(完整版)高阶、隐函数的导数和微分练习题
大一高数隐函数求导题
大一高数隐函数求导题【原创实用版】目录一、隐函数求导的基本概念二、隐函数求导的方法三、具体案例解析四、总结与拓展正文一、隐函数求导的基本概念隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是研究函数变化规律的重要工具。
在隐函数中，一个变量的值是通过另一个变量的表达式来表示的。
例如，给定函数 f(x, y)，如果 y 是 x 的函数，即 y = g(x)，那么 y 就是 x 的隐函数。
二、隐函数求导的方法求解隐函数的导数，一般采用以下两种方法：1.直接求导法：适用于简单的隐函数，直接对隐函数表达式进行求导。
例如，对于 y = g(x) 的隐函数，可以直接对其进行求导，得到 y" = g"(x) * (dx/dy)。
2.间接求导法：适用于复杂的隐函数，通过先求解显函数的导数，再利用链式法则求解隐函数的导数。
例如，对于 xf(y) 的隐函数，可以先求解 f"(y) 和 (dx/dy)，然后利用链式法则求解 y" = (f"(y) * (dx/dy)) / (dy/dx)。
三、具体案例解析假设有一个隐函数 y = g(x)，其中 g(x) = x^2 + 3x + 2，我们需要求解该隐函数的导数。
采用直接求导法，我们可以直接对 y = g(x) 进行求导。
根据求导法则，y" = 2x + 3。
再假设有一个隐函数 x = f(y)，其中 f(y) = y^3 - 2y^2 + y + 1，我们需要求解该隐函数的导数。
采用间接求导法，我们首先求解 f"(y)，根据求导法则，f"(y) = 3y^2 - 4y + 1。
然后求解 (dx/dy)，由于 x = f(y)，所以 (dx/dy) = 1。
最后，利用链式法则求解 y"，得到 y" = (f"(y) * (dx/dy)) / (dy/dx) = (3y^2 - 4y + 1) / (y")。
高等数学第二章导数与微分习题
h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2
高中导数与微分精选练习题
高中导数与微分精选练习题1. 导数的定义问题1给定函数$f(x) = 3x^2 + 2x - 5$，求函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。
解答：导数的定义是函数在某一点的切线斜率，可以用极限的概念来表示。
函数$f(x)$的导数可以用$f'(x)$表示，即$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
首先，计算函数$f(x)$在$x = 2$处的导数。
将$x = 2$代入函数$f(x)$得$f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 15$。
接下来，我们计算导数的定义式。
将$x = 2$代入定义式得到：\[f'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{3(2+h)^2 + 2(2+h) - 5 - 15}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{12h + 3h^2 + 6h + 7}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} (3h + 6 + \frac{7}{h})\]\[= 6\]所以，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数为6。
问题2对于函数$g(x) = \sqrt{4x + 1}$，求函数$g(x)$在$x = 3$处的导数。
解答：首先，计算函数$g(x)$在$x = 3$处的值。
将$x = 3$代入函数$g(x)$得$g(3) = \sqrt{4(3) + 1} = \sqrt{13}$。
接下来，我们使用导数的定义来计算导数。
将$x = 3$代入定义式得到：\[g'(3) = \lim_{h\to 0} \frac{g(3+h) - g(3)}{h}\]\[= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{4(3+h) + 1} - \sqrt{13}}{h}\]由于根式的导数计算比较复杂，我们可以将定义式进行简化，令$t = 3 + h$，则上述式子可以改写为：\[g'(3) = \lim_{t\to 3} \frac{\sqrt{4t + 1} - \sqrt{13}}{t - 3}\]接下来，我们使用极限性质来计算该极限。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。
希望这些习题对您有所帮助！。
(完整版)导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。
高数习题课.隐函数微分法
1 z z 1 z z 同理可得F1( 2 ) F2 (1 )0 y y y x y y
代入所证等式左边即可得结论成立.
x z ex 5.设 ln , 求dz. z y
Method1. 原式两边微得: d ( x ) d (ln z ) z y
zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2
dy dy dy x 2 x ( 2 y e )(cos y 2 xy) ( y e )( sin y 2 y 2 x ) dx dx dx (cos y 2 xy) 2
Method2.
