高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答
平面向量题目及详细答案.doc
A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。
，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。
=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。
=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。
= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。
一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(一)一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．213．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．64．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣26．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1] 9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．110．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．012．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．213．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．17．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．18．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．19．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是．21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．平面向量高考试题精选(一)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•XX）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．解：由已知得到如图由===；故选：A．2．（2015•XX）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．3．（2015•XX）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选：C4．（2015•XX）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．5．（2015•XX）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B6．（2015•XX）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A7．（2015•XX）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D．解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．8．（2014•XX）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值X围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值X围是．故选：D．9．（2014•桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（）A．2 B．C．D．1解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A10．（2014•XX）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．11．（2014•XX）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．12．（2014•XX）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D13．（2014•新课标I）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B． C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A14．（2014•XX）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．二．选择题（共8小题）15．（2013•XX）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．16．（2013•）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF与其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：317．（2012•XX）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则= 18．【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：1818．（2012•）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．【解答】解：因为====1．故答案为：119．（2011•XX）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．20．（2010•XX）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则||的取值X围是（0，]．解：令用=、=，如下图所示：则由=，又∵与的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴||∈（0，]故||的取值X围是（0，]故答案：（0，]21．（2010•XX）如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．22．（2009•XX）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得，∴，，∵=+=，∴M，∴，，=（，）•（，）=﹣2．故答案为：﹣2．三．选择题（共2小题）23．（2012•XX）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x﹣2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值X围．【解答】解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx∴函数h（x）的‘相伴向量’=（﹣sinα，cosα+2）．则||==．（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan（2kπ+﹣φ）=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0）∪（0，]．令m=，则tan2x0=，m∈[﹣，0）∪（0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0）∪（0，]．24．（2007•XX）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值X围．】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值X围是．。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，故选B.【考点】本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________．【答案】【解析】由＝2知，P为△ABC的重心，所以＋＝2，则·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝．3.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．4.已知向量，，若与垂直，则实数 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，因为与垂直，则，解得.【考点】平面向量垂直的充要条件.5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为______．【答案】5【解析】建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，＝(2，－t)，＝(1，m－t)，＋3＝(5,3m－4t)，|＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，即|＋3|的最小值是5.6.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.【答案】【解析】因为〈，〉＝60°，所以·＝||||·cos 60°＝3×＝，又＝(＋)，所以＝(+)2＝，即2＝ (1＋3＋9)＝，所以||＝.7.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B.【考点】向量的加减法，加法运算要首尾相接，减法运算要同起点.8.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为．【答案】【解析】这题涉及到向量的一个性质（课本上有一个习题有类似的结论），不在直线上，，则三点共线．利用这个结论本题就有，两边对求导数得：，因此，从而，所以．【考点】三点共线的性质，导数．9.已知向量．(1)若，求；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】(1)由向量垂直的充要条件:,这样就可得到关于的函数 ,化简得的值,结合题中所给的范围,不难确定出的的值; (2)由已知的坐标,可求出的坐标,在根据向量求模的公式由出题中的模的表达式,由三角函数的图象和性质,分析得由的范围求出的范围,进而得出的范围,即可求出的最大值.试题解析：解(1)若，则 3分即而，所以 6分(2) 12分当时，的最大值为 14分【考点】1.向量的运算;2.三角函数的图象和性质10.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是________．【解析】依题意，设，，如图，则，，由于，是直角三角形，且，故向量在向量方向上的投影是0.【考点】平面向量的夹角、模，一个向量在另一个向量上的投影.11.如图，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当正绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知m，n，则“a＝2”是“m n”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知m n，故知“a＝2”是“m n”的充分而不必要条件，故选Ｂ．【考点】1．向量平行的条件；2．充要条件．2.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为()A．(－，)B．(，－)C．(，)D．(－，－)【答案】C【解析】设点D的坐标为(x，y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥，又C，B，D三点共线，∴∥.又＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∴，解方程组得x＝，y＝，∴点D的坐标为(，)．5. [2014·北京东城区综合练习]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.6.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.7.（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= _________．【答案】4【解析】由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为 48.（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【答案】A【解析】∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．9.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．10.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A11.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||<，则||的取值范围是()A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】D【解析】因为⊥，所以可如图建立直角坐标系，设O(x，y)，||=a，||=b，因为=+，所以P(a，b)因为||=||=1，所以由知，点O在以点（a，0)为圆心，1为半径的圆上，所以同理由得，．所以．又由得，而由可得，，即，所以．综上所述，即．12.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，则，解得，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.共线向量13.已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．【答案】(9，－18)．【解析】∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．14.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.15.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．【答案】【解析】.【考点】向量的坐标运算及向量的模.16.在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为△的重心，则的最小值为__________．【答案】9【解析】把数量积用坐标表示出来，应该能求出其最小值了．设，由点坐标为，因此，所以当时，取得最小值9．【考点】数量积的坐标运算．17.已知向量，则向量的夹角为 .【答案】【解析】，所以，=，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算、数量积、夹角.18.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算19.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，所以，故选A.【考点】平面向量的坐标运算20.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积21.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A．-2B．﹣l C．1D．2【答案】B【解析】由已知得，所以由得，，解得.【考点】向量垂直的坐标表示22.已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，由于向量与垂直，所以，故选C.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算23.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.24.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.25.已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.【考点】平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质.26.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4B．-4C．2D．-2【答案】A【解析】由,所以.故选A.