高二数学.复习课：二项式定理课件
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高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
高二数学人选修课件时二项式定理
二项式展开式的系数遵循 杨辉三角的规律，即每一 项的系数等于它上一行相
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
邻两项系数的和。
展开式应用举例
01
02
03
求特定项的系数
通过通项公式，可以求出 二项式展开式中任意一项 的系数。
证明恒等式
利用二项式定理展开式， 可以证明一些与二项式相 关的恒等式。
求和与求积
二项式定理展开式可以用 于求和或求积的问题，如 求 $(1+x)^n$ 的展开式 中所有项的系数和等。
高二数学人选修课件时二项式 定理
汇报人：XX
20XX-01-17
CONTENTS
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开式 • 二项式定理证明方法 • 二项式定理在概率统计中应用 • 二项式定理在高等数学中延伸 • 总结回顾与拓展思考
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
二项式定理描述
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于展开形如(a+b)ⁿ的二项式。
THANKS
拓展思考题及答案解析
思考题1：求$(x+2)^5$的 展开式。
【解析】根据二项式定理的 展开式， $(x+2)^5=sum_{k=0}^{5} C_5^kx^{5k}2^k=x^5+10x^4+40x^ 3+80x^2+80x+32$。
思考题2：求$(1-2x)^6$的 展开式中，$x^3$的系数。
含义解释
通项公式表示在二项式
$(a+b)^n$
的展开式中，第
$k+1$
项的表达式。其中
$C_n^k$ 是组合数，表示从 $n$
个不同元素中选取 $k$ 个元素的
组合方式数目。
二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
二项式系数的和.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2
12
+ +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r
1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
人教版数学高二《二项式定理》 精品课件
8 x
＝x4－12C81·x143＋14C82·x52－18C83·x74＋116C84x－312C85x14＋
614C86x－12－1128C87x－54＋2516x－2.
高中数学
方法二：
x－ 1 24
x8＝2·2x344－x 18＝281·x2(1－2·x34)8
＝
1 256x2
(1－2·C81x34
• 1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )
• A．－720
B．720
• C．－120
D．120
• 解析： Tr＋1＝C10r(－x)r， • 令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3. • 答案： C
高中数学
2．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断： ①存在n∈N*，展开式中有常数项；
数．(易混点)
高中数学
高中数学
• 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史 上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑 娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了 无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错 误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞， 痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未 娶．
• 那么，什么是二项式定理？ • 二项式定理的无穷魅力在哪里？
A．－40
B．－20
C．20
D．40
高中数学
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
因此 x＋1x 2x－1x 5展开式中的常数项即为 2x－1x 5展开
式中
1 x
的系数与x的系数的和.
2x－1x
5展开式的通项为Tr＋1＝
C5r(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C5r25－rx5－2r·(－1)r.
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)
字母a按降幂排序，
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C
3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:
高二数学《二项式定理》课件
通项: Tk1 Cknankbk .
二项式定理基本概念梳理
a b n C0nan C1nan1b Cnkankbk Cnnbn.
上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 a bn的二__项__展__开__式___.
（1）二项式系数:____C_kn_,_k____0_,1_,_2_, 3_,_.._.,_n_____.
二项式定理
高二年级 数学
复习1：多项式乘法法则：
a bc d ac ad bc bd.
复习2： a b2 a ba b a a a b b a b b
22
4项
复习1：多项式乘法法则：
a bc d ac ad bc bd.
复习2： a b2 a ba b a a a b b a b b
例1 求 1 xn 及 a bn 的展开式.
解： a b n C0nan + C1nan1b1 Cnk ankbk + Cnnbn (n N*).
令 a 1,b x 则得到：
1 x n C0n C1n x C2n x2 Cnk xk Cnn xn.
用 b 代替 b 则得到： a bn a bn C0na+C1na b +C2na2 b2 +
2.求 2a 3b6展开式的第3项.
解：T3 C62 2a4 3b2 2 160a4b2.
3.写出
3
x
2
1
3
x
n的展开式的第
r
1
项.
解： Tr1 Crn
3
x
nr
1 23 x
r
1 2r
r
Crn
x
nr 3
x
r 3
1 2r
二项式定理基本概念梳理
a b n C0nan C1nan1b Cnkankbk Cnnbn.
上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 a bn的二__项__展__开__式___.
（1）二项式系数:____C_kn_,_k____0_,1_,_2_, 3_,_.._.,_n_____.
二项式定理
高二年级 数学
复习1：多项式乘法法则：
a bc d ac ad bc bd.
复习2： a b2 a ba b a a a b b a b b
22
4项
复习1：多项式乘法法则：
a bc d ac ad bc bd.
复习2： a b2 a ba b a a a b b a b b
例1 求 1 xn 及 a bn 的展开式.
