第十八章节判别分析
判别分析
1 2
2
)T 1 ( 1 2 )
令
1 2
2
， u ( x) ( x )T 1 ( 1 2 ) ，则上述判别法则等价于：
若 u ( x) 0 ，则判 x 1 ，若 u ( x) 0 ，则判 x 2 。 令 a 1 ( 1 2 ) 则 u ( x) ( x )T a aT ( x ) 是 x 的一个线性函数， ˆ ( a1 , a2 , , a p )T ， 称 u ( x) 为线性判别函数，而 a 为判别系数。上述判别规则相当于把 p 维空间划分 成二部分：
i i i i
由此得：
ˆ1
1 1 n1 1 ˆ2 xj ˆ x 1 ， n2 n1 j 1
x x
j 1
2 j 2
n2
ˆ 1
n1
1 ˆ 1 W W1 ， 2 2 n1 1 n2 1
n2
Hale Waihona Puke 其中 W1 ( xj1 x 1 )( xj1 x 1 )T ， W2 ( xj2 x 2 )( xj2 x 2 )T 。
2 P (2 1) P (1 2) 1 2
从上式可知： 1 , 2 相差越大，误判概率越小。
在实际问题中 1 , 2 及 一般是未知的，设从 i 得到样本容量为 ni 的样本：
T i i i i i i T x1 ( x11 , x21 , , xpi1 )T , x2 ( x12 , x22 , , xpi2 ) , , xn ( x1 ni , x2 ni , , x pni ) (i 1, 2) i
判别分析的结果解释
逐步判别分析运行记录，第一步纳入人均地方财政收入，第二步纳入人均国内生产总值，以此类推。
共5 个变量进入判别模型，其他5个变量未进入。
5步的Wilks 的 Lambda检验均小于0.05。
拒绝原假设，说明5步中分别纳入判别函数的变量对正确判断分类都是有作用的。
分析中一共提取出了来年各个维度的典型判别函数，期中第一个函数解释了所有变异的99.3%，第二个函数解释了0.7%。
说明建立的各个判别函数有无统计学意义，上表显示第一个判别函数有意义，第二个判别函数搭边。
说明人均国内生产总值，人均地方财政收入在第一个判别函数中比较重要，人均进出口贸易总额、移动电话普及率、电话普及率在第二个判别函数中比较重要。
说明判别结果正确。
判别分析解读 PPT
Discriminant Analysis
流行病与卫生统计学系
• 聚类分析：对（样本）总体进行分类 • 判别分析：对（样本）个体进行分类
判别与聚类
• 聚类分析可以对样本/指标进行分类，判别分析 只对样本进行分类。
• 聚类分析事先 不知道事物的类别，也不知道应 分几类；判别分析必须事先知道事物的类别， 也知道应分几类。
• 在农林害虫预报中，根据以往的虫情，多种气 象因子来判别一个月后的虫情是大发生，中发 生或正常
• 在体育运动中，判别某游泳运动员是适合练蛙 泳，仰泳还是自由泳
• 在医疗诊断中，根据某人多种检验指标来判断 此人是某病患者还是非患者
判别分析－－诊断
• 临床诊断： • 急腹症的患者，需要诊断患病原因。 • 诊断阑尾炎时需要与其他急腹症作鉴别诊断；
• 聚类分析不需要分类的历史资料，能直接对样 本进行分类；判别分析需要历史资料去建立判 别函数，然后才能对样本进行分类。
• 判别分析：根据判别对象若干个指 标的观测结果判定其应属于哪一类 的统计学方法。
应用
• 在经济学中，根据人均国民收入，人均工农业 产值，人均消费水平等多个指标来判定一个国 家的经济发展程度所属等级
以p=q=k=2 来说明Fisher判别分析法的基本原理和计算方法
根据Fisher判别分析法的基本原理，就是要选择一组 适当的系数 c 1 , c 2 ,…, c k ，使得类间差异D最大 且类内差异V最小，即，使得下式的值 Q 达到最大。
根据多元函数求极值的原理和方法，使得 Q 取最大 值的点是Q 的一阶偏导函数等于0的方程组的解。 令上述方程组的解是： 那么，Fisher判别函数估计式是：
该类。 • 适合于多类的判别分析。
判别分析完整课件
2 i 1 m
m为判别指标数，根据自由度查F(m,n1+n2-m-1)。