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积27.若，则 .【答案】(3，4)【解析】．【考点】向量的坐标运算.28.若向量，则向量与的夹角的余弦值为 .【答案】【解析】，，两向量的夹角的余弦为.【考点】向量的加、减、数量积运算.29.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.30.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.31.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，则，由题意可得,令，则在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．【考点】1.向量的坐标运算;2.函数的性质.32.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为1，以作为坐标原点建立坐标系，则,,，,,,，,因为，所以，所以，，所以.【考点】向量运算点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题.33.若向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是【答案】【解析】因为的夹角为钝角，所以，所以的取值范围是。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以四边形为菱形，因此，即.【考点】1.向量运算；2.三角形外心.2.已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.3.已知向量，，则向量在上的正射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量在上的正射影的数量为选D.【考点】向量正投影4.设向量，，则向量在向量上的投影为．【答案】-1【解析】由已知向量，，向量在向量上的投影为．【考点】向量的投影．5.已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】因为两向量垂直，所以，即，代入坐标运算：，解得：，所以．【考点】向量数量积的坐标运算6.已知向量满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是．【答案】【解析】设,则,设OA中点为D，则,因此四点A,D,B,C共圆,圆心为AB中点M,直径为AB,从而的最大值和最小值分别是因此【考点】向量几何意义7.已知向量满足，则在方向上的投影为．【答案】【解析】根据，求得，根据投影公式可得在方向上的投影为．【考点】向量在另一个向量方向上的投影．8.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC一定是A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据题意有，即，从而得到，所以三角形为直角三角形，故选B．【考点】向量的加减运算，向量垂直的条件，三角形形状的判断．9.已知、是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为三点共线，所以，所以，故选B．【考点】向量共线的充要条件．10.已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为、、，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．因为，，所以故选B．【考点】平面向量；均值不等式11.设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，则a 与b的数量积等于（）A．－B．－C．D．【答案】D【解析】由已知可得，因为与平行，所以可得，解得．即．．故D正确．【考点】1向量共线；2数量积公式．12.在中，已知，，分别是边上的三等分点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为、分别是边上的三等分点所以，所以又所以得所以故答案选【考点】1．向量的线性关系；2．向量的数量积．13.如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是；当面积最大时，．【答案】，【解析】如图，作,交延长线于，则,易证得，所以设，则所以所以由题知，所以故的值域是因为，所以当面积最大时，，即则在中，所以【考点】1．向量的数量积；2．二次函数的最值．14.边长为2的正三角形内（包括三边）有点，，求的取值范围．【答案】．【解析】如下图所示，建立平面直角坐标系，∴，，，，，∴，即点P的轨迹为圆夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧，在中，有，又∵，即的取值范围是．【考点】平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中的取值范围是．【答案】【解析】建立如下图所示直角坐标系，则，,，，，所以，，又因为点在以为圆心、为半径的圆上，且在第一象限，所以点的坐标为，，所以，所以．,,由三角函数的性质可知，函数的值域为，所以的取值范围为．【考点】1．向量的坐标运算；2．圆的参数方程；3．三角函数的性质．【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、圆的参数方程的应用、三角函数的性质、数形结合思想，属难题．平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解进行，并注意方程思想与转化思想的应用．16.已知向量，，若与平行，则的值是 _．【答案】【解析】由题意与平行，则可得到【考点】共线向量17.在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．【考点】正余弦定理【名师】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．18.已知向量，其中，则向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，则，即，则，则有，所以向量的夹角是．【考点】平面向量的数量积的运算．19.（2015秋•上海月考）已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．【答案】1【解析】代入向量数量级定义式计算．解：=||•||cos=2×1×=1．故答案为：1．【考点】平面向量数量积的运算．20.（2015•河南模拟）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．【答案】5【解析】本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到本题答案．解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．【考点】平面向量数量积的运算．21.已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（）A．－12B．12C．一9D．9【答案】D【解析】由，可得点的轨迹是以两定点，为焦点的双曲线的上支，且∴的轨迹方程为：，由和联立可解得：，则．故选D．【考点】椭圆的简单性质．22.在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________．【答案】．【解析】如图：由知点D是BC边的中点，点E是CA边上靠近点C的一个三等分点，．故答案应填：．【考点】向量的数量积．23.在中，则∠C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，解得，所以，故选B．【考点】平面向量数量积的应用．24.已知点P是内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点M是中点，则点P是一个三等分点，，选C.【考点】向量表示25.知△ABC和点M满足＋＝－，若存在实数m使得m＋m＝成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C．【考点】平面向量．26.已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．【答案】（1）,；（2）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可解得函数的单调增区间．（Ⅱ）由，可得，结合范围，可得，从而求得，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：解：（Ⅰ）由可得所以函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由可得【考点】1．余弦定理；2．三角函数中的恒等变换应用．27.在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______．【答案】．【解析】，所以当M,N重合时，，最大，为，又设所以，显然当时，最大为，故的最大值为3．【考点】数量积的应用．28.已知向量若则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知，因为，所以，，所以．故选C．【考点】向量垂直的坐标运算，向量的模．29.已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．【答案】150°．【解析】根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．【考点】平面向量数量积的运算．30.已知点为内一点，且则________．【答案】【解析】如图，即，又，所以有，则.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为有相同的底边，所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于的比值，所以要结合利用向量的运算求得的比值.31.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以有，其中为与的夹角，将代入前式中，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】向量的运算.32.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．33.等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，则．【答案】4【解析】因为，而，.所以答案应填：4．【考点】平面向量数量积的运算．【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底，用表述出，代入数量积进行运算.另一种方法：以为原点，分别以为轴，建立直角坐标系，则,所以，由知，所以.本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.34.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，又因为三点共线，所以.【考点】1.向量的线性运算；2.向量共线定理.35.如图，在中，为的中点，为上任一点，且，则的最小值为．【答案】9【解析】因为是中点，所以，又在线段上，所以，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．【考点】平面向量的基本定理，基本不等式．【名师】设点是直线外任一点，，则是三点共线的充要条件．36.在平面直角坐标系中有不共线三点，，.实数满足，则以为起点的向量的终点连线一定过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，所以.设点在向量的中点连线上，则,所以一点过点，故选C.【考点】向量的坐标运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中，根据，设点在向量的中点连线上，利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算，得到向量的表示，即可到结论.37.四边形中，且，则的最小值为【答案】【解析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a-2，0），B（0，b-3），当时，取得最小值.【考点】平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．38.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意实数，的最小值为____________.【答案】【解析】,建立如图所示的直角坐标系, 取,设.,当且仅当时取等号. 故答案为.【考点】1、向量的几何性质、平面向量的数量积公式；2、利用基本不等式求最值.【易错点晴】本题主要考查向量的几何性质、平面向量的数量积公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用“或”时等号能否同时成立）.39.已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，（1）求曲线的方程；（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值【解析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；（2）设，将表示为（或）的函数，根据函数性质求出最小值；（3）设坐标和直线的斜率，根据相切得出的关系，求出坐标得出圆的圆心和半径，利用切线的性质得出的长．试题解析：（1）设为曲线上的任意一点，依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为（2）设，则因为，所以当时，有最小值2（3）当点在轴上运动（与原点不重合）时，线段的长度不变，证明如下：依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，由得将代入直线的方程得，又，故圆心所以圆的半径为当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值【考点】抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系40.平面向量与的夹角为60°，，则等于（）A．B．4C．12D．16【解析】，因此，选A.【考点】向量的模41.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师】由向量数量积的定义（为，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.42.已知向量，且，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】，由得，解得，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：|a|＝|a|＝cos θ＝cos θ＝a·b＝0x x＋y y＝043.在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.【答案】【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算.44.已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【解析】因，故，应选A。
高考数学专题：平面向量练习试题、答案
