复旦 周小林 信息论 2.信源与信息熵
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信源熵的名词解释
信源熵的名词解释信源熵（Source Entropy）是信息论中一个重要的概念，用于衡量信息源的不确定性和信息的平均编码长度。
在信息论中，信息可以被看作是从一个信源中获取的，而信源熵用来描述这个信源的不确定性大小。
信源熵的计算方法是根据信源可能产生的符号的概率分布来进行的。
具体来说，如果一个信源有n个可能取值（符号）S1，S2，...，Sn，并且每个符号出现的概率分别为P1，P2，...，Pn，那么信源的熵H(S)可以通过下面的公式计算得出：H(S) = -P1log(P1) - P2log(P2) - ... - Pnlog(Pn)其中，log是以2为底的对数，P1，P2，...，Pn是概率分布。
信源熵的含义是，对于一个不确定性较大的信源，需要更长的编码长度来表示每一个符号，所以熵值越大，说明信息的平均编码长度越长。
相反，当一个信源的不确定性较小，即各个符号出现的概率分布较平均时，信息的平均编码长度较短，熵值较小。
以一个简单的例子来说明信源熵的概念。
假设有一个只有两个符号的信源，分别记为S1和S2，它们出现的概率分别为P1和P2。
如果这两个符号的概率分布相等（即P1 = P2 = 0.5），那么信源的熵就是最大的，因为这两个符号的不确定性相同，需要同样长度的编码来表示它们。
而如果其中一个符号的概率接近于1，另一个符号的概率接近于0，那么信源的熵就是最小的，因为其中一个符号的信息是确定的，只需要很短的编码来表示它。
这个例子可以帮助我们理解信源熵与不确定性之间的关系。
除了信源熵，信息论中还有一个重要的概念是条件熵（Conditional Entropy）。
条件熵是在已知一定的背景条件下，信源的不确定性大小，即在给定前提条件下的平均编码长度。
条件熵可以通过信源和条件之间的联合概率分布来计算，其公式为：H(S|T) = -ΣΣP(s, t)log(P(s|t))其中，P(s, t)表示符号s和条件t联合发生的概率。
第二章 信源熵
I ( xi y j ) = log 2 p ( xi y j )
XY x1 y1 , , x1 ym , x2 y1 , , x2 ym , , xn y1 , xn ym P ( XY ) = p( x y ), p( x y ), p( x y ),, p( x y ) 1 1 1 m 2 1 n m 0 ≤ p ( xi y j ) ≤ 1, ∑∑ p ( xi y j ) = 1
信息论基础 第二章 信源熵
苗立刚 ligangmiao@ 实验楼417 实验楼 电话8048018 电话 东北大学秦皇岛分校自动化工程系 2009年 2009年3月
第二章 信源熵
本章主要讨论的问题： 本章主要讨论的问题：
2.1 单符号离散信源 2.2 多符号离散平稳信源 2.3 连续信源 2.4 离散无失真信源编码定理
Y y1 , y2 , , y j , , ym 信宿 = p ( y ), p( y ), , p ( y ), , p ( y ) , ∑ p( y j ) = 1 j 1 2 j m P(Y )
2.1单符号离散信源 2.1
–信源发出消息 xi 的概率 p ( xi ) 称为先验概率，信 信源发出消息 称为先验概率 先验概率， 的概率称为后验概 宿收到 y j 后推测信源发出 xi 的概率称为后验概 率 p ( xi / y j ) 。 –定义 xi 的后验概率与先验概率比值的对数为 y j 的后验概率与先验概 比值的对数为 先验概率 定义 互信息量， 表示， 对 xi 的互信息量，用 I ( x i ; y j ) 表示，即
2.1单符号离散信源 2.1
自信息量的单位 –自信息量的单位取决于对数的底； 自信息量的单位取决于对数的底； 自信息量的单位取决于对数的底 –底为2，单位为“比特（bit）”； 底为2 单位为“比特（bit） ； 底为 –底为e，单位为“奈特（nat）”； 底为e 单位为“奈特（nat） ； 底为 –底为10，单位为“哈特（hat）”； 底为10 底为10，单位为“哈特（hat）”； –1 nat = 1.44bit , 1 hat = 3.32 bit； bit； 1 例1：从26个英文字母中，随即选取一个字母，则该事件的自 26个英文字母中，随即选取一个字母， 个英文字母中 信息量为 I = -log2(1/26) = 4.7 比特 例2：设m比特的二进制数中的每一个是等概率出现的(这样的 比特的二进制数中的每一个是等概率出现的( 数共有2 则任何一个数出现的自信息为: 数共有2m个)，则任何一个数出现的自信息为: 比特/ I = -log2(1/ 2m) = m 比特/符号
信息论与编码2-信源及信源熵
随机英文字母信源，其中每个英文字母出现的概率是固定的。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
第2章 信源熵 第1讲 自信息量 与 互信息量
余 映 云南大学
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计算举例
• 对于 2n 进制的数字序列, 假设每一符号的出现完 全随机且概率相等，求任一符号的自信息量。 解：设任一码元 xi 出现概率为 p(xi)，根据题意， p(xi) = 1/ 2n I (xi) = –log(1/ 2n) = n (bit) • 事件的自信息量只与其概率有关，而与它的取值 无关。
余 映 云南大学
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信息量与不确定性的关系
