2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)

2018年北京市中学生数学竞赛初二试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．

（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%

2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形

（C）恰有两边相等的三角形

（D）恰有一个内角为60°的三角形

3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6

（C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9

4．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）．

ABCD

（A）22 （B）25 （C）28 （D）32

（1）(2) (3)

5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

二、填空题（每小题7分，共35分）

1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．•则大圆的半径等于_______cm．

2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______．

3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．

4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，•每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．

5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6•个自然数之和的最小值是________．

三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：

（1）a3+b3+c3=3abc；

（2）（a b

c

-

+

b c

a

-

+

c a

b

-

）（

c

a b

-

+

a

b c

-

+

b

c a

-

）=9.

四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，•使得

∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．

五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，•每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，•它们的和能被5整除．

参考答案

一、1．A

在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%．

2．C

将10分拆成三个正整数之和，有

10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4

共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，•知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）•．•又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形．

3．D．

由S=

(1)

2

n n+

，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，

2，6．•所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9．

4．B

如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．

由

4

9

x

y

=，有xy=36．所以，

S四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．

故S四边形ABCD的最小值是25．

此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．

5．A．

由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；

由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；

由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．

这样，可以得到23=8个三元一次方程组：

（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；

（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；

（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；

（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；

（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；

（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；

（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；

（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．

对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．

对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以，

a+b+2c=3．

对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以，

a+b+2c=-3．

故│a+b+2c│=3．

二、1．1．

由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．•因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm．

2．85．

由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得

2 005=99×20+25=98×20+45

=97×20+65=96×20+85=95×21+10

=94×21+31=93×21+52=92×21+73

=91×22+3=90×22+25=89×22+47

=88×22+69=87×23+4=86×23+27

=85×23+50．

以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85．

3．18．

3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）

=3×14+4×（-6）=18．

4．6．

如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，

所以，BE∥CD．

因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．

因此，BE∥AF∥CD．

同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．