高考数学专题：平面向量练习试题 1．已知(3,4)a =，(8,6)b =-，则向量a 与b （ ）A ．互相平行B ．互相垂直C ．夹角为30°D ．夹角为60° 2．已知向量(5,3)a =-，(2,)b x =，且//a b ，则x 的值是（ ） A ．65 B ．103 C ．-65 D ．-103 3．已知向量(2,3)a =，(1,2)b =，且()()a b a b λ+⊥-，则λ等于（ ） A ．35 B ．35- C ．3- D ．3 4．如果a 、b 都是单位向量，则a b -的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．[1,2]D ．[0,2] 5．已知在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，则O 为ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 6．已知(7,1)A ，(1,4)B ，直线ax y 21=与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则a 等于（ ） A ．2 B ．35 C ．1 D ．54 7．已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -，(3,3)B ，那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．12a -<<B ．01a <<C ．22a -<< D ．02a <<8．已知向量(4,2)a =，(1,1)b =-，则b 在a 方向上的射影长为_________． 9．已知点(2,3)A ，(0,1)C ，且2AB BC =-，则点B 的坐标为_____________．10．已知||2a =，||2b =，a 与b 的夹角为45︒，则()b a a -⋅=________． 11．已知向量(3,1)OA =--，(2,3)OB =，OC OA OB =+，则向量OC 的坐标为____________，将向量OC 按逆时针方向旋转90︒得到向量OD ，则向量OD 的坐标为______________12．已知向量a 、b 的夹角为45︒，且满足||4a =，1()(23)122a b a b +⋅-=，则||b =_________；b 在a 方向上的投影等于_____________． 13．平面上有三个点(2,)A y -，(0,)2y B ，(,,)C x y ，若AB BC ⊥，则动点的轨迹方程为______________．14．将函数2y x =的图象F 按向量(3,2)a =-平移到'F ，则'F 对应的函数解析式为_________________．15．把点(2,2)A 按向量(2,2)a =-平移到点B ，此时点B 分OC （O 为坐标原点）的比为2-，则点C 的坐标为____________．16．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，||1AC =，||4AB =，则ABC ∆的面积为____，||BC =_____________．答案1．B2．C3．B4．D5．B6．A7．B8．59．(2,1)-- 10．2- 11．(1,2)-，(2,1)--12 1 13．28y x =14．2(3)2y x =-- 15．(0,2)16。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.已知平面向量, 且, 则 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由向量, 且.所以.即.故选C.【考点】1.向量平行的性质.2.向量的模的运算2. [2014·龙岩质检]已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()A．(2,1)B．(1,0)C．(，)D．(0，－1)【答案】A【解析】设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)．由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b 可得，解得，因此c＝(2,1)．3.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=24.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A5.已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是()A．9B．C． 5D．【答案】D【解析】由题意得，，又D、E、F在同一条直线上，可得．所以，当且仅当2λ＝μ时取等号．故选D．6.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ＋μ的值为() A．B．C．D．1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点，∴可设．∴N为AM中点，∴.∴．故选A.7.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.【考点】向量的运算、双曲线的离心率、解一元二次方程.8.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.9.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．10.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．11.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【答案】B【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．12.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.13.如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.【考点】平面向量的三角形法则.14.在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于．【答案】 24【解析】【考点】本小题考查向量的线性运算及其向量的数量积。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知，若共线，则实数x=A．B．C．1D．2【答案】B【解析】此题考查向量共线的条件；由已知得到，又因为共线，所以。
选B2.已知向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】故选C3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D【解析】设量与向量＋2的夹角为故选D4.设向量，是两个相互垂直的单位向量，一直角三角形两条边所对应的向量分别为，，，则的值可能是（）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】若则；若则若则无解；故选C5.已知，则实数k的值是。
【答案】-1【解析】略6.已知：（1）求关于x的表达式，并求的最小正周期；（2）若时，的最小值为5，求m的值.【答案】（1）（2）3【解析】7.已知向量，则实数k的值为（）A．B．0C．3D．【答案】C【解析】，又，，即，解得【考点】平面向量的坐标运算。
8.已知平面向量，，，，，，若，则实数（）A．4B．－4C．8D．－8【答案】D．【解析】∵，，∴，故选D【考点】平面向量共线的坐标表示．9.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，所以．故选B．【考点】向量减法的坐标的运算．10.已知向量，满足，，则夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则的夹角余弦值为．故选D.【考点】向量的基本运算.11.已知向量若与平行，则实数的值是（）A．－2B．0C．2D．1【答案】C【解析】，根据题意有，解得，故选C．【考点】向量的运算，向量共线的坐标表示．12.（本小题满分12分）已知向量，函数．（1）若，求的值；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】本题主要考查平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换的应用、两角和与差的正弦公式、倍角公式、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，运用平面向量的数量积的坐标表示和两角差的正弦公式以及二倍角的余弦公式，即可得到结论；第二问，由，则可以得到，运用正弦函数的图象和性质，即可得到函数的值域．试题解析：（1）向量，则函数，，则，；（2）由，则，，则．则的值域为．【考点】平面向量的数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用、三角函数的值域、正弦函数的图象和性质．13.设，，若，则= ．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以＝．【考点】1、平面向量垂直的充要条件；2、平面向量的模．14.己知向量，满足||=||=2且，则向量与的夹角为．【答案】【解析】因为||=||=2，所以由数量积的运算律可将化为，即，所以，故向量与的夹角为．【考点】①向量数量积的运算律；②向量夹角计算公式．15.在△ABC中，若点D满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，因此．【考点】向量的加法法则．16.设向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，解得，故选C．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．17.已知，，，且与垂直，则实数的值为．【答案】．【解析】本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由得．由得，所以．【考点】向量垂直，向量的数量积．18.设直角的三个顶点都在单位圆上，点M，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即取得最大值，最大值是，故选：C．【考点】1．点与圆的位置关系；2．平面向量及应用．【思路点睛】由题意，，当且仅当共线同向时，取等号，即可求出的最大值．19.已知为同一平面内的四个点，若，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，即，故选C．【考点】向量的回头法运算及几何意义．20.已知点，，点在轴上，当取最小值时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，所以，由二次函数的性质得，当时有最小值，所以点的坐标是．【考点】1．向量的运算；2．二次函数．21.已知向量，，，若向量与共线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，故由与共线得，解得，故D项正确．【考点】平面向量的运算及共线定理．22.设是所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，所以，即．故选D．【考点】向量的线性运算．23.已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为，．【答案】，或【解析】作，则，向量，由题意可得为边长为的等边三角形，向量的夹角为，可得，由，可得四点共圆，在中，，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，解得，当在中，同理可得．【考点】平面向量的数量积的运算．24.设向量与的夹角为，且，则等于（）A．B．C．D．6【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量数量积的定义.25.已知向量，，则当时，的取值范围是___________．【答案】．【解析】根据向量的差的几何意义，表示向量终点到终点的距离，当时，该距离取得最小值为1，当时，根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为，即的取值范围是，故填：．【考点】平面向量的线性运算．26.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，．若＝－3，则＝．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量数量积27.如图，中，，为的中点，以为圆心，为半径的半圆与交于点，为半圆上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所以，设且，所以，令，则，其中.所以当时有最小值.故选D.【考点】1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用.28.梯形中，，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得，故选C.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的平行.29.设向量，若向量与向量垂直，则的值为（）A．3B．1C．D．-1【答案】D【解析】因为向量，向量与向量垂直，所以，故选D.考点 1、向量的坐标表示；2、平面向量的数量积公式 .30.边长为的等边三角形中心为，是边上的动点，则（）A．有最大值B．有最小值C．是定值D．与的位置有关【答案】C【解析】设是中点，则.故选C．【考点】向量的数量积．【名师】本题是求平面向量的数量积的问题，解题时要把动点与定点结合起来，如果能化动为静，则问题易解．为此可选取两个向量作为基底，其他向量都用它们表示，然后求解，在求数量积时，垂直的向量是我们要着重考虑的，因为垂直的数量积为0，计算时比较方便，易于求解．31.如图，四边形是三个全等的菱形，，设，，已知点在各菱形边上运动，且，，则的最大值为 .【答案】4【解析】根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则；设，则；∴；∴；∴；设，则，表示在y轴上的截距；当截距最大时，取到最大值；由图形可以看出当直线经过点时截距最大；∴；即x+y的最大值为4．【考点】向量的线性运算．【名师】考查向量的线性运算，通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．这是一道综合题，有一定的难度，对学生分析问题解决问题的能力要求较高．32.若向量，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，向量，故选B．【考点】向量的运算．33.设是圆上不同的三个点，且，若存在实数，使得，则实数的关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，两边平方得：，∵，∴,故选A．【考点】（1）直线与圆的方程的应用；（2）向量共线定理；（3）平面向量的垂直.【思路点晴】本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．由是圆上不同的三个点，可得，又，所以对两边平方即可得到结论．34.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．1D．-1【答案】A【解析】，又,所以,又,那么.故本题选A．【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.35.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限，是其终边上的一点，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设与轴正向的夹角为，则，因为角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边落在第二象限且，所以，．故应选D．【考点】1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.36.已知非零向量且对任意的实数都有，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为非零向量且对任意的实数都有，所以，，，即，，故选C.【考点】1、平面向量数量积公式；2、一元二次方程根与系数的关系.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以及一元二次方程根与系数的关系，属于难题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.37.已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为，所以，所以，所以C正确，故选C．【考点】向量平行与垂直的充要条件．38.如图所示，矩形的对角线相交于点，的中点为，若（为实数），则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】,,所以，故选C.【考点】平面向量基本定理39.已知向量＝（－1，1），向量＝（3，t），若∥（＋），则t＝________．【答案】－3【解析】，由∥（＋）得，．【考点】向量平行．40.已知向量,若,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因,故代入可得,故应选C.【考点】向量坐标形式及运算.41.已知向量满足，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【答案】D【解析】.【考点】向量运算.42.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，即有，由，可得，即有，，由，可得与夹角的大小为．故选：D．【考点】向量的夹角.43.等腰直角三角形中，，，点分别是中点，点是（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，，设，则且，,，令，结合线性规划知识，则，当直线经过点时，有最小值，将代入得，当直线经过点时，有最大值，将代入得，故答案为A．【考点】（1）平面向量数量积的运算；（2）简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．