立体几何 公开课
《基本立体图形》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】
第六章立体几何初步6.1基本立体图形第一课时基本立体图形1．通过丰富的模型分析，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；2．能够运用柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构；3．培养学生观察、分析、思考的科学态度.教学重点：简单几何体的有关概念．教学难点：对简单多面体中棱柱、棱台概念的理解．一、新课导入想一想：观察下列图片，你能发现哪些几何体？答案：有正方体、圆锥、球…二、新知探究问题1：在平面几何中，构成图形的基本元素有哪些呢？答案：点和线.追问1：以长方体为例，请同学们思考构成立体图形的基本元素有哪些？答案：点、线、面.今天我们从常见的长方体开始，学习基本立体图形．我们称，相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．追问2：长方体共有几个面，几条棱，几个顶点？答案：6个面，12条棱，8个顶点．◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程追问3：通常我们用什么图形来表示平面呢？答案：平行四边形．总结：平面是空间最基本的图形；一般地，用平行四边形表示平面．平面通常用希腊字母α，β等表示，也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面ABCD；还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面AC．当两个平面相交时，可以把被遮挡部分画成虚线或者不画，这样看起来更加立体．设计意图：通过图片实例引出空间几何体的基本构成要素，长方体的例子学生更加熟悉、清晰，易于理解．问题2：观察下列几何体，根据围成几何体的面的特征，可以把几何体分成几类？答案：第1、4、5个分一类，第2、3、6个分为另一类．追问1：你的分类标准是什么呢？答案：根据围成几何体的面是否含有曲面分类，（1，4，5都是由平面围成的，2，3，6是由平面和曲面围成）．多面体及相关概念：我们把由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．想一想：观察下列多面体，请同学们相互讨论，思考它们还有什么共同特征？答案：每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在的平面都平行，其余各面是由平行四边形围成的．棱柱及其相关概念：像这样，有两个面相互平行；其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱.两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底，其余各面称为棱柱的侧面，相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点，既不在同一底面上，也不在同一侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线，两底面间的距离，即棱柱的高．棱柱的表示：表示：棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点字母来表示，如图中的棱柱可以表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1．问题3：图中的棱柱有哪些不同点？说说你的看法.答案：它们有两个面的边数不同，分别是三角形、四边形、六边形、四边形、五边形.棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形......这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱......追问1：图中的棱柱分别是几棱柱？答案：（1）三棱柱，（2）四棱柱，（3）六棱柱，（4）四棱柱，（5）五棱柱．直棱柱与正棱柱的概念：侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．平行六面体的概念：底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体.想一想：长方体是棱柱吗？如果是，满足什么条件的棱柱才是长方体？答案：是.底面为矩形的直棱柱是长方体.追问1：那正方体呢？答案：棱长都相等的正棱柱是正方体.问题4：请同学们观察下面棱柱，你能发现棱柱的哪些性质？请大家相互以小组为单位讨论.答案：（1）侧棱都相等；（2）两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；（3）过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.总结：以上3条是棱柱的一些常用性质，继续学习后，后面可以证明.设计意图：通过对几何体的直观分类，引出多面体的概念，再总结出棱柱的相关概念.通过形象的图形让学生直观的体会棱柱的特征．想一想：观察下列多面体，请同学们观察这一类多面体有什么共同特征？答案：有一面是多边形，其余各面都是三角形，且三角形有一个公共顶点．棱锥及其相关概念：上图中的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥．棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形......这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥......其中，三棱锥也称四面体.