成考数学教案第5讲数列
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【组织教学】
1. 起立，师生互相问好
2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题 【导入新课】
【讲授新课】 第四章 数列 【复习提示】
1、近年来，数学考查的热点是：
（1） 在“)(,,,,1q d n S a a n n ”这5个量中已知3个量求另外两个量的运算。 （2） 证明某数列是等差数列或等比数列。 （3） 已知n S ，求n a 。 2、 在复习中要注意以下3点：
（1）在用等比数列前n 项和公式n S 时，要注间条件1≠q 。显然1=q 时，1na S n =； （2）在已知数列前n 项和n S 求n a 时，要注意条件2≥n 。
n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 13211--++++=n n a a a a S （2≥n ）②
式①－式②得：1--=n n n S S a （2≥n ）， 而11S a =，1
11
n n n S S a a S --⎧∴=⎨
=⎩；
（4） 对于等差数列{}n a ，若有q p n m +=+，则有q p n m a a a a +=+，
对于等比数列{}n b ，若有q p n m +=+，则有q p n m b b b b ⨯=⨯。
§4.1 数列的有关概念 一、数列的定义和表示法
（一）定义 按照一定次序排列的一列数叫做数列，如数列
{}n ： 1,2,3,4,
,,n {}2n ：2,4,6,8,
,,
n
12n ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭：1111
,,,,,,
24816
n
（二）表示法 数列一般用12,,
,,n a a a 表示，简记为{}n a ，n a 叫做数列的第n 项，
也叫{}n a 的通项， 12n n S a a a =++
+叫做数列的前n 项和。
二、数列的分类
三、数列的通项与前n 项和n S 之间的关系：11
1(2)n
n n a S a S S n -=⎧⎨=-≥⎩ （任何数列都有此
关系）
例 已知数列{}n a 的前n 项和为(21)n S n n =+, （Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断39n a =是该数列的第几项.
解（Ⅰ） 当2n ≥时，[]-1(21)(1)2(1)141n n n a S S n n n n n =-=+---+=-
{
112(1)
n n n n
n a a d a
q
a a n n ++-===+⎧⎪⎨⎪
⎩⎧⎪⎨⎪⎩有穷数列：项数有限的数列按项数是否有限分
无穷数列：项数无限的数列
等差数列：前后项之差为同一常数，按前后项数值关系分等比数列：前后项之比为同一常数，非等差也非等比数列有通项式数列（其中有的没有公差也没有公比，如）
按是否有通项式无通项式数列
当1n =时，111(211)3a S ==⨯⨯+=，满足41n a n =-， 所以，41n a n =-
（Ⅱ） 4139n a n =-=，得10n =.
§4.2 等差数列 一、等差数列的概念
（一）定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.常记作d
如数列lg 2,lg 4,lg8,lg16就是等差数列, 公差lg2d =
（二）等差中项 等差数列中任一有前后项的项是其前后的等差中项.如,,a b c 成等差
数列,则2
a c
b +=
二、通项公式与前n 项和公式
111()(1)22
(1)n n n n n a a n n d n S S na a a n d +-==+=+-⎧⎪
⎨
⎪⎩通项公式前项和公式：或： 例 在等差数列{}n a 中，58a =，510S =，求10S 解 1151()5(8)
10,422
n n a a a S a ++=
===- 51(51)448,3a a d d d =+-=-+== ，
101(1)10(101)3
10(4)9522
n n d S na --⨯=+
=⨯-+= 例 在等差数列1234a a a a 、、、中, 14a a 、是方程2
2520x x -+=的两个根, 求
23a a +.
解
211422314252(21)(2)0,0.5,2, 2.5x x x x a x a x a a a a -+=--=====+=+=
§4.2等比数列 一、等比数列的概念
（一）定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,
这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.
常记作q
如数列2,
4-就是等比数列，公比是q =
（二）等比中项等比数列中任一有前后项的项是其前后的等比中项.如,,
a b c成等
比数列,
则b=
二、通项公式与前n项和公式
1
1
1
1
(1)
(1)
11
n
n
n
n
n
n
a a q
a a q
a q
S q
q q
-
⎧=
⎪
⎨-
-
==≠⎪--
⎩
通项公式
前项和公式：
：
例已知等比数列的首项
19
a=,
1
q=
3
-,求
4
a
解
41
41
41
11
9
33 a a q
-
-
⎛⎫
==⨯-=-
⎪
⎝⎭
例
已知(5+与x
求x
解
2(5x =+
,
7(5
5
2518
x
-
====-
-
例某厂制定五年发展规划,第一年产值640万元,第二年起每年增加产值25％,求这个厂第五年的产值可以达到多少万元?五年的总产值可以达到多少万元?
解
1
640
a=万元,10.25 1.25
q=+=514
51
640 1.251562.5()
a a q-
==⨯=万元
1
6401562.5 1.25
= = 5252.5()
11 1.25
n
n
a a q
S
q
--⨯
=
--
万元
例数列{}n a中，如果)1
(
2
1
1
≥
=
+
n
a
a
n
n
且2
1
=
a，则数列的前5项之和等于（）。（1999）
（A）
8
31
（B）
8
31
-（C）
32
31
（D）
32
31
-
答：（A）分析：显然因为
1
1
(1)
2
n n
a a n
+
=≥，所以有1
1
2
n
n
a
a
+=，即该数列为等比数列，由等比数列的前n项和公式1
(1)
1
n
n
a q
S
q
-
=
-
可得
5
5
1
21()
31
2
18
1
2
S
⎡⎤
⨯-
⎢⎥
⎣⎦
==
-
例在等比数列{}n a中，5
4
3
=
a
a，则=
6
5
2
1
a
a
a
a（）。（2000）
（A）25 （B）10 （C）25
-（D）10
-