232323EF EC CF AB CB AB AD a b =+=+=-=-． （Ⅱ）1133AF AB BF AB AD a b =+=+=+，32111111()()43222322AG a b b a a b AE AF =+=+++=+，11122+=，E ∴，G ，F 三点共线． 18．（12分）已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-． （1）求a 与b 的夹角； （2）求|2|a b +；（3）若()ka b b -⊥，求实数k 的值． 解：（1）(2,1)a =，(3,1)b =-，∴231(1)5a b ⋅=⨯+⨯-=，2||21a =+=2||3(b =+设向量a 与b 的夹角为θ，则5cos ||||5a b a b θ⋅===⨯又由[0θ∈，]π，4πθ=，即向量a 与b 的夹角为4π；（2）222|2|(2)44201020a b a b a b a b +=+=++⋅=++（3）(23,1)ka b k k -=-+，且()ka b b -⊥，3(23)(1)0k k ∴⨯--+=，解得：2k =．19．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin 2a b c A bc+-=．（1）求C ；（2）若sin A B ，2c =，求ABC ∆的面积．解：（1）因为222sin 2a b c A bc+-=，所以2cos 2sin ab C bc A =，所以cos sin a C c A =， 由正弦定理得sin cos sin sin A C C A =． 因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以sin tan 1cos CC C==．因为0C π<<，所以4C π=．（2）因为sin A B ，所以由正弦定理得a =．由余弦定理知2222222cos )2cos 4c a b ab C b b b π=+-=+-⨯=，所以2b c ==，222b c a +=，所以ABC ∆为直角三角形， 所以12222ABC S ∆=⨯⨯=．20．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，且AB BC ==12A A =．（1）求该直三棱柱的表面积；（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径．解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，且AB BC =12A A =，该几何体有5个面，两个底面的面积均为112=，三个侧面面积之和为22)1)⨯=，所以该直三棱柱的表面积为6S =+（2）设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为1S ， 则组合后的直棱柱的表面积为122S S -，所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小， 又侧面11AA C C 的面积最大，此时拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，最小值为(112226244AA C C S S -=+-⨯=+四边形大棱柱为长方体，其外接球的直径即为长方体的体对角线，=21．（12分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 （1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．解：（1）如图，设OB R =，在半圆A 中，AB =弧长BC =，则2R π=，所以R ， 故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥．（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB ∆中，3AO =， △11AO D AOB ∆∽，所以111AO O DAO OB =，即33h -=，3h =，()()2223S rh r r ππ===-圆柱侧面积2(r =-，所以，当r 32h =时，圆柱的侧面积最大， 此时298V r h ππ==圆柱．22．（12分）在①2sin sin 1sin sin A B c B A ab ++=，②(2)cos cos 0a b C c A ++=，sin sin 2A Bc A+=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且_____．（1）求角C 的大小；（2）若4c =，求AB 的中线CD 长度的最小值．解：（1）选择条件①， 由2sin sin 1sin sin A B c B A ab ++=及正弦定理，可得21a b c b a ab++=，则222a b c ab +-=-， 由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 因为0C π<<，所以23C π=． 选择条件②，由(2)cos cos 0a b C c A ++=及正弦定理，可得(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A ++=， 即sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=-．即sin()2sin cos A C B C +=-．在ABC ∆中，A B C π++=，所以sin()sin()sin A C B B π+=-=，即sin 2cos sin B C B =-，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-． 因为0C π<<，所以23C π=． 选择条件③，sin sin 2A B c A +=sin sin sin 2A B A C A +=，因为sin 0A ≠sin 2A B C +=． 在ABC ∆中，A B C π++=，可得sincos 22A B C +=，2sin cos 222C C C =．因为0C π<<，所以cos 02C ≠，则sin 2C =23C π=． （2）因为ADC BDC π∠+∠=，所以22224402222CD b CD a CD CD +-+-+=⨯⨯⨯⨯， 整理可得22228CD a b =+-，在ABC ∆中，由余弦定理可得22222242cos 3a b ab a b ab π=+-=++， 因为222a b ab +，当且仅当a b =时取等号，所以222222221316()()22a b ab a b a b a b =+++++=+，即22323a b +，所以22232828833CD a b =+--=，即233CD ，即CD。
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广西高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高二上·淮北月考) 将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……………
则在表中数字2017出现在（）
A . 第44行第80列
B . 第45行第80列
C . 第44行第81列
D . 第45行第81列
2. （2分） (2018高二上·莆田月考) 已知数列为等比数列，且首项，公比，则数列
的前10项的和为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2016高一下·广州期中) 已知等比数列{an}中，a1=2，且有a4a6=4a72 ，则a3=（）
A .
B .
C . 1
D . 2
4. （2分） (2020高一下·七台河期中) 不等式的解集是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二上·北京月考) 若数列的通项公式是，则
（）
A . 15
B . 12
C . -12
D . -15
6. （2分） (2019高一上·山东月考) 已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）已知a＞b，且ab≠0，下列五个不等式：（1）a2＞b2 ，（2）2a＞2b ，（3）＜，（4）
＞，（5）（）a＜（）b中恒成立的有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
8. （2分） (2020高一下·成都期末) 满足，，的恰有一个，那么的取值范围是（）
A .
B .
C .
D . 或
9. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 在等比数列{an}中，已知a1=2，a3=6，那么a5等于（）
A . 8
B . 10
C . 18
D . 36
10. （2分） (2019高二上·淄博月考) 若直线（）过圆
的圆心，则的最小值为（）
A . 16
B . 20
C . 12
D . 8
11. （2分）(2019·温州模拟) 已知数列{ } 满足0< < <p，且，则（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二上·成都月考) 已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，
，记椭圆和双曲线的离心率分别，则的最小值是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）(2020·汨罗模拟) 已知中，a ， b ， c分别是角A ， B ， C的对边，若，
，则的值为________.
14. （1分）(2017·林芝模拟) 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n ，则a10=________．
15. （1分）已知△ABC内接于单位圆，且△ABC面积为，则长为sinA，sinB，sinC的三条线段构成的三角形的面积为________．
16. （1分） (2016高二上·桂林期中) 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前项和，则使得Sn达到最大值的是________．
三、解答题： (共6题；共65分)
17. （10分） (2019高一上·凤城月考) 已知关于的不等式的解集为 .
（1）若，，求实数的范围；
（2）当时，求集合 .
18. （10分）已知数列中，a1=1，，数列中，b1=1，且点在直线y=x-1上．
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn ．
19. （10分） (2015高三上·保定期末) 已知数列{an}，{bn}，其中a1=1，an= + ， = ﹣
（n∈N*）．
（1）求证：数列{bn﹣ }是等比数列；
（2）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn ．
20. （10分） (2018高一下·江津期末) 如图，在中，已知，D是BC边上的一点，
（1）求的面积；
（2）求边的长.
21. （10分） (2019高二上·丽水月考) 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求角C；
（2）求的取值范围．
22. （15分）(2017·南京模拟) 设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn ，且a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设有正整数m，l（5＜m＜l），使得am ， 5a5 ， al成等差数列，求m，l的值；
（3）设k，m，l∈N*，k＜m＜1，对于给定的k，求三个数 5ak ， am ， al经适当排序后能构成等差数列的充要条件．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题： (共6题；共65分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。