运筹学--第2节(线性规划-标准型)
管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
MBA2 管理运筹学讲义：线性规划
• 约束条件
任何管理决策问题都是限定在一定的条件下求解 把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件 约束条件是决策方案可行的保障 LP的约束条件，都是决策变量的线性函数
• 目标函数
衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低 目标函数是决策变量的线性函数 有的目标要实现极大，有的则要求极小
24
上海财经大学国际工商管理学院 上海财经大学国际工商管理学院
4
SHUFE
第一节 线性规划的标准型
≤8 2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0 x1
x1 ≥0， x2 ≥0
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、 A3, 其一级承销商有 4 个，分布在城市 B1 、 B2 、 B3 、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为 Cij ，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
二、非标准型向标准型转化
• 目标函数极小化问题
minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。
• 右端常数项非正
两端同乘以 -1
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
目标函数极大化 约束条件为等式 右端常数项bi≥0 决策变量非负
12
x1
17
上海财经大学国际工商管理学院 上海财经大学国际工商管理学院
18
3
SHUFE
第二节 线性规划的图解法
SHUFE
第二节 线性规划的图解法
二 、解的可能性 • 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时 得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划教学目的和要求：目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38.线性规划是运筹学的一个重要分支。
1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。
1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。
此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题一、问题的提出在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。
A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。
问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800，X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)；以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦6504X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700X j ≧0 (j=1,2,3)例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
30
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
5
线性规划的标准型
• 和式：
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2,, m
x j 0 j 1,2,, n
6
线性规划的标准型
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
18
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。
首先，让我们来定义线性规划的标准形式。
一个线性规划问题可以表示为：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad c^Tx \\。
& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。
& \quad x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。
在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。
这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。
为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。
同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。
工厂的资源总量分别为4和12。
那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。
& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。
& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。
& \quad x_1, x_2 \geq 0。
