最新空间向量练习题

空间向量在立体几何中的应用

【知识梳理】1、已知直线12,l l 的方向向量分别为12,v v u r u u r ，平面,αβ的法向量分别为12,n n u r u u r

，则

（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ ；（3）若直线12,l l 的夹角为θ，则cos θ= ；

（4）1//l α⇔ ；（5）1l α⊥⇔ ；（6）若直线1l 与面α的成角为θ，则sin θ= ；

（7）//αβ⇔面面 ；（8）αβ⊥⇔面面 ；（9）若αβ面与面成二面角的平面角为θ，则 。 2、（1）三余弦定理： ； （2）三垂线定理（及逆定理）： ； （3）二面角的平面角定义（范围）： ； 【小试牛刀】1、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( ) A.1

B.2

C.3

D.4

2、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直 C.平行

D.以上都不对

3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，

11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）

A .－

21a +21b +c B .21a +21b +c C .2

1

a －

21b +c D .－21a －2

1

b +

c 4.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 5

1

3121++=

C.0=+++OC OB OA OM

D.0=++MC MB MA

5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于

A.

41 B.4

1

- C.43 D.43-

6.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1

7.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.

213 B.253 C.453 D.4

53

8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD

C .AC 1⊥平面CB 1

D 1

D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°

9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A .

63 B .552 C .155 D .10

5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为

A.5

B.41

C.4

D.52 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .

12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD

的距离为 . 15、已知()()2,4,,2,,26a x b y a b ===⊥r r r r r

，若a 且，求x y +值.

12

1

121E

D

C

B

A

P

16如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；

（2）求cos<11,CB BA >的值 （3）求证：A 1B ⊥C 1M .

17.如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：

（1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.

（1）求DP 与'CC 所成角的大小；

（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.

19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；

（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．

D 'C 'B'

A'P D C

B

A

参考答案1、C 2、C

3.)(2

1

111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.

4.

1

),,(=++∈++=⇔z y x R z y x z y x C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(

共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=

四点共面，

、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 5.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF BD EF 2

1

,21//=∴=

∴且,

4

1

120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=

⋅∴故选B . 6.B 7.B 8.D 9.D 10.

4,cos ==><=

5==,故选A

11.9 12.3

13.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=

θθcos 6)180,0,0,2530-=-=⋅=⋅=⋅===

0022222

120,1800 .2

1

cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于

14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系设平面P AD 的法向量是

(,,)m x y z =u r ，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==u u u r u u u r

Q ，∴02,0=++=z y x y ， 取1=z 得(2,0,1)m =-u r

，

1(2,0,2)B A =-u u u r

Q ，∴1B 到平面PAD

的距离1B A m d m

⋅==u u u r u r u r

. 15、解：由222

62436a x =⇒++=，又0a b a b ⊥⇒⋅=r r r 即4420y x ++=

由①②有：4,34,1x y x y ==-=-=或13x y ∴+=-或