概率论公式总结
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第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当
A 、
B 互斥时，
P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(1
),(0≤≤y x F }
,{),(y Y x X P y x F ≤≤=
泊松分布——X~P(λ)
概率密度函数
怎样计算概率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp (θ)
),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()()
0(1
)(/≥=
-x e
x f x θ
θ
)(1)(b x a a
b x f ≤≤-=
分布函数 对离散型随机变量
对连续型随机变量
分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
联合密度与边缘密度
⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(⎰
∞
-=≤=x
dt t f x X P x F )()()()
,(y x f )
,(y x F 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f ⎰+∞∞
-=dy y x f x f X ),()()
()('
x f x F =
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章 数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
● E(a)=a ，其中a 为常数
● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
⎰+∞
∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞
-∞
=⋅=
k k
k
P x
X E )(⎰+∞
∞
-⋅=dx
x f x X E )()(∑=k
k
k p x g X g E )())((∑∑=i
j
ij
i p x X E )(
方差 定义式
常用计算式
常用公式
dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i
j
ij
j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()
()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰
+∞
∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2
[]
2
2)()()(X E X E X D -=
当X 、Y 相互独立时：
方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
协方差的性质
独立与相关
))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)
()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY
=
ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(2
2X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =)
,(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+
独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章 正态分
布
标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式
)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤
)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥
)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤
1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算
一般正态分布的概率计算公式
)
,(~2σμN X 2
22)(21
)(σμσ
π--=
x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σ
μ
σμ-=
⇔