（如上图从左至右分别是三棱锥、四棱锥、五棱锥.）多边形ABCDEF是棱锥的底面，简称底，其余各面称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，各个侧面的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离称为棱锥的高.正棱锥及斜高的概念：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥．正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．棱锥的表示：表示：棱锥可以用它的顶点和底面各顶点的字母来表示，也可以用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如图中的棱锥可以表示为棱锥S-ABCDEF或棱锥S-AC．问题5：棱锥有没有类似棱柱的性质呢？答案：棱锥的侧棱相交于一点，如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似.设计意图：通过形象的图形，引出棱锥的相关概念，使学生形象的感知棱锥的相关特征．棱台及其相关概念：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱，上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥......所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台......正棱台及斜高的概念：正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高．棱台的表示：表示：棱台可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点字母来表示，如图中的棱台可以表示为棱台ABC-A1B1C1或棱台AC1．思考：有两个面平行的多面体一定是棱台吗？答案：不一定.追问1：如何判断一个多面体是不是棱台？答案：先看有没有平行的两个面，再延长侧棱，看是否交于一点.总结：判断一个多面体是不是棱台关键要看侧棱延长后是否交于一点.设计意图：紧接着棱锥的学习，引出棱台的相关概念，使学生形象的感知棱锥的相关特征，并理解棱锥与棱台的关系．问题6：我们知道点动成线、线动成面、面动成体，想一想，球可以看成是由哪一个平面图形通过怎样运动得到的呢？球面与球体及其相关概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球．半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.球的表示：球用表示它球心的字母来表示，如球O．追问：请同学们联系平面中圆的性质，猜想球体有哪些性质？答案：（1）球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径；（2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径.旋转面、旋转体的概念：一个平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，这条定直线称为旋转轴．封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．思考：前面我们分出的第二类几何体是旋转体吗？如果是，它们分别是由什么平面图形旋转而来的？答案：第一个是直角梯形旋转而来的，第二个是直角三角形旋转而来的，第三个是长方形旋转而来的.圆柱、圆锥、圆台及其相关概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台．需要注意，与棱台类似，圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的.在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面，无论旋转到哪里，旋转成侧面的边都称为侧面的母线.圆柱、圆锥、圆台的表示：表示：圆柱、圆锥、圆台可以用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O．问题7：请大家联系前面棱柱、棱锥、棱台的性质，思考圆柱、圆锥、圆台有哪些性质呢？答案：（1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；（2）过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.设计意图：通过球体这个常见又容易理解的几何体引出旋转体的概念，并由于前面棱柱、棱锥、棱台的学习，这里快速引出圆柱、圆锥、圆台及其相关概念．三、应用举例例1 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称:（1）由6个平行四边形围成的几何体;（2）由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形;（3）由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．分析：根据棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征进行判断．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱（或平行六面体）;(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底,其余的三角形面是侧面;(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．