方程两边对x求导得 cos y y e x ( y 2 2 xyy) 0
隐函数存在定理3
F ( F , G ) u J G (u, v) u
F v G v
Fx Gx u 1 ( F , G) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv Fv Gv
Fu Gu v 1 ( F , G) Fu x J (u, x) Gu
(3) 也可求二阶偏导.
ex 2.设x cos y y cos z z cos x a确定了隐函数 z z z f ( x , y), 求 , . x y
Method1. 设F ( x , y, z ) x cos y y cos z z cos x a
则Fx cos y z sin x , Fy x sin y cos z ,
Fz y f1 xyf2 1 1 f1 xyf2 . z Fy f1 xzf2 f1 xzf2
z Method2. 求 时, z为函数, x , y为自变量. x z f ( x y z , xyz ), 两边对x求偏导得
(完整版)隐函数求导专题训练
(完整版)隐函数求导专题训练
介绍
本文档将提供一系列隐函数求导的专题训练题目，旨在帮助学生巩固和提高隐函数求导的能力。
隐函数求导是微积分中的重要概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
题目一
已知函数关系方程为 $x^2 + y^2 = 9$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数$\frac{dy}{dx}$。
题目二
已知函数关系方程为 $x^3 + y^3 = 8xy$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目三
已知函数关系方程为 $x^2 - 2xy + y^2 = 4$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目四
已知函数关系方程为 $e^{2x} + e^y = 2$，求 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
题目五
已知函数关系方程为 $\ln(x^2 + y^2) = x + y$，求 $y$ 关于
$x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
结论
通过完成以上专题训练题目，相信您已对隐函数求导有了更深入的理解。
隐函数求导是微积分中的重要概念，掌握此内容对于深入学习微积分和解决实际问题都至关重要。
为了进一步提升对隐函数求导的掌握能力，建议学生多做类似的训练题目，并结合实际问题进行练习和应用。
导数微分考试题目及答案
导数微分考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 6x + 3答案：A2. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 2x + 1，则f'(1)的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 函数f(x) = sin(x)的导数为：A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x) + cos(x)D. -cos(x)答案：A4. 函数f(x) = e^x的导数为：A. e^xB. e^(-x)C. 1/e^xD. x * e^x答案：A5. 函数f(x) = ln(x)的导数为：A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A6. 函数f(x) = x^2的二阶导数为：A. 2xB. 2C. 4xD. 4答案：B7. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 5，则f'(0)的值为：A. 5B. 3C. -6D. 0答案：A8. 函数f(x) = 1/x的导数为：A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/x^3D. 1/x^3答案：A9. 函数f(x) = sqrt(x)的导数为：A. 1/(2*sqrt(x))B. 1/(2*x)C. 1/(2*x^(1/2))D. 1/(2*x^2)答案：A10. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的导数为：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 12x + 3D. 3x^2 - 12x + 12答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2的导数为________。
答案：4x^3 - 12x^2 + 12x2. 函数f(x) = cos(x)的导数为________。
(整理)导数与微分练习题.