• 信源中某一消息发生的不确定性越大，一旦它发生，并为 收信者收到后，消除的不确定性就越大，获得的信息也就 越大。 • 由于各种原因（例如噪声太大），收信者接收到受干扰的 消息后，对某信息发生的不确定性依然存在或者一点也未 消除时，则收信者获得较少的信息或者说一点也没有获得 信息。
余 映 云南大学 21/38
信息量与不确定性的关系
• 自信息量和不确定度的含义又有区别
– 不确定度只与事件的概率有关，是一个统计量，在静 态状态下也存在； – 自信息量只有该随机事件出现时才给出，不出现时不 给出，因此它是一个动态的概念。
余 映 云南大学
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自信息的含义
• 在事件 xi 发生前：表示事件 xi 发生的不确定性。 • 在事件 xi 发生后：表示事件 xi 所提供的信息量。
余 映 云南大学
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信息量与不确定性的关系
• 信息量的直观定义：
收到某消息获得的信息量＝不确定性减少的量 ＝(收到此消息前关于某事件发生的不确定性) －(收到此消息后关于某事件发生的不确定性) • 在无噪声时，通过信道传输，可以完全不失真地收到消息， 收到此消息后关于某事件发生的不确定性完全消除，此项 为零。因此得 收到某消息获得的信息量 ＝收到此消息前关于某事件发生的不确定性 ＝信源输出的某消息中所含有的信息量
第二章_离散信源与信息熵的关系
给出，为了书写方便以后写成： 和
y1 , y2 , Y q1 , q2 , ym qm
xn Y y1, y2 , Q q( y ), q( y ), p( xn ) ； 1 2
ym q ( ym )
一. Definition of the self-mutual information:
«信 息 论 基 础 »
第二章：信息的度量与信息熵
( The measure of Information &Entropy) §2. 1 自信息与条件自信息
( self—information & conditional self— information) §2. 2 自互信息与条件自互信息 (self—mutual
p ( x ) 则表达当收端已收到某种消息后, 再统计发端的发送 率： y 概率，所以此条件概率称为后验概率(Posterior Probability) 。
§2. 1 自信息与条件自信息 因此我们说事件 xi 以及它所对应的先验概率P( x )而定
i
义出的自信息 I [ p( xi )] ，所表达的不论事件是否有人接收这 个事件它所固有的不确定度，或者说它所能带来的信息 xi p ( ) 量。而消息事件 y j xi nk 它所对应的条件概率 yj 是在收端接收到已干扰的消息后的后验概率,如果当它为1 xi p ( ) 则属于透明传输；若 y j <1，则属于有扰传输。而当 xi p ( ) 后验概率大于先验概率是 y j > P( xi )，说明事件 y j 发生之后多少也解除了事件 xi 的部分不定度，即得到 了事件 X xi 的部分信息。由于概率越大，不定度越小。 从客观上讲，条件自信息一定不会大于无条件的自信息。 同时也反映出要得知一些条件，原事件的不定度一定会 减少，最坏的情况也不过保持不变，即条件与事件无关。
信息论与编码 信源与信息熵
15
• 例2-8:一个二进信源X发出符号集{0,1},经过
离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示,由于 信道中存在噪声,接收端除收到0和1的符号外, 还有不确定符号“2” X • 已知X的先验概率: 3/4 p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3, • 符号转移概率： p(y0|x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2，
14
1/ 2 p(x2 | y1) I (x2; y1) = log 2 = log 2 =1 bit p(x2 ) 1/ 4
1/ 4 I (x3; y1) = I (x4; y1) = log 2 =1bit 1/ 8
• 表明从y1分别得到了x2 x3 x4各 1比特的信 息量。 • 消息y1使x2 x3 x4的不确定度分别减少1bit 、 2bit 、 2bit 。
0 1/4 2 1/2 1 1/2 1
Y 0
• 信源熵
2 1 2 2 1 1 H( X ) = H( , ) = − log − log = 0.92bit / 符号 3 3 3 3 3 3
16
由
p(xi y j ) = p(xi ) p( y j / xi ) = p( y j ) p(xi / y j )
• 得联合概率： p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
• 例2-8:一个二进信源X发出符号集{0,1},经过
离散无记忆信道传输,信道输出用Y表示,由于 信道中存在噪声,接收端除收到0和1的符号外, 还有不确定符号“2” X • 已知X的先验概率: 3/4 p(x0)=2/3, p(x1)= 1/3, • 符号转移概率： p(y0|x0)=3/4, p(y2|x0)=1/4 p(y1|x1)=1/2, p(y2|x1)=1/2，
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1/ 2 p(x2 | y1) I (x2; y1) = log 2 = log 2 =1 bit p(x2 ) 1/ 4
1/ 4 I (x3; y1) = I (x4; y1) = log 2 =1bit 1/ 8
• 表明从y1分别得到了x2 x3 x4各 1比特的信 息量。 • 消息y1使x2 x3 x4的不确定度分别减少1bit 、 2bit 、 2bit 。
0 1/4 2 1/2 1 1/2 1
