中山大学物理与天文学院《数学物理方法》2018学年期中小测参考答案
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1 (z −2)(z −3) 在环形区域夲
< |z | < 夳内展开成洛浪级数。
要在环形区域内得到一个处处收敛洛浪展开式，以环形中心夨z 夽 夰天展开最佳（由洛浪展开定理保证）。 失 夨z − 夲天夨z − 夳天 失 失 − z−夳 z−夲 失 失 失 失 夽 − z − 夳失− 3 z失− 失 夳 失夫
1 (4n+1)πi 12 (8n+1)πi 12 (8n−1)πi 12 (4n−1)πi 12
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨B天 夲 6 e
1
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨C天 夲 6 e
1
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨D天 e
夬 n 夽 夰, 失, 夲
夨头天 复变函数z 奣奯女 z 的导函数是： 夨A天 z 女奩奮 z 夨B天 奣奯女 z 夨C天 奣奯女 z − z 女奩奮 z 夨D天 奣奯女 z 夫 z 女奩奮 z 夨夵天 复变函数 z 女奩奮 z 的不定积分（忽略不写积分常数）是 夨A天 z 奣奯女 z 夨B天 女奩奮 z 夨C天 女奩奮 z − z 奣奯女 z 夨D天 女奩奮 z 夫 z 奣奯女 z 夨夶天
∞ −x 2 e 奣奯女 夨夲x天 dx 等于 0 √ √ √ √ π π 夨C天 e π 夨D天 e 2 π 2e 夨B天 e
∞ −∞
|F 夨k 天| dk 等于
2
夨失夵天 某个正交曲面坐标系夨x, y, z 天的相近两点之间的距离平方可以写为：ds2 夽 dx2 夫 e2x dy 2 夫 dz 2 . 该坐标系的 拉普拉斯算符∇2 的显式微分表达式为： 夨A天 e2x
∂ ∂ (e−2x ∂x ) ∂x
夫
∂2 ∂y 2
夫
∂2 ∂z 2
夨B天 e−2x
∂ ∂ (e2x ∂x ) ∂x
夫
∂2 ∂y 2
夫
∂2 ∂z 2
夨C天
∂ ∂ (e2x ∂x ) ∂2 夫 ∂y 2 ∂x
∂ ∂ ∂ ∂ 夫 ∂z 2 夨D天 ∂x2 夫 ∂y 2 夫 ∂z 2
2
2
2
2
失
（二 ）问 答题 ，每 小题 10分， 共30分 。 夨失天 解析函数的定义是什么？请用不超过夳夰字的一句话简洁地叙述（关于解析函数积分的）柯西定理。 在复平面上的开区域内处处可导的函数称为该区域内的解析函数。（另一种正确答案：在某点邻域内处处可导 称为在该点解析，在定义域内每个点解析的函数称为解析函数。） 柯西定理：在区域内解析且在区域边界上连续的函数沿边界正向的积分之和为零。 夨夲天 把函数f 夨z 天 夽
夨A天 −失 夨B天 夰 夨C天 失 夨D天 夲 夨失夲天 函数 f 夨t天 夽 δ 夨t2 − 失天 的拉普拉斯变换F 夨p天 夽
1 −p p −p 夨A天 2 e 夨B天 1 天 夨C天 e−p 夨D天 ep 夫 e−p 2 夨e 夫 e
x2
夨失夳天 设f 夨x天 夽 e− 2 的傅立叶变换为F 夨k 天，则积分 √ 2 夨A天 π 夨B天 π 2 夨C天 π 夨D天 π 夨失头天 积分 夨A天
1 (1+ez ) sin z
在区域|z | < 夵内有多少个孤立奇点夿
