奇偶分析知识讲解

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第十三讲(奇偶分析)

第十三讲构造与论证之奇偶分析一、奇偶数运算规律1、加减法中：看奇数个数奇数个数是奇数个，结果为奇；反之为偶2、乘法中：有偶则偶乘数中只要有一个偶数，则结果为偶；若要乘积结果是奇数，则乘数必须都是奇数。

3、有限个数，无论怎样填加减号，结果的奇偶性不变。

如：你能每两个数之间填“+”或“-”，使等式成立吗？5 4 3 2 1=2答案：不能。

左边有3个奇数，无论怎么填加减号，结果都是奇数，不可能得2。

二、构造与论证1、判断不能（80%的论证题都是不能）思路一：直接论证不能思路二：当直接论证不好说清楚时，不妨尝试反证法。

第一步：假设反面结论成立第二步：根据假设得到一个结论第三步：根据题目条件得到一个相反的结论第四步：由两个结论矛盾，得到假设不成立，即证明了正面结论。

2、判断能注意：证明出可能性后，一定要构造出一个例子才完整。

三、例题讲解连环画任意改变某一个三位数的各个数字的顺序得到一个新的数，求出所有使得新数和原数相加等于999的数。

分析：同学们遇到这类数论的题，可以多借用数字谜的形式帮自己直观地找到更多的条件。

□□□+ □□□9 9 9从个位分析开始，可知每位上都没有进位，也就是每位上的两个数相加都等于9。

这个时候很多同学去尝试发现根本不可能。

但怎么说明好呢？直接论证不清楚就用反证法试试！证明：设原数为abc,设改变其各位数字顺序后得到的新数为a′b′c′假设原数与新数之和为999，因为每位都不会进位，则有a+a′=9，b+b′=9,c+c′=9又因为a′,b′,c′是a,b,c调换顺序得到的，所以a+b+c=a′+b′+c′所以a+a′+b+b′+c+c′=9+9+9=27即2（a+b+c）=27矛盾，所以假设不成立。

所以没有这样的数。

例1：在a、b、c三个数中，有一个是2003，一个是2005，问（a-1）（b-2）（c-3）是奇数还是偶数？方法一：∵ a,b,c中有两个奇数∴ a,c中至少有一个是奇数∴ a-1，c-3中至少有一个是偶数又∵ 偶数×整数=偶数，∴ （a-1）（b-2）（c-3）是偶数。

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=03.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。

七年级奇偶性分析知识点

七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。

本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。

1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。

偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。

通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。

2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。

例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。

(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。

例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。

(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。

例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。

(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。

例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。

3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。

例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。

(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。

例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。

(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。

当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。

例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。

4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。

高一数学函数奇偶性知识点归纳25

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

小学奥数数论知识讲解：奇数偶数与奇偶性分析

小学奥数数论知识讲解：奇数偶数与奇偶性分析小学奥数数论知识讲解：奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】例1用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。

问乘积中是偶数多还是奇数多?讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。

在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。

而偶数积共有7个。

所以，乘积中是偶数的多。

例2有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23;乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。

讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。

甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。

从3到47不同的奇数共有23个。

所以，能得到23个不同的和。

本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144(个)不同的和。

因为其中有很多是相同的`。

【奇偶性分析】例1某班同学参加学校的数学竞赛。

试题共50道。

评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。

请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。

讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。

每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。

150减偶数，差仍然是一个偶数。

同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。

所以，全班每个同学的分数都是偶数。

则全班同学的得分之和也一定是个偶数。

例25只杯子杯口全都朝上。

规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下?讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。

要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。

现在每次只翻转4只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。

所以，不能使杯口全部朝下。

例3某班共有25个同学。

高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析

函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。

()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

高一数学函数奇偶性知识点归纳

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

4B暑第13讲奇偶性分析课后探究解析

4B暑第13讲
奇偶性分析——课后探究
课堂笔记
一、认识奇（ji）偶数
奇数（单数）：个位为1、3、5、7、9的数偶数（双数）：个位为0、2、4、6、8的数二、奇偶性分析—特殊值法
奇数——“1”
偶数——“0”
三、奇偶性性质
①两个连续自然数必然一奇一偶。

②加减法算式结果的奇偶性与符号无关，
只与奇数的个数有关。

四、叛徒定理
①先判断算式的奇偶性
②再抓叛徒
抓叛徒口诀：
左边全相加，
右边做个差。

差再除以二，
叛徒就是他。

算式2+3+…+15 的计算结果是奇数还是偶数？
算式（26+27+…+36）–（9+10+…+14）的计算结果是奇数还是偶数？
能否在下面等式的方框内填入“+”或“－”，使等式成立？若能，请填入；若不能，请说明理由。

判断下列算式的计算结果是奇数还是偶数，并说明理由。

（1）3×4+4×5+…+9×10+11
（2）1×3×5×7×8
有一本80 页的书，从中任意撕下5 张，这5 张上的所有页码之和能否是100 ？
在5 个开着灯的房间中，每次拨动2 个不同房间的开关，能否把全部房间的灯都关上？为什么？。