例2 一个正四棱台的高是17 cm,上、下底面边长分别为4 cm和16 cm.求这个棱台的侧棱长和斜高．解：如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E, 连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形∵A1B1=4 cm，AB=16 cm,∴O1E1=2 cm，OE=8 cm,O1B1=2√2cm，OB=8√2cm，∴B1B2=O1O2+(OB-O1B1)2=361 cm 2E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325 cm 2∴B1B=19 cm，E1E=5√13cm∴这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5√13cm.设计意图：通过例题，熟悉基本立体图形的相关特征和性质，并熟悉利用相关性质进行应用．方法总结：画图是解决空间几何问题的有效手段，问题能否解决，往往取决于图能够清晰明确的画出来．四、课堂练习1．下列说法中正确的是（）A.斜棱柱的侧面中可能有矩形B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D.棱台各侧棱的延长线不一定交于一点2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1= .3.若将图中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．参考答案：1．A.斜棱柱的侧面中也可以有矩形,所以A正确;B.有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体叫做棱锥,所以B错误;C.直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，所以C错误；D.棱台是用平行于底面的平面截棱锥所得的几何体，它的侧棱延长后交于一点，所以D 错误.故选：A．2.由勾股定理可得，AC1=√AB2+BC2+CC12=√AB2+AD2+AA12=√a2+b2+c2故答案为√a2+b2+c2.3.将图中的平面图形旋转一周，形成的几何体是圆锥、圆台和圆柱的组合体，并且圆锥底面与圆台的下底面重合，圆柱的上底面和圆台的上底面重合．五、课堂小结1.点、线、面是构成空间几何体的基本要素．2.常见基本立体图形有多面体和旋转体．其中常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有球、圆柱、圆锥、圆台．六、布置作业教材第198页练习第2，3题．。
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
高中数学空间向量与立体几何(公开课)(共8张PPT)
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD， ∠ABC=60°，E，F分别是BC， PC的中点． （1）证明：AE⊥PD； （2）若H为PD上的动点，EH与 平面PAD所成最大角的正切值为 求二面角E-AF-C的余弦值．
6 2
Z P
F
H x
B
A O E
y
D
C
已知四棱锥P-ABCD的底面为 直角梯形，AB//CD， ∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD， 且PA=AD=DC=1/2，AB=1，M 是PB的中点。 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成 二面角的大小
空间向量与立体几何
考点分析
已知角度求点的位置关系 建立空间直角坐标系 用空间向量求解
第一题 线线平行 第二题 线线垂直 线面角 线面垂直 二面角 面面垂直
如图：在四面体中， CB=CD，AD⊥BD，点E、 F分别是AB、BD的中点． 求证： （1）直线EF平行于面 ACD
（2）面CEF⊥面BCD
O
Z
x
y
如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被AEC1F截面所截面 而得到的 其中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1 （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥侧面BB1C1C，E为棱上C1C 上异于C1C的一点，EA⊥EB1， 已知AB= 2 ，BB1=2，BC=1， ∠BCC1=π/3 求：（Ⅰ）异面直线与的距离； （Ⅱ）二面角的
数学立体几何公开课教案高中
数学立体几何公开课教案高中数学立体几何公开课教案引言：数学是一门抽象而精确的学科，在高中阶段，学生将接触到更加复杂的数学概念和技巧，其中立体几何作为数学的一部分，给学生带来了一些挑战。
为了帮助学生更好地理解和应用立体几何知识，本篇教案将介绍一堂关于立体几何的公开课。
一、教学目标通过本次公开课的教学，学生应能够：1. 理解立体几何的基础概念，如点、线、面和体；2. 掌握立体几何的基本公式和计算方法；3. 运用立体几何的知识解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学准备1. 教学工具：- 讲台、黑板、彩笔；- 幻灯片或投影仪；- 立体几何模型和实物（如立方体、球体等）；- 题目练习册和习题解析。
2. 教学内容：本节课的教学内容主要包括以下几个方面：- 点、线、面和体的定义和性质；- 立体几何的基本公式和计算方法；- 立体几何与实际问题的应用。
三、教学过程1. 导入与引导（5分钟）- 介绍立体几何与平面几何的关系；- 引导学生思考立体几何在日常生活中的应用。