\end{aligned}。
\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一系列线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等领域。
线性规划问题可以用标准形式来表示，这有助于我们更好地理解和解决问题。
线性规划的标准形式可以表示为：Maximize (or Minimize) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量。
约束条件由不等式表示，a11, a12, ..., amn为系数，b1,b2, ..., bm为常数，xi ≥ 0表示决策变量的非负约束。
在标准形式中，我们需要将所有的约束条件都转化为“≤”的形式，并且将所有的决策变量都限制为非负数。
这样做的目的是为了方便我们进行线性规划问题的求解，使得问题更加规范化和统一化。
线性规划的标准形式可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加清晰地建立数学模型，并且更加方便地应用各种优化算法进行求解。
通过将问题转化为标准形式，我们可以更加直观地分析问题的特点，找到最优解的方法。
在实际应用中，线性规划的标准形式可以帮助我们更好地描述生产过程中的资源约束、运输过程中的成本约束、市场营销中的销售约束等各种问题。
通过将问题转化为标准形式，我们可以更加方便地利用线性规划的理论和方法来解决实际问题，从而实现资源的最优配置和成本的最小化。
总之，线性规划的标准形式是线性规划问题的一种统一表示方法，它可以帮助我们更好地理解和解决问题，为实际应用提供了重要的理论基础和方法支持。
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在资源分配、生产计划、物流运输等领域有着广泛的应用。
线性规划的标准型是线性规划问题最基本的形式，它通常用于描述最大化或最小化一个线性目标函数的问题，并且受到一组线性约束条件的限制。
在这篇文档中，我们将对线性规划的标准型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来定义线性规划的标准型。
对于一个线性规划问题，我们通常有如下的数学表达式：\[ \begin{array}{ll}。
\text{maximize} & c^T x \\。
\text{subject to} & Ax \leq b \\。
& x \geq 0。
\end{array} \]其中，\( x \) 是一个包含 \( n \) 个变量的向量，\( c \) 是一个包含 \( n \) 个系数的向量，\( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，\( b \) 是一个包含 \( m \) 个常数的向量。
这里的目标是最大化目标函数 \( c^T x \)，同时满足线性约束条件\( Ax \leq b \) 和变量的非负约束 \( x \geq 0 \)。
接下来，我们将详细介绍线性规划标准型中的各个部分。
首先是目标函数 \( c^T x \)，它通常表示了我们希望最大化或最小化的某种目标，比如利润最大化、成本最小化等。
目标函数中的 \( c \) 是一个系数向量，它代表了各个变量对目标的贡献程度，而\( x \) 则是变量向量，代表了我们需要决策的变量。
通过调整变量向量 \( x \) 的取值，我们可以达到最大化或最小化目标函数的目的。
其次，线性规划标准型中的约束条件 \( Ax \leq b \) 也是非常重要的。
约束条件通常反映了问题的现实限制，比如资源的有限性、生产能力的限制等。
矩阵 \( A \) 中的每一行代表了一个约束条件，而向量 \( b \) 则是约束条件的右侧常数。
运筹学基础-线性规划(2)
四、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学； 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标
准型可以转化为标准型计算
（一）线性规划的标准形式
线性规划的标准形式为： 目标函数最大化 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a 约束条件为等式， 11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm 右端常数项 决策变量非负 bi≥0 x1,x2,…,xn ≥0
S.t.
（2）maxZ’= - 6 x1 -7 x2 + x’3－ x’’3 +0 x4 + 0 x5 + 0 x6+ 0 x7
S.t.
五、线性规划解的概念
在讨论线性规划问题的求解之前,先要了解线性规划问 题的解的概念。由前面讨论可知线性规划问题的标准型为：
Max Z
j 1 n a ij x j b j (i 1,2, , m) j 1 x j 0 ( j 1,2, , n)
=- x1 + 8 求解 x4 = -2x2 + 12 x5= -3x1 -4 x2+ 36 令非基变量x1=x2=0，得到x3=8，x4=12，x5=36。 得基解 X=(0,0,8,12,36)T
（二）标准型的表达方式
线性规划标准型的表达方式有代数式、矩阵式两种：
1. 代数式 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ=
线性规划问题的标准型
线性规划问题的标准型线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题通常可以表示为标准型，即包含一组线性不等式约束条件和一个线性目标函数的数学模型。
首先，我们来定义线性规划问题的标准型。