44.设向量，且，则的值是（）A．2B．C．8D．【答案】C【解析】由已知得，∴.【考点】平面向量坐标运算．45.边长为的正三角形，其内切圆与切于点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点，，内切圆的方程为，设点，则．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，确定点的坐标，利用内切圆得出的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．46.平面向量与的夹角为30°，已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故,故应选D．【考点】向量的有关运算．47.已知非零向量的夹角为，且，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由得，，解得，故选A．【考点】向量的数量积．48.在等腰梯形中，已知，点和点分别在线段和上，且，则的值为_____________．【答案】【解析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，所以.【考点】向量的数量积、向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解．49.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，点是线段上,，故选A．【考点】向量及其运算．50.设是单位向量，且，则的最小值为（）A．-2B．C．-1D．【答案】D【解析】当时，，故选D．【考点】向量及其基本计算．51.在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）【解析】,故选C.【考点】平面向量的线性运算．52.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】由知P是的重心，则，所以，∵共线，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．故选A．【考点】平面向量基本定理，三点共线定理．【名师】设上直线外一点，，则三点共线的条件是．利用此共线定理可以解决平面向量中的共线点问题，通过它把几何问题代数化．53.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【解析】由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.【考点】平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.54.已知向量，，且，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【考点】向量运算.55.已知菱形的对角线，则（）A．1B．C．2D．【解析】在菱形中，，设相交于点，由向量数量积的几何意义可知，故选C.【考点】向量数量积的几何意义.56.已知向量，向量，则_____________.【答案】【解析】,所以.【考点】向量的坐标运算.57.已知向量满足，且，则___________．【答案】【解析】由于，两边平方得，因为.【考点】向量运算.58.已知向量，满足，，且（），则．【答案】【解析】设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．【考点】向量的坐标运算．59.已知向量_________.【答案】【解析】，解得，，那么，故填：.【考点】向量数量积的坐标表示60.已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以所以所以故答案选A【考点】向量的数量积；向量的模.61.设向量.若，则实数等于（）A．-1B．1C．-2D．2【解析】，∴，得.故选C.【考点】向量的基本运算.62.已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为向量，，所以有 , 若,则有，解得.63.已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若点是第一象限内椭圆上的一点，,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将 ,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.64.若向量，且∥，则实数_________.【答案】【解析】依题设，，由∥得，，解得.65.已知向量，若，则__________．【答案】11【解析】由题意可知，因为，所以∙=0，解得m=11.66.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】解：∵函数的周期，则，即C点是一个对称中心，根据向量的平行四边形法则可知： ,则： .本题选择D选项.67.已知向量，若向量与向量共线，则实数__________．【答案】【解析】因为，又因为向量与向量共线，所以，所以.68.（理科）已知平面上共线的三点和与这三点不共线的定点，若等差数列满足：，则数列的前38项之和为__________．【答案】19【解析】三点共线，，，，故答案为.69.已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】因为所以；因为，所以的最大值与最小值之和为，选C.70.已知向量，，且，则向量和的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，，则向量和的夹角为，选C.【点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，借助向量的模方和模，求向量的夹角，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助线性运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.71.在中，，，，，是线段的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,,则【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果.72.在为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知．故本题选．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合．在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.73.已知，，则的最大值是__________．【答案】3【解析】，所以的最大值是3.74.设向量，．则与垂直的向量可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：，本题选择A选项.75.已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.76.若向量，且，则的最大值是A．1B．C．D．3【答案】D【解析】× ,选D.77.设，向量且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为____．【答案】【解析】由向量平行的充要条件有：，据此可得：，其中整理可得：，当时满足题意，否则：当时，由对称轴处的函数值可得恒成立，综上可得实数k的最大值为.78.已知向量，若与垂直，则实数的值是_________.【解析】，79.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则，．由，得，即①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．点睛：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系和平面向量的坐标运算．求解与向量交汇的圆锥曲线问题，通常利用点的坐标对已知的或所求的向量式进行转化，然后再利用解析几何的知识求解．80.（20分）已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.（1）若,试用表示；（2）证明：；（3）若的外接圆的半径为，用表示.【答案】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，即∣∣=∣∣=∣∣,而，=∣∣-∣∣=0，（3）在中,O是外心A=，B=于是∣∣2=（=+2+2=（），【解析】略81.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．82. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.83.已知，若，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，，解得。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.设是单位向量，且，则的值为．【答案】【解析】。
2.已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是_______．【答案】【解析】略3.已知点O为直线外任一点，点A、B、C都在直线上，且，则实数【答案】-2【解析】略4.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；（2）求的值.【答案】解：(1),当时，得,当时，得.(2).【解析】解：(1)矩阵的特征多项式为，令，得,当时，得,当时，得. …………………6分(2)由得，得.∴.……………………14分5.若向量，且与的夹角余弦为，则等于_________________.【答案】【解析】略6.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则7.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示8.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．9.已知，，若，，且，则_________．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．数量积；2．向量垂直．10.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由向量数量积的定义写出函数，然后应用辅助角公式将函数化成的形式，再由公式求得函数的最小正周期；（Ⅱ）由求得的取值区间即为函数的增区间．试题解析：（Ⅰ）所以，的最小正周期为．（Ⅱ）由得所以，的单调递增区间为．【考点】1．向量的数量积；2．三角恒等变形公式；3．三角函数的性质．11.（本小题共12分）设向量（1）若，求x的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】主要考察向量数量积的坐标表示的相关问题，（1）首先表示和，令其相等，得到：，然后再解方程；（2）第一步，先利用数量积的坐标表示得到函数，并化简为，第二步，然后根据，求的范围，并算得其最值．试题解析：（1）由及得：又，从而，所以．（2）当时，取得最大值所以函数的最大值是．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简和性质．12.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．13.已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．【考点】向量平行的充要条件．14.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．15.（12分）已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．【答案】（1）f（）=﹣1；（2）cos（α﹣β）=．【解析】（1）由向量的数量积公式得出函数f（x）的解析式，再由对称轴方程求出,从而得出函数f（x）的解析式，最后将代入解析式求值即可；（2）利用已知条件可求出的正弦、余弦值，然后利用两角差的余弦公式即可求出cos（α﹣β）的值．试题解析：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x = ．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值．16.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，由平行四边形法则知，所以，同理，故．故答案为：B．【考点】平面向量共线．【思路点睛】首先，利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，然后再平行四边形法则作出Q,同理可求出，再将两个式子相比，即可求出的面积与的面积之比．17.已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．【答案】【解析】依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又∵．∴，∴所求方程为：．【考点】双曲线的定义．18.设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理①；②；③；④其中正确的命题序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】B【解析】两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，，故①错，所以答案为B【考点】空间向量．【方法点睛】可根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直线，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案．向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键．19.在各项均为正数的等比数列中，和是方程的两根，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】和是方程的两根，由【考点】1．等比数列性质；2．向量的数量积运算20.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，因为与垂直，所以，解得．故D正确．【考点】空间向量垂直问题．21.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径列出不等式，解之即可求的取值范围；（2）设，联立方程，化简得，由韦达定理写出与的关系，代入向量表达式，可求出的值，从而求出直线方程，即可求的长．试题解析：（1）由题设，可知直线的方程为，因为与交于两点，所以．解得，所以k的取值范围为．（2）设．将代入方程，整理得，所以，，由题设可得，解得，所以的方程为．故圆心在直线上，所以．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．向量的坐标运算．【名师】本题主要考查的是直线与圆的位置关系与向量的坐标运算，属于中档题．直线与圆的位置关系的判断可用几何法或代数法:几何法即由圆心到直线的距离来判断，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离；代数法即联立方程组用一元二次方程的判别式来判断，即时，直线与圆相交；时，直线与圆相切；时，直线与圆相离；实际解题时用几何法比代数法简单．22.在直角坐标系中，已知两点，；，是一元二次方程两个不等实根，且、两点都在直线上．（1）求；（2）为何值时与夹角为．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线上求得;（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出,与（1）中的结合得到关于的方程，求解方程得答案试题解析：（1）、是方程两个不等实根，解之，又、两点都在直线上，（2）由题意设，，同理当与夹角为时，解之即为所求．【考点】一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算．【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律．23.已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．（1）若，试用、、表示；（2）证明：；（3）若的，，外接圆的半径为，用表示．【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）【解析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量只要证明利用O是三角形的外心，可得然后用向量然后用向量、、表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径试题解析：（1）由平行四边形法则可得：,即；（2） O是的外心，，即，而，,，；（3）在中, 为的外心，，，于是，，【考点】向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义．【方法点睛】（1）当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；（2）当是非坐标形式时，要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．24.已知向量则A．2或3B．－1或6C．6D．2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算25.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据已知可得：，故选择C【考点】求向量的模26.已知A点坐标为，B点坐标为，且动点到点的距离是，线段的垂直平分线交线段于点．（1）求动点的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）根据题意知，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以轨迹的方程为；（2）设点则，根据两点之间的距离公式得：，化简得：，又有椭圆的范围知，求函数的最值．试题解析：（1）∵；又，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，∵，∴，所求轨迹方程为．（2）解：设点则【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误．27.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。