夨A天 夳 夨B天 头 夨C天 夵 夨D天 夶 夨夷天
1 z 2 −3z +2
在 z 夽 夲 处的留数等于
夨A天 夲 夨B天 失 夨C天 夰 夨D天 −失 夨夸天 积分
1 −1
δ 夨x − 夲天 奣奯女 x dx 夽
夨A天 夰 夨B天 奴奡奮 夲 夨C天 奣奯女 夲 夨D天 女奩奮 夲 夨夹天 下列哪个多值函数在区域 失 < |z | < 夲 内可以规定适当的幅角范围成为解析函数？
失 夲π ı 奟 利用奓奴奩奲奬奩奮奧公式： 夲夷夲夡 ≈ √
|z |=1
奣奯女 z 失 失 失 dz 夽 夲π ı 奟 夽 273 z 夲π ı 奟 夲夷夲夡 夲夷夲夡
272
夵头头π
夲夷夲 e
≈ 头夰 × 失夰夰272 夽 头 × 失夰545
所以积分结果≈ 夲.夵 × 失夰−546 ，数量级在失夰−546 和失夰−545 之间（答失夰−544 夬 失夰−545 夬 失夰−546 夬 失夰−547 都算正确）。 （三 ）选 答题 ，10分 。请 在下 列若 干个 问题 中勾 选并 回答 一 个 问题 （ 请不 要多 选， 否则 不计 分） 。 请举出一个在整个复平面上有定义，在无穷多个点可导，却处处不解析的复变函数的例子。 例如 女奩奮 |z |央 其他任何满足要求的例子，不管是蒙的，死记硬背的，还是真的理解了，只要是对的都不扣分。 计算函数f 夨z 天 夽 奬奮 夀夨z 天在z 夽 失处的二阶导数f 夨失天。
夽
2 z
夽 −
z3 失 z z2 夫 2 夫 3 夫 ... − 夳 夳 夳 z
失夫
夲3 夲 夲2 夫 2 夫 3 夫 ... z z z
2 在环形区域内上面牛顿二项式展开的条件 z 3 < 失以及 z < 失都满足，所以一个展开式就全部搞定。很多同学 随意地取了一个展开中心进行展开，未对展开条件进行讨论，导致扣分比较多。如果取了多个展开中心并对展 开条件进行了讨论，但满足展开条件的区域未完全覆盖题目所要求区域，仍要适度扣分。另外，需要注意平时 求留数练习的展开技巧都是去心邻域展开，不能在任意区域内应用。
夨夳天 计算沿逆时针方向的围道积分
失 夲π ı 奟
|z |=1
奣奯女 z dz, z 273
பைடு நூலகம்
并估算结果的数量级夨大概是失夰的多少次方）。 围道内有一个孤立奇点z 夽 夰，由于 失− 奣奯女 z 夽 273 z
z2 2! z4 4! z 272 272!
夫
− ... 夫 z 273
− ...
1 。根据留数定理，积分结果为 显然留数夨负一次项系数天为 272!
中山大学物理与天文学院 《数学物理方法》 夲夰失夸学年 期中小测参考答案 **每人 拿到 的选 择题 选项 经过 随机 排列 ，和 参考 答案 中次 序未 必相 同** （一 ）选 择题 ，每 小题 4分 ，共 60分。 请集 中把 答 案写 在下 面的 答案 区: 夨失天 e
3πi 2
等于
夨A天 −i 夨B天 i 夨C天 −失 夨D天 失 夨夲天 满足下列哪一项条件的所有复数z 构成的点集是复平面上的开区域？ 夨A天 z 夽 夰 夨B天 失 ≤ |z | ≤ 夲 夨C天 z 是实数且|z | < 失 夨D天 夰 < |z | < 失 夨夳天 方程z 3 夽 失 夫 i的所有复数解为 夨A天 夲 6 e
−1 夨A天 奬奮夨z − 失天 夨B天 奬奮夨z 夫 失天 夨C天 奬奮奛夨z − 失天夨z 夫 失天奝 夨D天 奬奮 z z +1 1 天夽 夨失夰天 夀夨− 2 √
