高二数学.复习课：二项式定理课件
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(2)∵Tr＋1＝C5r(x2)5－r－x23r＝(－2)rC5r·x10－5r，由 10－5r ＝0，得 r＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
，其中 m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令m2 ＋n2＝1，得 m＋n＝2，于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数等于 C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14 ＋C26·(－1)2·C04＝－3.
(2)展开式中含 x2 的系数为 C25＋aC15＝5，解得 a＝－1. (3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
A．32 B．34 C．36 D．38
[听前试做] x3－2x4 的展开式的通项为 Tm＋1 ＝C4m(x3)4－m·－2xm＝Cm4 (－2)mx12－4m，令 12－4m＝ 0，解得 m＝3，x＋1x8 的展开式的通项为 Tn＋1＝ Cn8x8－n·1xn＝Cn8x8－2n，令 8－2n＝0，解得 n＝4， 所以所求常数项为 C34(－2)3＋C48＝38.
《课标》（2017年版）要求： 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
自主检测
1.x－1x9 的展开式中 x3 的系数为________．
答案：－84
2．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
答案：D
对于几个多项式和的展开式中的特定项(系 数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项 中分别得到特定的项，再求和即可．
角度二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 [典题 3] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是 () A．－4 B．－3 C．3 D．4
(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则ɑ＝
[典题 5] (1)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的 二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项 式系数的最大值为 b，若 13a＝7b，则 m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2) 若 (1 － 2x)4 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ a3x3 ＋ a4x4，则 a1＋a2＋a3＋a4＝________.
() A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 (3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的
奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
[听前试做] (1)(1－ x)6的展开式的通项为 Cm6 (－
x )m ＝
， (1 ＋ x )4 的 展 开 式 的 通 项 为
4．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0； 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16， ∴a0＋a2＋a4＝8.
答案：(1)B (2)D (3)3
对于几个多项式积的展开式中的特定项 问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合 组合思想求解，但要注意适当地运用分类方 法，以免重复或遗漏．
角度三：三项展开式中的特定项(系数)问题 [典题 4](x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 () A．10 B．20 C．30 D．60 [听前试做](x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中 有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系 数为 C25C23C11＝30.
答案：8
[典题 1] (1)在二项式x2－1x5 的展开式中，含 x4 的项的系
数是( )
A．10 B．－10 C．－5 D．20
(2)x2－x235 的展开式中的常数项为(
)
A．80 B．－80 C．40 D．－40
[听前试做] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为 C5r·(－1)rr10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2，所以含 x4 项的系数为 C25(－1)2＝10，故选 A.
[听前试做] (1)由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1， 所以 13C2mm＝7Cm2m＋1， ∴1m3！·2·mm！！＝m7！·2·mm＋＋11！！，
∴7m2m＋＋11＝13，解得 m＝6，选 B. (2)令 x＝1 可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令
复习课：二项式定理
Without ideal, life is a desert, not angry; Without ideal, life is like night, without light; Without ideal, life is like a maze, without direction.
解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
ຫໍສະໝຸດ Baidu.
x－ 2
1 4
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
，其中 m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令m2 ＋n2＝1，得 m＋n＝2，于是(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数等于 C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14 ＋C26·(－1)2·C04＝－3.
(2)展开式中含 x2 的系数为 C25＋aC15＝5，解得 a＝－1. (3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
A．32 B．34 C．36 D．38
[听前试做] x3－2x4 的展开式的通项为 Tm＋1 ＝C4m(x3)4－m·－2xm＝Cm4 (－2)mx12－4m，令 12－4m＝ 0，解得 m＝3，x＋1x8 的展开式的通项为 Tn＋1＝ Cn8x8－n·1xn＝Cn8x8－2n，令 8－2n＝0，解得 n＝4， 所以所求常数项为 C34(－2)3＋C48＝38.
《课标》（2017年版）要求： 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
自主检测
1.x－1x9 的展开式中 x3 的系数为________．
答案：－84
2．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
答案：D
对于几个多项式和的展开式中的特定项(系 数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项 中分别得到特定的项，再求和即可．
角度二：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 [典题 3] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是 () A．－4 B．－3 C．3 D．4
(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则ɑ＝
[典题 5] (1)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的 二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项 式系数的最大值为 b，若 13a＝7b，则 m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2) 若 (1 － 2x)4 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ a3x3 ＋ a4x4，则 a1＋a2＋a3＋a4＝________.
() A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 (3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的
奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________.
[听前试做] (1)(1－ x)6的展开式的通项为 Cm6 (－
x )m ＝
， (1 ＋ x )4 的 展 开 式 的 通 项 为
4．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
解析：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0； 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4＝16， ∴a0＋a2＋a4＝8.
答案：(1)B (2)D (3)3
对于几个多项式积的展开式中的特定项 问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合 组合思想求解，但要注意适当地运用分类方 法，以免重复或遗漏．
角度三：三项展开式中的特定项(系数)问题 [典题 4](x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 () A．10 B．20 C．30 D．60 [听前试做](x2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中 有两个取 y，两个取 x2，一个取 x 即可，所以 x5y2 的系 数为 C25C23C11＝30.
答案：8
[典题 1] (1)在二项式x2－1x5 的展开式中，含 x4 的项的系
数是( )
A．10 B．－10 C．－5 D．20
(2)x2－x235 的展开式中的常数项为(
)
A．80 B．－80 C．40 D．－40
[听前试做] (1)由二项式定理可知，展开式的通项为 C5r·(－1)rr10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2，所以含 x4 项的系数为 C25(－1)2＝10，故选 A.
[听前试做] (1)由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1， 所以 13C2mm＝7Cm2m＋1， ∴1m3！·2·mm！！＝m7！·2·mm＋＋11！！，
∴7m2m＋＋11＝13，解得 m＝6，选 B. (2)令 x＝1 可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令
复习课：二项式定理
Without ideal, life is a desert, not angry; Without ideal, life is like night, without light; Without ideal, life is like a maze, without direction.
解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
ຫໍສະໝຸດ Baidu.
x－ 2
1 4
8 x
的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3