(完整word版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
高三数学平面向量基本定理试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理试题答案及解析1.已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．【答案】．【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为【考点】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．2.如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于【答案】【解析】如图建立直角坐标系．三角形CDB中的点x,y满足不等式组．又因为．所以．将代入可得．由图可知，目标函数过点时在轴上的截距最大，即的最大值为．【考点】1．平面向量的基本定理．2．线性规划问题．3．构建坐标系解决向量问题．4．换元的思想．3.若非零向量满足//，且，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】D【解析】非零向量//，若所以存在实数使得.又，所以.【考点】共线向量基本定理、向量的数量积4.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数和，使；③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题。
综上，本题选B．【考点】1．平面向量的基本定理；2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则．5.已知是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点是内一点，则，当且仅当点在线段BC上时，最大等于1，当和重合时，最小，此时，，，故故选Ｃ．【考点】向量的几何意义．6.在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则的形状为( )A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形【答案】C【解析】由题意知，∴，∴，又、不共线，∴∴.【考点】1.向量共线；2.判断三角形形状.7.如图，矩形内放置个大小相同的正方形，其中、、、都在矩形的边上，若向量，则 .【解析】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，则，所以，，故.【考点】平面向量的基底表示8.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与同方向的单位向量分别为，依题意有，又，，则，所以.故选C.【考点】平面向量的基本定理9.已知，，点满足（），且，则等于A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，，，所以，，分别是直角三角形的三边。
高考数学平面向量多选题复习训练题(含答案解析)
高考数学平面向量多选题复习训练题（含答案解析）1．（2022·河北廊坊·模拟预测）已知实数m 、n 和向量a 、b ，下列结论中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb −=− B ．()m n a ma na −=−C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABCD 选项. 【详解】对于A 选项，()m a b ma mb −=−，A 对； 对于B 选项，()m n a ma na −=−，B 对；对于C 选项，若ma mb =，则()0m a b −=，所以，0m =或a b =，C 错；对于D 选项，若()0ma na a =≠，则()0m n a −=，所以，0−=m n ，即m n =，D 对. 故选：ABD.2．（2021·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，6BC =，D ，E 是BC 的三等分点，且4AD AE ⋅=，则（ ）A ．2133AE AB AC =+ B ．1122AD AB AE =+ C ．4⋅=−AB AC D ．2228AB AC +=【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可判断A ，B,取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，计算可得2214AD AE AG DE ⋅=−，进而得出25AG =，计算可判断选项C,由C 可知2AB AC AG +=，两边平方，化简计算可判断选项D .【详解】对于A ，()11123333AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+−=+，故选项A 不正确；对于B ，由题意得D 为BE 的中点，所以1122AD AB AE =+，故选项B 正确； 对于C ，取DE 的中点G ，由6BC =，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，且2DE =，所以221114224AD AE AG DE AG DE AG DE ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25AG =，22111594224AB AC AG BC AG BC AG BC ⎛⎫⎛⎫⋅=−⋅+=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；对于D ，由G 是BC 的中点得2AB AC AG +=，两边平方得22224AB AB AC AC AG +⋅+=，所以2220828AB AC +=+=，故选项D 正确.故选：BCD.3．（2021·山东·二模）若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，则||a b c +−的值可能为（ ）A 1B ．1CD ．2【答案】AB 【解析】 【分析】由0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，得到()1c a b +≥r r r ，再由a b c +−=r r r.【详解】因为,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=−⋅−≤，所以2()0a b c a b c ⋅−++≤r r r r r r ，即()1c a b +≥r r r，所以a b c +−r r r1，故选：AB4．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）在ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A ，由0AC AB ⋅>可得角A 为锐角，从而可判断，对于B ，对BA BC AC +=两边平方化简，再结合余弦定理可得结论，对于C ，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D ，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断 【详解】解：对于A ，由0AC AB ⋅>，得s 0co AC AB A >，所以cos 0A >，所以角A 为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A 错误，对于B ，因为BA BC AC +=，所以2222BA BA BC BC AC +⋅+=，即2222cos BA BA BC B BC AC +⋅+=，所以222cos cos 2BA BC ACB B BA BC+−−==,得cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=，所以三角形为直角三角形，所以B 正确，对于C ，因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC +=−，所以2GD GC =−（D 为BA 的中点），所以,,G C D 三点共线，所以点G 在BA 边的中线CD 上，同理，可得点G 在其它两边的中线上，所以G 是ABC 的重心，所以C 正确，对于D ，因为PA PB PB PC ⋅=⋅，所以0PA PB PB PC ⋅−⋅=，()0PB PA PC PB CA ⋅−=⋅=,所以PB CA ⊥，所以点P 在边CA 的高上，同理可得点 P 也在其它两边的高上，所以点P 为ABC 的垂心，所以D 错误， 故选：BC5．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ） A ．若,,a b c 为平面向量，//,//a b b c ，则//a c B ．若,,a b c 为平面向量，,a b b c ⊥⊥，则//a cC ．若1,2a b ==r r ，()a b a +⊥r r r ，则a 在b 方向上的投影为12−D ．在ABC 中，M 是AB 的中点，AC ＝3AN ，BN 与CM 交于点P ，AP ＝AB λ+AC μ，则λ＝2μ 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量共线的概念判断A 、B ，；利用向量数量积的定义可判断C ；利用向量共线的推论即可判断D. 【详解】A ，若0b =，则0与任意向量共线，所以a 与c 不一定平行，故A 错误；B ，若,a b b c ⊥⊥，则0a b ⋅=，0b c ⋅=，当,,a b c 共面时，//a c ， 若,,a b c 不共面时，a 与c 不平行，故B 错误；C ，若()a b a +⊥r r r ，则()0a b a +⋅=r r r ，所以21a b a ⋅=−=−，a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=−r r r ，故C 正确； D ，AP AN NP =+，设NP aNB =, 则()1133AP AC aNB AC a NC CB =+=++ ()112333AC aNC aCB AC aAC a CA AB =++=+++ 1233AC aAC aCA aAB =+++1133a AC aAB ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭， 设a λ=，则1133μλ=−，即31μλ=−，①12AP AM MP AB MP =+=+，设MP bMC =， 1111122222AP AB bMC AB b AB BA AC b AB bAC ⎛⎫⎛⎫=+=+++=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1122λμ=−，即21λμ=−，②由①②可得25λ=，15μ=，即2λμ=，故D 正确. 故选：CD6．（2021·江苏南京·一模）设()0,0O ，()1,0A ，()0,1B ，点Р是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=uu u r uu u r，若OP AB PA PB ⋅⋅≥，则实数λ的值可以为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】ABC 【解析】 【分析】设出P 点的坐标，结合OP AB PA PB ⋅⋅≥求得λ的取值范围. 【详解】设(),P x y ，由()01AP AB λλ=≤≤得()()()1,1,1,x y λλλ−=−=−， 所以()11,x P y λλλλ−=−⎧⇒−⎨=⎩， 由OP AB PA PB ⋅⋅≥得()()()()1,1,1,1,1λλλλλλ−⋅−≥−⋅−−，()()111λλλλλλ−+≥−−−，222122,241011λλλλλλ−≥−−+≤⇒≤≤由于01λ≤≤，所以11λ≤≤.111,,123⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ABC 正确，D 错误.故选：ABC7．（2022·江苏·海安高级中学二模）关于平面向量a b c ，，，下列说去不正确的是（ ） A ．若··a c b c =，则a b = B ．·(··)a b c a c b c =++ C ．若22a b =，则··a c b c = D ．()()····a b c b c a = 【答案】ACD 【解析】 【分析】令0=c 时可判断A ；利用()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，可判断B ；由22=a b 可知a 与b 的模长相等，但()−⋅a b c 不一定为0可判断C ；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线，可判断D ． 【详解】0=c 时，0⋅=⋅=a c b c ，a 与b 可任取，故A 错；()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，故B 对；22=a b 可知a 与b 的模长相等，()−⋅a b c 不一定为0，∴⋅≠⋅a c b c ，故C 错；()⋅⋅a b c 与c 共线的向量，()·b c a ⋅与a 共线的向量． ∴()()⋅⋅≠⋅⋅a b b c a c ，D 错． 故选：ACD.8．（2022·山东潍坊·一模）已知向量()1,2OP =，将OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP的位置，则（ ）. A ．130OP OP ⋅= B ．12PP PP =C ．312OP OP OP OP ⋅=⋅D ．点1P 坐标为⎝⎭【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的夹角判断A ，再由全等三角形可判断B ，根据向量的数量积的定义判断C ，根据向量的模相等判断D. 【详解】因为OP 绕原点O 旋转﹣30°，30°，60°到123,,OP OP OP ， 所以1OP →与3OP →的夹角为90︒，故130OP OP ⋅=，A 选项正确； 由题意知，12△△OPP OPP ≅,所以12PP PP =，即12PP PP =，故B 正确； 因为312,60,,60OP OP OP OP →→→→<>=︒<>=︒,312||||||||OP OP OP OP →→→→===, 所以由数量积的定义知312OP OP OP OP ⋅=⋅，故C 正确；若点1P 坐标为⎝⎭，则1||||OP OP →→=≠D 不正确. 故选：ABC9．（2022·辽宁·育明高中一模）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA PC ⋅为定值B ．OA OC ⋅的取值范围是[]2,0−C ．当AC BD ⊥时，AB CD ⋅为定值 D ．AC BD ⋅的最大值为12【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC 的正误，取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B 的正误，根据直径的大小可判断D 的正误. 【详解】如图，设直线PO 与圆O 于E ，F .