夨A天 夨失失天 函数
π 2
√ √ √ 夨B天 −夲 π 夨C天 π 夨D天 − 2π
2z 4 z 5 +z +1
的所有孤立奇点处的留数之和为
< |z | < 夳内展开成洛浪级数。
要在环形区域内得到一个处处收敛洛浪展开式，以环形中心夨z 夽 夰天展开最佳（由洛浪展开定理保证）。 失 夨z − 夲天夨z − 夳天 失 失 − z−夳 z−夲 失 失 失 失 夽 − z − 夳失− 3 z失− 失 夳 失夫
1 (4n+1)πi 12 (8n+1)πi 12 (8n−1)πi 12 (4n−1)πi 12
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨B天 夲 6 e
1
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨C天 夲 6 e
1
夬 n 夽 夰, 失, 夲 夨D天 e
夬 n 夽 夰, 失, 夲
夨头天 复变函数z 奣奯女 z 的导函数是： 夨A天 z 女奩奮 z 夨B天 奣奯女 z 夨C天 奣奯女 z − z 女奩奮 z 夨D天 奣奯女 z 夫 z 女奩奮 z 夨夵天 复变函数 z 女奩奮 z 的不定积分（忽略不写积分常数）是 夨A天 z 奣奯女 z 夨B天 女奩奮 z 夨C天 女奩奮 z − z 奣奯女 z 夨D天 女奩奮 z 夫 z 奣奯女 z 夨夶天
∞ −x 2 e 奣奯女 夨夲x天 dx 等于 0 √ √ √ √ π π 夨C天 e π 夨D天 e 2 π 2e 夨B天 e
∞ −∞
|F 夨k 天| dk 等于
2
夨失夵天 某个正交曲面坐标系夨x, y, z 天的相近两点之间的距离平方可以写为：ds2 夽 dx2 夫 e2x dy 2 夫 dz 2 . 该坐标系的 拉普拉斯算符∇2 的显式微分表达式为： 夨A天 e2x
∂ ∂ (e−2x ∂x ) ∂x
夫
∂2 ∂y 2
夫
∂2 ∂z 2
夨B天 e−2x
∂ ∂ (e2x ∂x ) ∂x
夫
∂2 ∂y 2
夫
∂2 ∂z 2
夨C天
∂ ∂ (e2x ∂x ) ∂2 夫 ∂y 2 ∂x
∂ ∂ ∂ ∂ 夫 ∂z 2 夨D天 ∂x2 夫 ∂y 2 夫 ∂z 2
2
2
2
2
失
（二 ）问 答题 ，每 小题 10分， 共30分 。 夨失天 解析函数的定义是什么？请用不超过夳夰字的一句话简洁地叙述（关于解析函数积分的）柯西定理。 在复平面上的开区域内处处可导的函数称为该区域内的解析函数。（另一种正确答案：在某点邻域内处处可导 称为在该点解析，在定义域内每个点解析的函数称为解析函数。） 柯西定理：在区域内解析且在区域边界上连续的函数沿边界正向的积分之和为零。 夨夲天 把函数f 夨z 天 夽
夨A天 −失 夨B天 夰 夨C天 失 夨D天 夲 夨失夲天 函数 f 夨t天 夽 δ 夨t2 − 失天 的拉普拉斯变换F 夨p天 夽
1 −p p −p 夨A天 2 e 夨B天 1 天 夨C天 e−p 夨D天 ep 夫 e−p 2 夨e 夫 e
x2
夨失夳天 设f 夨x天 夽 e− 2 的傅立叶变换为F 夨k 天，则积分 √ 2 夨A天 π 夨B天 π 2 夨C天 π 夨D天 π 夨失头天 积分 夨A天
1 (1+ez ) sin z
在区域|z | < 夵内有多少个孤立奇点夿
夨A天 夳 夨B天 头 夨C天 夵 夨D天 夶 夨夷天
1 z 2 −3z +2
在 z 夽 夲 处的留数等于
