线性代数1.3-N阶行列式的定义(精)
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
1-3 n 阶行列式的定义
第三节
n阶行列式的定义
一、概念的引入 二、n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a 21 a n1
0 a 22
0 0
a11 0 0
0
0 0
a 22 0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
a nn
0 0 a n1
0 0 0 a 2Biblioteka , n 1 a1n 0 0
( 1)
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
这里
1 2 n
p1 p2 pn
t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2
n
表示对所有n级排列求和。 p p p
例5
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
（1）三阶行列式是由 3!项构成的代数和． （2）每一项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积．
（3）每一项的正负号是这样决定的： 当行指标按自 然顺序排好后，列指标排列的逆序数来决定符号， 若列指标排列是偶排列时，该项取正号； 若列指标排列是奇排列时，该项取负号． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
它是n!项的代数和， 代数和的每一项取自(1)的 不同行不同列的n个元素的乘积
线性代数1-3n阶行列式的定义
第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此
D(1)N(123 n)a11a22a33 ann a11a22a33 ann
结论 下三角行列式 上三角行列式 对角行列式
定理13 （可选内容） n阶行列式D|aij|的一般项可以记为
(1)N (i1i2in)N( a a j1 j2 jn) i1 j1 i2 j2 ain jn 其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
(1)N( j1 j2 jn)a1 j1a2 j2 anjn
பைடு நூலகம்
提问
a11 a12 a13 a14
对于四阶行列式
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
问
a41 a42 a43 a44
四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!24项
(1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? 是 (1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? 不是
例1 计算n阶下三角形行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 D a31 a32 a33 0 an1 an2 an3 ann 的值 其中aii0(i1 2 n) 解 我们要求出展开式中非零的乘积项
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
1.3n阶行列式的定义及性质
为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零 即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
1_3n阶行列式
(1324)(1342)1123324411233442(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(1234)(1243)1122334411223443(1)(1)N N a a a a a a a a =−+−(1423)(1432)1124324311243342(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2134)(2143)1221334412213443(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2314)(2341)1223314412233441(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(2413)(2431)1224314312243341(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3124)(3142)1321324413213442(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3214)(3241)1322314413223441(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(3412)(3421)1324314213243241(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4123)(4132)1421324314213342(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4213)(4231)1422314314223341(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−(4312)(4321)1423314214233241(1)(1)N N a a a a a a a a +−+−当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排列则取负号. 因此, n 阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为:1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ−L L (1.3)其中j 1j 2…j n 构成一个n 级排列, 当取遍所有n 级排列时, 则得到n 阶行列式表示的代数和中所有的项.一阶行列式|a|就是a.行列式有时简记为|a|ij由定理可知: n阶行列式共有n!项, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各占一半.说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，要注意它的行数等于列数；2、n阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、一阶行列式|a|=a不要与绝对值记号相混淆;5、a1j1a2j2…anj n的符号为(-1)τ(j1j2…j n).上(下)三角形行列式及对角形行列式的值, 均等于主对角线上元素的乘积.这一结论在以后行列式计算中可直接应用.这些结论应该记住，记忆是非常重要的。
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
n阶行列式的概念
n阶行列式的概念
n阶行列式是一个方阵，其大小为n行n列。
行列式在线性代数中非常重要，它具有许多特殊的性质和应用。
一个n阶行列式可以记作|A|或det(A)，其中A是一个n阶方阵。
行列式的值可以通过对方阵中的元素进行特定计算得到，具体计算方法称为行列式的展开定理。
展开定理可以通过将行列式按一行或一列展开为若干个小行列式的和来计算。
行列式的值可以表示矩阵的线性相关性和可逆性。
当行列式的值为零时，表示矩阵的行（或列）线性相关，即存在某些行（或列）可以被其他组合而成。
而当行列式的值不为零时，表示矩阵的行（或列）线性无关，即矩阵为可逆矩阵。
行列式也有许多应用，例如用于解线性方程组、计算向量的叉乘、求解特征值和特征向量等。
总之，n阶行列式是一个重要的数学概念，它在线性代数中具有广泛的应用和重要的意义。
1-3n阶行列式的定义
不 全 为 〇
解
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn 。
由于当i>j时，aij=0，所以一般项不为零的条件是 各元素的下标满足 pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1 ， p2 ≥ 2 ，…