Y 0
• 信源熵
2 1 2 2 1 1 H( X ) = H( , ) = − log − log = 0.92bit / 符号 3 3 3 3 3 3
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由
p(xi y j ) = p(xi ) p( y j / xi ) = p( y j ) p(xi / y j )
• 得联合概率： p(x0y0) = p(x0) p(y0 |x0) = 2/3×3/4 = 1/2 p(x0y1) = p(x0) p(y1 |x0) = 0 p(x0y2) = p(x0) p(y2 |x0) = 2/3×1/4 = 1/6 p(x1y0) = p(x1) p(y0 |x1) = 0 p(x1y1) = p(x1) p(y1 |x1) = 1/3×1/2=1/6 p(x1y2) = p(x1) p(y2 |x1) = 1/3×1/2=1/6
复旦 周小林 信息论 1.绪论
of communications”信息时代的里程碑 ✓ 50年代开始，IRE成立信息论组，出版信息论汇刊
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
17
1.1 信息论的形成与发展
信息论的形成与发展
✓ 1959年，Shannon, 信源压缩编码理论，“Coding theorem for a discrete source with a fidelity criterion”
市场研究公司Juniper Research日前发表的研究报告称，到 2013年，全球移动WiMAX用户将达到8000万，年收入将超过 230亿美元。
相关公司介绍
高通 ：CDMA技术领域的先驱、拥有600项核心技术专利
Intel 华为 爱立信 诺基亚西门子 阿尔卡特朗讯 …
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
27
信息传输的变革
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
28
信息的定义和性质
信息是具体信号与消息的内涵，是信号载荷的内 容，是消息描述的对象。反过来，信号则是信息 在物理表达上的外延，消息则是信息在数学表达 上的外延。同一信息，可以采用不同形式的物理 量来载荷，也可以采用不同的数学描述方式。 同样，同一类型信号或消息也可以代表不同内容 的信息。
无线信道
扩频接 收机
基带接收
模块
（信号解 复用，解 调，解扩
等）
图像解压与 信道差错译
码模块
指令信号 差错保护
模块
无线发射机简要框图
无线接收机简要框图
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
17
1.1 信息论的形成与发展
信息论的形成与发展
✓ 1959年，Shannon, 信源压缩编码理论，“Coding theorem for a discrete source with a fidelity criterion”
市场研究公司Juniper Research日前发表的研究报告称，到 2013年，全球移动WiMAX用户将达到8000万，年收入将超过 230亿美元。
相关公司介绍
高通 ：CDMA技术领域的先驱、拥有600项核心技术专利
Intel 华为 爱立信 诺基亚西门子 阿尔卡特朗讯 …
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
27
信息传输的变革
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
28
信息的定义和性质
信息是具体信号与消息的内涵，是信号载荷的内 容，是消息描述的对象。反过来，信号则是信息 在物理表达上的外延，消息则是信息在数学表达 上的外延。同一信息，可以采用不同形式的物理 量来载荷，也可以采用不同的数学描述方式。 同样，同一类型信号或消息也可以代表不同内容 的信息。
无线信道
扩频接 收机
基带接收
模块
（信号解 复用，解 调，解扩
等）
图像解压与 信道差错译
码模块
指令信号 差错保护
模块
无线发射机简要框图
无线接收机简要框图
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》
《信息论与编码》绪论-信源及信源熵
第一章绪论简单介绍本课程1.教学重点和计划1)信源及信源熵：约8学时2)无失真信源及无失真信源编码：约8学时3)限失真信源及限失真信源编码：约8学时4)信道及信道容量、信道编码：约12学时5)密码学：约8学时参考书1）信息论及信息处理，吴伟陵，人民邮电出版社2）信息论—基础理论与应用，傅祖芸编著，电子工业出版社，20013）信息理论与编码，姜丹，钱玉美编著4）信息论基础教程，李亦农编著，北京邮电大学出版社，2005§1 信息的概念信息这一概念是在人类社会互通情报的实践过程中产生的。
信息在发展过程中主要经历了五次大的革命：1、声音、手势及语言；2、文字符号进入人类社会；3、印刷术提供了新的信息活动手段：增大了信息的传播范围；4、电磁波开始传播信息：加快了传播速度；5、计算机与通信的完美结合。
推动信息革命和信息技术发展的三项技术：✓微电子技术—信息技术的“细胞”✓通信技术—信息技术的神经✓计算机技术—信息技术的大脑信息科学是一门综合性学科，它是研究信息及其运动规律的科学。
其内容包括：信息的本质及其度量，信息的产生、获取、传播、处理和施效的规律。
研究的目的是扩展人类获取和利用信息的能力。
信息技术是运用信息科学的研究成果来解决生产实际问题，包括：✓感测技术（信息获取）✓通信技术（信息传输）✓计算机技术（信息处理）✓自动控制技术（信息施效）信息产业是专门从事信息生产、传播、出售和服务的产业，包括：信息技术设备制造、信息服务等。
