等差数列前n项求和
求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N 项和的七种方法点拨:1.公式法等差数列前n 项和：n(a 1+a n ) y 亠 n(n +1) _, Si — — na q 十 d2 ' 2特别的，当前n 项的个数为奇数时，S 2k 岀=（2k +1）_a k 41，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1 时，q H 1, s n = a1 " q），特别要注意对公比的讨论。
其他公式:用常用公式）1 1迂R _ 1丄 1一丄—2n21、S nn=Z k kd ：3、S n [例1]弓（卄）2、 n =送k 3 k=12 计+1)] 2 1S n=!： k =-n(n+1)(2n+1)6—1 2 3 已知 log 3 X = - 7，求 X + X + X +…+log 23 x n +…的前n 项和.解：由log 3—1 =log 3 X = —log s 2 = log 2 3 1 x =— 2 由等比数列求和公式得S n = X + X 2 +（利_ x(1 -x n) —1-x［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)= S n(n + 32)S n屮 的最大值.解: 由等差数列求和公式得 1 1S n = — n(n +1) , S n* = -(n +1)(n + 2)2 2 （利用常用公式）f(n)= S n(n + 32)盼 2n 2 + 3 4n+64□ +34+^ (屛--)2+5O 50 •••当亦=2，即 n = 8 时，f(n)max\l n 50 2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例 3］求和：S n =1+3x+ 5x 2+7x 3 + ”””+(2n - 1)x n " 解：由题可知，｛ （2 n- 1）x n 』｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的 通项之积设 xS n =1x+3x 2+5x 3+7x 4 + …+(2门_〔以 ①一②得(1-x)S n =1+2X +2X 2+2x 3+2x 4 + …+2x n 」一(2 门_ 1)x n（错位相减）nJ1 — x n再利用等比数列的求和公式得： （1 -x ）S n =1+2x ・ -（2 n -1）x n1-x G (2n - 1)x n +—(2n + 1)x n +(1 +x)Sn =(1-x)2［例4］求数列贪…前n项的和.解：由题可知，｛2n2n ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛右｝的通项之积 设S =2+土 十-6+ …+空以6--2小32n（错位相减）练习：求：S n =1+5x+9x 2+ ....... +(4n-3)x n "1解：Si=1+5x+9)(+ ........ +(4n-3)x n-1①两边同乘以X ，得23X S n =x+5 X +9x + ...... +(4 n-3)x①-②得,(1-x ) S=1+4(X+ X 2+X 3+当 x=1 时，S=1+5+9+ ......... + (4n-3)3.反序相加法求和再把它与原数列相加，就可以得到n 个（印+ a n ）•［例 5］求sin 21 +sin 22 + sin 23 + …+sin 288 +sin 289 的值20 20 2 0 2 0 2解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + …+sin 88 +sin 89将①式右边反序得S =si n 289 +si n 2 88 +…+sin3 +sin2 +si n 1（反序）2 2又因为 sinx=cos(90 -x),sin x + cosx=1 ①（反序相加）2S=(sin 21 +cos 21)+(sin 2 2 + cos 22 ) + …+ (sin 289 +cos 289 ) = 89S= 44.5担=；2（设制错位）十243 十2642n+(^1)Sn2+&p.,2_2n 22=2S n =41-产 n +2-尹2n 2n + =2n-n nx ) - (4n-3) x当X 工1时，S= I4x(1-x n)1-x(4n-3)这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将这类数列适当拆开, 可分为几个组求和）将其每一项拆开再重新组合得（分组）=2(13 +23+…+n 3) +3(12 +22+ …+门2)+(1 + 2+…+n)2 2n 2(n +1)2 十 n(n +1)(2n +1)十 n(n + 1)（分组求和）n(n +1)2( n +2)等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可［例6］求数列的前n 项和：1+1, 1+4, ［ +7，…,n-2 ,-a a a 解: 1 1 1设 S n = (1 +1) +(- +4) +(p +7) + …”+(—+3n -2)a a a将其每一项拆开再重新组合得S n = (1 + 1a+…+1n」)+(1 +4 + 7+…+3n -2) a（分组）当a= 1时, S n=n+(3n—1)n(3n+ 1)n（分当a H 1时,-7 十(3n —1)n2a -a 1』+ (3n -1)n a —1［例7］求数列｛n （n+1）（2n+1）｝的前n 项和.解：设 a k =k(k +1)(2k +1) =2k 3+ 3k 2+kS n =2 k(k+1)(2k+1)=k 吕nZ (2k 3+3k 2+k)kTS nn2Z k3k 3 n+32：［例10］在数列｛a n ｝中，a n =n +1 n +1 乙+…，又b n =—2一，求数列｛b n ｝的前an r a n +n +11 1 1 1练习：求数列12，24,38^**（^2^）^*啲前n 项和。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