解： a b n C0nan + C1nan1b1 Cnk ankbk + Cnnbn (n N*).
令 a 1,b x 则得到：
1 x n C0n C1n x C2n x2 Cnk xk Cnn xn.
用 b 代替 b 则得到： a bn a bn C0na+C1na b +C2na2 b2 +
2.求 2a 3b6展开式的第3项.
解：T3 C62 2a4 3b2 2 160a4b2.
3.写出
3
x
2
1
3
x
n的展开式的第
r
1
项.
解： Tr1 Crn
3
x
nr
1 23 x
r
1 2r
r
Crn
x
nr 3
x
r 3
1 2r
二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
↓
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
8100 = (7 + 1)100 =?
↓
(7 + 1)100 展开后的表达式是什么样的？
探究新知
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2
思考：使用组合的观点说明(a+b)2是如何展开的。
分析：(a+b)2可以看作是2个(a+b)相乘得到，
即(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
因此以每个(a+b)中的b作为研究对象：
（ B）
A.92
B.576
C.192
D.384
4.［2020·辽宁抚顺市第十中学高二期中］（x+1）（x+2）4展开式中x3的
系数为
32
.
探究新知
三、由特定项（或特定项的系数）求参数
例5 ［2020·北京八中高二期中］在（x+a）5（其中a≠0）的展开式
中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为
A.-2
x
4
4
＝（ 3 x ）4+ C 41 （ 3 x ）3 1
x
+ C （ 3 x ）2 1
x
2
4
＝81x2+108x+54+ 12 + 1 .
＝ 3x 1
x
x2
x
4
＝ 1 （1+3x）4
x2
＝ 1 ［1+ C （3x）+ C （3x）2+ C （3x）3+ C （3x）4］
3.求出r值；
4.代回第r+1项即可.
【注意】
高二下学期数学人教A版必修第三册6.3.1二项式定理课件
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C
0 2
a
2
C21ab
C22b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 ；
(a＋b)4＝_a_4＋__4_a_3_b_＋__6_a_2_b_2＋__4_a_b_3_＋__b_4__ C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4 ；
)r
(1)r
C9r
x 92r
设9 2r 3,解得r 3.
∴展开式中有含x3项的系数为(1)3 C93 84.
(2)由于( x a)12的展开式共有13项,所以倒数第4项是展开式 的第10项,即
T10 T91 C192 x a 129 9 C132 x 3a 9 220x 3a9 .
……
(a＋b)n＝_C_n0_a_n__C__n1a__n_1b___C__n2a_n__2_b_2 ___ ___C_nk_a_n_k_b_k___ ___C__nn_b_n _. _
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1an1b Cn2a n2b2
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn .
巩固训练2 求 (3 x 2 1 )10 展开式中的常数项. x
解： 展开式的通项为Tr1 C1r0 (3 x2 )10r (
1 x
)r
310 r
C
r 21
20 5 r
x2
.
设20 5 r 0,解得r 8. 2
∴ (3 x2 1 )10 的展开式中的常数项为 x
T9 C180 32 405.
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
二项式定理 优秀课件
项的系数：二项式系数与数字系数的积.
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
(a b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)n
(1 x)n ?Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn xn
此时，二项式系数就等于项的系数！！
(a b)n
C
1 4
a
3b
C42a 2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
(a b)n ?
没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 ------牛顿
探究3：请分析 (a b)n 的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L a nkbk L bn
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 b1)(a2 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
➢问题2: (a1 b1)(a2 b2 )(a3 b3 ) 展开式中 每一项是怎样构成的？展开式有几项？
C n0a n
Cn1an1b
C
k n
a
nk
bk
Cnnbn(n
N*)
Tk1 Cnkankbk
例1：展开(x 2)5 .
解：(x 2)5 C50x5 20 C51x4 21 C52x3 22
C53x2 23 C54 x124 C55x0 25
②系数：Cn0 Cn1 Cnk Cnn
高二数学最新课件-二项式定理复习课 精品
A第15项B 第16项 C第17项 D 第18项
x + 3 x 的展开式中,各项系数 的和是 49 ，各二项式系数和为 29
②、在
(
3
2
2
)
9
பைடு நூலகம்
③、(1-x) + (1-x)2+(1-x)3+…+ (1-x)10的展开 3 2 式中，含x 项的系数是 C11 165
④、233除以9的余数是
8
设1 x (1 x) 1 x a0 a1 x 练习2、
10
3 1 3.若 x 3 的展开式中只有第 6项的系数最 x 大，则n 10 1 4 x 4 的展开式中有理项的个 数有3个 2 x
8
n
7 2
7
则a0 a1 a2 a7 －1 a1 a2 a7 －2
a1 a3 a5 a7 －1094
a0 a2 a4 a6 1093
a0 a1 a2 a7 37 =2187
练习1 ①、在(a＋b)20展开式中,与第五项 的系数相同的项是( C ).