⏹信息的定义我国学者钟义信教授对信息的定义为：信息就是在事物运动的状态和方式，就是关于事物运动的千差万别的状态和方式的认识。
信息是事物的状态和状态变化的方式。
1、信息是无形的2、信息是可共享的3、信息是可扩充的4、信息是可以度量的分析通信过程，通信的目的不外有两种情形：一是自己有某种形式的信息要告诉对方，同时估计对方既会对这种信息感到兴趣，而又尚不知道这个信息。
也就是说，对方在关于这个信息的知识上存在着不确定性；另一种情况是，自己有某种疑问要向对方询问，而且估计对方能够解答自己的疑问。
信源与信源熵
7
离散 离散无记忆信源 信源 离散有记忆信源
{
{ {
发出单个符号的无记忆信源 发出符号序列的无记忆信源
发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源
8
单符号离散无记忆信源的描述
• 一个离散信源发出的各个符号消息的集合为：
A {a1 , a2 , , an }
• 它们的概率分别为
•p(ai)是 ai的先验概率
s1
1/0.7
s2
0/0.8
26
马尔可夫信源
• 非周期的
– 对于pij(k)＞0的所有k值，其最大公约数为1。
• 常返态
– 经有限步后迟早要返回的状态，
• 遍历状态
– 非周期的、常返的状态
• 不可约的
–从某一状态si开始总有可能到达状态sj，即存在k使pij(k) ＞0
27
常返态 非周期的 x2:1/2 x3:1/2 s3 x3:1/2 s2 x2:1/2 x2:1/2 s1 x4:1 s4 x5:1 s5 x4:1/4 周期性的（2）
18
…
2.1 信源的描述和分类
• • • • 2.1.1 信源的描述与分类 2.1.2 无记忆信源 2.1.3 有记忆信源 2.1.4 马尔可夫信源
19
2.1.4 马尔可夫信源
• 马尔可夫信源
–一类相对简单的离散平稳信源 –该信源在某一时刻发出字母的概率除与该 字母有关外,只与此前发出的有限个字母有 关
s3
(1)1/2
(0)1/2
00 s1 s2 01
(1)2/3
• 根据信源输出的信号之间是否有相关性，可将 信源分成无记忆信源和有记忆信源两大类。
5
发出单个符号的无记 忆信源
信息论与编码4----信源及信源熵3
起始 状态 00 01 10 11
终 (00) 1/2 0 1/4 0
止 状 态 (01) (10) (11) 1/2 0 0 0 1/3 2/3 3/4 0 0 0 1/5 4/5
信息论与编码-信源及信源熵
求出的状态转移表如表2所示.方法是:比如在状 态01时,出现符号0,则将0加到状态01后,再 将第一位符号0挤出,转移到状态10,概率为 1/3.依此类推. 状态转移图如下图所示:
信息论与编码-信源及信源熵
p ( S k = s j ) = ∑ p ( S k = s j , S 0 = si )
i
= ∑ p ( S 0 = si ) p ( S k = s j / S 0 = si )
i ( = ∑ p 0 i pijk ) i
信息论与编码-信源及信源熵
( ) lim pijk: k →∞ 两个问题:(1)此极限是否存在;(2)如果存在,其 值是多少. (1)存在问题:p23 (2)求法:如果存在,且等于一个与起始状态 i 无关的 被称为平稳分布的 W j = p( S k = s j ) ,则不论起始状态是什 么,此马氏链可以达到最后的稳定,即所有状态的概 率分布均不变.在这种情况下,就可以用(P)这一矩 阵来充分描述稳定的马氏链,起始状态只使前面有限 个变量的分布改变,如同电路中的暂态一样.
信息论与编码-信源及信源熵
上节课复习 信源序列熵(续) 冗余度
信息论与编码-信源及信源熵
上一讲复习 I 互信息量: ( X;Y) = H( X ) H( X / Y) 互信息量与信源熵的关系:
信息论与编码-信源及信源熵
连续信源熵:h ( X ) = ∫R p ( x ) log p ( x ) dx 它与离散信源熵的差别(差熵) 最大熵:(1)限幅度时的最大熵 (2)限平均功率时的最大熵 序列信源熵: (1)离散无记忆信源序列熵:
信息论与编码信源及信源熵
14
信息论与编码-信源及信源熵
§2.2 离散信源的熵和互信息
2.2.1 自信息量 在讨论了信源的数学模型,即信源的数学描述问题后,
很自然接着会提出这样一个问题,即信源发出某一符号 xi(i=1,2,…,n) 后,它提供多少信息量？这就是要解决信 息的度量问题.
在通信的一般情况下,收信者所获取的信息量,在数 量上等于通信前后不确定性的消除(减少)的量.
2
信息论与编码-信源及信源熵
（一）信源的分类
信源的分类方法依信源特性而定,一般按照信源 发出的消息在时间上和幅度上的分布情况,把信源分 为：
1. 连续信源：发出在时间上和幅度上都是连续分布的 连续消息的信源；
2. 离散信源：发出在时间上和幅度上都是离散分布的 信源.
3.
离散信源又可以细分为：
3
信息论与编码-信源及信源熵
（1）离散无记忆信源：所发出的各个符号之间 是相互独立的,发出的符号序列中的各个符号 之间没有统计关联性,各个符号的出现概率是 它自身的先验概率.
（2）离散有记忆信源：发出的各个符号之间不 是相互独立的,各个符号出现的概率是有关联 的.
4
信息论与编码-信源及信源熵
也可以根据信源发出一个消息所用符号的多 少,将离散信源分为： 1. 发出单个符号的离散信源：信源每次只发出 一个符号代表一个消息； 2. 发出符号序列的离散信源：信源每次发出一 组含二个以上符号的符号序列代表一个消息. 将以上两种分类结合,就有四种离散信源：
信源就是离散无记忆信源.
12
信息论与编码-信源及信源熵
一般情况下,信源先后发出的符号之间是互相依赖的.例 如在中文字母组成的中文消息中,前后文字的出现是有依赖 的,不能认为是彼此不相关的,放在N维随机矢量的联合概率 分布中,就必然要引入条件概率分布来说明它们之间的关联. 这种信源即有记忆信源.