（三）确定判别临界值
确定两类的判别临界值（即两类的分界点）yc， 据此对未知样本作出判断。
yc
n1 y(1) n2 y( 2 ) n1 n2
在医学科研资料中经常遇到指标变量不呈正态分 布或难以满足参数判别分析的要求，特别是有些 变量是分类变量，不可能服从正态分布，可以用 Logistic回归分析的方法。
实际资料中一般含有较多的指标，有些指标可能 对鉴别不同的类别毫无用处，或指标间彼此相关的情 况时不应该用所有的指标都参与建判别函数。所以， 在建函数之前，先进行变量筛选是很有必要的，即逐 步判别分析,此法建立的函数更简洁，效果也更好。 此外,对于某些指标间存在彼此相关的情况时, 先对众多的指标进行聚类，从聚成的几大类中各挑选 一个最有代表性的指标，用这些典型指标建立判别函 数。 逐步回归、判别分析、聚类分析等方法可以联合 应用。
y ci xi
i 1 n
2
n1
(y
i 1
n2
i ( 2)
y( 2 ) )
2
y(1) ck xk (1)
k 1
n1
y( 2) ck xk ( 2)
k 1
n2
根据求极值的原理，求I对判别系数Ci的偏导数，使其等 于零，得到下列方程组：
f11C1+f12C2+……f1mCm=d1 f21C1+f22C2+……f2mCm=d2 ……… …… …… ……… ….. fm1C1+fm2C2+……fmmCm=dm 其中， di
判别分析-距离判别
= 2y′Σ −1 ( µ1 − µ 2 ) − ( µ1 + µ 2 )′Σ −1 ( µ1 − µ 2 )
( µ1 + µ 2 ) −1 = 2[y − ]′Σ ( µ1 − µ 2 ) 2 µ1 + µ 2 α = Σ −1 ( µ1 − µ2 ) = (a1 , a2 ,L, a p )′ 令µ = 2
利用这些数据找到一种判别函数，使得这一函数 具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点 尽可能的区别开来，并对同样测得 p项指标的新 样本进行归类.
关键：确定判别函数
判别准则： 判别准则： 用于衡量新样品与各已知组别接近程度的思路原则。 常用的有，距离准则、Fisher准则、贝叶斯准则。
判别函数： 判别函数： 基于一定的判别准则计算出的用于衡量新样品与各 已知组别接近程度的描述指标。
µ1 + µ 2
判别函数的常数项（ 2 ′ ） Σ −1 ( µ1 − µ 2 )
（6）生成判别函数，将检验样本代入，判类。
三、多总体的距离判别法
设有 k 个 m元总体 G1,L, Gk ，分别有均值向量 µi和协方 差阵 Σi，对任给的 m元样品 X，判断它来自哪个总体 计算 X 到 k个总体的马氏距离，比较后，把 X 判归给 距离最小的那个总体，若
Y = (Y1 , Y2 ,..., Y p )'，通常我们所说的两点间的距
离是指欧氏距离：
d 2 ( X , Y ) = ( X 1 − Y1 ) 2 + ... + ( X p − Yp ) 2
缺陷： 缺陷： 1、量纲的改变 2、数据的分散程度
1、设有量度重量和长度的两个变量 X和Y ，以单位 分别为kg和cm得到样本 A(0,5), B(10,0), C (1,0), D(0,10)， 按照欧氏距离计算，有：
第十八章 判别分析
10.859
F
Appr ox. 1.508
df1
6
df2 2613.311
Sig.
.172
Tests null hypothesis of equal population covaria
本例p＞0.05,满足齐性条件.
28
两总体方差不齐距离示意
z1
z2
29
建立判别规则和判别值（Zc）
zc
zA
1
.51 31 8.466
3.009
31
典型判别函数
（canonical discriminant function)
Canonical Discriminant Function Coefficients
F un c tio n
1
X1
.040
X2
-.127
X3
.179
(C o n stan t)
类间 均数 差值
.....
