最新空间向量练习题

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空间向量和立体几何练习题与答案

空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。

空间向量练习题

空间向量练习题1一、选择题：1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++= D ．313131++=2．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能3．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（）A ．B ．C ．D ．或4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．52-B ．52C ．53D ．1010二．解答题：6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。

8．长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11A C 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB ．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC_1_ A _A _B_ G_ F_ E_ A _ B_ C_ D_ A _1_ B _1 _ C _1_ D _1AC BPEF10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，求异面直线1D E 和1BC 间的距离.11．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且2PA =，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离.。

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。

空间向量练习及答案解析

空间向量练习一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为()A． B． C． D．4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()A．① B．② C．③ D．④5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()A． B． C．－ D．－8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．－ B． C．－ D．10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ．－1，－211.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )A ．√23B ．√73C ．√32D ．√3712.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√2213.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π3或2π3D ．π3或－π314.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,5，－2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ (3,1，z )，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．(407,157,−3) B ．(337,157,−3) C ．(−407,−157,−3) D ．(337,−157,−3)15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1，－4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4,2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量；④AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .其中正确的是____________．三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．空间向量练习答案解析1.【答案】D【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.2.【答案】B【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q.4.【答案】C【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，故AC⊥BD.①正确．又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．对于③，为面BCD的一个法向量，cos〈，〉＝＝＝＝－.所以AB与OA所在直线所成的角为45°，所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．又cos〈，〉＝＝＝－.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．5.【答案】B【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.6.【答案】B【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.7.【答案】A【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴AB1与ED1所成角的余弦值为.8.【答案】A【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.9.【答案】B【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为＝，＝，所以||＝，||＝，·＝－，cos〈，〉＝＝－，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得即解得11.【答案】A【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a2,1)，G (a 3,a 3,13)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a 6,a 6,23)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，解得a ＝2，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(13,13,23)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－2,2)，∵GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥平面ABD ，∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABD 的一个法向量，又cos 〈GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝43√63×2＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√23，故选A.12.【答案】A【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，a )，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则{m ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos 60°＝m·n|m ||n |，得1√a 2+1＝12，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3. 14.【答案】D【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4，因为BP ⊥平面ABC ，所以BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(337,−157,−3).15.【答案】C【解析】因为A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】【解析】＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以cos 〈，〉＝＝＝＝.17.【答案】 B【解析】若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.19.【答案】√217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (√32,12,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32,12,−1)，C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则有{C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =√32x +12y −1=0,C 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y −1=0.解得n ＝(√33,1,1)，则所求距离为|C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n ||＝1√13+1+1＝√217.20.【答案】(1,1,1)【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a2).∴DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−1,1,a2)，∵cos 〈DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√33，∴a 22＝a √2+a 24·√33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．21.【答案】①②③【解析】由于AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,12)， (1)∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,1,0)，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⊥DC ，又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√2，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√5，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，∴cos 〈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√105，由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√105；(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0,−12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45，可知当λ＝45时，N 点坐标为(15,1,25)，能使AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，此时，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,1,25)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(15,−1,25)，由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，∵|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√305，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－45，∴cos 〈AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝－23，故所求的二面角的余弦值为－23.23.【答案】以A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√34a,34a,0)，P (0,0，a )．(1)AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0，a )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√34a,−a 4,0)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⊥AP ，又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a2)，E (√38a,38a,a 2)，∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,a 2,a 2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√144， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24.(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，(1)因为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，－1,0)，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,2，－2)，所以cos 〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝−43√5＝－4√515，所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为4√515； (2)因为C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，－1，－2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1,0)，设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则由{n ·C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{−y −2=0,−x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，所以cos 〈AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉＝n·AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝22×3＝13，观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－13. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)， CD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－1,0)，因为cos 〈SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又SC⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2，－1)，{n 1·SC⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2y −z =0,x −y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，第 11 页共 11 页所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√66，所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√66. 26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；(2)B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{m ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x −2y −z =0,−x +y −z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量，于是cos 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝m·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||B 1C 1|＝−4√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉＝√217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217. 27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)，(1)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|＝25√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为2√55； (2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1,0,2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝√66，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√66.。

(完整版)空间向量小题(答案)