信息论与编码-信源及信源熵
§2.2 离散信源的熵和互信息
2.2.1 自信息量 在讨论了信源的数学模型,即信源的数学描述问题后,
很自然接着会提出这样一个问题,即信源发出某一符号 xi(i=1,2,…,n) 后,它提供多少信息量？这就是要解决信 息的度量问题.
在通信的一般情况下,收信者所获取的信息量,在数 量上等于通信前后不确定性的消除(减少)的量.
2
信息论与编码-信源及信源熵
（一）信源的分类
信源的分类方法依信源特性而定,一般按照信源 发出的消息在时间上和幅度上的分布情况,把信源分 为：
1. 连续信源：发出在时间上和幅度上都是连续分布的 连续消息的信源；
2. 离散信源：发出在时间上和幅度上都是离散分布的 信源.
3.
离散信源又可以细分为：
3
信息论与编码-信源及信源熵
（1）离散无记忆信源：所发出的各个符号之间 是相互独立的,发出的符号序列中的各个符号 之间没有统计关联性,各个符号的出现概率是 它自身的先验概率.
（2）离散有记忆信源：发出的各个符号之间不 是相互独立的,各个符号出现的概率是有关联 的.
4
信息论与编码-信源及信源熵
也可以根据信源发出一个消息所用符号的多 少,将离散信源分为： 1. 发出单个符号的离散信源：信源每次只发出 一个符号代表一个消息； 2. 发出符号序列的离散信源：信源每次发出一 组含二个以上符号的符号序列代表一个消息. 将以上两种分类结合,就有四种离散信源：
信源就是离散无记忆信源.
12
信息论与编码-信源及信源熵
一般情况下,信源先后发出的符号之间是互相依赖的.例 如在中文字母组成的中文消息中,前后文字的出现是有依赖 的,不能认为是彼此不相关的,放在N维随机矢量的联合概率 分布中,就必然要引入条件概率分布来说明它们之间的关联. 这种信源即有记忆信源.
信息导论-第6讲-信源熵
信源熵的度量
03
熵的离散型度量
离散型熵
离散型熵是用于度量离散随机变量不确定性的量，其定义基于概率分布。对于一个离散随机变量X，其熵H(X)定 义为H(X)=−∑p(x)logp(x)text{H}(X) = -sum p(x) log p(x)H(X)=−∑p(x)logp(x)，其中p(x)是随机变量取某个值 的概率。
深入研究信源熵与信息论其他概念，如互信息、相对熵等之间的联系，有助于更全面地 理解信息传递的本质。
扩展信源熵到多维和连续变量
目前信源熵主要应用于离散随机变量，未来研究可以探索将其扩展到多维和连续变量的 情况，以更好地描述复杂数据。
信源熵的量子化研究
随着量子信息理论的不断发展，探索信源熵在量子领域的表现和性质，有望为信息理论 带来新的突破。
条件熵
条件熵是在给定某个条件随机变量下，另一个随机变量的熵。条件熵H(X∣Y)表示在已知Y的条件下，X的不确定 性。
熵的连续型度量
连续型熵
对于连续随机变量，其熵的度量方式 略有不同。连续型熵通常使用概率密 度函数来定义，并涉及到积分运算。
条件连续型熵
与离散型条件熵类似，连续型条件熵 表示在给定某个连续随机变量条件下 ，另一个连续随机变量的不确定性。
03
通过信源熵的分析，可以帮助决策者更好地理解和 评估决策的风险，从而做出更明智的决策。
信源熵与其他信息论
05
概念的关联
与互信息的关系
互信息
互信息是描述两个随机变量之间相互依赖程度的概念，它表示一个随机变量中包含的关 于另一个随机变量的信息量。在信息论中，互信息用于度量两个信源之间的相互依赖程
度。
熵的极限性质
熵函数的连续性
信息熵讲义
a1 a2 aq [ A, pi ] p p p 2 q 1
p
i 1
q
i
1
一般情况，我们用概率的倒数的对数函数来表示 某一事件（某一符号）出现所带来的信息量。 每个符号的自信息量：
1 I (ai ) log pi
符号集的平均信息量就用信息熵来度量。
信宿
信源 编码 加密
信道 编码 干扰源
信道 译码 解密 解密钥
信源 译码
加密钥
提出的背景： 在香农信息论出现以前，没有系统的通信理论。
是香农，开创了信息论的研究，奠定了一般性通信
理论的基础。对数字通信技术的形成有很大贡献。 （不论什么样的干扰信道，抓住了本质问题。）
( Shannon, 1916－2001)
新的教材： 在广义信息论、网络信息论方面的内容有所增加。
第一讲
信息熵
1-1 1-2 1-3 信息论的主要内容 信息的度量－信息熵 信息熵的性质
1－1. 信息论的主要内容
香农信息论最初是为了解决通信问题而提出的。 通信的重要意义是勿庸置疑的。 人类传递思想、表达情感，就需要相互交流。 人类的劳动、生产、政治、文化、日常生活等都离不 开通信。
就能够不失真地传输消息（可靠性），也能够解决有效
性问题。 “香农信息与消息的内容无关”，并不是不传输消息内 容而只传输信息。传送的还是经过处理的消息（编码），
只是“如何处理”是从保持信息的角度来考虑的。
信息论与其它学科的联系： 统计物理（热力学，热力学第二定律：热熵不减）；
计算机科学（Kolmogorov复杂性，或算法复杂性）；
现在推广为：一位二进制数为1 bit，八位为1 byte
例：对于二元符号集X＝{0,1}, 如果
第二章 信源与信息熵
南通大学
2019/8/8
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第2章 信源与信息熵
2.信源的数学模型 无记忆离散信源：用概率空间
X P
a1
p(a1)
a2 p(a2)
an
p(an)
有记忆离散信源：联合概率空间
X Pp((aa1a1a11
a1) a1)
(anan an)
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第2章 信源与信息熵
对于高阶马尔可夫链，我们可通过分析系统状
态在输入符号作用下的转移情况，使高阶马尔可夫 链过程转化为一阶马尔可夫链过程。
对于m阶马尔可夫信源，将该时刻以前出现的m
个符号组成的序列定义为状态si，即
s i x i 1 , x i 2 ,, x i m x i 1 , x i 2 ,, x i m A a 1 , a 2 ,, a n
p
k
ii
0
的
n中没有比1大的公因
子。