pn ≥ n 。 因此，有p1=1，p2=2…pn=n。
所以不为零的项只有a11a22…ann。
a11 a21b D2 = a n 1b n − 1 =
19
a1nb1− n a2 n b 2− n ann a1 p1 a2 p2 anpn b(
1+ 2++ n ) − ( p1 + p2 ++ pn )
2016/12/24
p1 p2 pn
∑
( −1 )
t ( p1 p2 pn )
排列的逆序数
3.每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个 元素的下标排列。
例如
a13a21a32 列标排列的逆序数
t ( 312 ) = 1 + 1 = 2 t ( 132 ) = 1 + 0 = 1
偶排列， +正号 奇排列，－负号
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a11a23a32 列标排列的逆序数
3
n阶行列式的定义
a1 p1 a2 p2 anpn = D1
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小结
1. n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的n个元素的乘积，正负号由下标排 列的逆序数决定。 2.会使用行列式的定义求解特殊行列式，掌 握几种特殊行列式的计算方法，如上下三角行列 式，对角行列式等。
21
2016/12/24
2016/12/24
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
1.3n阶行列式的定义
1 2 3 4
例3
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D a11a 22a 33a44 1 4 5 8 160. 0 0 5 6 0 0 0 8
同理可得下三角行列式
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 an2 a n 3 a nn
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2 n
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 a13 a 21a 32
列标排列的逆序数为
偶排列 正号
t 312 1 1 2,
a11a 23 a 32
列标排列的逆序数为 奇排列 负号,
t 132 1 0 1,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
行列式中如果有两行（ 列）元素成比例，则此 行列式等于零。
把行列式的某一列（行 ）的各元素乘以同一数 然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列 式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶 行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶 行列式计算，适用于高阶行列式 。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及 计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程 组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次 型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性 质和计算方法，能够灵活运 用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列 式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩 阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用， 如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在 解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的 数值特征。
线性代数课件-1.3n 阶行列式的定义
anpn
p1 p2 pn
an1 an2
ann
简记作det(aij) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项；
其中aij 为行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积；
3. 每一项可以写成 a a 1 p1 2 p2 anpn（正负号除外），其中p1p2…pn
是1, 2, …, n 的某个排列；
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和。 p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律，下面将行列式推广到一般 的情形。
二、n 阶行列式的定义
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
a pnn
( 1) t ( i1i2
i1i2 in j1 j2 jn
in )t ( j1 j2
a a jn ) i1 j1 i2 j2
ain jn
思考题：|-1|=-1成立吗？
答：符号|-1|可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则|-1|=+1 ； ✓若理解成一阶行列式，则|-1|=-1。
线性代数_第一章
印证以上结论。
方法2 n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排 列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中 对i构成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的 逆序之和为 表示 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) …… 从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 n( n 1) I .为所求 即 ( x n x n 1 x 1 ) 2
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、 特征多项式的重要工具.本章介绍了 n阶行列式的定义、性质及计算方 法，最后给出了它的一个简单应 用——克莱姆法则.
主要内容
1.1 1.2 1.3 1.4
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式应用
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn ( j1 j2 jn ) 并冠以符号 ( 1) 的项的和.
(i) a1 j1 a 2 j2 a nj n 是取自不同行、不同列的n个元素乘积 (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn ) 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .
例5 计算
=-4-6+32-24-8-4
=-14
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
线性代数(经管类)讲义
高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
线性代数-行列式(完整版)
321
213
132
3
1
1பைடு நூலகம்
a a a (1)N ( j1 j2 j3 ) j1 j2 j3取遍所有的
1 j1
2 j2
3 j3
三级排列
a11 a12 a11a22 a12a21
(1) N ( j1 j2 )a1 j1 a2 j2
a21 a22
12
21 j1 j2 取12
0
1 和21
2
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第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.