1 例1、 求 2 x 的展开式中 x （ 1 ）第6项，并指出其二项式系 数与系数； （2）含x 的项； （3）常数项。
2
6
(4)展开式中二项式系数最 大的项；
(5)系数最大的项
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a7 x 例 2、
2 n
an x , 若a0 a1 an 254, 则
n
1、n 7 2、展开式中奇次项系数 的和为 127
1.若x 3 y 展开式的系数和等于 练习3、
x + 3 x 的展开式中,各项系数 的和是 49 ，各二项式系数和为 29
②、在
(
3
2
2
)
9
பைடு நூலகம்
③、(1-x) + (1-x)2+(1-x)3+…+ (1-x)10的展开 3 2 式中，含x 项的系数是 C11 165
④、233除以9的余数是
8
设1 x (1 x) 1 x a0 a1 x 练习2、
10
3 1 3.若 x 3 的展开式中只有第 6项的系数最 x 大，则n 10 1 4 x 4 的展开式中有理项的个 数有3个 2 x
8
n
7 2
7
则a0 a1 a2 a7 －1 a1 a2 a7 －2
a1 a3 a5 a7 －1094
a0 a2 a4 a6 1093
a0 a1 a2 a7 37 =2187
练习1 ①、在(a＋b)20展开式中,与第五项 的系数相同的项是( C ).
1 例1、 求 2 x 的展开式中 x （ 1 ）第6项，并指出其二项式系 数与系数； （2）含x 的项； （3）常数项。
2
6
(4)展开式中二项式系数最 大的项；
(5)系数最大的项
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a7 x 例 2、
2 n
an x , 若a0 a1 an 254, 则
n
1、n 7 2、展开式中奇次项系数 的和为 127
1.若x 3 y 展开式的系数和等于 练习3、
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解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
3.
x－ 2
1 4
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的
奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
[听前试做] (1)(1－ x)6的展开式的通项为 Cm6 (－
x )m ＝
， (1 ＋ x )4 的 展 开 式 的 通 项 为
[听前试做] (1)由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1， 所以 13C2mm＝7Cm2m＋1， ∴1m3！·2·mm！！＝m7！·2·mm＋＋11！！，
∴7m2m＋＋11＝13，解得 m＝6，选 B. (2)令 x＝1 可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令
答案：8
[典题 1] (1)在二项式x2－1x5 的展开式中，含 x4 的项的系
数是( )
A．10 B．－10 C．－5 D．20
(2)x2－x235 的展开式中的常数项为(
)
A．80 B．－80 C．40 D．－40
[听前试做] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为 C5r·(－1)rr10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2，所以含 x4 项的系数为 C25(－1)2＝10，故选 A.
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
A．32 B．34 C．36 D．38
[听前试做] x3－2x4 的展开式的通项为 Tm＋1 ＝C4m(x3)4－m·－2xm＝Cm4 (－2)mx12－4m，令 12－4m＝ 0，解得 m＝3，x＋1x8 的展开式的通项为 Tn＋1＝ Cn8x8－n·1xn＝Cn8x8－2n，令 8－2n＝0，解得 n＝4， 所以所求常数项为 C34(－2)3＋C48＝38.
答案：(1)B (2)D (3)3
对于几个多项式积的展开式中的特定项 问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合 组合思想求解，但要注意适当地运用分类方 法，以免重复或遗漏．
角度三：三项展开式中的特定项(系数)问题 [典题 4](x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 () A．10 B．20 C．30 D．60 [听前试做](x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中 有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系 数为 C25C23C11＝30.
4．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0； 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16， ∴a0＋a2＋a4＝8.
答案：D
对于几个多项式和的展开式中的特定项(系 数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项 中分别得到特定的项，再求和即可．
角度二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 [典题 3] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是 () A．－4 B．－3 C．3 D．4
(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则ɑ＝
[典题 5] (1)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的 二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项 式系数的最大值为 b，若 13a＝7b，则 m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2) 若 (1 － 2x)4 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ a3x3 ＋ a4x4，则 a1＋a2＋a3＋a4＝________.
《课标》（2017年版）要求： 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
自主检测
1.x－1x9 的展开式中 x3 的系数为________．
答案：－84
2．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
(2)∵Tr＋1＝C5r(x2)5－r－x23r＝(－2)rC5r·x10－5r，由 10－5r ＝0，得 r＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
，其中 m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令m2 ＋n2＝1，得 m＋n＝2，于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数等于 C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14 ＋C26·(－1)2·C04＝－3.
(2)展开式中含 x2 的系数为 C25＋aC15＝5，解得 a＝－1. (3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
复习课：二项式定理
Without ideal, life is a desert, not angry; Without ideal, life is like night, without light; Without ideal, life is like a maze, without direction.