1.2 极坐标系 课件1 (北师大选修4-4)
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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点.
A(3, 0) D (5, G (6, 4 3 5 3 ) ) B ( 6 , 2 ) E (3, 5 6 ) C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q
5 6 ° O
M(-2, 5) 6
x • M (, )
° O
x
• M(-2, 5) 6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
2 F 3 • 5 6 B
2
4
•
•
D
• A
。 O
x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
11 6
(2) 已知点M的极坐标为(, 条件的点M的位置.
3
3
), 4
R, 说明满足上述
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如何规定(, 的位置规定： <0时，点M(, ) )对应的点的位置？ 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q
5 6 ° O
M(-2, 5) 6
x • M (, )
° O
x
• M(-2, 5) 6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
2 F 3 • 5 6 B
2
4
•
•
D
• A
。 O
x
•
5 4 [小结] (, ) C 3 2
•
E
11 6
(2) 已知点M的极坐标为(, 条件的点M的位置.
3
3
), 4
R, 说明满足上述
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 当<0时如何规定(, 的位置规定： <0时，点M(, ) )对应的点的位置？ 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.2.1极坐标系的概念随堂验收(共14张PPT)
4
6.点M(1,θ)(θ∈[0,π])的轨迹是( ) A.射线 B.直线 C.圆 D.半圆 答案:D 解析:由于M(1,θ)满足ρ=|OM|=1,θ∈[0,π],故点M的轨迹是以
极点为圆心,半径为1的圆的上半部分,即半圆.
7.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转
6
得到射线OP,若在OP
上取点M,使|OM|=4,则ρ>0,θ∈[0,2π]时点M的极坐标为
(4,11 )
_____6___.
解析:ρ=|OM|=4,与OP终边相同的角为2kπk=1,θ= 161π,∴M(4,π)1.61
6
,k∈Z,令
8.点
M
(6,
5 6
)
到极轴所在直线的距离为_____3___.
5
解析:依题意,点M(6,
π=3.
5
π6)到极轴所在直线的距离为d=6×sin
6
D.(3, )
答案:A
解析:如图所示,
COx 3 ,| OC || OA | tan 2 3.
24 4
3
5.点M(ρ, ) (ρ≥0)的轨迹是( )
4 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析轨:迹由是于极动角点为M的(ρ,终边)4的,是极一角条θ射=,线ρ取,故一4选切B2, )
3
C.(2, 4 )
3
B.(2, 2 )
3
D.(2, 5 )
3
答案:D
解析:如图所示,
设点 P(2, 3关) 于极轴的对称点为P′,易得P′点的极坐标为 (2, 5 ).
3
3.下列点与极点O, M(2, 5 )三点共线的是
2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4同步配套课件：1.2极坐标系1.2.3-1.2.5 .pdf
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互
化可以顺利完成.
点的直角坐标与极坐标互化关系如下:
������ = ������cos������, (1)点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式: ������ = ������sin������;
=
1,
即 x+ 3������ = 2.
当 θ=0 时,ρ=2,所以点 M 的极坐标为(2,0).
当
θ=
π 2
时,ρ=
23 3
,
所以点N
的极坐标为
23 3
,
π 2
.
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
∠MOP=
������-
π 4
,∠OPM=
π2,
所以|OM|cos∠MOP=|OP|,
即 ρcos
������-
π 4
= 2, 即ρcos
������-
π 4
= 2, 显然点P 也在这条直线上.
故所求直线的极坐标方程为 ρcos
������-
π 4
= 2.
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
高中数学 北师大选修4-4 1.2极坐标系
点，设点A(4, )，B(5, 5)，
3
6
则△OAB的面积是__5____，
A
|AB|= 41 20 。3
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关
3
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
3,
3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的
两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的
坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
A、(5, 10 ) B、(5, 2 ) C、(5, )
3
3
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为 A(2, ),B( 2, 3 ),
O(0,0) ,则 ABO 为( D )2
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M
的极径， 叫做点M的极
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
,
关于极点对称的点为 ,
2、已知极坐标系中两点
P(3,
)
Q如(2何, 求), 线段|PQ|的长？
6
2
| PQ | 19
推广：极坐标系内两点 P(1,1), Q(2 ,2 )
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3
B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6
C (3,
2
)
F (4, )
[小结] 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4，
M
P (ρ,θ) X
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
例2. 在极坐标系中, (1) 已知两点 P(5, )， (2, 4 )，求线段PQ的长度； Q 3 3 (2) 已知点M的极坐标为(, ), R, 说明满足上述 4 条件的点M的位置.
思考: 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 角度单位和正方向 ____________________；
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
选修4-4 1.2 极坐标系
之间的距离可总结如下： P P2 2 1 2 cos(1 2 ) 1
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E (3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
2 1 2 2
o
x
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E (3,3)
D (0,2)
π），（3， ） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广： 在极坐标下，任意两点P ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 1
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
2 (5, ) 3
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
选修4-4 1.2 极坐标系
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
( 3, 1)
化成极坐标.