(18-3)
Sm1C1 Sm2C2 ....SmmCm Dm
Sij为第i指标和第j个指标的合并协方差
zc1x1c2x2....cm xm
13
2.建立判别规则和判别值（Zc）
zc
zA
zB 2
(18-5)
z i z c 判为A类
z i z c 判为B类
对资料要求： 要求建立方程的观察对象分类（y）已经
明确（用金标准确定），收集建模对象（训 练样本）的m个变量（x）建立判别方程。
7
判别分析建模的方法
根据自变量（x）资料性质：
自变量（x）为计量数据： Fisher判别、Bayes判别（SPSS、SAS
判别分析精讲
判别分析判别分析是一种常用的统计分析方法，根据观察或测量到若干变量值，判别研究对象属于哪一类的方法。
进行判别分析必须已知观测对象的分类和若干表明观测对象特征的变量值。
判别分析就是要从中筛选出能提供较多信息的变量并建立判别函数，使得利用推导出的判别函数对观测量判别其所属类别时的错判率最小。
线性判别函数一般形式是1122...n n y a x a x a x =+++，y 为判别分数（判别值），n x 为反映研究对象特征的变量，n a 为各变量的判别系数。
典则判别分析：建立典则变量代替原始数据文件中指定的自变量。
典则变量是原始自变量的线性组合。
用少量的典则变量代替原始的多个变量可以比较方便地描述各类之间的关系。
实验：实验数据见：判别分析2010.sav .例1：一个城市的居民家庭，按其有无割草机可分为两组，有割草机的记为一组为1π，没有割草机的一组记为2π，割草机工厂欲判断一些家庭是否购买割草机。
从1π和2π分别随机抽取12个样品，调查两项指标：1x =家庭收入，2x =房前屋后土地面积。
用y 作为二元被解释变量，有割草机的家庭用1表示，没有割草机的家庭用0表示，12,x x 作为解释变量。
实验步骤:打开判别分析2010.sav ,之后选择判别分析。
选择变量，定义范围分组变量：必须是离散变量，设置分类变量的范围选择变量：选择一部分符合条件的观测量进行判别函数的推导，而且有一个变量的某个值可以作为这些观测量的标识。
例如：新设一个变量group，选择group=1，则只有group=1的观测量参与判别函数的推导。
一起输入自变量：判别分析过程使用所有的自变量进行判别分析，建立全模型。
使用步进式方法：筛选能对观测量的特性提供丰富的信息的自变量进入判别分析。
在“方法”栏中作相应选择Wilks’lambda：每步都是Wilk的lambda统计量最小的进入判别函数。
未解释方差：每步都是各类不可解释的方差和最小的变量进入判别函数。
判别分析
判别分析假设有k 个总体，判别分析就是根据某个个体的观察值来推断该个体是来自这k 个总体中哪一个总体。
下面的例子说明判别分析有着广泛的应用。
（1）根据已有的气象资料，如气温、气压等判断明天是晴天还是阴天，是有雨还是无雨。
明天的天气情况是未来的行为。
因为是未来行为，难以得到它的完全信息。
已有的气象资料仅是它的一部分信息。
基于未来行为的不完全信息对未来行为进行预测是判别分析的一个应用。
（2）在非洲发现了一种头盖骨化石，考古学家要研究它究竟是像猿（如黑猩猩）还是像人。
倘若研究对象是活的，就能对他进行各方面的观察，有充足乃至完全的信息。
但研究对象早就死了，他的很多重要信息都丢失了。
考古学家只能根据不完全信息，如牙齿的长宽来进行判断。
当信息丢失后，对过去的行为进行判断是判别分析的另一个应用。
（3）有时人们难以得到完全的信息，这里有两种情况。
情况之一是信息完全只能来自破坏性试验。
例如，汽车的寿命只有在把它用坏之后才知道。
一般地，希望根据一些测量指标（如零部件的性能）就能事先对汽车的寿命作出判断。
情况之二是获得完全信息的代价太高。
例如，有些疾病可用代价昂贵的检查或通过手术得到确诊。
但人们往往更希望用便于观察得到的一些外部症状来诊断体内的疾病，以避免过大的开支和损失。
在完全信息难以得到时，对行为判断是判别分析的又一格应用。
正因为判别分析是基于不完全信息作出的判断，它就不可避免地会犯错误，一个好的判别法则错判的概率应很小。
除了错判概率，在判别分析问题中还应考虑费用，一个好的判别法则错误的损失应很小。
关于判别法则优良性的讨论从略。
判别分析问题的描述：设有k 个m 维总体k G G G ,,,21 ，其分布特征已知（如已知分布函数分别为)(,),(),(21x F x F x F k ，或知道来自各个总体的训练样本）。