2. 理论讲解（20分钟）- 依次介绍点、线、面和体的定义和性质，并在黑板上做相应的图示；- 讲解立体几何的基本公式和计算方法，如计算体积、表面积等；- 解释立体几何与代数学的关系，引导学生进行思考和讨论。
3. 实例演示与练习（30分钟）- 使用幻灯片或投影仪展示一些典型的立体几何问题，并详细演示解题过程；- 给学生分发题目练习册，让他们进行课堂练习；- 针对其中的难点和疑惑，进行辅导和解答。
4. 知识拓展与应用（20分钟）- 介绍立体几何在实际问题中的应用，如建筑设计、地理测量等； - 鼓励学生运用立体几何的知识解决一些实际问题，并进行讨论； - 展示一些立体几何的应用案例，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
5. 总结与展望（5分钟）- 对本节课所学内容进行总结，并强调立体几何在数学中的重要性； - 鼓励学生勤于练习和思考，提高解决问题的能力。
第1课时 棱柱、棱锥、棱台(优秀经典公开课课件)
4 ． 棱 柱 的 侧 棱 最 少 有 ________ 条 ， 棱 柱 的 各 侧 棱 之 间 的 大 小 关 系 是 ________．
解析 棱柱的侧棱最少有三条，这样的棱柱是三棱柱，棱柱的所有侧棱长相 等．
答案 三 相等
02
课堂案 题型探究
题型一 棱柱的结构特征 [例 1] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
[答案] (1)A (2)0
[规律方法]
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法
不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点
延长后相交于一点
[触类旁通] 2．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( ) A．三棱锥的四个面是三角形 B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点
的_公__共__边___； 按侧棱与底面的关系： 顶点：侧面与底 (1)把侧棱__垂__直__于____底面的棱
面的 _公__共__顶__点___
柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于 底面的棱柱叫___斜__棱__柱___．
(2)底面是正多边形的直棱柱叫
做__正__棱__柱____
棱锥
有一个面是 __多__边__形____， 其余各面都 是有一个公 共顶点的 __三__角__形____， 由这些面所 围成的多面 体叫做棱锥
[触类旁通] 4．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
立体几何公开课课件
立体几何公开课课件公开课课件：立体几何一、引言立体几何是数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的图形和物体。
本公开课将为大家带来关于立体几何的基础知识以及应用方面的讲解。
通过本次公开课，你将掌握立体几何的基本概念、性质和计算方法，以及在实际问题中如何应用立体几何的知识解决难题。
本课程内容丰富，形式多样，希望能够激发你对立体几何的兴趣和学习热情。
二、基本概念1. 点、线、面、体在立体几何中，我们首先需要理解点、线、面和体的概念。
点是没有大小和形状的，只有位置的几何对象。
线是由一系列点组成的，是一维几何对象。
面是由一系列线组成的，是二维几何对象。
体是由一系列面组成的，是三维几何对象，例如球体、立方体等。
2. 多面体的分类多面体是指由平面多边形所组成的立体图形。
根据多面体的性质，我们可以将其分为以下几类：- 三棱柱：底面和侧面都是三角形的多面体。
- 四棱柱：底面是四边形，侧面是矩形的多面体。
- 正方体：六个面都是正方形的多面体。
- 正四面体：四个面都是等边三角形的多面体。
- 正六面体：六个面都是正方形的多面体。
- 正八面体：八个面都是正等边五边形的多面体。
- 正十二面体：十二个面都是正等边五边形的多面体。
三、性质与计算1. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。
它具有以下性质：- 等腰三角形的底边上的角相等。
- 等腰三角形的顶角的平分线也是底边的中线、中位线和高线。
- 等腰三角形的高线和底边垂直且相交于底边中点。
2. 立体图形的表面积和体积计算对于常见的立体图形，我们需要掌握其表面积和体积的计算方法。
- 球体：表面积公式为4πr²，体积公式为(4/3)πr³，其中 r 为球体的半径。
- 立方体：表面积公式为6a²，体积公式为a³，其中a为立方体的边长。
- 圆柱体：表面积公式为2πrh+2πr²，体积公式为πr²h，其中 r 为底面半径，h 为高。
立体几何公开课课件
立体几何公开课课件立体几何是数学中的一个分支，主要研究三维空间中的图形、体积和表面积等性质。
本课程旨在介绍立体几何的基本概念和相关定理，帮助学习者理解和掌握立体几何的基本知识和解题方法。
一、立体几何概述立体几何是研究三维空间中图形的一门学科。
在立体几何中，我们关注的是不同形状的物体，例如立方体、球体、圆锥等，并研究它们的性质和特点。
1.1 空间几何空间几何是研究空间中的图形和性质的学科，它包括平面几何和立体几何两个方面。
而本课程主要关注的是立体几何部分。
二、立体几何的基本概念在学习立体几何前，我们需要了解一些基本概念，这些概念对于理解和应用立体几何知识非常重要。
2.1 点、线、面在立体几何中，点、线、面是最基本的图形元素。
点是没有大小和形状的，只有位置。
线是由无数个点组成的，没有宽度和厚度。
面是由无数个线组成的，具有长度和宽度。
2.2 图形的投影在三维空间中，我们可以将图形投影到二维平面上，以便更好地观察和分析。
常见的投影方法有平行投影和透视投影。