Байду номын сангаас
（ ） 解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6
11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线 ＝ 的对称点的极坐标是_______ 6 2
数学选修4-4课件 1.2 极坐标系
【变式 1】 (2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐116π
D．2，136π
解析：根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，
【变式 2】 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)将 M 的极坐标8，23π化成直角坐标； (2)将 A 的极坐标4，53π化成直角坐标． 解析：(1)由 x＝8cos23π＝－4，y＝8sin23π＝4 3.得 M 的直角坐标为(－4,4 3)．
x＝4cos53π＝2， (2)y＝4sin53π＝－2 3 . 即 A 的直角坐标为(2，－2 3)．
• 求点的极坐标的注意点 • 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画
平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中， 点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ<2π的前提下， 平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的， 如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐 标有无穷多个．
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
第一讲
坐标系
• 1.2 极坐标系
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程
栏目导 航
课前教材预案 课堂深度拓展 课末随堂演练 课后限时作业
课前教材预案
•要点一 极坐标系的建立
• 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线 Ox，同时确逆定时针一方个向单位长度和计算角度的正 方向(通常取___________为正方向)，这样就 建立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射 线Ox称为极轴)
分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念课件 北师大版选修4-4
答案:B
题型一 题型二
题型一 极坐标系中点的表示
【例 1】 已知点 M 的极坐标为 5,π3 , 下列给出的四个坐
标中与点������的坐标重合的是( ).
A.
5,-
π 3
B.
5,
4π 3
C.
5,-
2π 3
D.
5,-
5π 3
极径解 相析等:,极与角点相M差重2合π的的极整坐数标倍可.根以据表选示项为,当5k,=2���-���1π时+,π32kπ(+������∈π3 =Z),即
再在射线������������的反向延长线上取点������, 使
|������������| = 2
C.作射线
OP,使∠xOP=
7π 6
,
再在射线������������的反向延长线上取点������,
使
|������������| = 2
D.作射线
OP,使∠xOP=−
π 6
,
再在射线������������上取点������,
题型一 题型二
【变式训练 1】 在极坐标系中,画出点
������
1,π4
, ������
2,32π
, ������
3,-
π 4
, ������
4,94π
.
解:在极坐标系中先作出角π4的终边,再在其上截取|OA|=1,这样
可得到点 A
1,
π 4
.同样可作出点 B
2,
3π 2
,C
3,-
π 4
,D
4,
9π 4
分析:欲确定点的位置,需先确定ρ和θ的值. 解:由点A在极坐标系中的位置知,它的极径为4,极角为0,所以它的 极坐标为A(4,0).同理, 得������ 2,π4 , ������ 3,π2 , ������ 1,56π , ������ 4, π , ������ 6,43π , ������ 5,53π , 而极点O的极坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).
题型一 题型二
题型一 极坐标系中点的表示
【例 1】 已知点 M 的极坐标为 5,π3 , 下列给出的四个坐
标中与点������的坐标重合的是( ).
A.
5,-
π 3
B.
5,
4π 3
C.
5,-
2π 3
D.
5,-
5π 3
极径解 相析等:,极与角点相M差重2合π的的极整坐数标倍可.根以据表选示项为,当5k,=2���-���1π时+,π32kπ(+������∈π3 =Z),即
再在射线������������的反向延长线上取点������, 使
|������������| = 2
C.作射线
OP,使∠xOP=
7π 6
,
再在射线������������的反向延长线上取点������,
使
|������������| = 2
D.作射线
OP,使∠xOP=−
π 6
,
再在射线������������上取点������,
题型一 题型二
【变式训练 1】 在极坐标系中,画出点
������
1,π4
, ������
2,32π
, ������
3,-
π 4
, ������
4,94π
.
解:在极坐标系中先作出角π4的终边,再在其上截取|OA|=1,这样
可得到点 A
1,
π 4
.同样可作出点 B
2,
3π 2
,C
3,-
π 4
,D
4,
9π 4
分析:欲确定点的位置,需先确定ρ和θ的值. 解:由点A在极坐标系中的位置知,它的极径为4,极角为0,所以它的 极坐标为A(4,0).同理, 得������ 2,π4 , ������ 3,π2 , ������ 1,56π , ������ 4, π , ������ 6,43π , ������ 5,53π , 而极点O的极坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
高中数学 第一章 坐标系 1-2-4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件 北师大版选修4-4
3．将直角坐标方程 x2＋y2＋2x＋2y＝0 化为极坐标方程为
()
A．ρ＝－2cosθ
B．ρ＝－2sinθ
C．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)
π D．ρ＝－2cos(θ＋ 4 )
答案 C 解析 依题意得 ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0， 所以 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 或 ρ＝0， 又曲线 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 经过极点， 所以 ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选 C.
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
(2)圆心为(2，23π)，半径为 3.
π (3)圆心为(2， 3 )，半径为 3.