题型1.由已知导数，求切线的方程2.对简单的、常见函数进行求导3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导4.参数方程与一些个别函数的应用5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念1.导数的定义2.导数的几何意义3.导数的物理意义4.可导与连续之间的关系二．导数的计算1.导数的基本公式2.导数的四则运算法则3.反函数的求导法则4.复函数的求导法则5.隐函数的求导6.参数方程所确定的函数的导数7. 对数求导法8.高阶导数三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题 二．选择题 三．解答题4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若⎩⎨⎧≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ）A.2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2,2-=-=b a2. 设0'()2f x =，则000()()limx f x h f x h h∆→+--＝( ).A 、不存在B 、 2C 、 0D 、 43. 设)0()(32>=x x x f , 则(_))4(='fA.2B.3C.4D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（ ）。
A 、1)]([+n x fn B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([!（二）填空题5. 设 2sin x e y = ，则=dy _____.6.已知x y 2sin =，则)(n y= .7.设函数()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=，'0()2x θ=，2x x dydx==，则'0()y θ=.8.设0,sin )(>=a x x f ，则=--→ha f h a f h 2)()(lim；9. 已知设 cos2xy e = ，则=dy ____ _.10.sin xy x =，则2x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = .12. 设)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则=dxdy13．2x x y =,则dxdy.=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f =15. 设函数,22xxy -+=求.)(n y .综合题：（三）解答题16. 求与抛物线225y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的直线方程.17. 求幂指函数)0(>=x x y x的导数.18. 已知xyy x arctan)ln(22=+，求y '.19. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty tx arctan 1ln 2所确定的函数的一阶导数dxdy和二阶导数22dx yd .20. 若隐函数()y y x =由方程22ln()arctan yx y x+=确定，求(1)y '，1,0x y dy ==．4月10日导数与微分练习题基础题1. 在0=x 处，连续但不可导的函数是（ ）A ：x y =B ：31)1(-=x y C ：1ln -=x y D ：tgx y arg = 2. 设 4ln )(=x f ,则 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(= ( )A ：0B ：41C ： ∞D ： 4 3. 已知1)(0='x f ，则=--→tx f t x f t sin )()2(lim000（ ） A ：3- B ：2- C ：1- D ：04. 设函数)(x f 在点a 可导，且12)5()5(lim0=--+→hh a f h a f h ，则=')(a f （ ）Ａ： 51 Ｂ： 5 Ｃ： 2 Ｄ： 215. 设函数)3)(1()(--=x x x x f ，则)0(f '=( )A ：0B ：1C ：3D ：316. 设 y=x sin 3则 y '=( )A ：3ln 3sin xB ：x x cos 3sinC ：x x cos 3ln 3sinD ：x x sin 31sin -7. 设3sin 3xy =，则y '=( ) A ：3sin 32x B ：3sin 2x C ：3cos 3sin 32x x D ：3cos 3sin 2x x8. 设,ln x xy =则(='y ）A ：dx x x 2ln 1-B ：2ln 1x x -C ：21ln x x -D ：dx x x 21ln -9. 设)(x f e y =且)(x f 在0x 处可导，则='=0x x y （ ）A ：)(0x f eB ：)(0x f e' C ：)(00)(x f ex f ' D ：)(00)(x f ex f '10. 设)()(x g x f ='，则dxx df )(sin 2=( )A ：x x g sin )(2B ：x x g 2sin )(C ：)2(sin x gD ：x x g 2sin )(sin 211. 设),(cos x f y =则dxdy=( ) A ：x x f sin )(cos ' B ：x x f cos )(cos ' C ：x x f cos )(cos '- D ：x x f sin )(cos '-12. 设x y sin =，则)2()3(πy =（ ）A ： 0B ： 1C ： 1-D ：21 13. 设x y ln =，则)(n y =( )A ：nnxn --!)1( B ；nn xn 2)!1()1(--- C ：n n x n ----)!1()1(1D ：11!)1(+---n n x n14. 已知曲线22-+=x x y 上点M 处的切线与直线13+=x y 平行，则点M 的坐标为（ ）Ａ： )1,0( Ｂ： )0,1( Ｃ： )0,0( Ｄ： )1,1(15. 过曲线x y ln =上点)0,1(处的法线方程是_________________16. 设函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x ，)(x f 在0x x =处的微分dy 是 ( )A ：与x ∆等价的无穷小B ：与x ∆同阶的无穷小，但不是等价的无穷小C ：比x ∆高阶的无穷小D ：比x ∆低阶的无穷小17. 当x ∆很少，且0)(0='x f ，函数在0x x =处改变量y ∆和微分dy 的关系是（ ）A ： dy y <∆B ： dy y >∆C ： dy y =∆D ： dy y ≈∆综合题：18. 已知函数在点0x 处可导,且41)()2(lim000=--→x f x x f x x ,求 )(0x f '19. 求由曲线1sin 3+-=x e y x 在点)2,0(的切线与法线方程20. 设函数0,2sin ,)(>≤⎩⎨⎧+=x x b x e x f ax 可导，求常数b a ,21. 求函数x x y tan ln cos ⋅=的导数 22.求xy xsin 2arctan =的导数23. 设 ,1arcsin 2x y -=求 22='x y 24. 设 xe x y xarccos )1(ln -= ， 求)0(y '25. 设xx x x x y 221ln arccos +++=,求y '26.设 )21l n ()1(2x x x x y ++++=)－22x x +, 求 dy4月11日导数与微分练习题综合题：1.求由方程0ln 22=-+x y y x 所确定的隐函数的导数与微分2. 设 x x y 5=，求dy3. 求函数x y sin 1+=的2阶导数4. 设x xe y =，求1=''x y5. 设1arctan ln 122---=x x x y ,求)5(y '6. 设函数()y y x =由方程sin()0xy x y -+=确定，求dxdy.7.求由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 2在相应0=t 点处的切线方程和法线方程。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库.