数学高考奇偶性知识点

数学高考奇偶性知识点数学作为学科的一部分，一直是很多学生头痛的问题，并且在高考中也是重要的考察内容之一。

其中，奇偶性知识点在数学高考中占据着相当重要的地位。

本文将通过对奇偶性知识点的深入探讨，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、奇偶性的定义与基本性质在开始深入讨论奇偶性知识点之前，首先要明确奇数和偶数的定义。

我们知道，奇数能被2整除，所得的余数为1；而偶数能被2整除，所得的余数为0。

这就是奇偶性的最基本的定义。

除了基本的定义之外，奇偶性还有一些重要的性质。

首先，任何一个整数都可以表示为奇数或偶数。

例如，2可以表示为偶数，而3可以表示为奇数。

其次，奇数与奇数相加、相减或相乘的结果仍然是奇数，偶数与偶数相加、相减或相乘的结果仍然是偶数，奇数与偶数相加、相减或相乘的结果是奇数。

这些性质在解题过程中起到了关键的作用。

二、奇偶性与整除关系奇偶性与整除关系密切相关，它们互相影响。

一个常见的定理是：若整数a能整除整数b，且b是奇数，则a也是奇数。

反过来，若整数a能整除整数b，且a是奇数，则b也是奇数。

通过这个定理，我们可以推导出一些结论。

例如，如果一个整数与2的乘积是奇数，那么这个整数本身也是奇数。

同样，如果一个整数与2的乘积是偶数，那么这个整数本身也是偶数。

三、奇偶性在分析数列中的应用奇偶性知识点在数列中的应用也是不可忽视的。

通过分析数列中的奇偶性，我们可以推断数列的一些特点，甚至求解问题。

首先，对于等差数列，其通项公式可以根据首项的奇偶性和公差的奇偶性来确定。

如果首项是奇数，公差是偶数，则通项公式中的n是奇数；如果首项是偶数，公差是奇数，则通项公式中的n是偶数。

这个原理在解题过程中非常有用。

另外，奇偶性还能帮助我们理解数列中的规律。

例如，斐波那契数列是通过前两项的和确定后一项的数列，而根据奇偶性的性质，我们可以得知斐波那契数列中的奇数项与偶数项的特点。

四、奇偶性在方程中的应用奇偶性在方程中的应用也是数学中常见的一种情况。

奇偶性的相关分析方法

奇偶性的相关分析方法什么是奇偶性？在数学中，奇数是无法被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。

奇偶性在数学中非常重要，因为它在很多问题的解决中起到了至关重要的作用。

本文将介绍奇偶性的相关分析方法，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、奇偶性的一些基本性质首先，奇偶性具有很多基本性质。

例如，两个偶数相加得到的结果仍然是偶数，两个奇数相加得到的结果仍然是奇数。

而且，一个奇数和一个偶数相加得到的结果一定是奇数。

另外，任何整数都可以表示为奇数或偶数的和。

二、奇偶性在数论中的应用奇偶性在数论中非常重要，因为它可以用于解决一些重要的问题。

例如，在质数的研究中，我们可以证明一个数是否为质数，只需要检查它是不是偶数，然后只需要用奇数去除它，如果有一个奇数能够整除它，那么它一定不是质数。

因此，这就可以大大减少判断是否为质数的时间。

另外，在奇数幂的研究中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，我们可以证明一个正整数的k次方是奇数的充分必要条件是该正整数本身是奇数。

三、奇偶性在离散数学中的应用在离散数学中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在图论中，我们可以用奇偶性来判断一个图是否是欧拉图。

欧拉图是指一个无向图中，如果存在一条路径，经过每个顶点正好一次，那么这个图就是欧拉图。

我们可以证明，一个无向图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

另外，在组合数学中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，在计算到一个组合问题的方案数时，我们可以通过考虑各种组合的奇偶性来方便地确定方案数是否是偶数。

四、奇偶性在计算机科学中的应用奇偶性在计算机科学中也得到了广泛的应用。

例如，在计算机的二进制表示中，一个二进制数是否是偶数只需要检查最后一位是否是0。

如果是0，那么它是偶数；如果是1，那么它是奇数。

另外，在计算机算法的设计中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在某些加密算法的设计中，我们可以用奇偶性来抵御攻击者对密钥的猜测。