对给定的一个新样品X ，我们要判断它来自哪个总体。
在进行判别归类时，由假设的前提，判别的依据及处理的手法不同，可得出不同判别方法。
第18章：判别分析
第18章 判别分析判别分析，也就是根据观测数据对所研究的对象进行分类判别。
判别分析方法就是专门根据若干因素对预报对象进行分类的一种方法, 通过分析可以建立用于定性预报的数学模型。
例如，我们积累了某种病虫害各种发生状态的若干历史资料(样本)，希望从中总结出分类的规律性(即判别公式)，在以后的工作中遇到新的发生状态(样本)时，只要根据总结出来的判别公式判断它所属的类就行了。
在判别分析中，可从不同角度提出问题，故有不同的判别准则，常见如Fisher 判别和Bayes 判别。
第1节 两组判别1. 概述 在两组间进行判别分析的处理方法，基于统计上的费歇尔(Fisher)准则，即判别的结果应使两组间区别最大，使每组内的离散性最小。
在费歇尔准则下，确定线性判别函数y ＝c 1x 1＋c 2x 2＋…＋c p x p ，其中 c 1, c 2, …, c p 为待求判别函数的系数。
以A 和B 代表两组总体，两组中各有一批抽样数据，每个样本有p 个变量(p 个判别指标)。
A 组有n A 个样本，各判别指标(变量)的平均值为x 1(A), x 2(A), …, x p (A)。
B 组有n B 个样本，各判别指标(变量)的平均值为x 1(B),x 2(B), …, x p (B) 。
若以y c x k k k p ()()A A ==∑1 表示A 组样本的重心，以y c x k k k p()()B B ==∑1表示B 组样本的重心，则两组间的离差可用(()())y y A B -2来表示，A 组内部离散程度和B 组内部离散程度分别以(()())y y i i n A A -=∑211和(()())y y i i n B B -=∑212 来表示，其中y i (A)=c x k ik k p ()A =∑1，y c x i k ik k p()()B B ==∑1。
要使两组间离差最大，必须使()())y y (A B -2最大；要使各组内的离散程度最小，必须使()())y y i i n (A A -=∑211+(()))y y i i n B (B -=∑212达到最小。
第18章判别分析PPT课件
X
(B) j
分
别
为
X
和
i
X
j
于
A
类和
B
类的观察值。
2． 判别规则 建立判别函数后， 按公式 （18-1） 逐例计算判别函数值 Zi ，进一步求 Zi 的两类均数 ZA、ZB与总均数Z ，按下式计算判别界值:
判别规则：
Zc
ZA
ZB 2
Zi Zc, Zi Zc, Zi Zc，
判为A 类 判为B 类 判为任意一类
第一节 Fisher判别
适用于指标为定量指标的两类判别 （或多类判别）
一、两类判别
1. Fisher判别的原理
已知A、B两类观察对象， A类有nA 例， B 类有nB 例，分别记录了X1, X2,, Xm 个
观察指标，称为判别指标或变量。Fisher 判 别法就是找出一个线性组合
Z C 1 X 1 C 2 X 2 C m X m ( 1 8 - 1 )
S 21C 1
S 22C 2
S m 1C 1 S m 2 C 2
S1mC m D1 S2mCm D2
SmmCm Dm
(18-3)
式中
Dj
X
(A ) j
， X ( B ) j
分 别 是 X
, ( A )
j
X
(B) j
A
类和
B
类第
j个
指 标 的 均 数 ( j 1,2, , m ) ；
讲述内容
第一节 Fisher判别 第二节 最大似然判别法 第三节 Bayes公式判别法 第四节 Bayes判别 第五节 逐步判别 第六节 判别分析中应注意的问题
▪ 目的：作出以多个判别指标判别个体分类的
判别分析的基本原理
判别分析的基本原理和模型一、判别分析概述 （一）什么是判别分析判别分析是多元统计中用于判别样品所属类型的一种统计分析方法，是一种在已知研究对象用某种方法已经分成若干类的情况下，确定新的样品属于哪一类的多元统计分析方法。
判别分析方法处理问题时，通常要给出用来衡量新样品与各已知组别的接近程度的指标，即判别函数，同时也指定一种判别准则，借以判定新样品的归属。
所谓判别准则是用于衡量新样品与各已知组别接近程度的理论依据和方法准则。
常用的有，距离准则、Fisher 准则、贝叶斯准则等。
判别准则可以是统计性的，如决定新样品所属类别时用到数理统计的显著性检验，也可以是确定性的，如决定样品归属时，只考虑判别函数值的大小。