【090501 】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对 x, y 求偏导得(6分)【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设函数z z(x, y)由yz zx xy 3所确定，试求Y,_Z (其中x y 0)。
x y【试题答案及评分标准】解：原式sin( y z) e x y 2两边求微分得解：原式两边对z y — x x 求导得zy 0x — xz 则—z y (6分)xy xzz x 同理可得：(10 7)')yy x也可：z F x z _y x F y y x z F y z x yF xy x【090503】【计算题】 ■0.5】【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】【试题答案及评分标准】【试题内容】设函数2所确定，试求足二。
x y【试题内容】设函数 z z(x, y)由z xxyet 2dt 所确定，试求xe2(xy)(10 分)z z(x,y)由 sin(y z) e x zcos(y z)(d y dz)x ze (d x d z) = 0dze x z d x cos(y z)d y e x zcos(y z)(6分)将x 1 , y 1,z 0代入上式得x zz ex e x z cos （y z ）（8分）z cos （ y z ） y e x z cos （y z ）（10 分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】【试题内容】设y y(x,z)由方程e x e y e z 3xyz 所确定，试求 业，业。
z【试题答案及评分标准】y eyxezy e ze y 3yz 3xz（5分）【090505】 3xy 3xz（10 分）【计算题】【中等 0.5】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设z z(x, y)由方程23y z xy2z 所确定，试求z1 yy 1x3z 2 23z 2 2(5力) z 2y2x x22y（10分）y 3z 223z 22【090506】【试题内容】设z z(x, y)由2z 【中等0.5】【隐函数的求导公式】 cost 2 d t 所确定，试求 【试题答案及评分标准】解:2— cos （z y x ）2x （4分）cos （z y x ）2 cos （z y x ）2（10 分）【090507】【计算题】【中等 0.5】 【隐函数的求导公式】 【隐函数的求导】 【试题内容】设z z(x, y) 由方程e z2 3 一 …、 一-xy z 1所确定，试求z x（1,1,0），zy （I ,I ,0）°【试题答案及评分标准】解：方程两边求微分得e z d z y 2z 3d x3 ,2xyz d y2 2 .3xy z d z 0（6分）x【试题答案及评分标【计算题】d z 0(8 分)故 z x (1,1,0) 0,zy (1,1,0)(1。
高等数学偏导数第五节隐函数求导题库
【090501】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由z x e t t xy+=-⎰2d 所确定，试求∂∂∂∂z x z y,。
【试题答案及评分标准】解：原式两边分别对x y ,求偏导得∂∂∂∂zxye zxye xy xy +==---1122()()。
（6分）∂∂zyxe xy =-()2 （10分）【090502】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）。
【试题答案及评分标准】 解：原式两边对x 求导得yz x x z xz y ∂∂∂∂+++=0 则∂∂z x z y y x=-++（6分）同理可得：∂∂z y z xy x=-++ （10分）也可：∂∂∂∂z x F F z y y x z y F F z x y xx y y x =-=-++=-=-++【090503】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设函数z z x y =(,)由sin()y z e x z -+=-2所确定，试求∂∂∂∂z x zy,。
【试题答案及评分标准】解：原式sin()y z e x y-+=-2两边求微分得cos()(d d )(d d )y z y z e x z x z --+--= 0d d cos()d cos()z e x y z ye y z x z x z=+-+--- （6分）则∂∂z x e e y z x zx z=+---cos()（8分）∂∂z y y z e y z x z=-+--cos()cos()（10分）【090504】【计算题】【中等0.5】【隐函数的求导公式】【隐函数的求导】 【试题内容】设y y x z =(,)由方程e e e xyz x y z ++=3所确定，试求∂∂∂∂y x yz,。
导数与微分测试题(带答案)
导数与微分测试题总分：100分； 命题人：叶茂莹一、填空题（每题3分，共15分）1、已知曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(n ξ,0)，则f n ∞→lim (n ξ)=1e -。
解：1'()n f x nx -=，1'(1)1n k f n n -==⨯=，切线方程为()11y n x -=-，所以1y nx n =-+，当0y =时，10nx n -+=。
解得1n n nξ-=。
()1111lim lim lim 1nn n n n n n f e n n ξ---→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2、设函数y =y (x )由方程cos()x y e xy ++=0确定，则dxdy= ()()sin sin x yx y y xy e e x xy ++-- 。