则()()222PA PC PA PC EP PF OE PO OE PO PO EO ⋅=−=−=−−+=−=−,故A 正确.取AC 的中点为M ，连接OM ，则()()22OA OC OM MA OM MC OM MC ⋅=+⋅+=−()222424OM OMOM =−−=−，而2202OM OP ≤≤=，故OA OC ⋅的取值范围是[]4,0−，故B 错误.当AC BD ⊥时，()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅ 24AP CP PB PD EP PF =−−=−=−，故C 正确.因为4,4AC BD ≤≤，故16AC BD ⋅≤，故D 错误. 故选：AC10．（2022·江苏苏州·模拟预测）在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D ． 【详解】解：A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >， sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π−∠>， cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角， ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +−⋅+−=r r r r r r ，则22()0b a c −−=r r r，2222a c b a c ∴+−=⋅r r r r r ，222cos 2a c b Ba c +−=−r r r r r ， 由余弦定理知222cos 2a c bB a c +−=r r r r r， cos cos B B ∴=−，则cos 0B =，(0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ．11．（2022·全国·模拟预测）如图，直角三角形ABC 中，D ，E 是边AC 上的两个三等分点，G 是BE 的中点，直线AG 分别与BD ， BC 交于点F ，H 设AB a =，AC b =，则（ ）A ．1123AG a b =+B ．1136AF a b =+C ．1123EG a b =− D ．3255AH a b =+【答案】ACD 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，特别联立方程组解得H ，再根据选项一一判断即可． 【详解】以A 为坐标原点，分别以AC ，AB 的方向为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，设AB a =，AC b =，则()0,0A ，,03b D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,03b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0C b ，()0,B a ，,32b a G ⎛⎫⎪⎝⎭．又F 为ABE △的重心，则2,93b a F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AG 的方程为32a y x b =，直线BC 的方程为1x y b a +=，联立解得23,55H b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,32b a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2,93b a AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,32b a EG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，23,55AH b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为()0,a AB a ==，(),0b AC b ==，所以1123AG a b =+，1239AF a b =+，1123EG a b =−，3255AH a b =+．故选：ACD ．12．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB 的半径为1，2AOB π∠=，点C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且1CD =，点E 为AB 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．OE AB ⋅的最小值为0 B ．EA EB ⋅的最小值为1C ．⋅EC ED 的最大值为1 D ．⋅EC ED 的最小值为0【答案】BCD 【解析】 【分析】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，得()01，B ，()10，A ，设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，求出2sin 4πθ⎛⎫⋅=− ⎪⎝⎭AB OE ，利用θ的范围可判断A ；求出EA 、EB 的坐标，由14πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭EA EB ，利用θ的范围可判断B ；设()[](),00,1∈C t t ，可得(D ，求出EC 、ED ，由⋅EC ED ()1sin θϕ=−+，利用 t 、ϕ、θ，的范围可判断CD. 【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以()01，B ，()10，A ， 设EOA θ∠=，则()cos sin 0,2，πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭E ，()cos sin ，θθ=OE ， ()11，=−AB ，所以sin cos 4πθθθ⎛⎫⋅=−=− ⎪⎝⎭AB OE ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,444πππθ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎡⎛⎫−∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以[]1,1⋅∈−AB OE ，OE AB ⋅的最小值为1−，故A 错误； ()1cos ,sin θθ=−−EA ，()cos ,1sin θθ=−−EB ，所以22cos cos sin sin 14πθθθθθ⎛⎫⋅=−+−+=+ ⎪⎝⎭EA EB ，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以114πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，1⎡⎤⋅∈⎣⎦EA EB ，EA EB ⋅的最小值为1B 正确；设()[](),00,1∈C t t ，又1=CD ，所以OD (D ，()cos ,sin θθ=−−EC t ，()cos sin θθ=−ED ，所以()22cos cos sin 1cos θθθθθθ⋅=++=−EC ED t t()1sin θϕ=−+，其中cos ϕϕ==t ，又[]0,1t ∈，所以[]cos ,sin 0,1ϕϕ∈，所以0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,ϕθπ+∈，()[]sin 0,1ϕθ+∈，()[]sin 1,0ϕθ−+∈−，所以[]0,1⋅∈EC ED ， ⋅EC ED 的最小值为0，故CD 正确.故选：BCD.13．（2022·辽宁·东北育才学校二模）对于非零向量m ，n ，定义运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉.已知两两不共线的三个向量a ，b ，c ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则⊗=a b a b B ．()()a b c a b c ⊗=⊗ C ．()a b a b ⊗=−⊗ D ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗【答案】AC 【解析】 【分析】A. 由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；B.举例()()()1,0,0,1,0,1===−a b c 求解判断；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断；D.举例()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，由运算“⊗”，||||sin ,m n m n m n ⊗=〈〉求解判断； 【详解】A. 因为a b ⊥，所以,90=a b ，则sin ,⊗==a b a b b a b a ，故正确；B. 若()()()1,0,0,1,0,1===−a b c ，则()()0,1,()0⊗=−⊗=a b c a b c ，所以()()⊗≠⊗a b c a b c ，故错误；C.设,a b 的夹角为θ，则,−a b 的夹角为πθ−，所以()sin ,()sin sin θπθθ⊗=−⊗=−−=a b a b a b a b a b ，则()a b a b ⊗=−⊗，故正确； D. 若()()()1,0,0,1,1,1===a b c ，则()0()()2,+=+=⊗⊗⊗a b c a c b c ，所以()()()+≠+⊗⊗⊗a b c a c b c ，故错误；故选：AC14．（2022·山东·模拟预测）已知在△ABC 中，AB =，2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM −C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒【答案】BC 【解析】根据条件先推出,M N 是中点，利用中线向量的表达式可判断AB 选项，利用0AN BC ⋅=可以判断C 选项，根据C 选项和题目条件可判断D 选项.【详解】因为2AB AM =uu u r uuu r，2CM CN =，所以,M N 分别为,AB CM 的中点， 所以()1122AN AM AC =+=111242AB AC AB AC ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以24AB AC AN +=，故选项A 错误；由222AB AC AM AC −=−=2CM ，得()2AB AC CM −，故选项B 正确；因为AB =，()()12AN BC AC AM AC AB ⋅=+⋅− ()221111*********AC AB AC AB AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+⋅−=−−⋅=−⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AB AC ⊥，故选项C 正确；由AB AC ⊥，得tan 2AM AB ACM AC AC ∠== 则45ACM ∠≠︒，故选项D 错误. 故选：BC.15．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3255AF AB AD →→→=+C ．1255BF AB AD →→→=−+ D ．13105CF AB AD →→→=− 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.对于A 选项，1122AE AB BE AB BC AB AB AD DC →→→→→→→→→⎛⎫=+=+=+−++ ⎪⎝⎭11312242AB AB AD AB AB AD →→→→→→⎛⎫=+−++=+ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；对于B 选项，因为B ，F ，D 三点共线，设()1AF x AB x AD →→→=+−，由AF AE →→∥，所以存在唯一实数λ，使得AF AE λ→→=，结合A 可知，()3131114242x AB x AD AB AD x AB x AD λλλ→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=+⇒−=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为,AB AD →→不共线，所以303415102x x x λλ⎧−=⎪⎪⇒=⎨⎪−+=⎪⎩，所以3255AF AB AD →→→=+，故B 选项正确； 对于C 选项，结合B ，2255BF AF AB AB AD →→→→→=−=−+，故C 选项错误；对于D 选项，结合B ，132********CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=++=−−++=−，故D 选项正确. 故选：ABD.16．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG BG CG +=− B ．若2133AE AB AC =+，则EAC 的面积是ABC 面积的13C ．若2AB AC ==，3BC =，则76AB AG ⋅=D ．若2AB AC ==，3BC =，则当EA EB ⋅取得最小值时，37||2EA =【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量的基底表示，结合重心的性质，判断选项AB ，利用余弦定理计算角，根据平面向量的基底表示计算向量的数量积，从而判断选项CD.设AB 的中点为D ，则2GA GB GD +=，则2AG BG GD CG +=−=−，即2CG GD =，由重心性质可知成立，故A 正确；32AE AB AC =+，则22AE AC AB AE −=−，即2CE EB =，所以E 为边BC 上靠近点B 的三等分点，则EAC 的面积是ABC 面积的23，故B 错误；在ABC 中，由余弦定理得1cos 8A =−，则()211()33AB AG AB AB AC AB AB AC ⋅=⋅+=+⋅=117422386⎡⎤⎛⎫+⨯⨯−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确； 由余弦定理得3cos 4ABC ∠=，所以2()EA EB EB EB BA EB EB BA ⋅=⋅+=+⋅=2||||EB EB BA +⋅22339cos()||||2416ABC EB EB EB π⎛⎫−∠=−=−− ⎪⎝⎭，则当3||4EB =时，EA EB ⋅取得最小值916−，此时()229337||422cos 16416=−=+−⨯⨯⨯∠=EA EB AB ABC ，37||4=EA ，故D 错误. 故选：AC【点睛】一般计算平面向量的数量积时，如果不能采用定义或者坐标公式运算时，可利用向量的基底表示，根据向量的线性运算法则将所求向量表示为已知向量的和或差进行计算.17．（2022·广东茂名·一模）已知点A 是圆C :()2211x y ++=上的动点，O 为坐标原点，OA AB ⊥，且||||OA AB =,O ，A ，B 三点顺时针排列，下列选项正确的是（ ）A ．点B 的轨迹方程为()()22112x y −+−= B ．||CB的最大距离为1C ．CA CB ⋅1 D ．CA CB ⋅的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且，设点(),B x y ，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为()()22112x y ++−=，可判断A ；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B ；设[0,90]CAO ,∠=θθ∈，将向量的数量积表示成关于θ的函数，可判断C ，D ；【详解】如图，过O 点作//,OD AB OD AB =且则点()1,0C −，设点()00,A x y ，设xOA α∠=，则2xOD πα∠=−，设||OA a =，所以，0cos x a α=，0sin y a α=，所以，0cos sin 2D x a a y παα⎛⎫=−== ⎪⎝⎭，0sin cos 2D y a a x παα⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭，即点()00,D y x −，因为()0000,OB OA OD x y y x =+=+−，设点(),B x y ，可得0000x x y y y x =+⎧⎨=−⎩，解得0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 因为点A 在圆()2211x y ++=上，所以()220011x y ++=，将0022x y x x y y −⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入方程()220011x y ++=可得221122x y x y −+⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得()()22112x y ++−=，所以A 是错的， 所以CB的最大距离为1B 是对的， 设,090CAO θθ︒∠=≤≤，2o ()1||||cos(90)CA CB CA CA AB CA CA AB CA AB ⋅=⋅+=+⋅=+⋅−θ 1|OA |sin 12cos sin 1sin 22=+=+=+≤θθθθ所以CA CB ⋅的最大值为2，D 是对的. 