综上所述，奇偶性是一个非常重要的概念，在数学、离散数学、计算机科学等领域都具有广泛的应用。

函数奇偶性的知识点及例题解析

函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

数字的奇偶性与整除规律分析知识点总结

数字的奇偶性与整除规律分析知识点总结数字的奇偶性和整除规律是数学中非常重要的概念和规则，对于数学学习和应用都具有重要意义。

在本文中，我将对这两个方面的知识点进行总结和分析。

一、数字的奇偶性在数学中，我们常常需要判断一个数字是奇数还是偶数。

奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。

1. 判断奇偶性的方法（1）末位法：一个数字的奇偶性可以直接通过它的个位数来判断。

如果个位数为0、2、4、6或8，那么该数字就是偶数；如果个位数为1、3、5、7或9，那么该数字就是奇数。

（2）除法法则：一个数字如果能够被2整除（即余数为0），那么该数字就是偶数；如果不能被2整除（即余数为1），那么该数字就是奇数。

2. 奇数与偶数的性质（1）奇数加减奇数的结果是偶数，偶数加减偶数的结果也是偶数。

（2）奇数与奇数进行乘法运算的结果是奇数，偶数与偶数进行乘法运算的结果同样是偶数，而奇数与偶数进行乘法运算的结果则是偶数。

二、整除规律在数学中，整除是指一个数能够整除另一个数，即被除数可以被除数整除。

1. 整除的定义如果存在某个整数k，使得被除数a等于除数b乘以k，那么称b整除a，被除数a是除数b的倍数。

2. 整除的性质（1）整数a能够被整数b整除的充要条件是a与b的余数为0。

即a÷b的余数为0。

（2）如果一个整数既能够被b整除，又能够被c整除，那么它也能够被b与c的最小公倍数整除。

（3）如果整数a能够被b整除，而整数b能够被c整除，那么整数a也能够被c整除。

3. 整除的特殊情况（1）如果一个整数能够被2整除，那么它一定是偶数。

（2）如果一个整数能够被3整除，那么它的各位数字之和也能够被3整除。

（3）如果一个整数能够被4整除，那么它的末位数与10的倍数之和能够被4整除。

（4）如果一个整数能够被5整除，那么它的末位数是0或5。

（5）如果一个整数能够被9整除，那么它的各位数字之和也能够被9整除。

通过对数字的奇偶性和整除规律的分析，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(解析版)

专题二函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向（1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可；【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数；故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论．【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数，则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=，函数()f x 是周期为2的周期函数，故(10)(0)2f f ==，故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数；故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得；【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>，所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<，又因为函数()y f x =是偶函数，所以(2)(2)f f =-，所以(1)(2)0f f --<，故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可．【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =，又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增，故57()(1)()22f f f <<，故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <，因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________．【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<，根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤，解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可；（2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可；（3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-．（I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减．【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断；（Ⅱ）直接利用单调性的定义证明；【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数；证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-，由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±，当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数，所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-，要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性；（3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭，其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称，则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数；（2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，（3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤；即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。

奇偶分析知识讲解

例4奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。

被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。

前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。

尖于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数工偶数，奇数个奇数之和是奇数等。

灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。

用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。

因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。

最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。

例2小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。

小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。

试问，小丽所加得的和数能否为2000?解：不能由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。

说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。

例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。

试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

解：不能如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+…+9499X 49,是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。

圈任意涂上红色或蓝色。

问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。

如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇圆圈是两圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。

专题-函数的奇偶性(基础)(解析版)

