用基本不等式求最值六种方法

用基本不等式求最值六种方法一．配项

例1：设x>2,求函数y=x+9

2

x-

的最小值

解析：y=x-2+

9

2

x-

+2≥8 当x-2=

9

2

x-

时，即x=5时等号成立

例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值

法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时

等号成立。

法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3

二．配系数

例3:设0

解析：

当

三．重复使用不等式

例4：已知a>b>0，求2a+16

()

a b b

-

的最小值

解析：2a+16

()

a b b

-=2

a b b

-+

（）+16

()

a b b

-

≥4(a-b)b+16

()

a b b

-

≥

当时，等号成立。

四．平方升次

例5：当x>0时，求函数的最大值。

解析：y2=x2+4-x2≤4+［x2)2］

=8 当，即时，y取得最大值.

五．待定系数法

例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。

解析：y=2sin 2x+2sinxcosx

=2 sin 2x+

2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a

+ =a+22(21)sin a a x

a

+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,

所以y 时成立。 六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值

解析：1x +1y =13(x+2y)( 1x +1y )=1+13(

2y x +x y )≥1+23

当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，

取得最小值为1+23