解：对方程两边同时求导可得()()'sin()'0x y e x y xy xy ++-='sin()sin()'0x y x y e e y y xy xy xy +++--= 'sin()'sin()x y x y e y xy xy y xy e ++-=-sin()'sin()x yx y y xy e y e x xy ++-=-3、()00=f 且()10-='f ，则()=→xx f x 0lim 1- 解：()()()()000'0limlim 1x x f x f f x f x x→→+-===-4、已知1)1(='f ，则=∆-∆-→∆xf x f x )1()51(lim 05-解：()()()0(15)(1)lim5'1555x f x f f x∆→-∆-⨯-=⨯-=--∆5、函数()f x y e =，()f x 可导，则dydx=()()'f x e f x解：()()''f x dyy e f x dx==二、选择题（每题4分，共20分） 1、已知1cos ln 2+=x y ，dy ＝（ D ） （A ）dx x 1cos 12+（B）-（C） （D）解：1''2y ===所以dy =2、设)(0x f '存在，则=--+→hh x f h x f h )()2(lim000（ C ）.(A) 一定不存在； （B ）不一定存在； （C ）)(30x f '； （D ）)(30h x f -' 解：()0000000(2)()(2)()limlim 33'3h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--=⨯=3、若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ B ）。
第2章 导数与微分(题库)(1)
第2章 导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为： ；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式： ；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（ ）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（ ）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（ ）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （ ）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章 导数与微分（题库） 第 页 共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。
第2章高阶导数,隐函数与参数方程所确定的函数的求导法习题集及答案
第二章 习题二高阶导数，隐函数与参数方程所确定的函数的求导法一．选择题1．设)(x f 在),(+∞-∞内为奇函数且在),0(+∞内有0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内是（ C ）（A ）0)(<'x f 且0)(<''x f ； （B ）0)(<'x f 且0)(>''x f ； （C ）0)(>'x f 且0)(<''x f ； （D ）0)(>'x f 且0)(>''x f ． 2．设||3)(22x x x x f +=，则使)0()(n f 存在的最高阶数=n （ C ） （A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3． 3．设x n e x x f +=)(，则=+)()1(x f n （ C ）（A ）x e n ++)!1(； （B ）x ne n ++)!1(； （C ）x e ； （D ）0． 4．曲线013492=+--y x y 过点)2,1(0M 的切线（ B ）（A ）不存在；（B ）方程为1=x ；（C ）方程为2=y ；（D ）方程为)1(212-=-x y ． 5．设函数xx y 1)1(+=，则=')1(y （ D ）（A ）2； （B ）e ； （C ）2ln 21-； （D ）4ln 1-．6．已知2211t t x +-=，212t t y +=，则=dx dy （ A ）（A ）t t 212-； （B ）t t 212-； （C ）x x 212-； （D ）122-t t．7．曲线t x L cos :=，2sin t y =上3π=t 时的法线方程为（ B ）（A ）0142=+-y x ； （B ）0124=--y x ； （C ）0342=-+y x ； （D ）0324=-+y x ． 二．填空题1．设函数13)1(-+=x y ，则==122|x dx y d 43．．2．设x y 2cos =，则=)(n y )22cos(2π⋅+n x n ．3．设22)43()32)(21(x x x y +++=，则=)0()5(y 34560!4122215=⋅⋅C ． 4．函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数为()______________________(0)2(1)!n n y n =--5．设函数123y x =+，则()1_________________(2)!(0)3n n n n y +-=6．设()y y x =是由方程1yxy e x +=+确定的隐函数，则22__________3x d ydx==-7．曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为___________________1y x =+8．设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则_______x dy e dx==-9．设函数()y y x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是___________y x -10．曲线tan()4y x y e π++=在(0,0)点处的切线方程为_____________________2y x=-11．设x x y cos )(sin =，则___________()02y π'=．12．设⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12，则=dx dy t t2sin -；=22dx y d 34sin cos t t t t --． 13．曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩在4t π=1+．14．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t ty t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的法线与x 轴交点的横坐标是__________________1ln 238+三．