三、立体几何的性质和定理立体几何中有许多重要的性质和定理，它们给出了图形之间的关系和计算方法。
在本课程中，我们将介绍一些常见的性质和定理，并通过实例演示应用方法。
3.1 最短距离定理最短距离定理是立体几何中一个重要的定理，它指出在两个不共面的点之间，最短距离是它们连线上的一条线段。
3.2 空间角的性质空间角是立体几何中的一个重要概念，它是由两条交叉线和它们的公共点确定的。
在本课程中，我们将介绍空间角的性质和计算方法。
四、立体几何的应用立体几何在现实生活中有广泛的应用。
在建筑设计、工程测量、计算机图形学等领域，立体几何都扮演着重要的角色。
本课程将通过实例展示立体几何在实际问题中的应用。
4.1 体积计算体积是立体图形的一个重要性质，它用于衡量物体所占的空间大小。
在本课程中，我们将介绍一些常见图形的体积计算方法，例如长方体、圆柱体等。
4.2 表面积计算表面积是立体图形的另一个重要性质，它用于衡量物体的外表面积。
9 第9讲 立体几何 公开课一等奖课件
MN<a .
(3)若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，且 EG＝3，FH＝4，则 50 AC2＋BD2＝_________.
9.直线和平面垂直的判定和性质 判定： (1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.(2)两条平行 线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也 和这个平面垂直. 性质：(1)如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直 线和这个平面内所有直线都垂直.(2)如果两条直线都 垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 如①如果命题“若 x⊥y，y∥z，则 x⊥z”不成立，那 么字母 x、y、z 在空间所表示的几何图形一定 是 x、y 是直线，z 是平面 .
3.异面直线的判定 反证法.如(1)“a、b 为异面直线”是指：①a∩b＝∅， 但 a 不平行于 b；②a⊂面 α，b⊂面 β 且 a∩b＝∅； ③a⊂面 α，b⊂面 β 且 α∩β＝∅；④a⊂面 α，b⊄面 α； ⑤不存在平面 α，能使 a⊂面 α 且 b⊂面 α 成立.上述 结论中，正确的是
①⑤ .
6.两直线垂直的判定 (1)转化为证线面垂直； (2)三垂线定理及逆定理. 7.直线与平面的位置关系 (1)直线在平面内； (2)直线与平面相交， 其中， 如果一条直线和平面内任 何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直 . 注意：任一条直线并不等同于无数条直线；
(3)直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面 平行都叫作直线在平面外. 如下列命题中，正确的是 ( D ) A.若直线 a 平行于平面 α 内的一条直线 b，则 a∥α B.若直线 a 垂直于平面 α 的斜线 b 在平面 α 内的射影， 则 a⊥b C.若直线 a 垂直于平面 α，直线 b 是平面 α 的斜线，则 a 与 b 是异面直线 D.若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所 有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥
立体图形的直观图(优秀经典公开课课件)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析 因为 A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，所以 AB⊥AC．又 AC＝
2A′C′＝2AB，所以△ABC 是直角三角形，不是等腰三角形． 答案 B
4.如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为____________． 答案 6
(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应 点后，用平滑曲线连接而画出．
[触类旁通] 1．用斜二测画法画出如图所示边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图．
解析 (1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′轴上取 O′A′ ＝12OA，连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观 图，如图②所示．
题型二 空间几何体的直观图的画法 [例 2] 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
A．14 C．28
B．10 2 D．14 2
[解析] ∵A′D′∥y′轴， A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′， ∴原图形是一个直角梯形． 又 A′D′＝4， ∴原直角梯形的上、下底及高分别是 2,5,8， 故其面积为 S＝12×(2＋5)×8＝28. [答案] C
[母题变式] 若将例题变为“梯形 A1B1C1D1 是平面图形的直观图，若 A1D1∥O′y′，A1B1 ∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1”，试求原四边形 ABCD 的面积．
(3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分 别截取 2 cm 长的线段 AA′，BB′，CC′，DD′.
