用换元法解各种复杂方程

用换元法解各种复杂方程

用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。

[内容综述]

“换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。

[问题精讲]

1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3

分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2

进行换元。

解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0，

解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根，

由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。

解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根，

由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。

注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。

2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。

例2，解方程051356222=-----x x x x

分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。

解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0

解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。

注：以前学过平方去根号法解无理方程，是种普遍方法。现在的换元必须构造出根号内外两个相同的式子才行。

3.解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个

分式可以用一个新元和它的倒数来表示。例如方程1123311682222=+-+-+x

x x x x x 可变形为112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x 。设y x x x =-+1

222 进行换元可得1138=+y y ，去分母后化为8y 2-11y+3=0可解。

例3，2

34884=+---+x x x x 分析：本题既是无理方程也是分式方程，换元时可以设根号内的分式为新元，也可以直接设连同根号的分式为新元。下面给出按后一种思路换元的解法。

解：设

y x x =-+8

4，则原方程可以化为231=-y y ， 整理得 2y 2-3y-2=0，解得211-=y ，y 2=2，2

184-=-+x x 舍去。 由284=-+x x 解得x=12，经检验是原方程的根。 对于例3也可以用两边平方的方法直接求解：原方程两边平方得 4

948284=+-+--+x x x x ，整理后去分母化简得x 2-4x-96=0， 解得x 1=-8，x 2=12，代入原方程检验可知x 1=-8是增根。

所以x=12是原方程的根。

由例2、例3看出，对于分式方程或无理方程使用换元法后，仍需对所求根进行检验。实际上，根据验根的原则，有些特殊方程不求出根就可以判断它无解或无实根。如

03

222,

4612=-+-=+-x x x x [强化练习] 1.解方程21

33112222=+---+x x x x 2.解方程

； 3.解方程411

244=+++x x x x ； 4.解方程19291=+-+x x x 。