计算题1．函数⎩⎨⎧≥+<++=0),1ln(0,)(2x x x c bx ax x f 在点0=x 处有二阶导数，试确定参数a 、b 、c 的值．解：（1）f Θ在0=x 处可导，∴连续．则0)0()(lim )(lim 20===++=--→→f c c bx ax x f x x ，0=∴c ．（2）f Θ在0=x 在处二阶可导，∴一阶可导．由b bx ax f x ='+='=-02|)()0(，1|))1(ln()0(0='+='=+x x f ，故有1=b ． （3）a ax f x 2|)12()(0='+=''=-Θ，1|)11()(0-='+=''=+x xf ，且f 在0=x 处二阶可导，21-=∴a ．2．设6512++=x x y ，求)100(y ． 解：)2)(3(1++=x x y )2)(3()2()3(+++-+=x x x x 21+=x 31+-x ． )21('+x 2)2(1+-=x ，)21(''+x 3)2()2)(1(+--=x ，⋯， )100()21(+∴x 101100)2(!100)1(+-=x 101)2(!100+=x ；)100()31(+x 101)3(!100+=x ． )100(y ∴)100()21(+=x )100()31(+-x 101)2(!100+=x 101)3(!100+-x ．3．设1312+-=x x y ，求)(n y ． 解：1313532+⋅-=x y Θ，3)13(1352⋅+-⋅-='∴x y 22)13(1)1(5+-=x ，3)13()2()1(532⋅+-⋅-=''x y 33)13(13!2)1(5+⋅⋅⋅-=x ， 3)13()3(3!2)1(543⋅+-⋅⋅⋅-='''x y 424)13(13!3)1(5+⋅⋅⋅-=x ，M)(n y 111)13(13!)1(5+-++⋅⋅⋅-=n n n x n （Λ,3,2,1=n ）． 4．设x x y 2sin 2=，求)0()50(y ． 解：)0()50(y0)50(0)(25050|)2(sin |)(=-==⋅=∑x k x k k kx x C 0)48(02250|)2(sin |)(==⋅''=x x x x C 048|)2482sin(2224950=⋅+⋅⋅⋅=x x π0=． 5．由方程0)()(22=-+x x xf x f y 确定y 是x 的隐函数，求dxdy．解：02)()()()(22=-'++'+'x x f x x f x f y x f y y ，)(2)()()(22x yf x f x x f x f y x y '--'-='．6．设)(x y y =由方程053=-+x y exy所确定，求0|=x dx dy及022|=x dxy d ．解：视)(x y y =，对方程053=-+x y e xy 两边求导，得053)(2=-'+'+y y y x y e xy （1）由原方程可知，当0=x 时有1-=y ．代入上式，得2|0==x dxdy．视)(x y y =，)(x y y '='，对方程（1）两边求导，得036)}2(){(222=''+'+''+'+'+y y y y y x y y x y e xy （２）将0=x 、1-=y 、2|0==x dx dy 代入上式，得319|022==x dxy d ．7．设2233)43()2(12xe x x x y +-+=，求dxdy． 解：由2|43|ln 2|2|ln 3|12|ln 31||ln x x x x y -+--++=，有x x x x y y 24332213)122(311-+---++='． 2233)43()2(12x ex x x dx dy +-+=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---+x x x x 243623)12(32 )34,2,21(--≠x ，223)43(12xe x x dx dy ++=∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----+-3323)2(243)2(6)2(3)12(3)2(2x x x x x x x )34,21(--≠x ．8．设xx x y =(0>x ，1≠x )，求dxdy．解：x x y x ln ln =，|ln |ln ln |ln |ln x x x y +=，x x x y y y ln 11ln ln 1++='，}1ln {ln 2xx x x x y x x x ++='． 9．设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=+=2y t te e tex 所确定，求dx dy 及022|=t dx y d ．解：t t t e t te e dtdx)1(+=+=； 视y 为t 的函数，对2=+yte e 两边求导，得0=+dt dye e yt，解得y t ee dt dy -=． dx dy ∴yt yt e t e t e e )1(1)1(/+-=+-=)2)(1(1t e t -+-=； 22dx y d tt e t '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=)2)(1(1／)(t x 't t t t e t e t e t e )1()]2)(1/[(])1()2[(2+-++--=， 022|=∴t dxyd 0=． 10．已知曲线的极坐标方程是：1cos r θ=-，求该曲线上对应与6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程。
（完整版）高阶、隐函数的导数和微分练习题