数学公开课教案立体几何
数学公开课教案立体几何数学公开课教案第一节：立体几何导入在本节课中，我们将学习有关立体几何的基本概念和性质。
立体几何是研究空间内各种立体图形以及它们的性质和关系的学科。
通过学习立体几何，我们可以更好地理解和应用数学知识。
1. 目标：通过本节课的学习，学生应能够：- 理解立体几何的基本概念和术语；- 辨别不同类型的立体图形；- 建立立体图形的空间感知能力；- 分析立体图形的性质和特点。
2. 导入活动：利用实际物体展示- 带来几个实际物体，如长方体、正方体、圆柱体等，并让学生观察、比较它们的外形和特点；- 引导学生提出关于这些物体的问题，鼓励他们思考和探索。
第二节：立体几何的基本概念在本节课中，我们将学习立体几何的基本概念，包括点、线、面、多面体等。
这些概念是理解和应用立体几何的基础。
1. 点、线、面的定义和性质- 通过举例和图示，给出点、线、面的定义，并介绍它们的性质；- 引导学生通过观察实际物体，识别出其中的点、线、面。
2. 立体图形的分类- 介绍不同类型的立体图形，如多面体、单面体等；- 通过图示和实物展示，帮助学生理解并分辨不同类型的立体图形。
第三节：立体几何的性质和关系在本节课中，我们将学习立体图形的性质和关系，包括平行和垂直关系、相似和全等关系等。
这些性质和关系有助于我们分析和解决与立体图形相关的问题。
1. 垂直和平行关系- 介绍垂直和平行关系的定义和性质；- 通过示例和图示，帮助学生理解和应用垂直和平行关系。
2. 相似和全等关系- 引导学生回顾相似和全等的概念，并将其应用于立体几何中；- 通过实例和练习题，让学生巩固和应用相似和全等关系的知识。
第四节：立体几何的应用在本节课中，我们将学习如何应用立体几何的知识解决一些实际问题，包括计算体积、表面积等。
1. 体积的计算- 引导学生回顾体积的概念，并学习如何计算各种立体图形的体积；- 提供练习题，让学生实践和应用体积计算的方法。
2. 表面积的计算- 引导学生学习如何计算各种立体图形的表面积；- 利用实际物体和图示，帮助学生理解和应用表面积的计算方法。
高一数学立体几何平面公开课课件新课标人教A版必修2
练习
判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
二，平面的画法
我们常常把水平的平面画成锐角为450， 横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.
D
FC
A
E
B
记作：平面
平面ABCD
记作：平面 平面
平面AC或平面BD
四，点、线、平面的位置关系有哪些？
平面内有无数个点，平面、直线都可以看成 点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用 元素与集合的属于、不属于关系来表示．
B
A
点A在平面 内，记作 A．
读作
点B在平面 外，记作 B．
读作
l
A
点A在直线l上．
共点呢?
如图，设直线l与平面α有一个公
共点A，点B为直线l上另一个点，当点B
逐渐与平面α靠近时，直线l上其余各
点与平面α的位置关系如何变化？
B
AA
．
α
如图，当点A、B落在平面α内时，
直线l上其余各点与平面α的位置关系
如何？由此可得什么结论？
A．
B．
α
公理1 如果一条直线上的两点在一个平
面内,那么这条直线在此平面内.
