成考数学教案第5讲数列

【组织教学】

1. 起立，师生互相问好

2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题 【导入新课】

【讲授新课】 第四章 数列 【复习提示】

1、近年来，数学考查的热点是：

（1） 在“)(,,,,1q d n S a a n n ”这5个量中已知3个量求另外两个量的运算。 （2） 证明某数列是等差数列或等比数列。 （3） 已知n S ，求n a 。 2、 在复习中要注意以下3点：

（1）在用等比数列前n 项和公式n S 时，要注间条件1≠q 。显然1=q 时，1na S n =； （2）在已知数列前n 项和n S 求n a 时，要注意条件2≥n 。

n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 13211--++++=n n a a a a S （2≥n ）②

式①－式②得：1--=n n n S S a （2≥n ）， 而11S a =，1

11

n n n S S a a S --⎧∴=⎨

=⎩；

（4） 对于等差数列{}n a ，若有q p n m +=+，则有q p n m a a a a +=+，

对于等比数列{}n b ，若有q p n m +=+，则有q p n m b b b b ⨯=⨯。

§4.1 数列的有关概念 一、数列的定义和表示法

（一）定义 按照一定次序排列的一列数叫做数列，如数列

{}n ： 1,2,3,4,

,,n {}2n ：2,4,6,8,

,,

n

12n ⎧⎫⎨

⎬

⎩⎭：1111

,,,,,,

24816

n

（二）表示法 数列一般用12,,

,,n a a a 表示，简记为{}n a ，n a 叫做数列的第n 项，

也叫{}n a 的通项， 12n n S a a a =++

+叫做数列的前n 项和。

二、数列的分类

三、数列的通项与前n 项和n S 之间的关系：11

1(2)n

n n a S a S S n -=⎧⎨=-≥⎩ （任何数列都有此

关系）

例 已知数列{}n a 的前n 项和为(21)n S n n =+, （Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断39n a =是该数列的第几项.

解（Ⅰ） 当2n ≥时，[]-1(21)(1)2(1)141n n n a S S n n n n n =-=+---+=-

{

112(1)

n n n n

n a a d a

q

a a n n ++-===+⎧⎪⎨⎪

⎩⎧⎪⎨⎪⎩有穷数列：项数有限的数列按项数是否有限分

无穷数列：项数无限的数列

等差数列：前后项之差为同一常数，按前后项数值关系分等比数列：前后项之比为同一常数，非等差也非等比数列有通项式数列（其中有的没有公差也没有公比，如）

按是否有通项式无通项式数列

当1n =时，111(211)3a S ==⨯⨯+=，满足41n a n =-， 所以，41n a n =-

（Ⅱ） 4139n a n =-=，得10n =.

§4.2 等差数列 一、等差数列的概念

（一）定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.常记作d

如数列lg 2,lg 4,lg8,lg16就是等差数列, 公差lg2d =

（二）等差中项 等差数列中任一有前后项的项是其前后的等差中项.如,,a b c 成等差

数列,则2

a c

b +=

二、通项公式与前n 项和公式

111()(1)22

(1)n n n n n a a n n d n S S na a a n d +-==+=+-⎧⎪

⎨

⎪⎩通项公式前项和公式：或： 例 在等差数列{}n a 中，58a =，510S =，求10S 解 1151()5(8)

10,422

n n a a a S a ++=

===- 51(51)448,3a a d d d =+-=-+== ，

101(1)10(101)3

10(4)9522

n n d S na --⨯=+

=⨯-+= 例 在等差数列1234a a a a 、、、中, 14a a 、是方程2

2520x x -+=的两个根, 求

23a a +.

解

211422314252(21)(2)0,0.5,2, 2.5x x x x a x a x a a a a -+=--=====+=+=

§4.2等比数列 一、等比数列的概念

（一）定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,

这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.

常记作q

如数列2,

4-就是等比数列，公比是q =

（二）等比中项等比数列中任一有前后项的项是其前后的等比中项.如,,

a b c成等

比数列,

则b=

二、通项公式与前n项和公式

1

1

1

1

(1)

(1)

11

n

n

n

n

n

n

a a q

a a q

a q

S q

q q

-

⎧=

⎪

⎨-

-

==≠⎪--

⎩

通项公式

前项和公式：

：

例已知等比数列的首项

19

a=,

1

q=

3

-,求

4

a

解

41

41

41

11

9

33 a a q

-

-

⎛⎫

==⨯-=-

⎪

⎝⎭

例

已知(5+与x

求x

解

2(5x =+

,

7(5

5

2518

x

-

====-

-

例某厂制定五年发展规划,第一年产值640万元,第二年起每年增加产值25％,求这个厂第五年的产值可以达到多少万元?五年的总产值可以达到多少万元?

解

1

640

a=万元,10.25 1.25

q=+=514

51

640 1.251562.5()

a a q-

==⨯=万元

1

6401562.5 1.25

= = 5252.5()

11 1.25

n

n

a a q

S

q

--⨯

=

--

万元

例数列{}n a中，如果)1

(

2

1

1

≥

=

+

n

a

a

n

n

且2

1

=

a，则数列的前5项之和等于（）。（1999）

（A）

8

31

（B）

8

31

-（C）

32

31

（D）

32

31

-

答：（A）分析：显然因为

1

1

(1)

2

n n

a a n

+

=≥，所以有1

1

2

n

n

a

a

+=，即该数列为等比数列，由等比数列的前n项和公式1

(1)

1

n

n

a q

S

q

-

=

-

可得

5

5

1

21()

31

2

18

1

2

S

⎡⎤

⨯-

⎢⎥

⎣⎦

==

-

例在等比数列{}n a中，5

4

3

=

a

a，则=

6

5

2

1

a

a

a

a（）。（2000）

（A）25 （B）10 （C）25

-（D）10

-