（完整版）高阶、隐函数的导数和微分练习题高阶导数1．填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..2．选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )A.'A ．()1''f x ； B. ()()[]-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =4．计算下列各题.（1）()y x x =-11，求()().24y （2）()ye x x =-21，求().20y （3）y x x =-+1322，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y（5）,2sin 2x x y = 求()..50y5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．设y ey x x sin 22=-，求.dx dy 2．设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy3．求曲线+=+=2221313t ty t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.（1）.1sin x e x x y -=（2）().sin ln x x y =5．设()y y x =由方程e y x xy +-=350所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1）设()x t y e t ==+-ln sin tan 1，02<1sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥2010,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.函数的微分。
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高阶导数
1． 填空题.
（1）x y 10=，则()()=0n y
. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..
2． 选择题. （1）设
f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )
A.
'<f x ()0且''<f x ()0； B.'<f x ()0 且''>f x ()0； C.'>f x ()0且''<f x ()0； D.'>f x ()0 且''>f x ()0.
（2）设函数()y
f x =的导数'f x ()与二阶导数''f x ()存在且均不为零，其反函数为()x y =ϕ，则()''=ϕy ( )
A ．()1''f x ； B. ()()[]
-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =
4．计算下列各题.
（1）()
y x x =-11，求()().24y （2）()y
e x x =-21，求().20y （3）y x x =-+132
2，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y
（5）,2sin 2x x y = 求()..50y
5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f
6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1． 设y e
y x x sin 22=-，求.dx dy 2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求
.0=x dx dy
3．求曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222
1313t t
y t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.
（1）.1sin x e x x y -=
（2）().sin ln x x y =
5．设()y y x =由方程e y x xy +-=3
50所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.
（1） 设()
x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y （2） 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=0
1sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥⎧⎨⎪⎩⎪2010
,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.
函数的微分
1． 填空题.
（1）设x x y 22-=在x 0
2=处∆x =001.，则=∆y ，=y d . (2) 设()y f x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim .
（3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x .
（4）d .1dx x = （5）d .3dx e x =
（6）d .11
2dx x -=
（7）d .2tan 2sec xdx x =.
2． 选择题.
（1） 设()y f u =是可微函数，u 是x 的可微函数，则d y =( )
A ．();d x u u f '
B ．();d x u f '
C ．();d u u f '
D ．().d u u u f ''
（2） 若f x ()可微，当∆x →0时，在点x 处的∆y y -d 是关于∆x 的 ( )
A ．高阶无穷小；
B ．等价无穷小；
C ．同阶无穷小；
D ．低阶无穷小. （3） 当
∆x 充分小，'≠f x ()0时，函数()y f x =的改变量∆y 与微分d y 的关系是( )
A ．;d y y =∆
B ．;d y y <∆
C ．;d y y >∆
D ．.d y y ≈∆
（4）()y f x =可微，则d y ( )
A ．与∆x 无关；
B ．为∆x 的线性函数；
C ．当∆x →0时是∆x 的高阶无穷小；
D ．当∆x →0时是∆x 的等价无穷小.
3．求下列函数的微分.
（1）.412
x x y += （2）.2cos x x y =
（3）.2x e x y -=
（4） .1cos 2
x x y -= （5）.)2ln (ln 3x y =
4．设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy .
5．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy
6．223y xy x y ++=，求.dy
7．计算302.1和98.0ln 的近似值.
8.钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。
现有一只挂钟，当摆长为10cm 时走的很准确。
由于摆长没有校正好，长了0.01cm . 问这只钟每天慢多少秒?。