一个线性规划问题的标准型可以表示为：\[\max_{x} c^Tx\]\[s.t. Ax \leq b\]\[x \geq 0\]其中，\(x\) 是一个 \(n\) 维向量，表示问题的决策变量；\(c\) 是一个 \(n\) 维向量，表示目标函数的系数；\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，表示约束条件的系数；\(b\) 是一个 \(m\) 维向量，表示约束条件的右端常数。
在这个模型中，我们的目标是找到一个 \(x\) 的取值，使得目标函数 \(c^Tx\) 的值最大，同时满足约束条件 \(Ax \leq b\) 和 \(x \geq 0\)。
接下来，我们来详细讨论线性规划问题的标准型中的各个要素。
首先是目标函数 \(c^Tx\)。
目标函数通常表示了我们希望最大化或最小化的目标。
在线性规划中，目标函数是一个线性函数，由决策变量\(x\) 的线性组合构成。
我们希望通过调整 \(x\) 的取值，使得目标函数的值达到最大或最小。
其次是约束条件 \(Ax \leq b\)。
约束条件表示了问题的限制条件，限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
在标准型中，约束条件通常表示为一组线性不等式。
这些不等式可以用矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 来表示，它们限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
最后是非负约束 \(x \geq 0\)。
非负约束表示了决策变量 \(x\) 的取值必须大于等于零。
这个约束条件在很多实际问题中是合理的，因为很多决策变量都有非负的物理意义。
总结一下，线性规划问题的标准型包括一个线性目标函数和一组线性不等式约束条件，以及决策变量的非负约束条件。
运筹学——第2章_线性规划的图解法
Q点坐标为x1=250,x2=100。也即得到此线性规划问 题的最优解，购买A原料250吨，购买B原料100吨， 可使成本最小，即2x1+3x2=2×250+3×100=800(万元)。 分析: 可知购买的原料A与原料B的总量为 250+100=350(吨)正好达到约束条件的最低限，所需 的加工时间为2×250+1×100=600正好达到加工时间 的最高限。而原料A的购进量250吨则比原料A购进量 的最低限125吨多购进了250-125=125吨， 这个超过 量在线性规划中称为剩余量。
7
对于一般线性规划问题的建模过程。应注意 如下几个问题：
1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件
下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量 (X1， X2, …, Xn)表示任何一个方案；这组决策变量的值就代 表一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标， 称之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问 题过程上所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规 划的数学模型，其一般形式为: 8
品的 产量是不能取负值的。综上所述，就得到了例1的数学模型 如下：
6
目标函数： max Z=50x1+100x2， 满足约束条件：x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400， x2≤250, x1≥0, x2≥0. 由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数， 约束条件也为变量的线性等式或不等式，故此模型称 之为线性规划。如果目标函数是变量的非线性函数， 或约束条件中含有变量非线性的等式或不等式的数学 模型则称之为非线性规划。 把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行 解。把使得目标函数值最大(即利润最大)的可行解称 为该线性规划的最优解，此目标函数值称为最优目标 函数值，简称最优值。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
27
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解概念
❖ 1.可行解 ❖ 2.基 ❖ 3.基可行解 ❖ 4.可行基
28
清华大学出版社
2.1.4 线性规划问题的解的概 念
1. 可行解
❖ 定义
满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2，…，xn)T， 称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最 大值的可行解称为最优解。
21
清华大学出版社
2.1.3 线性规划问题的标准型式
线性规划问题的几种表示形式
用向量形式表示的标准形式线性规划
M
'' 1
:目标函数：max
z
CX
n
约束条件： j1 Pj x j
b
x
j
0,
j 1,2,,n
C c1 ,c2 ,,cn ;
x1
a1 j
b1 Xx2 ; NhomakorabeaPj
a2
j
若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加入非负松弛变 量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 若约束条件为“≥”型不等式，则可在不等式左端减去一个非负剩 余变量(也称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束。 (3) 若存在取值无约束的变量xk,可令
xk xk' xk" xk' , xk" 0
2.1.3 线性规划问题的标准型式
M1 : 目标函数：max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 约束条件：a21x1 a22 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是一种数学优化方法，用于求解一系列线性约束条件下的最优解。