故选：BD18．（2021·全国·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是线段BC 上的两个三等分点（D ，E 两点分别靠近B ，C 点），则下列说法正确的是（ ） A ．AB AC AD AE +=+ B ．若F 为AE 的中点，则1344BF AC AB =− C ．若0AB AC ⋅=，1AB =，2AC =，则109AD AE ⋅=D ．若3AB AC AB AC +=−，且AB AC =，则60CAB ∠=︒ 【答案】ACD 【解析】 【分析】取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点，根据向量的加法运算即可判断A ；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B ；根据平面向量数量积的运算律即可判断C ；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D. 【详解】解：对于A ，取BC 的中点M ，则M 也是DE 的中点， 则有()()1122AM AB AC AD AE =+=+，所以AB AC AD AE +=+，故A 正确； 对于B ，若F 为AE 的中点，则111251223363BF BA AF AB AE AB AB AC AB AC ⎛⎫=+=−+=−++=−+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为D ，E 分别为线段BC 上的两个三等分点，所以()()()111333AD AE AB BD AC CE AB BC AC BC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+=+−=+− ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()221212122533333999AC AC AB AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−=+⋅+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，()21014099AC =⨯++=，故C 正确；对于D ，由A 选项得，2AB AC AM +=， 由AB AC CB −=，因为3AB AC AB AC +=−，所以32AM CB =，即AM CM = 因为AB AC =，所以AM BC ⊥，AM 平分BAC ∠，在Rt AMC 中，tan AM ACB CM∠=60ACB ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以60CAB ∠=︒，故选：D. 故选：ACD.19．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G 为ABC 的重心，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且D ，G ，E 三点共线，AD mAB =，AE nAC =，0m >，0n >，记ADE ，ABC ，四边形BDEC 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（ ）A ．113m n+= B ．12S mn S = C ．1345S S ≥ D ．1345S S ≤ 【答案】ABC 【解析】 【分析】连接AG 并延长交BC 于点M ，由三角形重心结合向量运算探求m ，n 的关系， 再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答. 【详解】连接AG 并延长交BC 于点M ，如图，因G 为ABC 的重心，则M 是BC 边的中点，且23AG AM =uuu r uuu r，又D ，G ，E 三点共线，即(01)DG tDE t =<<，则有(1)AG t AD t AE =−+，而AD mAB =，AE nAC =，又()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，于是得11(1)33t mAB tnAC AB AC −+=+，而AB 与AC 不共线，因此，11(1),33t m tn −==，113(1)33t t m n+=−+=，A 正确；ADE 边AD 上的高为sin AE BAC ∠，ABC 边AB 上的高为sin AC BAC ∠，则121sin 2·1sin 2AD AE BAC S AD AEmn S AB ACAB AC BAC ⋅∠===⋅∠，B 正确；由A可知，11133m n =+≥23m n ==时取“=”，则有49mn ≥，即1249S S ≥，而121S S <，于是得11213212121141145119S S S S S S S S S S ==−=−≥=−−−−，C 正确，D 错误. 故选：ABC20．（2021·全国·模拟预测）已知向量()3,2a =−，()2,1b =r，(),1c λ=−，R λ∈，则（ ）A ．若()2a b c +⊥，则4λ= B ．若a tb c =+，则6t λ+=− C ．a b μ+的最小值为D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(),1−∞− 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，根据两向量垂直时其数量积为0可求得λ的值；对于B ，根据向量相等建立方程组可求得λ、t 的值，即可得t λ+的值；对于C ，由模的计算公式求出a b μ+，然后利用二次函数的性质求解即可；对于D ，由两向量的夹角为锐角时其数量积大于0且两向量不共线即可求出λ的范围． 【详解】对于A ，因为()21,4a b +=，(),1c λ=−，()2a b c +⊥， 所以()()21410a b c λ+⋅=⨯+⨯−=，解得4λ=，所以A 正确； 对于B ，由a tb c =+，得()()()()3,22,1,12,1t t t λλ−=+−=+−， 则3221t t λ−=+⎧⎨=−⎩，解得93t λ=−⎧⎨=⎩，故6t λ+=−，所以B 正确；对于C ，因为()()()3,22,123,2a b μμμμ+=−+=−+， 所以(2a b μμ+=− 则当45μ=时，a b μ+取得最小值为C 正确；对于D ，因为()1,3a b +=−，()24,1b c λ+=+，因为向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角， 所以()()()214310a b b c λ+⋅+=−⨯++⨯>，解得1λ<−；由题意知向量a b +与向量2b c +不共线，()11340λ−⨯−⨯+≠，解得133λ≠−． 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫−∞−⋃−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确．综上可知，选ABC ． 故选：ABC.21．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则（ ） A ．若π3C =，则6AB AO ⋅=uu u r uuu r B ．若()2BC BA AC AC +⋅=，则AB 为圆O 的一条直径C ．若OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，则OA ，OB 的夹角π3θ=D ．若20OA AB AC ++=，则22BC =【答案】AC 【解析】 【分析】对于A ，结合正弦定理求出AB ，过点O 作⊥OD AB 于D ，得0DO AB ⋅=，然后将AB AO ⋅转化为()AB AD DO ⋅+uu u r uuu r uuu r 即可求解；对于B ，根据平面向量运算法则可由()20BC BA AC AC +⋅−=uu u r uu r uu u r uu u r 得到20BA AC ⋅=uu r uu u r，由此可作出判断；对于C ，将OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r 两边平方，利用向量的数量积运算求出cos θ的值，从而结合0OA OB ⋅>求得角θ；对于D ，由题设条件并结合平面向量的线性运算得到0OB OC +=，由此可作出判断. 【详解】对于A ，由正弦定理，得π2sin 22sin3AB R C ==⨯=过点O 作⊥OD AB 于D ，则0DO AB ⋅=，所以()AB AO AB AD DO AB AD AB DO ⋅=⋅+=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r(22110622AB =+=⨯=uu u r ，故A 正确；对于B ，()()()220BC BA AC AC BC BA AC AC BC BA CA AC BA AC +⋅−=+−⋅=++⋅=⋅=uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uu r uu r uu u r uu r uu u r ，所以AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的一条直径，故B 不正确； 对于C ，由OA OB OA OB −=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，两边平方，得288cos 16cos θθ−=，解得1cos 2θ=或cos 1θ=−，易知，0OA OB ⋅>，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3θ=，故C 正确；对于D ，由20OA AB AC ++=，得0OA AB OA AC OB OC +++=+=，所以点O 是线段BC 的中点，所以4BC =，故D 不正确.综上可知，选AC. 故选：AC22．（2021·全国·模拟预测）已知向量a ，b 满足2=a ，()2,2b =，且26a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．23a b +=C ．(2,a =或(2,a =−D ．a 与2a b +的夹角为45°【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，由26a b +=，两边平方求解判断；对于B ，由a b +平方求解；对于C ，设(),a x y =，由26a b +=求解判断；对于D ，利用夹角公式求解判断. 【详解】对于A ，由()2,2b =，得22b =，因为26a b +=，所以224436a b b a ⋅+=+，又2=a ，所以0a b ⋅=，a b ⊥，故A 正确；对于B ，因为22224812a b b a b a +⋅=+++==，所以23a b +=，故B 正确；对于C ，设(),a x y =，则2(4,4)a b x y +=++，22(4)(4)36x y +++=，解得0x y +=，从而(2,a =或(2,a =−，故C 正确；对于D ，()241cos ,22632a a ba ab a a b⋅++===⨯⋅+，故D 错误. 故选：ABC23．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在直角三角形ABC 中，90,A AB AC ===点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则（ ）A ．点P 所在圆的半径为2B ．点P 所在圆的半径为1C ．PB PC ⋅的最大值为14D ．PB PC ⋅的最大值为16【答案】AC 【解析】 【分析】Rt ABC 斜边BC 上的高即为圆的半径；把求PB PC ⋅的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求42PA PM +⋅的最大值，从而判断出P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时取最大值. 【详解】设AB 的中点为M ，过A 作AH 垂直BC 于点H ，因为90,A AB AC ===所以5BC =，52AM =，所以由1122AB AC BC AH =，得2AB AC AH BC ==，所以圆的半径为2，即点P 所在圆的半径为2，所以选项A 正确，B 错误；因为PB PA AB =+，PC PA AC =+，0AC AB ⋅=， 所以()()2·PB PC PA AB PA AC PA PA AC AB PA ⋅=++=+⋅+⋅ ()242AC A PA PA PA B PM =+⋅+=+⋅ ，所以当P ，M ，A 三点共线，且P ，M 在点A 的两侧时，2P PA M ⋅取最大值，且最大值为()max52222102PA P PM A PM ⋅=⋅=⨯⨯=， 所以PB PC ⋅的最大值为41014+=，所以选项C 正确，D 错误.故选：AC.24．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中2,333COD OC OA π∠===，动点P 在CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（ ）图1 图2 A ．若y x =，则23x y += B ．若2y x =，则0OA OP ⋅= C ．2AB PQ ⋅≥− D ．112PA PB ⋅≥【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，可得(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+，结合题中条件可判断A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，D. 【详解】如图，作OE OC ⊥ ,分别以,OC OE 为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则13(1,0),(3,0),((22A C B D −− ,设2(cos ,sin ),[0,]3Q πθθθ∈ ，则(3cos ,3sin )P θθ,由OQ xOC yOD =+可得3cos 3,sin 2x y y θθ=−= ，且0,0x y >> ，若y x =，则22223cos sin (3))12x x θθ+=−+=，解得13x y == ，（负值舍去），故23x y +=，A 正确；若2y x =，则3cos 302x y θ=−=，(1,0)(0,1)0OA OP ⋅=⋅=，故B 正确；3((2cos ,2sin )3cos )23AB PQ πθθθθθ⋅=−⋅=−=− ，由于[0,]3θ2π∈，故[,]333πππθ−∈−，故)33πθ−≥−，故C 错误；由于1(3cos 1,3sin ),(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ=−=+，故1(3cos 1,3sin )(3cos ,3sin 2PA PB θθθθ⋅=−⋅+173sin()26πθ=−+ ，而5[,]666πππθ+∈， 故173sin(17)2611322PA PB πθ⋅=−+≥−=，故D 正确， 故选：ABD25．（2022··一模）平面向量,,a b c →→→，满足1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，则下列说法正确的是（ ）A ．2→→+=a b B ．a →在b →方向上的投影是1C ．c →1 D ．若向量m →满足2→→⋅=m a ，则→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54【答案】ACD 【解析】 【分析】结合题意，直接根据两向量垂直和向量的数量积运算，即可判断A 选项；根据a →在b →方向上的投影是cos a b a bθ→→→→⋅=进行计算，即可判断B 选项；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，根据题意可知OA BA ⊥，并取2→→=OD OA ，从而得出动点C 在以BD 为直径的圆上，设BD 的中点为E ，从而得出max 1=+OC OE ，即可判断C 选项；设→→=OM m ，由2→→⋅=m a 可知故M 在垂线l 上，根据向量的加减法运算得出22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，可知2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，即可求出→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值，从而可判断D 选项. 【详解】解：因为1a →=，2b →=且a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，则20a a b →→→−⋅=，所以1a b →→⋅=，又221,4→→==a b ，则22224412→→→→→→+=+⋅+=a b a a b b ，则2→→+=a b A 正确；由于a →在b →方向上的投影是1cos 2θ→→→→⋅==a ba b，故B 错误；设,,OA a OB b OC c →→→→→→===，由于a a b →→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭，即→→→⎛⎫⊥− ⎪⎝⎭OA OA OB ，故OA BA ⊥，因为20→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c a c b ，取2→→=OD OA ，则0→→→→⎛⎫⎛⎫−⋅−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OC OD OC OB ，所以0→→⋅=DC BC ，所以动点C 在以BD 为直径的圆上，如图， 1,2==OA OB ，则2OD =，2BD =，设BD 的中点为E ，OB 的中点为F ，过D 作OD 的垂线l ，则max 1=+OC OE ，因为OE =c →1，故C 正确； 设→→=OM m ，因为2→→⋅=m a ，即2→→⋅=OM OA ，则cos 2→→⋅∠=OM OA AOM ， 所以cos 2→∠==OM AOM OD ，故M 在垂线l 上，而→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅−=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭m m b OM BM MF FO MF FB ，又F 是OB 的中点，所以→→=−FB FO ，则22→→→→→⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭m m b MF OF ，过F 作l 的垂线，垂足为1M ，则2221924+⎛⎫≥== ⎪⎝⎭OD AD MF M F ，又1OF =，所以2295144→→→→→⎛⎫⋅−=−≥−= ⎪⎝⎭m m b MF OF ，所以→→→⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭m m b 的最小值是54，故D 正确.故选：ACD.。