专题3.4 函数的奇偶性知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称知识点二用奇偶性求如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求(2)要利用已知区间的(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点三函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．知识点四用奇偶性求如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求(2)要利用已知区间的(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．知识点五函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．函数奇偶性的判断(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．【例1】判断下列函数的奇偶性：（1）1()f x x=；（2）2()31f x x =-+；（3）22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<=⎨->⎩；（4）()0f x =；（5）()21f x x =+；（6）32()1x x f x x -=-．【解答】解：（1）()f x x=的定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=-，函数为奇函数；（2）2()31f x x =-+的定义域为R ，()()f x f x -=，函数为偶函数；（3）22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<=⎨->⎩，设0x >，则0x -<，2()()f x x x f x ∴-=-=-，同理0x <时，()()f x f x -=-，∴函数是奇函数；（4）()0f x =，既是奇函数，又是偶函数；（5）()21f x x =+，非奇非偶；（6）32()1x x f x x -=-的定义域为{|1}x x ≠，非奇非偶．【变式训练1】判断下列函数的奇偶性（1）()|1||1|f x x x =++- （2）222()1x xf x x +=+ （3）22()11f x x x =--（4）21()x f x -=（5）1()(1)1x f x x x+=--（6）31()0||131x x f x x x x +<-⎧⎪=⎨⎪-+>⎩．【解答】解：（1）定义域为R ，()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为偶函数；（2）定义域为{|1}x x ≠-，不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数；（3）定义域为{1-，1}，所以()0f x =，()f x ∴为既奇又偶函数；（4）定义域为{|11x x -，0}x ≠，定义域关于原点对称，并且21()x f x -=21()()x f x f x --==-，()f x ∴为奇函数；（5）定义域为{|11}x x -<不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数；（6）定义域为R ，当1x <-时，1x ->，()()33()f x x x f x ∴-=--+=+=；当1x >时，1x -<-，()3()f x x f x ∴-=-+=；当11x -时，()()0f x f x -==，()f x ∴为偶函数．奇、偶函数的图象及应用巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x 时，2()2f x x x =-．现已画出函数()f x 在y 轴及其右侧的图象，如图所示．（1）画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间；（2）求函数()f x 在R 上的解析式．【解答】解：（1）如图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(1,)+∞．（2）令0x <，则0x ->，故22()()2()2f x x x x x -=---=+，又函数()f x 为偶函数，则此时2()()2f x f x x x =-=+，故222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-⎩．利用奇偶性求函数值利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．(2)求函数值：利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．【例3】已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x xx=+，则(1)(f -=)A ．2-B ．2C ．3-D ．3【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x xx=+， (1)f f∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．【变式训练1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()31x f x =-，则(2)f -等于()A ．8-B ．8C ．109-D ．89．【解答】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()31x f x =-； (2)f f∴-=-（2）2(31)8=--=-．故选：A ．【变式训练2】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则f（2）= 12 ．【解答】解：当(,0)x ∈-∞时，32()2f x xx =+，(2)12f ∴-=-，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f∴（2）12=，故答案为：12【变式训练3】已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= ) A ．2B ．1C ．0D ．2-【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f f -=-（1）(11)2=-+=-，故选：D ．部分函数奇偶性求值【例4】已知函数3()1f x ax bx =-+，若f （2）5=，则(2)f -= 3-．【解答】解：根据3()1f x axbx =-+，有33()()()11f x a x b x ax bx -=--⨯-+=-++，则()()2f x f x +-=，所以f （2）(2)2f +-=，因为f （2）5=，所以(2)3f -=-，故答案为：3-．【变式训练1】已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则f（2）等于26-．【解答】解：令53()g x xax bx=++，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则()()8f x g x =-，所以(2)(2)810f g -=--=，得(2)18g -=，又因为()g x 是奇函数，即g （2）(2)g =--，所以g （2）18=-，则f （2）g =（2）818826-=--=-，故答案为：26-．根据函数奇偶性求函数的解析式(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f (x )，g (x )组合运算与奇偶性，则把x 换为－x ，构造方程组求解．【例5】函数()f x 为定义在R上的奇函数，x >时，2()23f x x x =--．求()f x 的解析式；【解答】解：当0x =时，(0)0f =；当0x <时，0x ->，当0x >时，2()23f x x x =--，所以2()23f x xx -=+-，又()()f x f x -=-，则0x <时，2()()23f x f x x x =--=--+，则2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪==⎨⎪-->⎩；【变式训练1】已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x =-．（1）求f （1），(2)f -的值；（2）求()f x 的解析式；【解答】解：（1）当0x 时，2()2f x xx =-．f（1）121=-=-，又()y f x =是定义在R 上的奇函数，可得(2)f f -=-（2）(44)0=--=；（2）当0x =时，(0)0f =；当0x <时，0x ->，2()2f x x x -=+，又()()f x f x -=-，可得0x <时，2()()2f x f x x x =--=--，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--=⎨->⎩；【变式训练2】已知()f x 为R上的奇函数，当x 时，2()3f x x x =+．