等差数列求和公式
等差数列求和公式等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值为一个固定的常数。
求和公式是指通过已知的等差数列的前n项来计算它们的和的公式。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则根据等差数列的定义，第n 项的值可以表示为：an = a + (n-1)d等差数列的求和公式可以通过两种方法推导得到。
方法一：逐项相加考虑一个等差数列的前n项和Sn。
将数列的首项和末项进行相加，首项为a，末项为a+(n-1)d，则有：Sn=a+(a+d)+(a+2d)+…+(a+(n-1)d)将等式中的所有项等号右边的公式相加，得到：Sn=(a+a+a+…+a)+(d+d+d+…+d)在右边的括号中，有n个d在相加，所以：Sn=n*a+n*(n-1)*d/2这个公式就是等差数列求和的公式。
方法二：倒序相加考虑数列的前n项和Sn和它的逆向数列Rn，其中Rn的首项为a+(n-1)d，公差为-d。
则有Sn=a+(a+d)+(a+2d)+…+(a+(n-1)d)=a+Rn将Sn和Rn相加，得到：Sn+Rn=(a+a+…+a)+(a+(n-1)d+a+(n-2)d+…+a+d)在括号中，每一个（除第一个）都有一个a与它的对称项进行相加。
所以有：Sn+Rn=(n*a+a)+(n*a+a)+…+(n*a+a)右边括号中有n个项，所以可以写成：Sn+Rn=n*(n*a+a)化简等式，得到：Sn=n*(n*a+a)/2这也是等差数列求和的公式。
这两种方法得到的公式是等效的，它们都可以用来计算等差数列的和。
根据不同的问题或需要，可以选择合适的公式进行计算。
需要注意的是，如果没有等差数列的前n项之一，可以通过已知的首项、末项以及公差来计算出来，然后再利用求和公式计算总和。
求数列前n项和的七种办法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和：q=1时，1n S na =()1111nn a q q S q -≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S n k n2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤ ∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1①①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa an ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123n n nn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和） ＝2)2()1(2++n n n 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
等差数列前n项和求解方法
● 胡 建 华
在 等 差 数列 的相 关 问 题 中 ， 经 常 会 遇 到 与 其 前 项 和有 关 的问 题 ， 这类 问题 是 高考 的热 点 之一 ， 由 于涉 及 等 差 数 列 的
前 项 和 的解 题 方 法灵 活 多 变 ， 因 此 也 成 为 了很 多 学 生 比较
ｌ ｏ ｓｌ 。 ＋ ｄ
一
ｎ 。十
，
５ ０３
，
因 为 一 去 一 一 下 １ ０ × （ 一 萼 ） 一 警硼－ ｓ ，
２
Ｓ 】 Ｊ ｎ ＝１ １ Ｓ Ｊ ０ ＋ ’
一
兰 ！ ！ ！ 二 一旦 Ｓｌ １ ０ 一 ｌ ｌ Ｓ１ ０ １ ｌ’ ． 解 得 Ｓ ＝
求 Ｓｍ．
时， Ｓ 取 得 最 大 值．
例 ５ 已知 等 差 数 列 ｛ ｎ ） 中， ｎ ＝ ５ ０ ． ｄ＝ 一 ０ ． ６ ． 求 此 数 列 的前 项 和 ｓ 的最 大 值．
解 ： Ｓ 一 ５ ０ ｎ ＋
５０３
解： Ｓ Ｓ ｚ 。 一Ｓ …， Ｓ 一Ｓ 。 成等 差数 列。 设 公 差 为 ｄ， 该数 列 的前 １及前 １ １项 的 和 分 别 为 Ｓ 。 ， Ｓ 易得 Ｓ 一
口ｌ 十 ——— 一
四、 利用 函数 思 想 求解
等 差 数 列 求 和 公 式 为
一
或 一
＋
ｄ， 特别地 ， 对后 一个求 和公式 我们可 以写 成 Ｓ ｎ—
＝２ ４，
． ４ ×（ ４ —１ ） ｄ
Ａｎ 。 ＋Ｂｎ ， 当 Ａ ≠ ０（ 即 ｄ≠ ０ ） 时 ｓ 是 关 于 ｎ的 二 次 式 ， 即
等差数列前n项和的公式
21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an？ 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]
=9-6n,
a1=4不符合此式.