平面
第一课时
实例引入
实例引入
实例引入
引入新课
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌 面、黑板面、海面都给我们以平面的形 象．你还能从生活中举出类似平面形的物 体吗？
8 立体几何 公开课一等奖课件
变式训练 1
已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面，l
是一条直线，给出下列四个命题： ①若 α⊥β，l⊥β，则 l∥α； ②若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β； ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l∥α； ④若 α⊥β，α∥γ，则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
解析
①有直线 l⊂α 的可能； ②中可以过直线 l 作第三
变式训练 2 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中， ∠ABC＝∠ACD＝90° ，∠BAC＝∠CAD＝60° ， PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA＝2AB＝2. (1)若 F 为 PC 的中点，求证：PC⊥平面 AEF； (2)求证：CE∥平面 PAB.
证明 (1)∵PA＝CA＝2AB，F 为 PC 的中点， ∴AF⊥PC， ∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 的中点，F 为 PC 的中点， ∴EF∥CD，则 EF⊥PC. ∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面 AEF∥平面 ABC1D1 时，
缺少 EF⊄平面 ABC1D1 的条件．(2)思路不清．
失分原因与防范措施
本题失分原因主要有两点：一是推理论
证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视 定理的使用条件， 如由 E F ∥D 1B 就直接得出 E F ∥平面 A B C 1D 1； 二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第（2）问的证明， 缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂 直达到目的，出现证明上的错误. 防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与 化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间 的转化，如本题第（2）问是证明线线垂直，但分析问题时不能 只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这 些线平行的直线归结到某个平面上） ， 通过证明线面的垂直达到 证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直， 在不断的相互转化中达到最终目的 .解这类问题时要注意推理 严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.
高中数学第一章立体几何初步3三视图优质公开课获奖课件
练一练 1．画出如图所示的空间几何体的三视图(阴影面为主视面)(尺 寸不作严格要求)．
讲一讲 2. 画出下列几何体的三视图(阴影面为主视面)．
[尝试解答] 三视图如图所示．
对既有拼接，又有切、挖较复杂的组合体，关键是 观察清楚轮廓线和分界线，并注意被遮挡部分的轮廓线 用虚线表示，在画三视图时，很容易漏画轮廓线，或把 虚线画成了实线，要注意检查．
3．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如 图所示，则该几何体的左视图为( )
解析：依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右 下角，故选 B.
答案：B
4．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是 下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)． ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：只要判断主视图是不是三角形就行了，画出图形容 易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只 需要倒着放就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．
答案：①②③⑤
5．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小 正方体的个数是________．
解析：由三视图我们可以得出该 几何体的直观图，如图所示．
1．如图所示的一个几何体，它的俯视图是( )
解析：根据三视图的画法及特点可知C正确． 答案：C
2．(湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该 几何体的俯视图不可能是( )
解析：A是两个圆柱的组合体，B是一个圆柱和一个四棱柱的 组合体，C选项的正视图与侧视图不相同，D可以是一个底面 为等腰直角三角形的直三棱柱与一个四棱柱的组合体． 答案：C
[核心必知] 1．三视图中的实虚线 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用 实线 画出．不可见 边界轮廓线，用 虚线 画出． 2．绘制三视图时的注意事项 (1)绘制三视图时，要注意： ①主、俯视图 长对正 ； ②主、左视图 高平齐 ； ③俯、左视图 宽相等 ，前后对应．
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底面是平行四边形的四做 直平行六面体 ；
底面是矩形的直平行六面体叫做长方体 ； 棱长都相等的长方体叫做正方体 ．
知识拓展：
特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全
等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥 ．
正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的 斜高 ； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 正四面体 。
3.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 互相平行 ，而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.