若0x <，求()f x 的解析式；【解答】解：当0x <时，0x ->，由0x 时，2()3f x x x =+，可得2()3f x xx -=-，由()f x 为R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，则0x <时，2()3f x xx =-+；【变式训练3】设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x 时，32()2f x x x =-+，求()f x 的解析式．【解答】解：偶函数()f x 在0x 时，32()2f x xx =-+，∴当0x <时，0x ->，则32()2()f x xx f x -=+=，即32()2f x x x =+，(0)x <，则32322,0()2,x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩．利用函数的单调性与奇偶性解不等式利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，2()2f x x x =+．（1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）解不等式(1)(3)f x f x -<+．【解答】解：（1）当0x <时，则0x ->，又()f x 是偶函数，故22()()2()()2(0)f x f x x x x x x =-=-+-=-<；（2）当0x 时，()f x 单调递增，()f x 是偶函数，∴不等式(1)(3)f x f x -<+等价为(|1|)(|3|)f x f x -<+，即|1||3|x x -<+，即22(1)(3)x x -<+，得221269x xx x -+<++，得88x >-，得1x >-，即不等式的解集为(1,)-+∞．由奇偶函数定义域的对称性求参数值【例7】若函数2()1f x xbx =++是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，则(a b +=) A ．13-B ．12-C ．13D ．12【解答】解：由偶函数定义域的对称性可知，120a a -+=即13a =，()21f x x bx ∴=++为2[3-，2]3上的偶函数，故0b =，13a b ∴+=．故选：C ．【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且()f x 为奇函数，则a 的值可以是( ) A ．2B ．23C ．4D ．6【解答】解：因为函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且函数()f x 为奇函数，所以3210a a -++=，解得4a =．故选：C ．【变式训练2】若函数2()(2)f x ax a b x b =+-+是定义在(,22)a a --上的偶函数，则22()(3a b f -= )A ．13B ．0C ．1D ．3【解答】解：由题意知，(22)0a a -+-=，且20a b -=，所以2a =，1b =，所以2()21f x x =+，所以22()3a b f f-=（1）3=．故选：D ．【变式训练3】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1a -，2]a -，则a b +等于( ) A ．1B ．1-C ．13D ．0【解答】解：因为2()4f x axbx a =+-是偶函数，其定义域为[1a -，2]a -，所以120a a --=，即1a =-，又()()f x f x -=，所以22()44a x bx a ax bx a ---=+-，整理得20bx =对任意的[2x ∈-，2]恒成立，所以0b =，故1a b +=-．故选：B ．已知函数奇偶性求参数值问题【例8】若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(a =)A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】解：()f x 为奇函数(1)f f∴-=-（1）∴1113(1)a a =+-13(1)a a ∴+=-解得12a =故选：A ．【变式训练1】设函数2(1)()x a x a f x x+++=为奇函数，则实数(a =)A ．1-B ．1C ．0D ．2-【解答】解：根据题意，函数2(1)()x a x af x x+++=为奇函数，则有()()0f x f x +-=，即22(1)(1)0x a x a x a x a x x+++-+++=-，变形可得：(1)0a x +=，则有1a =-；故选：A ．【变式训练2】若函数()11xa f x a =+-是奇函数，则a 的值是()A ．0B ．12C ．1D ．2【解答】解：函数()11x af x a =+-是奇函数， ()()0f x f x ∴-+=，(0)x ≠． 11011x x a aa a -∴+++=--，化为：12011x x x a a a a +++=--，12(1)0x x a a a +∴-+-=，(2)(1)0x a a ∴--=，对定义域内的x 都成立．解得2a =．故选：D ．【变式训练3】已知函数3()31xxf x a =+-是奇函数，则(a = )A ．13-B ．12-C ．13D ．12【解答】解：因为3()31xxf x a =+-是奇函数，所以()()0f x f x -+=恒成立，故3303131x xx x a a --+++=--，整理得210a +=，所以12a =-．故选：B ．利用奇偶性求函数的最值或值域【例9】()f x 是偶函数且在区间[a ，]b ，（其中a ，0)b >是递增的，则它在区间[b -，]a -上( )A ．递增且有最大值为()f a -B ．递减且有最小值为()f a -C ．递增且有最大值为()f b -D ．递减且有最大值为()f a - 【解答】解：()f x 是偶函数且在区间[a ，]b ，（其中a ，0)b >是递增的，()f x ∴在区间[b -，]a -上递减，且()()()f a f x f b --，即小值为()f a -，故选：B ．【变式训练1】已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[a ，](0)b a b <<上的值域为[3-，4]，则在区间[b -，]a -上()A ．有最大值4B ．有最小值4-C ．有最大值3-D ．有最小值3-【解答】解：函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，()f x ∴在(,0)-∞上也是减函数，在区间[a ，](0)b a b <<上的值域为[3-，4]，∴最大值为f （a ）4=，最小值为f （b ）3=-，∴在区间[b -，]a -上也是减函数，且最大值为()f b f -=-（b ）3=，最小值为()f a f -=-（a ）4=-，故选：B ．【变式训练2】已知函数32()39(f x x x x a a =-+++为常数），在区间[2-，2]上有最大值20，那么此函数在区间[2-，2]上的最小值为( ) A ．37- B ．7- C ．5- D ．11-【解答】解：32()39(f x x x x a a =-+++为常数）2()369f x x x '∴=-++令2()3690f x xx '=-++=，解得1x =-或3（舍去）当21x -<<-时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>∴当1x =-时取最小值，而f （2）22(2)2a f a =+>-=+即最大值为2220a +=，2a ∴=-，最小值为(1)527f -=--=- 故选：B ．一．选择题（共6小题）1．已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且()f x 为奇函数，则a 的值可以是( ) A ．2B ．23C ．4D ．6【解答】解：因为函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且函数()f x 为奇函数，所以3210a a -++=，解得4a =．故选：C ．2．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若2()()2x f x g x --=，则(1)(g -=)A ．5B ．5-C ．3D ．3-【解答】解：由2()()2xf xg x --=得：f （1）g -（1）2122-==，21(1)(1)28f g +---==，因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f （1）(1)0f +-=，g （1）(1)g =-，故可解得：(1)5g -=-．故选：B ．3．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则f （3）等于( ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：根据题意，当0x <时，()2f x x =+，则(3)(3)21f -=-+=-，又由()f x 为奇函数，则f （3）(3)1f =--=，故选：C ．4．下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是( ) ①2()f x x =；②3()f x x =；③1()1xf x x-+；④1()f x x=． A ．1，1B ．2，2C ．3，1D ．