夨A天 夲 夨B天 失 夨C天 夰 夨D天 −失 夨夸天 积分
1 −1
δ 夨x − 夲天 奣奯女 x dx 夽
夨A天 夰 夨B天 奴奡奮 夲 夨C天 奣奯女 夲 夨D天 女奩奮 夲 夨夹天 下列哪个多值函数在区域 失 < |z | < 夲 内可以规定适当的幅角范围成为解析函数？
失 夲π ı 奟 利用奓奴奩奲奬奩奮奧公式： 夲夷夲夡 ≈ √
|z |=1
奣奯女 z 失 失 失 dz 夽 夲π ı 奟 夽 273 z 夲π ı 奟 夲夷夲夡 夲夷夲夡
272
夵头头π
夲夷夲 e
≈ 头夰 × 失夰夰272 夽 头 × 失夰545
所以积分结果≈ 夲.夵 × 失夰−546 ，数量级在失夰−546 和失夰−545 之间（答失夰−544 夬 失夰−545 夬 失夰−546 夬 失夰−547 都算正确）。 （三 ）选 答题 ，10分 。请 在下 列若 干个 问题 中勾 选并 回答 一 个 问题 （ 请不 要多 选， 否则 不计 分） 。 请举出一个在整个复平面上有定义，在无穷多个点可导，却处处不解析的复变函数的例子。 例如 女奩奮 |z |央 其他任何满足要求的例子，不管是蒙的，死记硬背的，还是真的理解了，只要是对的都不扣分。 计算函数f 夨z 天 夽 奬奮 夀夨z 天在z 夽 失处的二阶导数f 夨失天。
夽
2 z
夽 −
z3 失 z z2 夫 2 夫 3 夫 ... − 夳 夳 夳 z
失夫
夲3 夲 夲2 夫 2 夫 3 夫 ... z z z
2 在环形区域内上面牛顿二项式展开的条件 z 3 < 失以及 z < 失都满足，所以一个展开式就全部搞定。很多同学 随意地取了一个展开中心进行展开，未对展开条件进行讨论，导致扣分比较多。如果取了多个展开中心并对展 开条件进行了讨论，但满足展开条件的区域未完全覆盖题目所要求区域，仍要适度扣分。另外，需要注意平时 求留数练习的展开技巧都是去心邻域展开，不能在任意区域内应用。
夨夳天 计算沿逆时针方向的围道积分
失 夲π ı 奟
|z |=1
奣奯女 z dz, z 273
பைடு நூலகம்
并估算结果的数量级夨大概是失夰的多少次方）。 围道内有一个孤立奇点z 夽 夰，由于 失− 奣奯女 z 夽 273 z
z2 2! z4 4! z 272 272!
夫
− ... 夫 z 273
− ...
1 。根据留数定理，积分结果为 显然留数夨负一次项系数天为 272!
中山大学物理与天文学院 《数学物理方法》 夲夰失夸学年 期中小测参考答案 **每人 拿到 的选 择题 选项 经过 随机 排列 ，和 参考 答案 中次 序未 必相 同** （一 ）选 择题 ，每 小题 4分 ，共 60分。 请集 中把 答 案写 在下 面的 答案 区: 夨失天 e
3πi 2
等于
夨A天 −i 夨B天 i 夨C天 −失 夨D天 失 夨夲天 满足下列哪一项条件的所有复数z 构成的点集是复平面上的开区域？ 夨A天 z 夽 夰 夨B天 失 ≤ |z | ≤ 夲 夨C天 z 是实数且|z | < 失 夨D天 夰 < |z | < 失 夨夳天 方程z 3 夽 失 夫 i的所有复数解为 夨A天 夲 6 e
−1 夨A天 奬奮夨z − 失天 夨B天 奬奮夨z 夫 失天 夨C天 奬奮奛夨z − 失天夨z 夫 失天奝 夨D天 奬奮 z z +1 1 天夽 夨失夰天 夀夨− 2 √
夨A天 夨失失天 函数
π 2
√ √ √ 夨B天 −夲 π 夨C天 π 夨D天 − 2π
2z 4 z 5 +z +1
的所有孤立奇点处的留数之和为