第3章（考试时间90分钟，满分120分）、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .设 a = （x, 2y, 3） , b = （1,1,6），且 a // b ,则 x + y 等于（）1A. 2C.23解析： T a // b ,「. x = 2y = 6,3•••x +y= 4.答案： B2 .若 a = （0,1，- 1）, b = （1,1,0），且（a +入b ）丄a ,则实数入的值是（A . - 1 D.— 2解析： a + 入 b = （0,1 , — 1） + （入，入，0）=（入，1 + 入，一 1）, 因为（a + 入b ） • a =（入，1+ 入，一1） • （0,1，— 1） =1 + 入 + 1 = 2 + 入=0, 所以X = — 2. 答案： D23 .若向量（1,0 , z ）与向量（2,1,0）的夹角的余弦值为——，则z 等于（）A . 0B . 12 ______ 1 + z 2 •1 = . 1 + z 2,「. z = 0. 答案： A4.若 a =e 1 + e 2+ e 3, b = e 1 — e 2— e 3, c = e 1 — e 2, d = 3e 1 + 2e 2 + e 3（｛e 1, e 2, e 3｝为空间的一■解析：由题知——2,寸1+ Z 2.^5yJ 5C.— 1D. 2 B .4 D. 2B . 0C. 1x= 21个基底），且d = xa + yb + zc ,贝U x , y , z 分别为（)5 B. J ，A C = X B+B CT CC=AB+ B C- c T C,所以 x = 1,2 y = 1,3 z =— 1, 1 1所以 x = 1, y = 2 z = — 3,C -2,i 2, 1D .5，解析:d =xa + yb + zc = x (e i + e ?+ e 3)+ y (e i — e 2— e 3)+ z (e i — e 2).f5 3••• {x + y + z = 3, x — y — z = 2, x — y = 1,/• x =㊁, y = 2， z =— 1答案： A5.若直线l 的方向向量为a = （1 , — 1,2），平面a 的法向量为U = （ — 2,2 , — 4），则（） A . l //a C. l ?aB . l 丄 a D. I 与a 斜交解析： ■/ u =— 2a ,「. u // a ,• l 丄 a ，故选B. 答案：BABC — A B' C' D 中，若 AC = x XB+ 2y B C > 3zC ^ C,贝U x + y + z 等A . 17 B.7C.6解析:如图,6 .在平行六面休答案：B成的角的余弦值为(A』10C迈.10答案：C8.已知空间四个点A(1,1,1),耳一4,0,2) , q —3, - 1,0),D( —1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A. 60°C. 30°解析：设门=(x, y, 1)是平面ABC的一个法向量.1 3一4x - 2y—2= 0, • x = 2，y=- 2,72 1 ,贝U sin 0 == 7 = 2, - 0= 30° .故选 C.I AD I n| 7 2答案：C9•在正方体ABC—ABCD中，平面ABD与平面CBD所成二面角的余弦值为1A.—2解析:2 3• n= 2，一2, 1 .••• AB= ( - 5, - 1,1) ,AC= (—4,—2，一1),又AD= ( —2, —1,3) ，设AD与平面ABC所成的角为0 ,7 .已知正四棱柱ABC B ABCD中，AA= 2AB E为AA的中点，则异面直线BE与CD所1B.53D.—5解析：以DA DC DD所在直线为x轴, y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0),曰1,0,1) ，C(0,1,0)，D(0,0,2).•- Bfe= (0，- 1,1) ,CD= (0，- 1,2).• cos〈BE CD〉BL CDI B E i CD| .2x )5B. 45°D. 90°••• { —5x—y + 1 = 0,I AD •叫1B.-3—— 14,/：/A以点D 为原点，DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 则 AC= ( — 1,1 , - 1) , AC = ( — 1,1,1).又可以证明 AC 丄平面BCD, AG 丄平面ABD,又cos 〈AC , AC 〉=亍结合图形可知平面31ABD 与平面CBD 所成二面角的余弦值为故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为 1的正方体ABC — ABCD 中，E 、F 分别为棱AA 、BB 的中点，G 为棱AB 上的一点，且 A G= X (0 w 入w 1 )，则点G 到平面DEF 的距离为()A. .''3B 冷解析：因为 A 1B 1// EF, G 在 AB 上，所以G 到平面DEF 的距离即为 A 到平面DEF 的距离, 即是A 到DE 的距离，DE^V ：5,答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•请把正确答案填在题中横线上 )11•若 a = (2 , - 3,5) , b = ( — 3,1 , - 4)，则 | a - 2b | = ___________ . 解析：因为 a — 2b = (8 , — 5,13), 所以 | a — 2b | = ；82 + — 5 2 + 132= ,-'258. 答案：.'25812.设 a = (2 , — 3,1) , b = ( — 1 , — 2,5) , d = (1,2 , — 7) , c 丄 a , c 丄 b ,且 c • d =10 ,则c =解析：设 c = (x , y , z ),D. '5 ~5由三角形面积可得所求距离为f.故选D.11X22根据题意得｛2x — 3y + z = 0, x — 2y + 5z = 0, x + 2y — 7z = 10.-5 -13•直角△ ABC 勺两条直角边 BC= 3, AC= 4, P®平面ABC PC=舟，则点P 到斜边AB 的5距离是 ________解析：则 A (4,0,0) ，B (0,3,0) ，P 0，0，5 ,所以 AB= ( — 4,3,0),T 9 AP= — 4, 0, 5 ,1 1 7因此 x + y + z = 1 + ^ — 3 = 6*所以AP 在AB 上的投影长为I Ak AB I AB16~5，所以P 到AB 的距离为答案： 325625=3. 65 解得x =祛答案:65 12,15 5 15以C 为坐标原点,。