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第2章 信源与信息熵
• 作业：2-1，2-2
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第2章 信源与信息熵
第二章 信源与信息熵
• 第二讲
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第2章 信源与信息熵
上一讲复习
• 1. 信源的分类
连续信源 信源
离散信源
随机波形信源 其它 单符号无记忆离散信源 符号序列无记忆离散信源 单符号有记忆离散信源 符号序列有记忆离散信源
第2章 信源与信息熵
第二章 信源与信息熵
• 第一讲 • 第二讲 • 第三讲 • 第四讲
第二章信源及信源熵
为m阶马尔可夫信源：
p( xi | xi 2 xi 1 xi 1 xi 2 xi m x1 ) p( xi | xi 1 xi 2 xi m ) (i 1, 2, , N )
用概率空间来描述离散信源:
一个离散信源的数学模型就是离散型的概率空间：
X与Y相互独立，无法从Y中提取关于X的 信息。也可以看成信道噪声相当大，以至有
H(X/Y)=H(X) 。在这种情况下，能够传输的
平均信息量为0。称为全损离散信道。
一般情况下，X和Y既非互相独立，也不是一一对
应，那么从Y获得的X信息必在零与H(X)之间，即
常小于X的熵。
0 I ( X ;Y ) H ( X )
当 xi 和 y j 相互独立时，有 p( xi y j ) p( xi ) p( y j ) 于是有 I ( xi y j ) I ( xi ) I ( y j )
条件自信息量：当 xi 和 y j 相互联系时，在事件 y j 出现的条件下，xi 的自信息量称为条件自信息 量，定义为 ：
j
/ xi )
H (Y / X ) p( xi ) p( y j | xi ) log p( y j | xi )
j 1 i 1 n
m
n
p( xi y j ) log p( y j | xi )
j 1 i 1
m
H ( X | Y ) - p ( xy ) log p ( x | y )
（2）当事件xi发生以后，表示事件xi所提供的信息量。
一点说明
自信息量的单位取决于对数的底；
底为2，单位为“比特（bit, binary unit）”； 底为e，单位为“奈特（nat, nature unit）”； 底为10，单位为“哈特（hat, Hartley）”或“det”； 根据换底公式得：
p( xi | xi 2 xi 1 xi 1 xi 2 xi m x1 ) p( xi | xi 1 xi 2 xi m ) (i 1, 2, , N )
用概率空间来描述离散信源:
一个离散信源的数学模型就是离散型的概率空间：
X与Y相互独立，无法从Y中提取关于X的 信息。也可以看成信道噪声相当大，以至有
H(X/Y)=H(X) 。在这种情况下，能够传输的
平均信息量为0。称为全损离散信道。
一般情况下，X和Y既非互相独立，也不是一一对
应，那么从Y获得的X信息必在零与H(X)之间，即
常小于X的熵。
0 I ( X ;Y ) H ( X )
当 xi 和 y j 相互独立时，有 p( xi y j ) p( xi ) p( y j ) 于是有 I ( xi y j ) I ( xi ) I ( y j )
条件自信息量：当 xi 和 y j 相互联系时，在事件 y j 出现的条件下，xi 的自信息量称为条件自信息 量，定义为 ：
j
/ xi )
H (Y / X ) p( xi ) p( y j | xi ) log p( y j | xi )
j 1 i 1 n
m
n
p( xi y j ) log p( y j | xi )
j 1 i 1
m
H ( X | Y ) - p ( xy ) log p ( x | y )
（2）当事件xi发生以后，表示事件xi所提供的信息量。
一点说明
自信息量的单位取决于对数的底；
底为2，单位为“比特（bit, binary unit）”； 底为e，单位为“奈特（nat, nature unit）”； 底为10，单位为“哈特（hat, Hartley）”或“det”； 根据换底公式得：
信息熵标准要求
信息熵标准要求
信息熵标准是一种衡量信息价值高低的指标，其计算方式基于信源的不定度，即信源输出随机量的概率分布。
信息熵的公式为
H(X)=H(P1,P2,…,Pn)=P(xi)logP(xi)H(X) = H(P_1, P_2, \ldots, P_n) =
P(x_i) \log P(x_i)H(X)=H(P1,P2,…,Pn)=P(xi)logP(xi)，其中P(xi)，
i=1,2,…,n为信源取第i个符号的概率。
当信息熵用于衡量信息的价值时，
可以基于信息熵的大小来评估信息的丰富程度和不确定性，从而做出关于知识流通问题的更多推论。
以上内容仅供参考，如需更具体全面的信息，建议查阅信息熵相关的学术文献或咨询该领域的专家学者。
信源及信源熵(精)
当示前熵后的可序加列性没有依赖关系时，H(X1,X2) = H(X1) + H(X2)表
11
例题：二维平稳信源的熵
12
例题：二维平稳信源的熵
13
例题：二维平稳信源的熵
14
N维平稳有记忆信源的熵
有如下关系：
根据平稳性质可以证明，条件熵H(XN|X1,X2,...,XN-1)随N的 增加是非递增的，即： H(XN|X1,X2,...,XN-1) =<H(XN-1|X1,X2,...XN-2） 当N=3时有，H(X3|X1X2) =< H(X2|X1) =<H(X1)
5
N维平稳信源
对于输出为N长序列的平稳信源在某时刻发出什 么样的符号与它前面发出的k(K<N)个符号有关。
6
离散平稳信源
如果各维联合概率分布均与时间起点无关，即对 两个不同的时刻i和j，有：
这种各维联合概率均与时间起点无关的完全平稳 信源称为离散平稳信源。
7
离散平稳信源的特点
离散平稳信源一般是有记忆信源 发出的各个符号之间具有统计关联关系
第3章 信源及信源熵
第六讲 石志国 北京科技大学电子信息系
1
第3章 信源及信源熵
3.1 信源的分类及其数学模型 3.2 离散单符号信源 3.3 离散多符号信源