判别函数是指基于一定的判别准则计算出的用于衡量新样品与各已知组别接近程度的函数式或描述指标。
（二）判别分析的种类按照判别组数划分有两组判别分析和多组判别分析；按照区分不同总体的所用数学模型来分有线性判别分析和非线性判别分析；按照处理变量的方法不同有逐步判别、序贯判别等；按照判别准则来分有距离准则、费舍准则与贝叶斯判别准则。
二、判别分析方法 （一）距离判别法}１．基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，即分组（类）均值，距离判别准则是对于任给一新样品的观测值，若它与第i 类的重心距离最近，就认为它来自第i 类。
因此，距离判别法又称为最邻近方法（nearest neighbor method ）。
距离判别法对各类总体的分布没有特定的要求，适用于任意分布的资料。
２．两组距离判别两组距离判别的基本原理。
设有两组总体B A G G 和，相应抽出样品个数为21,n n ，n n n =+)(21，每个样品观测p 个指标得观测数据如下，总体A G 的样本数据为：()()()()()()()()()A x A x A x A x A x A x A x A x A x p n n n p p 111212222111211该总体的样本指标平均值为：()()()A x A x A x p 21,总体B G 的样本数据为：()()()()()()()()()B x B x B x B x B x B x B x B x B x p n n n p p 222212222111211该总体的样本指标平均值为：()()()B x B x B x p 21,现任取一个新样品X ，实测指标数值为X =（p x x x ,,,21 ），要求判断X 属于哪一类首先计算样品X 与A G 、B G 两类的距离，分别记为()A G X D ,、()B G X D ,，然后按照距离最近准则判别归类，即样品距离哪一类最近就判为哪一类；如果样品距离两类的距离相同，则暂不归类。
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讲述内容
第一节 Fisher判别 第二节 最大似然判别法 第三节 Bayes公式判别法 第四节 Bayes判别 第五节 逐步判别 第六节 判别分析中应注意的问题
第十八章节判别分析
▪ 目的：作出以多个判别指标判别个体分类的
判别函数或概率公式。
▪ 资料：个体分两类或多类，判别指标全部为
判别函数为 Z 0.070 X1 0.225 X 2 0.318 X 3 。
逐例计算判别函数值Zi 列于表 18-1 中的 Z 列，同 时计算出 Z A 1.428 、Z B 1.722 与总均数Z 0.004 。
第十八章节判别分析
（3）确定界值，进行两类判别: 按公式 （ 18 -5 ） 计 算 Z c (1.428 1.722 ) 2 0.147 ， 将 Z i 0.147 判 为 A 类 ， Z i 0.147 判 为 B 类 。 判 别 结 果 列 于 表 18-1 的 最 后 一 列 ， 有 4 例 错 判 。
数值变量或全部为分类变量。
▪ 用途：解释和预报（主要用于计量诊断）。 ▪ 分类（经典）： Fisher判别和Bayes判别。
第十八章节判别分析
按资料类型分：
1. 计量资料判别分析。目的是作出以定量指 标判别个体属性分类或等级的判别函数。
2. 计数资料判别分析。目的是作出以定性或等 级指标判别个体属性分类或等级的概率公式。
， X ( B ) j
分 别 是 X
, ( A )
j
X
(B) j
A
类和
ห้องสมุดไป่ตู้
B
类第
j个
指 标 的 均 数 ( j 1,2, , m ) ；
S ij 是 X 1, X 2 , , X m 的 合 并 协 方 差 阵 的 元 素 。
S ij
(
X
(A i
)
X
(A i
)
)(
X
(A ) j
X
) ( A )
j
(
X
(B) i
ZA SA2
ZB SB2
第十八章节判别分析
(18-2)
判别系数 C 可通过对λ求导，由下列方程组解出
S11C1 S12C 2
S 21C 1
S 22C 2
S m 1C 1 S m 2 C 2
S1mC m D1 S2mCm D2
SmmCm Dm
(18-3)
式中
Dj
X
(A ) j
已理知A、B两类观察对象， A类有nA 例， B 类有nB 例，分别记录了X1, X2,, Xm 个