2，1【解答】解：根据题意，依次分析4个函数的奇偶性， ①2()f x x =，其定义域为R ，有2()()f x xf x -==，()f x 是偶函数；②3()f x x =，其定义域为R ，有3()()f x x f x -=-=-，()f x 是奇函数；③1()1x f x x-+，有101xx-+，解可得11x -<，其定义域(1-，1]，()f x 是非奇非偶函数函数；④1()f x x=，其定义域为{|0}x x ≠，有1()()f x f x x-=-=-，()f x 是奇函数；即其中奇函数有2个，偶函数有1个；故选：D ．5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x xx=+，则(1)(f -=)A ．2-B ．2C ．3-D ．3【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x xx=+， (1)f f∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．6．设()f x 为偶函数，当[0x ∈，)+∞时，()1f x x =-，则使()0f x >的x 取值范围是( ) A ．{|1}x x > B ．{|10}x x -<< C ．{|1x x <-或1}x >D ．{|10x x -<<或1}x >【解答】解：根据题意，当[0x ∈，)+∞时，()1f x x =-，则()f x 在[0，)+∞上为增函数且f（1）110=-=，又由()f x 为偶函数，则()0f x >即()f x f >（1），则有||1x >，解可得：1x >或1x <-，即x 取值范围是{|1x x <-或1}x >；故选：C ．二．解答题（共9小题）7．已知函数()m f x x x=+，且f （1）3=．（1）求m 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性．【解答】解：（1）由题意知，f （1）13m =+=，2m ∴=；（2）由（1）知，2()f x x x=+，0x ≠，22()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--， ∴函数()f x 为奇函数．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时()(1)f x x x =+求0x <时()f x 的表达式．【解答】解：设0x <，则0x ->，由当0x 时()(1)f x x x =+可得()(1)f x x x -=--．再由函数为奇函数可得()(1)f x x x -=--，()(1)f x x x ∴=-．故0x <时()f x 的表达式为()(1)f x x x =-． 9．判断下列函数的奇偶性：（1）22()11f x x x =--（2）222()1x xf x x +=+；（3）(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩．【解答】解：（1）依题意得210x -，且210x -，则210x -=，解得1x =±．因此函数()f x 的定义域为{1-，1}，关于原点对称，且()0f x =．()()f x f x ∴-=-，()()f x f x -=， ()f x ∴既是奇函数又是偶函数．（2）函数()f x 的定义域是(-∞，1)(1--⋃，)+∞，不关于原点对称，()f x ∴是非奇非偶函数．（3）易知函数()f x 的定义域(D =-∞，0)(0⋃，)+∞，关于原点对称．任取x D ∈，当0x >时，0x -<，()()[1()](1)()f x x x x x f x ∴-=-+-=--=-；当0x <时，0x ->，()(1)()f x x x f x ∴-=--=-．∴函数()f x 为奇函数．10．判断下列函数的奇偶性（请写出详细的判断过程）（1）24()x f x -= （2）()||||(f x x a x a a R =-++∈且0)a ≠．【解答】解：（1）根据题意，24()x f x -=，有240|2|20x x ⎧-⎨+-≠⎩，解可得22x -且0x ≠，即函数()f x 的定义域为{|22x x -且0}x ≠，则24()x f x -=24()()x f x f x --==-，即函数()f x 为奇函数，（2）()||||(f x x a x a a R =-++∈且0)a ≠，其定义域为R ，()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=--+-+=++-=，即函数()f x 为偶函数．11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x =+，(2)(0)f f -+= 5-．【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x >时，2()1f x x=+，则f （2）415=+=，而()f x 为奇函数，则(5)5f -=-，故(2)(0)505f f -+=-+=-，故答案为：5-12．已知函数2()f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是(0,3)．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若满足不等式组()0()0f x f x t >⎧⎨+<⎩的整数解有且只有一个，求正实数t 的取值范围．【解答】解：（1）因为不等式()0f x <的解集是(0,3)，所以0和3是方程()0f x =的两个根，03b ∴+=-，03c ⨯=，3b ∴=-．0c =，∴函数()f x 的解析式为：2()3f x xx =-．（2）不等式2()30f x xx =->的解集为：(-∞，0)(3⋃，)+∞，不等式2()()3()0f x t x t x t +=+-+<的解集为：(,3)t t --，当3t 时，不等式组()0()0f x f x t >⎧⎨+<⎩的解集为(,3)t t --，(,3)t t --中至少有2个整数，不满足题意，舍去；当03t <<时，不等式组()0()0f x f x t >⎧⎨+<⎩的解集为(,0)t -，因为满足不等式组()0()0f x f x t >⎧⎨+<⎩的整数解有且只有一个，所以1(,0)t -∈-，2(,0)t -∉-，即12t t -<-⎧⎨--⎩，解得12t <；综上，正实数t 的取值范围是(1，2]．13．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x 时，()21f x x =-+．（1）求0x <时，()f x 的解析式；（2）若f （a ）7=-，求实数a 的值．【解答】解：（1）根据题意，当0x <时，0x ->，则()(2)121f x x x -=--+=+，()f x 为偶函数，则()()21f x f x x =-=+，（2）若f （a ）7=-，当0a 时，有f （a ）217a =-+=-，则有4a =，当0a <时，有f （a ）217a =+=-，则有4a =-，综合可得：4a =或4-．14．已知12()22x x b f x ++=+是定义在R 上的奇函数．（1）求b 的值；（2）若2(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）12()22x x b f x ++=+是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-对x R ∀∈恒成立；所以11222222x x x x b b --++++=-++对x R ∀∈恒成立，所以112122222x x x x b b +++--=++对x R ∀∈恒成立；所以1b =-，经验证，1b =-符合题意．（本题也可以利用0(0)210f b b =+=+=求出b 的值）（2）由（1）知1b =-，所以11211()22221x x x f x +-+==-++．任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则12121212111122()()()()222121(12)(12)x x x x x x f x f x --=---=++++，因为12x x <，所以12022x x <<，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上是单调增函数；由()f x 为奇函数，且2(1)(1)0f a f a -+-<，所以22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，即211a a -<-，整理得220a a +->，解得2a <-或1a >，所以实数a 的取值范围是(-∞，2)(1-⋃，)+∞．15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，2()2f x x x =+．（1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）解不等式(1)(3)f x f x -<+．【解答】解：（1）当0x <时，则0x ->，又()f x 是偶函数，故22()()2()()2(0)f x f x x x x x x =-=-+-=-<；（2）当0x 时，()f x 单调递增， ()f x 是偶函数， ∴不等式(1)(3)f x f x -<+等价为(|1|)(|3|)f x f x -<+，即|1||3|x x -<+，即22(1)(3)x x -<+，得221269x x x x -+<++，得88x >-，得1x >-，即不等式的解集为(1,)-+∞．。