3.3.1 离散平稳无记忆信源 3.3.2 离散平稳有记忆信源
平稳信源 平稳信源的熵
3.3.3 马尔可夫信源(有限有记忆信源) 3.3.4 信源的相关性和剩余度
2
离散平稳信源的定义：
实际信源不是简单无记忆信源，而是空间或时间的离散随机序列，常 用联合概率来描述符号间的相互依存关系，为此引入平稳信源概念
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例题：二维平稳信源的熵
12
例题：二维平稳信源的熵
13
例题：二维平稳信源的熵
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N维平稳有记忆信源的熵
有如下关系：
根据平稳性质可以证明，条件熵H(XN|X1,X2,...,XN-1)随N的 增加是非递增的，即： H(XN|X1,X2,...,XN-1) =<H(XN-1|X1,X2,...XN-2） 当N=3时有，H(X3|X1X2) =< H(X2|X1) =<H(X1)
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N维平稳信源
对于输出为N长序列的平稳信源在某时刻发出什 么样的符号与它前面发出的k(K<N)个符号有关。
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离散平稳信源
如果各维联合概率分布均与时间起点无关，即对 两个不同的时刻i和j，有：
这种各维联合概率均与时间起点无关的完全平稳 信源称为离散平稳信源。
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离散平稳信源的特点
离散平稳信源一般是有记忆信源 发出的各个符号之间具有统计关联关系
第3章 信源及信源熵
第六讲 石志国 北京科技大学电子信息系
1
第3章 信源及信源熵
3.1 信源的分类及其数学模型 3.2 离散单符号信源 3.3 离散多符号信源
3.3.1 离散平稳无记忆信源 3.3.2 离散平稳有记忆信源
平稳信源 平稳信源的熵
3.3.3 马尔可夫信源(有限有记忆信源) 3.3.4 信源的相关性和剩余度
2
离散平稳信源的定义：
实际信源不是简单无记忆信源，而是空间或时间的离散随机序列，常 用联合概率来描述符号间的相互依存关系，为此引入平稳信源概念
信源等概率分布 熵 -回复
信源等概率分布熵-回复信源等概率分布和熵是信息论中的重要概念。
在本文中，我们将一步一步回答以下问题：什么是信源等概率分布？什么是熵？它们之间的关系是什么？首先，让我们来了解什么是信源等概率分布。
在信息论中，信源是指产生消息的物理或抽象系统。
信源等概率分布是指信源产生不同消息的概率是相等的。
例如，我们可以考虑一个硬币投掷的信源，其中正面和反面出现的概率都是0.5。
在这种情况下，我们可以说硬币投掷是一个等概率分布的信源。
接下来，我们来介绍熵的概念。
熵是一种衡量信源不确定性的度量。
在信息论中，熵被定义为信源产生消息的平均信息量的期望。
这里的信息量可以理解为一个事件的意外程度或不确定性的量度。
具体而言，信息量可以用以2为底的对数来表示，这样单位就是比特。
例如，如果一个事件发生的概率为0.5，那么产生这个事件的信息量就是log2(1/0.5)=1比特。
对于信源等概率分布而言，熵具有特定的形式。
假设一个信源有N个可能的消息，每个消息的概率都是1/N。
在这种情况下，信源的熵可以通过以下公式计算：H = - ∑(1/N) * log2(1/N) = log2(N)这个公式说明了等概率分布信源的熵与可能的消息数量成正比。
换句话说，信源的熵随着消息数量的增加而增加。
那么，信源等概率分布和熵之间有什么关系呢？它们的关系可以通过熵的定义得到解释。
由于等概率分布中的每个消息的概率都相等，因此它们的信息量也是相等的。
因此，在等概率分布下，每个消息的信息量可以等效为一个相同的比特数。
这意味着，等概率分布信源的熵等于每个消息的信息量乘以消息数量。
由于每个消息的信息量是相同的，因此等概率分布信源的熵与消息数量成正比，如上述公式所示。
熵的概念和等概率分布信源的关系对于许多信息论的应用至关重要。
通过熵的度量，我们可以衡量一个信源产生的消息的不确定性程度。
在实际应用中，我们可以利用熵来设计有效的编码方案，以最小化消息的传输量。
总结起来，信源等概率分布是指信源产生不同消息的概率是相等的分布。
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I ( xi
/
yj)
log
p( xi
/
yj)
log
1 p( xi /
yj)
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2.2离散信源熵与互信息
联合自信息、条件自信息与自信息间的关系
p(x, y) p(x) p( y / x) p( y) p(x / y)
I ( x, y) log p( x, y) log p( x) p( y / x)
14
2.2离散信源熵与互信息
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2.2离散信源熵与互信息
定义：联合概率空间中任一联合事件的联合（自）
信息量为：
I ( xi ,
yj)
log
p( xi ,
yj)
log
1 p( xi ,
yj)
定义：联合概率空间中，事件x在事件y给定条件
下的条件（自）信息量为：
解：随机事件的概率空间为
X P
x1 0.8
x2 0.2
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r p(u)
1 8
,
1 8
,
L
1 8
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8
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2.2离散信源熵与互信息
信息量
自信息量 联合自信息量 条件自信息量
单符号离散信源熵