观察指标，称为判别指标或变量。Fisher 判 别法就是找出一个线性组合
Z C 1 X 1 C 2 X 2 C m X m ( 1 8 - 1 )
第十八章节判别分析
Fisher 准则：使得综合指标 Z 在 A 类 的均数ZA 与在 B 类的均数 ZB 的差异 ZA ZB 尽可能大，而两类内综合指标 Z 的 变异SA2 SB2 尽可能小，即使得 达到最大。
0
-11
3
-3.43 B
B
19
-9
-20
3
-4.82 B
B
20
-7
-2
3
-0.91 B
B
21
B
22
-9
6
1第2十八章节判别0分析
0
1.98
A
0
-0.84 B
（1）计算变量的类均数及类间均值差Dj，
计算结果列于表18-2。
表18-2 变量的均数及类间均值差
类 别 例 数 X1
A 12
－ 3
B 10
4
nA nB 2
X
(B i
)
))(
X
(B) j
X
) ( B )
j
(1 8 -4 )
式中
X
(A i
),
X (B) i
,
X
, ( A )
j
X
(B) j
分
别
为
X
和
i
X
j
于
A
类和
B
类的观察值。
第十八章节判别分析
2． 判别规则 建立判别函数后， 按公式 （18-1） 逐例计算判别函数值 Zi ，进一步求 Zi 的两类均数 ZA、ZB与总均数Z ，按下式计算判别界值:
判别规则：
Zc
ZA
ZB 2
Zi Zc, Zi Zc,
判为A 类 判为B 类
Zi
Zc， 判为任意一类 第十八章节判别分析
（18-5） （18-6）
例18-1 收集了22例某病患者的
三个指标（X1，X2，X3）的资料列于表
18-1，其中前期患者（A）类12例，晚 期患者（B）类10例。试作判别分析。
第十八章节判别分析
表18-1 22例患者三项指标观察结果（Zc=-0.147）
类别 编号 X1
观察值
X2
X3
Z
Fisher 判别结果
A
1
23
8
0
0.19 A
A
2
-1
9
-2
2.73
A
A
3
-10
5
0
1.83
A
A
4
-7
-2
1
-0.28 B
A
5
-11
3
-4
2.72
A
A
6
-10
3
-1
1.69
A
A
7
25
9
-2
0.91
A
A
8
-19
12
-3
4.98
A
A
9
9
8
-2
1.81
A
A
10
-25
-3
-1
1.39
A
A
11
0
-2
2
-1.09 B
A
12
-10
-2
0
0.25
A
B
13
9
-5
1
-2.07 B
B
14
2
-1
-1
-0.05 A
B
15
17
-6
-1
-2.22 B
B
16
8
-2
1
-1.33 B
B
17
17
-9
1
-3.53 B
B
18
X2 4
－ 5
X3 － 1 1
类 间 均 值 差 D j
－ 7
9
－ 2
第十八章节判别分析
（2）计算合并协方差矩阵: 按公式（18-4），例如：
S 1 1 [ 2 ( 3 ) 2 3 ( 1 3 ) 2 ( 1 1 3 ) 2 1 0 ] 2 [ 2 9 0 ( 4 ) 2 ( 2 4 ) 2 ( 1 4 ) 2 2 ] 1 .3
第十八章节判别分析
按方法名分
➢ 1. Fisher判别 ➢ 2. 最大似然判别法 ➢ 3. Bayes公式判别法 ➢ 4. Bayes判别 ➢ 5. 逐步判别
第十八章节判别分析
第一节 Fisher判别
适用于指标为定量指标的两类判别 （或多类判别）
第十八章节判别分析
一、两类判别
1. Fisher 判 别 的 原
第十八章
判别分析
Discriminant Analysis
第十八章节判别分析
Content
• Fisher discriminant analysis • Maximum likelihood method • Bayes formula discriminant
analysis • Bayes discriminant analysis • Stepwise discriminant analysis
得到合并协方差阵
175.3 20.3 2.3
S
20.3
38.2
5.8
2.3 5.8 2.7
代入公式（18-3）得
175.3C1 20.3C2 2.3C3 7
20.3C1 38.2C2 5.8C3
9
2.3C1 5.8C2 2.7C3 2
第十八章节判别分析
解此正规方程得 C1 0.070 ，C2 0.225 ，C3 0.318