第一讲 简便运算与分数巧算1

第一讲简便运算与分数巧算

分数小数灵活转化：

1,怎么容易怎么来

2,加减法：小数乘除法：分数

3,熟记一些常用的转化

策略：

1:反常背后必有阴谋：找规律

2:套用常用公式：裂项，平方和，立方和，平方差

3:用简单的字母代替：换元法

4:很多题目不是做不出来，而是看不出来：整体观察

5:熟记一些最基本的题型

一、简便运算

1．运算定律

加法交换律：a＋b = b＋a

加法结合律：（a＋b）＋c = a＋（b＋c）

乘法交换律：a×b = b×a

乘法结合律：（a×b）×c = a×（b×c）

乘法分配律：（a＋b）×c = a×c＋b×c

（a－b）×c = a×c－b×c

2．其它性质

a－b－c = a－c－b 可以变化顺序

a－b－c = a－（b＋c）可以加起来一起减

a－（b－c）= a－b＋c括号前是减号，去掉后变符号a＋（b－c）= a＋b－c括号前是减号，去掉后不变符号a÷b÷c = a÷c÷b可以变化顺可以

a÷b÷c = a÷（b×c）可以乘起来一起除

a－b＋c = a＋c－b 可以变化顺序

a÷b×c = a×c÷b可以变化顺序

3.基本题型

156-49-51 156+74-56 18＋298＋3998＋49998

537－（543－163）－57 43×11＋43×36＋43×52＋43

9999＋999＋99＋9 （2005＋2006＋2007＋2008＋2009＋2010＋2011）÷2008

56-38+44 153+（47+168）

25×125×4×8 16×4+4×4

36÷2÷3 100×4÷25

76×99 25×16

25×125×32 303×293

125×(17×8)

二、相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，

1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

1、1+2+3+4+5+6+7+8+9

2、1+3+5+7+9

2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、

3+5+7+9+11+13+15+17

简便运算方法总结

一、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 ⑵654

987666321

655987⨯+-⨯

二、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。

进行分数的简便运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。

例如：⑴)15

4

971267()1389511511

(⨯⨯÷⨯⨯ ⑵05

2005200520200520052005072007200720200720072007++++

三、错位相减法： 根据算式的特点，将原式扩大一个整数倍，用扩大后的算式同原算式相减，就可以使复杂的计算变的简单。 例如：⑴2

1

+221+321+421+521 ⑵51+5

43251515151+++

四、公式法

等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，。等差数列的前n 项和公式为：Sn=n(a1+an)/2 注意： 以上n 均属于正整数。 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008

2007

五、图解法 计算：2

1

＋4

1＋8

1＋161＋321＋64

1

六、裂项法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，

最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

1111()a b b a a b

=-⨯-

1111

[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+

（1）11

a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯

1、：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37

331⨯

2、：21－3

4－154－354－634－994－1434－1954－255

4

3、：2

1

＋6

5＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 4、：1＋43211

3211211+++++++++……+100......3211++++

5、

+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯5

43143213211…＋10099981⨯⨯

七、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分