符号熵 条件熵 联合熵
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信源的基本特性是具有随机不确定性。
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2.1信源特性与分类
分类
时间
离散
连续
幅度
离散
连续
记忆
有
无
三大类：
单符号离散信源
符号序列信源（有记忆和无记忆）
连续信源
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2.1 信源描述与分类
描述：通过概率空间描述
以3位PCM信源为例
uur
U
uuuunrL
p(unL )
U L U 000, U 001, L U 111
r p(u)
p03,
p02 p1, L
p13
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2.1信源描述与分类
当p=1/2
U L U 000, U 001, L U 111
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2.1信源描述与分类
连续信源
U p(u)
(a, b)
p(u)
u U (, ), p(u)为概率密度函数
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2.1信源描述与分类
离散序列信源
ur
uur
UL r
U
uuur1,
U uuuur2,
L
p(u) p(u1), p(u2 ), L
0时, 1时,
I I
( (
pi pi
) )
0
由两个不同的消息（相互统计独立）所提供的信 息等于它们分别提供信息之和（可加性）
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2.2离散信源熵与互信息
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2.2离散信源熵与互信息
定义：对于给定的离散概率空间表示的信
I (xi
/
yj)
log2
p( xi
/
yj)
log2
p(xi , y j ) p( y j )
log2
Hale Waihona Puke 1 83bit普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》
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2.2离散信源熵与互信息
例2. 一个布袋内放100个球，其中80个球为红色， 20球为白色。若随机摸取一个球，猜测其颜色， 求平均摸取一次所获得的（自）信息量。
log p( x) log p( y / x) I ( x) I ( y / x) 当x和y相互独立: I ( xy) I (x) I ( y) 推广
I ( x1x2 L xN ) I ( x1) I ( x2 / x1) L
I ( xN / x1x2 L xN 1)
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2.2离散信源熵与互信息
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2.2离散信源熵与互信息
例1 设在一正方形棋盘上共有64个方格，如果甲将 一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内，让乙猜 测棋子所在的位置： （1）将方格按顺序编号，令乙猜测棋子所在方格 的顺序号 （2）将方格按行和列编号，甲将棋子所在的方 格的行（或列）编号告诉乙，再令乙猜测棋子所 在列（或行）所在的位置。
10
2.2离散信源熵与互信息
信息
不确定性的消除
信息的度量
随机性、概率 相互独立符合事件概率相乘、信息相加
熵
事件集的平均不确定性
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2.2离散信源熵与互信息
直观推导信息测度
信息I应该是消息概率p的递降函数
pi pi
, I ( pi ) ,且当pi , I ( pi ) ,且当pi
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2.2离散信源熵与互信息
解：由于甲将一粒棋子随意地放在棋盘中的某方格内， 因此棋子在棋盘中所处位置为二维等概率分布
p( xi
,
y
j
)
1 64
（1）联合（自）信息量为
I (xi ,
yj)
log2
p(xi ,
yj)
log2
1 64
6bit
（2）条件（自）信息量为
单符号离散信源
U p(u)
U
u1, p1,
U u2, p2 ,
L, L,
U un
pn
例如：对二进制数字与数据信源
U 0,
p
p0 ,
1
p1
0, 1, 2
1
1
2
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4
2.1 信源描述与分类
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》
源，x=ai事件所对应的（自）信息为
I ( xi
ai )
log
p( xi )
log
1 p( xi )
以2为底，单位为比特（bit)
以e为底，单位为奈特（nat) 1nat=1.433bit
以10为底，单位为笛特（det) 1det=3.322bit
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》
第2章 信源与信息熵
信源描述与分类 离散信源的信息熵和互信息 离散序列信源的熵 连续信源的熵与互信息 冗余度
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2.1信源的描述与分类
信源是产生消息（符号）、消息序列和连 续消息的来源。从数学上，由于消息的不 确定性。因此，信源是产生随机变量、随 机序列和随机过程的源。