故an=
4(n 1) 9 6n(n 2)
.
n
1 11 1从 而a1=，3或a1=-1.
na1 2 d 35
(A)33
(B)34
(C)35
(D)36
3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7
(B)3或5 (C)7或-1
(D)3或-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
等差数列的前n项求和公式
2
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n 颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1 将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
6
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设数列的前n项和为54，即Sn=54
根据等差数列的前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0 解得 n1=9, n2=－3(舍去) 因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
a1>0, d<0 有 无
10
n a1<0, d>0,极小值
若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:
极大值
a1<0,d>0 无
极小值 版权所有，反印必究
有
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推导等差数列前n项和公式的方法
推导等差数列前n项和公式的方法
1. 倒序相加法呀！嘿，就像你爬楼梯，先从下往上爬，再从上往下走，加起来不就知道一共走了多少步嘛！比如说 1+2+3+4+5，那咱就把它倒过来5+4+3+2+1，一一对应相加都是6，有5 组，那不就很快算出结果啦！
2. 公式法呢，就像一把万能钥匙！你想想，一旦掌握了这个公式，面对啥样的等差数列都能轻松搞定呀！比如已知等差数列 3,5,7,9 ，用公式一下
子就能算出前 n 项和，是不是超厉害！
3. 裂项相消法，这可是个巧妙的法子哟！就跟拆礼物一样，把一项拆成几项，然后再巧妙地消去一些，最后得到答案。
像计算
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4) 这样的式子，用裂项相消法就能轻松解开谜题啦，你就说妙不妙！
4. 构造法呀，那简直就是搭积木！通过巧妙地构造新的数列来求解。
比如说对于数列 2,4,6,8 ，咱可以构造一个相关的数列，然后找出它们之间的
关系，不就能算出前 n 项和了吗，这多有意思呀！
5. 图像法也很棒哦！可以把等差数列想象成一排小点点在数轴上排列，然后通过观察图像来找到求和的规律。
比如数列 1,3,5,7 ，看着图像就能有
新发现呢，你难道不想试试？
6. 归纳法呢，就好像一步一步探索宝藏的过程呀！从简单的开始，一点点归纳出通用的方法。
就像计算 1,2,3,4 的前 n 项和，通过归纳不就找到规律了嘛，这可是很有趣的发现过程哟！
我觉得这些方法都超有意思，大家一定要好好去尝试，去感受推导等差数列前 n 项和公式的奇妙呀！。
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。
3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。
5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。
6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。
7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。
以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
等差数列求和公式大全
等差数列求和公式大全等差数列是数学中比较基础的一类数列，其特点是每一项与之前的项之差都相等。
求和公式是指通过已知的数列前n项，来计算数列前n项的和的公式。
下面将展示几种常见的等差数列求和公式。
1. 等差数列求和公式：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
则等差数列前n项和Sn为：Sn = (n/2)(a1 + an)可以看出，等差数列前n项和等于首项和末项的平均值乘以项数。
2. 等差数列求和公式的推导：假设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d。
等差数列的前n项和为：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + an将等差数列反过来写：Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + a1两个等式相加，得到：2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)= n(a1 + an)所以：Sn = (n/2)(a1 + an)这就是等差数列求和公式。
3. 等差数列求和公式的应用：(1) 利用等差数列求和公式可以方便地计算出等差数列的前n项和，从而快速求解等差数列相关问题，例如计算一段连续整数的和、计算一段等差数列的和等等。
(2) 等差数列求和公式也可以用来证明数学中的一些等式，例如利用等差数列求和公式可以证明平方和公式：1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6。
4. 等差数列求和公式的推广：以上介绍的等差数列求和公式适用于[首项，末项]的等差数列。
对于不包含首项或末项的等差数列，可以通过差分的方式将其转化为包含首项和末项的等差数列，再应用等差数列求和公式计算。
5. 例题：已知等差数列的首项a1为3，公差d为2，求该等差数列前8项的和Sn。
根据等差数列求和公式，代入a1=3, d=2, n=8，可得：Sn = (8/2)(3 + 3 + (8-1)2)= (4)(6 + 14)= 80所以等差数列前8项的和为80。
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2．3 等差数列的前n 项和
一、教学目标
1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。
2、体会等差数列与二次函数的关系。
二、基础知识
1、数列前n 项和公式：
一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321)
2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系