在实际应用中，线性规划模型通常需要进行标准化处理，以便更好地进行求解和分析。
本文将介绍线性规划标准化的相关概念、方法和应用。
一、线性规划标准化的概念。
线性规划标准化是指将线性规划模型转化为标准形式的过程。
标准形式是指目标函数为最大化或最小化的线性规划模型，并且约束条件为等式形式的模型。
通过标准化，可以使得线性规划模型更易于求解和分析。
二、线性规划标准化的方法。
1. 将不等式约束转化为等式约束，通过引入松弛变量或者剩余变量的方式，将不等式约束转化为等式约束。
2. 将目标函数转化为最大化形式，如果原始线性规划模型是最小化目标函数，可以通过取负号的方式将其转化为最大化形式。
3. 引入人工变量，对于标准形式中的非等式约束，可以引入人工变量来将其转化为等式约束。
4. 消除负变量，对于标准形式中的负变量，可以通过变换变量的方式将其消除。
三、线性规划标准化的应用。
1. 生产计划问题，在生产计划中，线性规划常常用于确定生产数量的最优分配方案。
通过标准化处理，可以更好地进行生产计划的优化。
2. 运输优化问题，在物流领域，线性规划可以用于优化货物的运输路径和运输量。
标准化处理可以简化运输优化问题的求解过程。
3. 资源分配问题，在资源分配中，线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案。
标准化处理可以使资源分配问题更易于分析和求解。
四、总结。
线性规划标准化是线性规划模型求解和分析过程中的重要步骤。
通过标准化处理，可以将原始线性规划模型转化为标准形式，从而更好地进行求解和分析。
在实际应用中，线性规划标准化具有广泛的应用价值，可以帮助解决各种优化问题。
以上就是关于线性规划标准化的相关内容，希望对您有所帮助。
如果您对线性规划标准化还有其他疑问或需要进一步了解，欢迎随时与我们联系。
运筹学标准型
运筹学标准型运筹学是一门研究如何有效地进行决策和规划的学科，它涉及到数学、统计学、计算机科学和工程学等多个领域。
在实际应用中，运筹学可以帮助人们解决各种复杂的问题，比如生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍运筹学的标准型问题，包括线性规划、整数规划、网络流问题等，希望能够帮助读者更好地理解和应用运筹学的相关知识。
首先，我们来介绍线性规划。
线性规划是运筹学中最基本的问题之一，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性目标函数的最优解。
通常情况下，线性规划可以用图形方法或者单纯形法进行求解，通过对约束条件和目标函数的分析，可以得到最优解的数学表达式。
线性规划在生产计划、资源分配、市场营销等方面有着广泛的应用。
其次，我们要介绍整数规划。
整数规划是在线性规划的基础上增加了整数限制条件的一种数学规划方法。
在实际问题中，很多情况下决策变量必须为整数，比如生产线的数量、配送路线的选择等。
整数规划在工程设计、生产调度、设施选址等领域有着重要的应用价值。
另外，我们还要介绍网络流问题。
网络流问题是研究网络中资源分配和流动的一种数学模型，它包括最大流、最小费用流、网络割等多个子问题。
网络流问题在交通规划、通信网络优化、供应链管理等方面有着广泛的应用。
除了上述几种标准型问题外，运筹学还涉及到很多其他类型的问题，比如动态规划、排队论、决策分析等。
这些问题在实际应用中同样具有重要的意义，它们为人们解决各种复杂的决策和规划问题提供了有力的工具和方法。
总的来说，运筹学标准型问题是运筹学中最基础、最常见的问题类型，它们在实际应用中有着广泛的应用价值。
通过对这些标准型问题的学习和掌握，可以帮助人们更好地理解和应用运筹学的相关知识，为解决实际问题提供更加有效的方法和工具。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢！以上就是关于运筹学标准型的一些内容介绍，希望对大家有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续阅读我们的文档，或者进行更深入的学习和研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、确定决策 最 目标，明确主 大
要决策什么 ！
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司应制造A、B两种家电各多少件，使获取 的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
例4 原料
ABＣ
1
4 10
2
6 12
3
1 71
4
2
每单位添
加剂中维生 12
素最低含量
53 14 8
每单位成本 2 5 6 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4)
n
p j x j b
j1
X
0
AX=(P1 P2 …Pn )
x1 x2 = b
…
xn P1 x1+ P2 x2 + … +Pn xn=b
化标准型
(1)、目标函数 (2)、约束条件 (3)、右端常数 (4)、变量
（1）目标函数
目标函数为求最小值，
n
min Z
CjX j
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24
x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8
xi 0 (i =1,…,4)
x1，x2 0
线性规划模型特点
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的因素。非负。
=12
x1+ x2+7x3+5x4 - x6 =14
2x2+ x3+3x4
- x7 =8
x1 , …, x7 0 剩余变量
（3）右端常数
