伊辛模型自旋状态的模特卡罗模拟

《计算材料学》课程设计

指导老师：江建军教授

电子科学与技术系

2004年6月

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伊辛模型自旋状态的蒙特卡罗模拟

宋银锋 李敏 易冬柏 刘嘉 周磊

朱颖 吴华 刘文俊 沈文轶 罗睿 彭晓风

（华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074）

摘要:以Metropolis 蒙特卡罗模拟方法考察了20×20正方格子上的二维伊辛模型自旋模型，采用C 语言和LABVIEW 程序分别得到了该模型不同温度下自旋状态的图样，符合统计力学分析，并将该模型推广到三维情况，得到了相似的结论。

关键词:伊辛模型；自旋状态；Metropolis 蒙特卡罗模拟

SPIN CONFIGURATIONS OF THE ISING MODEL IN MONTE CARLO SIMULATION Abstract : Monte Carlo studies of the two-dimensional Ising model on 20×20 square lattice with periodic boundary conditions and nearest neighbor interactions are presented. The spin configurations of this model at various temperatures are obtained, consistent with the analyses of statistical mechanics. Three-dimensional Ising model is deduced, and similar conclusions are obtained.

Key words : Ising model; spin configuration; Metropolis Monte Carlo Simulation 引言

伊辛自旋模型是一个十分重要的统计模型。理论上，它是最先被严格要求并表明有相变

存在的模型；实验上，它可用来描述铁磁体相变、格气、二元合金以及生物体中DNA 的融化等[1]。

把铁磁物质看成是N 个粒子组成的系统，每个粒子有一个自旋磁矩µ并处在晶体的格点

上。我们考虑一个具有N 个固定格点的晶体，格点以周期点阵排列，点阵的几何结构可以是简单立方，体心立方和六角形的等等。粒子在晶格上的自旋变量以(1,2,...,)i S i N =表示，i S 只能+1和—1的值。i S =1表示粒子的自旋朝上，i S = －1表示粒子的自旋朝下，可以用,↑↓表

示。当一组变数{}i S 给定以后，就完全确定了一个微观状态。假设，每个自旋只和它近邻的

自旋有相互作用，把这个模型就叫做伊辛模型。

蒙特卡罗模拟技术，又叫计算机随机模拟，近年来随着计算机的计算技术的发展在科学的不同领域得到广泛的应用。而采用Metropolis抽样技术的蒙特卡罗方法则在统计物理研究中得到了广泛的应用。

国内外的研究发展现状

伦兹曾向他的学生伊辛建议研究铁磁性的一个简单原子模型，伊辛于1925年发表了他的研究结果，现称伊辛模型。当时伊辛只能在一维下求解，发现在一维情形下，在任何不为绝对零度的温度下无自发磁化。1936年佩尔斯论证了二维伊辛模型却有自发磁化。现在看来，伊辛模型是铁磁体的一种最简单的理论模型。它可近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，还可以用以描述反铁磁体，气液相变，二元溶液相变以及合金的有序无序相变等[2]。

半个多世纪以来，关于铁磁学的伊辛（Ising）模型一直是统计中未能完全解决的问题。其一维解说明系统无相变，二维解说明系统有相变，这一成果突破了平均场理论，成为后来导致重正化群方法的起点。但三维伊辛模型却一直未得出严格解。1975～1986年中国科学院理论物理所郝柏林、石赫、许以超等完成“三维晶格统计模型的封闭近似解”。郝柏林改写了二维模型的各种求解途径，建议对与三维模型密切相关的一个无规行走问题严格求解，试图得到三维伊辛模型的一种封闭的（即不是级数展开的）近似解。他们完成了三维简单立方格子的计算，得到了统计配分函数的封闭表达式。在寻求扩充上述结果的过程中，石赫、郝柏林找到一个形象的反例，说明不存在任何代数A，可以给出三维伊辛模型的严格解，从而把问题的提法改变为：寻求恰当的代数改进前面的封闭表达式。沿这一方向得到了一些新结果。他们的工作虽然未能彻底解决这一现在仍悬而未决的问题，但得到了“迄今最好的结果”。

物理模型

1.二维伊辛自旋模型

以正方格子为例说明二维伊辛自旋模型。图1为4×4二维正方格子上伊辛自旋模型自旋取向分布的一个状态，或叫自旋组态（Configuration）。每个自旋S只能去“向上”或“向下”两个方向，分别以S等于+1和−1值代表。这种只取两个值的变量统称为“伊辛变量”。

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图1 一个自旋组态图样

伊辛模型的哈密顿量为[3]

,()i j i j H S J

S S <>=−∑ （1）

（1）式中i S 代表第i 个格点位置的自旋，i S 取值+1或−1分别对应自旋向上或向下。ij <>

∑表示对一切可能的近邻自旋对求和。J 为耦合常数，我们考虑J>0的铁磁体情形，实验中我们取的J=0.5。

设L 表示所考虑的正方格子的线性大小，其中N=L ×L 个伊辛自旋。这N 个自旋在正方格

子上一个取向的分布称为自旋状态，即一个自旋状态记成

{}i S S = 1,2,i =…，N （2）

伊辛模型的统计力学分析给出了一个重要结论是：在平衡状态下，（2）式自旋状态在低

温下呈有序结构，当温度升高时，开始出现无序的扰动，但仍高度有序；当温度继续升高到一个临界温度值时，自旋状态呈无序状态；而在更高的温度下呈高度无序结构。这里的温度以KT/J 代表，T 为一般意义下的绝对温度，J 为耦合常数，K 为玻耳兹曼常数。临界温度则为

/ 2.269c KT J = （3）

2.三维伊辛自旋模型[4]

图2是三维自旋网格中的任一格点处的自旋i S ，

及其最近邻六个格点上的自旋16S S ∼，现考虑单轴各向异性情形，即所有的

i S 只能去+1或−1。

图

2 三维自旋格点模型