当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。
总上可得n a ＝____________
3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________
4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。
5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。
仍成等差数列，公差为___________
6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇
s s ________________。
若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇
s s ________________。
7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则
＝m m b a _____________。
三、典例分析
例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。
解析：32111=+==s a ①
)2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ②
在②中，当n=1时，1112=-⨯与①中的1a 不相等
因此⎩⎨⎧≥-==2
,121,3n n n a n 例2、}{n a 为等差数列，1a ＝30，d=－0.6
（1） 从第几项开始0<n a ；（2）求此数列的前n 项和的最大值。
解析：（1） 1a ＝30，d=－0.6
∴6.306.0)1(6.030+-=--=n n a n
令06.306.0≤+-n 得51≥n
即从第52项起以后个项均小于0
（2）)6.0(2
)1(30-⨯-+=n n n S n 120
303)6303(3.02
2+--=n 当n 取接近6
303的自然数 即n=51或50时，n s 达到最大值max s ＝765
例3、等差数列{}n a 中，12,60171-=-=a a ，若12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 解析：数列{}n a 的公差31
17)60(12=----=d ∴633)1(1-=-+=n d n a a n
由0<n a 得n<21
所以{}n a 的前20项是负数，第20项以后是正数
当20≤n 时n n n n n S n 2
12323]32)1(60[2+-=⨯-+--= 20>n 1260212323)3219202060(232)1(602220+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-+
-=-=n n n n n S S S n n ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=20,126021232
320,21232322n n n n n n S n 四、课后检测
1、 下列数列是等差数列的是（ ）.
A. 2n a n =
B. 21n S n =+
C. 221n S n =+
D. 22n S n n =-
2、等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
3、 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.
A. 70
B. 130
C. 140
D. 170
4、 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
5、 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A ．5880
B ．5684
C ．4877
D ．4566
6、 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）
A. 24
B. 26
C. 27
D. 28
7、 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A 9 B 12 C 16 D 17
8、等差数列}{n a 共有12+n 项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（ ）.
A. 28
B. 29
C. 30
D.31
9、在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 则1a 为（ ） A 22.5- B 21.5- C 20.5- D 20-
10、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ）
A 、5
B 、6
C 、 5 或6
D 、 6或7
11、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知
59355,9a S a S ==则（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．12
12、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足
5524-+=n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ）
（A ）5160 （B ）6051
（C ）2019 （D ）87
13、 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .
14、在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .
15、在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .
16、在等差数列中，公差d ＝12
，100145S =，则13599...a a a a ++++= . 17、数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .
18、在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.
19、等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？
20、（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=
，求数列{n b }的前n 项和n T .
21、（本小题满分12分） 数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 。