右端项b＜0时，只需将等式 或不等式两端同乘(－1)，则等式 右端项必大于零。
（4）变量
a、x 0的情况， 令x ' ＝-x。
b、x取值无约束的情况。令x= x'-x"
目标函数：maxZ=2x1＋x2
分析和表述问题
设
例1 美佳公司计划制造I，II2两、种要家辨电认产品哪。些已是知决各制造备一，件时 分别占用的设备A、B的台时策、调的试关时键间影及响A、因B素设，备和调调试工 序每天可用于这两种家电的能在力选、取各这售些出一关件键时因的素获利试情况如
表I—l所示。问该公司应制造时A、存B在两哪种些家电资各源多和少环件，工使获取
线性规划介绍
四、线性规划解决的管理问题：
1. 合理利用线材问题； 2. 配料问题； 3. 投资问题； 4. 产品生产计划； 5. 劳动力安排； 6. 运输问题。
线性规划介绍
五、线性规划问题的共同点：
1. 要求达到某些数量上的最大化或最小化； 2. 在一定的约束条件下追求其目标。
线性规划的数学模型
线性规划介绍
二、定义
如果规划问题的数学模型中: 决策变量的取值是连续的; 目标函数是决策变量的线性函数; 约束条件是含决策变量的线性等式或不等式; 则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。
线性规划介绍
三、研究对象
❖ 有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
❖ 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
x1' , x2 0
-6+6 x1+6 10+6
令x1' = x1 +6
0 x1' 16
x1' +x2+ x3 = 11
x1'
+x4 = 16
x1' , x2 , x3 , x4 ,,0
例： 将 min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
化为标准型
解：① 令x3 =x4 - x5 ② 加松弛变量x6 ③加剩余变量x7 ④ 令Z'= -Z
min Z = -x1+2x2 –3x3
x1+x2 +x3 7 x1 -x2 +x3 2 x1，x20，x3无限制
maxZ'= x1 –2x2 +3x4 –3x5
x1 +x2 +x4 -x5 +x6 =7 x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
xij 0
第一章 线性规划及单纯形法
讲授：施宏远 日期：2015-03
目录
线性规划介绍 线性规划数学模型 线性规划的图解法 线性规划的单纯形法
线性规划介绍
一、线性规划的重要地位 ❖ 是运筹学中应用最广泛的方法之一； ❖ 是运筹学最基本的方法之一，整数规划，目标
规划和多目标规划，网络规划都是以线性规划 为基础的； ❖ 是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大。
（二）矩阵型
maxZ=CX AX=b X 0 b0
x1 X= x2
其中 A=
b1 b= b2
P1 P2 ……… Pn
a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n ………………… am1 am2 ………amn
C=(C1 C2 …Cn )
… …
xn
bm
(三) 向量型
maxZ CX
j 1
令Z' = -Z
n
max Z ' C j X j j 1
Z
o
x
-Z
（2）约束条件
当约束条件为“≤”时，如 6x1 2x2 24 可化为 6x1 2x2＋x3 24 x3为松弛变量
当约束条件为“≥”时，如 10 x1 12 x2 18 可化为 10 x1 12 x2 x4 18 x4为剩余变量
令x1= x1'- x1 "
3x1+2x2 8 x1 –4x2 14
x20
3 x1' -3 x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14
x1' , x1" ,x2 0
c、x两边有约束的情况。
x1+x2 5 -6 x1 10
x20
x1' +x2 11 x1' 16
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
30
342
10
40 15 35
设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i ＝1，2，3， j ＝1，2，3)
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极
大或极小
线性规划的一般式
max(min)Z=C1x1+ C2x2+…+Cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
……… am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm xj 0(j=1,…,n)
xn
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
………
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm
xj 0(j=1,…,n)
23
用矩阵形式表示：
线性规划的适用情况
•要解决的问题的目标可以用数值指标反映 •对于要实现的目标有多种方案可选择 •有影响决策的若干约束条件
线性规划标准形式
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max z CT X s.t. AX b
X 0
线性规划标准型的几种表示法
（一）一般型
maห้องสมุดไป่ตู้Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2 ………… am1x1+ am2x2+…+ amnxn =bm xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)