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)303n n n n ⋅-=-+=⇒=±， 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a aab ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=，4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
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高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ．34 B ．1 C ． 32 D. 31 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a +B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.12a b -4．在平面内，已知31==，0=⋅OB OA ，30=∠AOC ，设n m +=，（,R m n ∈），则nm等于A ．B ．3±C ．13±D ．3±5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1）B ．（-3,1）C ．(3,1)-D ．（3,1）6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点 的纵坐标为（ ）．A ．13-B ．9C ．9-D ．137．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17-B.17C.16- D.1610．若点M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A ．++ B ．++ C ．AC AM +3 D ．CM BM AM ++11．若|a |=|b |=|a －b|,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°12． 已知()23,a =,47(,)b =-,则b 在a 上的投影为（ ）（A）(B)13．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0000，则||的最小值是 A. 2 B.22C. 1D. 2114．矩阵A 1002⎛⎫=⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 10α= （ ） A ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭15．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．⑤16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A. B. C. D.17．已知O 为空间内任意一点，P 为ABC ∆所在平面内任意一点，且2OP OA OB mCO =++ 则m 的值为( )A 、 2B 、2-C 、3D 、 3-18．设向量(cos25,sin 25),(sin 20,cos20)a b =︒︒=︒︒，若c a t b =+（t ∈R ），则()2c 的最小值为（ ）A.2B.1C.22 D.2119．已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能 20．平面直向坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1） B （－1，3）若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 。
A ．5)2()1(22=-+-y xB ．3x+2y －11=0C.2x －y=0D ．x+2y=521．AC 可以写成：①AO OC +；②AO OC -；③OA OC -；④OC OA -，其中正确的是（ ） A.①② B.②③C.③④D.①④22．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 平行向量，则k 的值是( ) （A ）1 （B ） －1 （C ）1± （D ）任意不为零的实数23．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )A 30°B 60°C 120°D 150°24e,4=为单位向量，当e a ,的夹角为32π时，在上的投影为（ ）A.2B. 2-C. 32D.32-25．ABC ∆的外接圆圆心为O ,半径为2，0=++AC AB OA ,且||||AB OA =,向量CA 在CB 方向上的投影为 （ ）A.3-B. D.326．已知(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c 等于 ( ) A ．1322a b -+ B ．1322a b - C ．3122a b -- D ．3122a b -+ 27．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17-B ．17C ．16-D ．1628．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A.)2,1(),0,0(21-==e eB. )6,3(),2,1(21=--=e eC.)10,6(),5,3(21=-=e eD. )3,2(),3,2(21-=-=e e29．已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( )30．如果向量(,1)a k =与(4,)b k =共线且方向相反，则k =( ) A.2± B.2- C.2 D.031． 已知向量a e ≠，||1a =，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则 A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()e a e ⊥-D ．()()a e a e +⊥-32．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝ ( )．．．1033．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则 ( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y ==C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-34．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5 35,21===且b a c +=，则向量a 与b 的夹角为（ ）45 .A 60.B 120.C 135.D36．已知向量()()1,2,2,1-==b a ，则=∙b a （ ）A 、－5B 、－4C 、0D 、537．△ABC 的边长AB=3，BC=5，AC=4，则=⋅+⋅BC AB BA AB （ ） A.-18 B. 18 C. 0 D.1238．在四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD =(-4,2),则该四边形的面积为( )39．已知圆O(O 为坐标原点)的半径为1,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,那么·的最小值为( )(A)-4+ (B)-3+ (C)-4+2(D)-3+240．在ABC △所在的平面内，点0P P 、满足0P B =14AB ，PB AB λ=，且对于任意实数λ，恒有PB PC ⋅≥00P B PC ⋅，则 （ ）A ．︒=∠90ABCB ．︒=∠90AC B C ．BC AC =D ．AC AB = 41．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝（ ）A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab42．在四边形 ABCD 中，AB =DC ，且0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 43．下列命题中正确的是( )A.若AC uuu r ＝BD uu ur ,则ABCD 一定是平行四边形B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若a r 和b r 都是单位向量，则a r ＝b r 或a r ＝－b rD.若两个向量共线，则它们是平行向量44．在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且OA OC ＝1，则AB AC 等于( )A. －1B. 1 45．已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是 （ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =46．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，若O 为△ABC 的外心，则AO BC ⋅的值是(（ ）A ． B. 8 C.6a ∈R D ．6 47．已知向量,a b 满足：2a b +与54a b -垂直，且||1,||1a b ==，则a b 与的夹角为（ ）A ．4π B ．3πC ．23π D ．34π 48．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为（ ） A ．311-B ．113- C ．12 D ．3549．设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，向量)sin sin 3(B A 、=、)cos 3,(cos A B =， 若)cos(1B A ++=⋅，则C 等于( ) A 、6πB 、3π C 、32π D 、65π 50．已知点O 为∆ABC 所在平面内一点，且222222+=+=+， 则O 一定为∆ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心51．在=⋅=∆B AB ABC为直角，则中，,3 52．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 53．若2a =，14b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅= .54．若平面向量、、311===，=++b55．在OAB ∆所在平面内，点C 为AB 中点，且满足AB CD ⊥，设P 是CD 上任一点，设向量=，=，向量p OP =，若5=，3=，则=-⋅)( ．56．平面上有三个点A(－2，y)，B 0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，C(x ，y)，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为__________．57．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<； ③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点． 则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）58．已知向量a b 、满足(0,1),(1,2)a b a b +=-=-，则a b ⋅=___________ 59．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为60．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB ·AD 的值为 ．61．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB，=1||=，则=⋅_________．62．设(1,2)a =，(1,)b x =-，若⊥，则x =____________.63．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，E 是BCD ∆内部任意一点，AE 与BD 交于点F ，则AF BF ⋅的最小值是 ．A64．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD xAF yAE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .65．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2DE EC =，2CF FB =，则A E A F ⋅的值为.已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2DE EC =，2CF FB =，则AE AF ⋅的值为.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-，(2,2)OB =，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为_____.67．已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且a b ⊥，则x= ______．68．若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b -⋅r r r =-2,则x = .69．在∆ABC 中，22AB AC ==，1AB AC ⋅=-，若12AO x AB x AC =+（O 是∆ABC 的外心），则21x x +的值为已知向量(sin 2,1)a x =，向量2sin()4(,1)2cos x b xπ+=，函数()(1)f x a b λ=⋅- 70．若3[,]84x ππ∈-且当0λ≠时，求函数()f x 的单调递减区间； 71．当2λ=时，写出由函数sin 2y x =的图象变换到函数()y f x =的图象的变换过程.72．如图，在平面直角坐标系x O y 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0, 1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。