第二讲奇偶分析2

第二讲奇数与偶数整数可以分成两大类。

能被2整除的数叫做偶数，一般表示为2n〔n为整数〕，不能被2整除的数叫做奇数，一般表示为2n＋1〔n为整数〕。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

其运算性质有以下几种：〔1〕奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数〔2〕两个数之和与这两个数之差，有着相同的奇偶性。

〔3〕多个数相加时，和的奇偶性由奇数的个数决定。

加数中有奇数个奇数时，和是奇数。

加数中有偶数个奇数时，和是偶数。

〔4〕多个数相乘时，只要有一个数是偶数，积即为偶数。

〔5〕奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。

〔6〕相邻两个自然数之积必为偶数，其和必为奇数。

〖经典例题〗例1、1＋2＋3＋4＋…＋2004＋2005是奇数还是偶数？分析：1～2005中，有1003个奇数，所以和是奇数。

例2、能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.分析：此题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3，5，7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22，所以不能.〖方法总结〗此题用到的是性质〔3〕，我们没有必要将这些数的和算出来，再判断其奇偶性，而只要看奇数的个数就可以了。

〖稳固练习〗练习1：能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？不能。

因为有5个奇数，所以结果必为奇数。

练习2：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？两个奇数的差是2，因此150÷2=75练习3：2，4，6，8，……是连续的偶数，假设五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是多少？等差数列求和公式：320÷5=64，因此最小的是60.练习4：有3个不同的自然数组成一等式：□＋△＋○=□×△－○这三个数中最多有几个奇数？1个奇数练习5：能否从2、6、10、14、18、22、26、30这8个数中选出3个数来，使它们的和为48？分析：此题相当于：能否从1、3、5、7、9、11、13、15这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？奇数个奇数相加的和为奇数不可能为偶数.所以不能.〖经典例题〗例3、把1～99这99个自然数的顺序打乱后重新排列，并把新排列的每个数依次加上1，2，3，…，99.问最后得到的99个数之积是奇数还是偶数？分析：1～99中有50个奇数，49个偶数。

初中数学知识归纳函数的对称性与奇偶性分析

初中数学知识归纳函数的对称性与奇偶性分析初中数学知识归纳：函数的对称性与奇偶性分析函数是数学中的重要概念，通过研究函数的特性和性质，我们可以更好地理解和应用数学知识。

在初中数学中，对称性和奇偶性是探究函数性质的一种重要方式。

本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性，并分析它们在数学中的应用。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定情况下具有保持不变的性质。

常见的对称性包括：轴对称、中心对称和旋转对称。

1. 轴对称性轴对称性是指函数关于某条直线对称。

具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，关于直线x=a对称的另一点为(x', y')，则函数满足轴对称性。

例如，对于函数y=f(x)，若满足f(a+x) = f(a-x)，则该函数关于直线x=a轴对称。

2. 中心对称性中心对称性是指函数关于某个点对称。

具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，关于点(x0, y0)对称的另一点为(x', y')，则函数满足中心对称性。

例如，对于函数y=f(x)，若满足f(x0+x)=f(x0-x)，则该函数关于点(x0, y0)中心对称。

3. 旋转对称性旋转对称性是指函数关于某个点旋转180°后仍然不变。

具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，经过旋转180°后的点为(x', y')，则函数满足旋转对称性。

例如，对于函数y=f(x)，若满足f(-x)=f(x)，则该函数具有旋转对称性。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数中的变量替代为相反数后函数值的变化性质。

根据函数的奇偶性，函数可以分为奇函数和偶函数。

1. 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。

也就是说，将函数中的自变量替换为相反数后，函数值的正负号会发生变化。

例如，对于函数y=f(x)，若满足f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。

2. 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。

数的性质奇偶分析奇偶分析

奇偶分析
主要学习内容
01 数的奇偶性 02 典型例题分析

一、数的奇偶性
一个自然数，要么是奇数，要么是偶数。这是自然数自身的特性，称为数的奇偶性。利用自然数的奇偶性可以分析和解决很多有趣的问题，我们把这种方法叫作奇偶分析法。
二、典型例题分析
【例1】能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？解：在一个只有自然数加减法运算的式子中，如果把式子中减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变。因此无论在给出的式子每个方框中怎样添加减号，所得结果的奇偶性与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样。但是，每个方框中都填入加号所得结果是45，是个奇数。而式子的右边是10，是个偶数。也就是说从奇偶性上判断，要使题中式子成立是不可能的。
二、典型例题分析
【例2】桌上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过若干次翻动使得所以杯子杯口全部向下？若可以，请指出最少需要多少次，并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由。解：不可以。采用反证法。假设可以经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，下面计算所有杯子被翻动的次数之和：
二、典型例题分析
【例3】在4×4的方格中填写1至16这16个数，将其中任意3个格子中的数同时加1或减1称为一次操作。问能否经过若干次的这样的操作使得 16个方格中的数都是0。
解：不能。若最后16个方格中的数都为0，总和为0，是3的倍数，而每次3个格同时加1或减1，加或减的都为3，所以刚开始16个数之和一定得是3的倍数才行，而1+⋯+16=136，不是3的倍数，所以不能。
一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；

