1.2 极坐标系 课件1 (北师大选修4-4)
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所以， 2 a cos 就是圆心在 为 a 的圆的极坐标方程。 C ( a , 0 )( a 0 ), 半径
圆心为 ( a , )( a 0 ) 半径为 a 圆的极坐标方程为 此圆过极点 O
＝ 2 a cos( )
下列极坐标方程表示的曲线
＝1表示
（1）极坐标方程
2
)
圆 ＝ sin 的圆心坐标是 2 2
所以圆心距是
6、确定极坐标方程
4 sin(
3
)与
3 cos sin 8 0 所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin( 4 cos( 即表示以 将极坐标
3
) 4 cos[
化直角坐标方程： 圆心到直线距离：
所给极坐标方程分别表 它们的位置关系是相切 。
示圆与直线，
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双 曲线)
y
F
x
7 、极坐标方程
3 sin
2
2
1所表示的曲线是 D 、抛物线
A 、圆， B 、椭圆，
C 、双曲线，
解：将 3 sin 得 3 1－ cos 2 表示抛物线
( 2 ) 极坐标方程
sin cos 表示
4
( 3 ) 极坐标方程
＝ cos(
) 表示
2 、已知一个圆的方程是 求圆心坐标和半径。
＝ 5 3 cos 5 sin
解： 3 cos 5 sin 10 ( 5 10 cos( 以 (5,
2
(
3
)]
6
) 4 cos(
6
)
A(2,
6
) 为圆心，以 A(
2
2 为半径的圆 3 ,1 )
A 化为直角坐标 3 ) ( y 1)
2
整理得： ( x
4，表示圆
由
3 cos sin 8 0 3 x y 8 0 , 表示直线 d 318 31 2
2
2
1化为直角坐标方程
2
1即 9 y
12 x 4
小结：
1、极坐标方程的概念
2、圆的极坐标方程、直线的极坐标 方程 3、将极坐标方程化为直角坐标方程 的方法
2
化为标准方程是 5 3 2
5 2
) 25
2
所以圆心为
(
), 半径是 5
3、直线的极坐标方程
( 0 ) 表示极角为 ＝ ( R ) 表示极角为 的一条射线。 的一条直线。
3、求过点
(2,
3
), 并且和极轴垂直的直线
。
解：将 ( 2 ,
3
) 化为平面直角坐标为 x 1
极坐标方程
1、极坐标方程的定义：
一般地，在极坐标系中 一点的极坐标中至少有 并且坐标适合方程 那么方程
，如果平面曲线 一个满足方程
C 上任意 f ( , ) 0 C 上，
f ( , ) 0的点都在曲线
f ( , ) 0叫做曲线
Hale Waihona Puke Baidu
C 的极坐标方程。
2、圆的极坐标方 程
(1,
3)
则和极轴垂直的直线为
4、已知直线的极坐标方 求点 A ( 2 , 7 4
程为 sin(
4
)
2 2
) 到这条直线的距离。
解：将直线
sin(
4
) 7 4
2 2
化为直角坐标方
程为 x y 1 0 , 点 A ( 2 , （ 2，－ 2）
) 化为直角坐标为
3 2
cos
1 2
sin )
6
) 5 为半径的圆
6
) 为圆心，以
解： ＝ 5 3 cos 5 sin 两边同乘以
2
得
＝ 5 3 cos － 5 sin 即化为直角坐标为
x y
2 2
5 3x 5 y (x , 5 2 5 3 2 ) (y
点到直线的距离为
2－ 2
2－ 1 ＝
2 2
4、两圆或直线和圆的位置关系
5、极坐标方程分别是 圆的圆心距是多少？
＝ cos 和 ＝ sin 的两个
解：圆 ＝ cos 圆心的坐标是 圆 sin cos(
(
1 2
,0 )
2
) cos( 1 ( , ) 2 2
圆心为 ( a , )( a 0 ) 半径为 a 圆的极坐标方程为 此圆过极点 O
＝ 2 a cos( )
下列极坐标方程表示的曲线
＝1表示
（1）极坐标方程
2
)
圆 ＝ sin 的圆心坐标是 2 2
所以圆心距是
6、确定极坐标方程
4 sin(
3
)与
3 cos sin 8 0 所表示的曲线 及位置关系。
解：由 4 sin( 4 cos( 即表示以 将极坐标
3
) 4 cos[
化直角坐标方程： 圆心到直线距离：
所给极坐标方程分别表 它们的位置关系是相切 。
示圆与直线，
表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双 曲线)
y
F
x
7 、极坐标方程
3 sin
2
2
1所表示的曲线是 D 、抛物线
A 、圆， B 、椭圆，
C 、双曲线，
解：将 3 sin 得 3 1－ cos 2 表示抛物线
( 2 ) 极坐标方程
sin cos 表示
4
( 3 ) 极坐标方程
＝ cos(
) 表示
2 、已知一个圆的方程是 求圆心坐标和半径。
＝ 5 3 cos 5 sin
解： 3 cos 5 sin 10 ( 5 10 cos( 以 (5,
2
(
3
)]
6
) 4 cos(
6
)
A(2,
6
) 为圆心，以 A(
2
2 为半径的圆 3 ,1 )
A 化为直角坐标 3 ) ( y 1)
2
整理得： ( x
4，表示圆
由
3 cos sin 8 0 3 x y 8 0 , 表示直线 d 318 31 2
2
2
1化为直角坐标方程
2
1即 9 y
12 x 4
小结：
1、极坐标方程的概念
2、圆的极坐标方程、直线的极坐标 方程 3、将极坐标方程化为直角坐标方程 的方法
2
化为标准方程是 5 3 2
5 2
) 25
2
所以圆心为
(
), 半径是 5
3、直线的极坐标方程
( 0 ) 表示极角为 ＝ ( R ) 表示极角为 的一条射线。 的一条直线。
3、求过点
(2,
3
), 并且和极轴垂直的直线
。
解：将 ( 2 ,
3
) 化为平面直角坐标为 x 1
极坐标方程
1、极坐标方程的定义：
一般地，在极坐标系中 一点的极坐标中至少有 并且坐标适合方程 那么方程
，如果平面曲线 一个满足方程
C 上任意 f ( , ) 0 C 上，
f ( , ) 0的点都在曲线
f ( , ) 0叫做曲线
Hale Waihona Puke Baidu
C 的极坐标方程。
2、圆的极坐标方 程
(1,
3)
则和极轴垂直的直线为
4、已知直线的极坐标方 求点 A ( 2 , 7 4
程为 sin(
4
)
2 2
) 到这条直线的距离。
解：将直线
sin(
4
) 7 4
2 2
化为直角坐标方
程为 x y 1 0 , 点 A ( 2 , （ 2，－ 2）
) 化为直角坐标为
3 2
cos
1 2
sin )
6
) 5 为半径的圆
6
) 为圆心，以
解： ＝ 5 3 cos 5 sin 两边同乘以
2
得
＝ 5 3 cos － 5 sin 即化为直角坐标为
x y
2 2
5 3x 5 y (x , 5 2 5 3 2 ) (y
点到直线的距离为
2－ 2
2－ 1 ＝
2 2
4、两圆或直线和圆的位置关系
5、极坐标方程分别是 圆的圆心距是多少？
＝ cos 和 ＝ sin 的两个
解：圆 ＝ cos 圆心的坐标是 圆 sin cos(
(
1 2
,0 )
2
) cos( 1 ( , ) 2 2