4．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影 面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全 等和相等的，三视图包括 正视图 、侧视图 、俯视图 ．
圆锥 以直角三角形的 一条直角边位旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫做圆锥 圆
圆台 以直角梯形垂直 于底边的腰所在 的直线为旋转轴， 其余各边旋转而 形成的曲面所围 成的几何体叫做 圆台 两底面是平行但 半径不相等的圆 扇环 延长线交于一点 与两底面是平行 且半径不相等的 圆 等腰梯形
圆锥 圆台
球
结构特征
棱柱 两个平面互相平行，其 余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的 公共边都平行，这些面 围成的几何体称为棱柱
棱锥
棱台
定义
有一面为多边形，用一个平行于棱锥底面 其余各面是有一 的平面去截棱锥，底面 个公共顶点的三 与截面之间的部分这样 角形，这些面围 的多面体叫做棱台 成的几何体叫做 棱锥
1．熟记柱﹑锥﹑台的特殊几何特征. 2．三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常 见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几 何体举特例解决．
球 以半圆的直径所在 的直线为旋转轴， 将半圆旋转一周所 形成的曲面称为球 面，球面所围成的 几何体称为球体， 简称球 无
底面
侧面展开图 母线 平行于底 面的截面 轴截面
扇形 相较于顶点 平行于底面且 半径不相等的圆 等腰三角形
不可展开 无 球的任何截面都是 圆 圆
基础梳理 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 互相平行 ，上下底面是 全等 的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公共顶点 的三角 形．
(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线 段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变 ．
知识拓展：特殊棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱 ； 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 ； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 ；
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直 观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°或135°，已知图形中平行于x 轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形 中平行于x轴的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于y轴的线 段，长度变为 原来的一半 ．
★考试目标 学 习 目 标 理解空间几何体的三视图，能画 4.空间几 出空间简单几何体的三视图并能 何体的三视 根据几何体的三视图想象立体模 图 型. 5.空间几 了解斜二测画法，会用斜二测画 何体的直观 法画空间几何体的直观图. 图 节 次
简单几何体的分类： 多面体 简单几何体 旋转体
棱柱 棱锥 棱台 圆柱
考向一
空间几何体的结构特征
例2 下列命题： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一 点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连 线是圆锥的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点， 则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线相互平行． （ D ） 其中正确的是 A．①② B．②③ C．①③ D．②④
模块2 立体几何(第1讲) 空间几何体的结构、三视图和直观图
★考试目标 节 次 1.柱、锥、 台、球的结 构特征 2.简单组合 体的结构特 征 学 习 目 标 识记柱、锥、台、球的结构特征. 识记简单组合体的结构特征，能 识别一个几何体是由那些简单几 何体组合而成的.
能描述平行投影与中心投影，能 3.平行投影 用平行投影的方法，画空间图形 与中心投影 的三视图与直观图.
平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是相似 (3)棱台可由
多边形．
2．旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕 一边所在直线 旋转一周得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得 到． (3) 圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线 旋转一周或等腰梯 形绕 上下底面中心所在直线 旋转半周得到，也可 由 平行于 底面的平面截圆锥得到． (4) 球可以由半圆面绕 直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得 到．
底面
侧面 侧棱
两底面是全等的多边形
平行四边形 平行且相等
多边形
三角形 相交于顶点
两底面是相似的多边形
梯形 延长线交于一点
平行于底 面的平面
与两底面是全等的多边 形
平行四边形
与底面是相似的 多边形
三角形
与两底面是相似的多边 形
梯形
过不相邻 两侧棱的 截面
结构特征 定义
圆柱 以矩形的一边所 在的直线为旋转 轴，其余各边旋 转而形成的曲面 所围成的几何体 叫做圆柱 两底面是平行且 半径相等的圆 矩形 平行且相等 与两底面是平行 且半径相等的圆 矩形
考向一
空间几何体的结构特征
） 例1 下列命题中正确的是 （ A．有两个面平行，其余各面都是四边形的 几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边 形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角 形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点
考向一
空间几何体的结构特征
例1 下列命题中正确的是 （ D ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的 几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边 形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角 形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点