第13讲奇偶分析

第13讲奇偶分析法把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A类例题例1⑴证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|；c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|；d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；………这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．情景再现1．将某个17位数的数字顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．2．若a，b，c都是整数，且a与b同为奇数或同为偶数，c为奇数，求证：找不到整数n，使an2+bn+c=0．B类例题例3有n×n(n＞3)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，先将表内n个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式，其中k∈Z)．例4设P(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)无整数根．例5在12，22，32，…，19892这1989个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数，并写出算式．情景再现3．在国际象棋的棋盘上，放有8枚棋子，已知其中任意两枚不同行，也不同列．证明：黑格中的棋子数为偶数．4．在整个平面上有一个无限大的方格棋盘，上面摆好了一些棋子，它们恰好组成一个3k n的矩形．按下述规则进行游戏：每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋子的相邻的空格里，并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走．证明：不论怎样走，棋盘上都不会只剩下1枚棋子．5．设a1，a2，a3，a4，a5和b是满足关系式a21+a22+a23+a24+a25＝b2的整数，证明：所有这些数不可能全是奇数．6．设x1，x2，…，x n是一组数，它们之间每一个都取+1或-1，并且x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+x n-3x n-2x n-1x n+x n-2x n-1x n x1+x n-1x n x1x2+x n x1x2x3=0．求证：n是4的倍数．C类例题例6设E={1，2，3，…，200}，G={a1，a2，…，a100}是E的真子集，且G具有下列两条性质：1）对于任何1≤i＜j≤100，恒有a i+a j≠201；2）a1+a2+…+a100=10080．例7 设有一个顶点都是格点的100边形，它的边都与x轴或y轴平行，例8 能否把1，1，2，2，3，3，4，4，…1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请你证明你的结论．(1986年中国数学奥林匹克) 链接本题有一般性的结论，这就是下述竞赛题：求所有具有下述性质的n ∈N *，能够把2n 个数1，1，2，2，3，3，…，n ，n 排成一行，使得当k =1，2，…，n 时，在两个k 之间恰有k 个数．(1982年前苏联数学竞赛题)解：设n ∈N *，a 1，a 2，…，a 2n 是满足要求的排列．设数k 排在第m k 及m k +k +1位，故这2n 个数的数位和(即{a i }的下标和)为k =1∑n (m k +m k +k +1)=2k =1∑nm k +12n (n +3)．但这2n 个数的位的和又等于1+2+…+2n =n (2n +1)．∴ 2k =1∑n m k = n (2n +1)－12n (n +3)= 12n (3n －1)．于是14n (3n －1)为整数，但n 与3n －1奇偶性不同，故当n =4l 或3n －1=4l '时，即n =4l 或n =4l '－1时14n (3n －1)为整数． ∴ 当n ≡1，2(mod 4)时，不存在满足要求的排列．当n ≡0(mod 4)时，可把这1~4l 这些数如下排列：l =1时：2，3，4，2，1，3，1，4．l =2时：4，6，1，7，1，4，8，5，6，2，3，7，2，5，3，8．一般的：4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，4l，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l－1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3，2l－1，4l．当n≡－1(mod 4)时，可把这4l－1个数如下排列：l=1时：2，3，1，2，1，3；l=2时：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5．一般的，4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，2l－1，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l －1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3．其中，“…”表示一个公差为2或－2的等差数列．情景再现7．在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字．接着进行同样的运算，如此继续．证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0．8．设d1，d2，…，d k是正整数n的所有因数，这里，1=d1＜d2＜…＜d k＝n，k≥4，求所有满足d21+d22+d23+d24=n的正整数n．(1989年巴尔干数学竞赛)习题131．一天，某旅游者乘火车来到某个城市游玩，他玩了一天后于晚上回到来时的火车站，试证明：他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站．2．将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的项点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格数目必是偶数．3．在黑板上写有若干个0、1和2，现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字代替它们(用2代替0与1，用1代替0与2，用0代替1与2)．证明如果这种做法，最后在黑板上只留下一个数字，那么，留下的数字与操作顺序无关．(1975年第9届全苏数学奥林匹克)4．在平面上画了一个由边长为1的正六边形组成的蜂窝形网格，如果沿网格线从一个网格点A用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为100，试证：他走的全程的一半是走在同一个方向上．5．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，则这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积．6．是否存在整数a，b，c，d，使得对所有的整数x，等式x4+2x2+2000x+30＝(x2+ax+b)(x2+cx+d)成立．7．能否将1990×1990方格表中的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半．8．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些假币．已知每枚假币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币重量和恰等于真币的重量，现有带指针标明整克数的双盘天平，证明只要称一次就可辨别指定的硬币是否是假币．9．从集{0，1，2，…，14}中选出不同的数，填入图中的10个小圆圈中，使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相等，这可能吗？证明你的结论．10．设正整数d不等于2、5、13，证明：在集合{2，5，13，d}中，可以找到两个不同元素的a，b，使ab-1不是完全平方数．11．设P0，P1，P2，…，P1993=P0为xy平面上不同的点，具有下列性质：⑴P i的坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)⑵在线段P i P i+1上没有其他的点，坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)求证：对某个i，0≤i≤1992，在线段P i P i+1上有一个点Q(q x，q y)使2q x，2q y，均为奇整数．12．设n≥2，a1，a2，…，a n都是正整数，且a k≤k（1≤k≤n）．试证明：当且仅当a1+a2+…+a n为偶数时，可适当选取“+”号与“-”号，使a1±a2±…±a n=0．11。

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