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
【答案】 (1)(x－12)2＋(y＋ 23)2＝1， (2)(x－ 23)2＋(y－12)2＝1， (3)x－ 3y－2＝0， (4) 3x＋y－2＝0
题型三 极坐标方程的应用
例 3 (2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x ＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．
π 由此题总结：直线 ρcosθ＝1 绕极点逆时针旋转 3 ，即得直线
π
π
ρcos(θ－ 3 )＝1，其中点(1，0)转到(1， 3 )．
1.2 极坐标系 课件1 (北师大选修4-4)
6、确定极坐标方程 4 sin( )与 3 3 cos sin 8 0所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin(
4 cos( ) 4 cos( ) 6 6 即表示以A(2,
) 4 cos[ ( )] 3 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
4、两圆或直线和圆的位置关系
5、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ,0) ( 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 , ) ( 2 2 2 所以圆心距是 2
3、求过点 (2, ), 并且和极轴垂直的直线 。 3
解：将(2, )化为平面直角坐标为1, 3 ) ( 3 则和极轴垂直的直线为 1 x
2 4、已知直线的极坐标方 程为 sin( ) 4 2 7 求点A(2, )到这条直线的距离。 4
2 解：将直线 sin( ) 化为直角坐标方 4 2 7 程为x y 1 0, 点A(2, )化为直角坐标为 4 （ 2，－ 2） 点到直线的距离为 2－ 2－1 2 2 ＝ 2
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双 曲线)
y
F
x
7、极坐标方程 sin 3
2
2 A、圆，B、椭圆，C、双曲线，D、抛物线
1所表示的曲线是
解：将3 sin
2
2
1化为直角坐标方程
1－cos 2 得3 1即9 y 12x 4 2 表示抛物线
小结：
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化直角坐标方程： 圆心到直线距离：
所给极坐标方程分别表 它们的位置关系是相切 。
示圆与直线，
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双 曲线)
y
F
x
7 、极坐标方程
3 sin
2
2
1所表示的曲线是 D 、抛物线
A 、圆， B 、椭圆，
C 、双曲线，
解：将 3 sin 得 3 1－ cos 2 表示抛物线
3 2
cos
1 2
sin )
6
) 5 为半径的圆
6
) 为圆心，以
解： ＝ 5 3 cos 5 sin 两边同乘以
2
得
＝ 5 3 cos － 5 sin 即化为直角坐标为
x y
2 2
5 3x 5 y (x , 5 2 5 3 2 ) (y
2
(
3
)]
6
) 4 cos(
6
)
A(2,
6
) 为圆心，以 A(
2
2 为半径的圆 3 ,1 )
A 化为直角坐标 3 ) ( y 1)
2
整理得： ( x
4，表示圆
由
3 cos sin 8 0 3 x y 8 0 , 表示直线 d 318 31 2
点到直线的距离为
2－ 2
2－ 1 ＝
2 2
4、两圆或直线和圆的位置关系
5、极坐标方程分别是 圆的圆心距是多少？
＝ cos 和 ＝ sin 的两个
解：圆 ＝ cos 圆心的坐标是 圆 sin cos(
(
1 2
,0 )
2
) cos( 1 ( , ) 2 2
(1,
3)
则和极轴垂直的直线为
4、已知直线的极坐标方 求点 A ( 2 , 7 4
程为 sin(
4
)
2 2
) 到这条直线的距离。
解：将直线
sin(
4
) 7 4
2 2
化为直角坐标方
程为 x y 1 0 , 点 A ( 2 , （ 2，－ 2）
) 化为直角坐标为
2
)
圆 ＝ sin 的圆心坐标是 2 2
所以圆心距是
6、确定极坐标方程
4 sin(
3
)与
3 cos sin 8 0 所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin( 4 cos( 即表示以 将极坐标
3
) 4 cos[
2
2
1化为直角坐标方程
2
1即 9 y
12 x 4
小结：
1、极坐标方程的概念
2、圆的极坐标方程、直线的极坐标 方程 3、将极坐标方程化为直角坐标方程 的方法
所以， 2 a cos 就是圆心在 为 a 的圆的极坐标方程。 C ( a , 0 )( a 0 ), 半径
圆心为 ( a , )( a 0 ) 半径为 a 圆的极坐标方程为 此圆过极点 O
＝ 2 a cos( )
下列极坐标方程表示的曲线
＝1表示
（1）极坐标方程
2
化为标准方程是 5 3 2
5 2
) 25
2
所以圆心为
(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 半径是 5
3、直线的极坐标方程
( 0 ) 表示极角为 ＝ ( R ) 表示极角为 的一条射线。 的一条直线。
3、求过点
(2,
3
), 并且和极轴垂直的直线
。
解：将 ( 2 ,
3
) 化为平面直角坐标为 x 1
( 2 ) 极坐标方程
sin cos 表示
4
( 3 ) 极坐标方程
＝ cos(
) 表示
2 、已知一个圆的方程是 求圆心坐标和半径。
＝ 5 3 cos 5 sin
解： 3 cos 5 sin 10 ( 5 10 cos( 以 (5,
极坐标方程
1、极坐标方程的定义：
一般地，在极坐标系中 一点的极坐标中至少有 并且坐标适合方程 那么方程
，如果平面曲线 一个满足方程
C 上任意 f ( , ) 0 C 上，
f ( , ) 0的点都在曲线
f ( , ) 0叫做曲线
C 的极坐标方程。
2、圆的极坐标方 程