导数及其应用

1．设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,f n+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( )

A.sinx

B.-sinx

C.cosx

D.-cosx

2．已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）

A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f(x)=2(x-1)2D．f(x) = -x+3

3.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.

4．设t≠0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间；

（2）若f(x)在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。

6．已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。

7．已知a∈R,讨论函数f(x)=e (x2+ax+a+1)的极值点的个数。

8．设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)≥0;

(2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.

试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。

例2．已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。

（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。

（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.

(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在[-1，2]因为在（-1，3）上f’(x)>0,所以f(x)在[-1，2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7

即函数f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-7。

【正确解答】f’(x)=e x(a2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)] 令f’(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.

故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。

易错起源1、导数的概念与运算

例1．已知f(3)=2f ’(3)=-2，则3)

(32lim

3--→x x f x x 的值为 （ ） A ．-4 B ．0 C ．8 D ．不存在

1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a 处可导，则)(')()(lim a f a x a f x f n =--∞

→

的运用。

2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏

3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。 易错起源2、导数几何意义的运用

例2．已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在x=±1处有极值。

（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。

（2）过点A （0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f’(x0)，则过此点的切线的斜率为f’(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。

易错起源3、导数的应用

例3．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

【错解分析】上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错

误，∵x<10,V’>0;1036,V’>0.

1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。

2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。

3．函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。

实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f’(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f’(x)=0的解是最值点。