高二数学空间向量练习题

高二数学空间向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j + 2k，向量AC = -5i + 2j - 6k，求向量AB + 2AC的模长。

2. 若向量a = 2i - j + 3k，向量b = i - 3j + 2k，求向量a + b的模长。

3. 已知三角形ABC中，向量AB = i - j + 2k，向量BC = 2i + 3j - k，向量CA = 3i + j - 4k，求三角形ABC的面积。

4. 若向量a = 3i - j + 4k，向量b = 2i + 2j - k，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

5. 已知向量a = i + 2j - 3k，向量b = 2i + j + k，向量c = 3i - j + 2k，如果向量d满足a + d = 2b - c，求向量d的坐标表示。

6. 已知平面P的法向量为向量a = i + j + k，并且过点A(1, 2, -1)。

求平面P的解析式。

7. 已知平面P通过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k垂直。

求平面P的解析式。

8. 已知平面P过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k和向量b = -i + j - 2k都垂直。

求平面P的解析式。

解答：1. 向量AB + 2AC = 3i + 4j + 2k + 2(-5i + 2j - 6k)= 3i + 4j + 2k - 10i + 4j - 12k= -7i + 8j - 10k那么向量AB + 2AC的模长为√((-7)^2 + 8^2 + (-10)^2) = √149。

2. 向量a + b = (2i - j + 3k) + (i - 3j + 2k)= 3i - 4j + 5k那么向量a + b的模长为√(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √50。

3. 三角形ABC的面积可以通过向量积来计算。

首先计算向量AB与向量AC的向量积：AB × AC = (i - j + 2k) × (3i + j - 4k)= ((-1)(-4) - 2(1))i - (1(3) - (-4)(-1))j + ((1)(1) - (-1)(3))k= (-2i - 7j + 4k)那么三角形ABC的面积为|AB × AC| / 2 = |(-2i - 7j + 4k)| / 2 = √(4 + 49 + 16) / 2 = √(69) / 2。

空间向量练习题(一)

空间向量练习题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足312423AP AB AD AE =++，则P 到AB 的距离为（）A ．34B ．45C ．56D ．352．已知平面α过点()1,1,2A ，它的一个法向量为()3,0,4n =-，则下列哪个点不在平面α内（）A ．()5,5,5B ．()9,7,8C ．()–7,2,8-D ．()3,0,1--3．在四面体O －ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则log 3|xyz |等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若向量p 在空间的的一组基底{ }a b c ，，下的坐标是132( )，，，则p在基底{ }a b a b c +- ，，下的坐标是（）A ．(4 2 2)-，，B ．(2 1 2)，，C ．(2 1 2)-，，D ．132( )，，5．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A ．2B ．3CD 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC=++ D ．122233OG OA OB OC=++7．如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ⊥平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B ．10C ．10D 8．已知矩形,ABCD P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 满足12PM PC =，23PN PD = ．若MN x AB y AD z AP =++，则x y z ++=（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12二、多选题9．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a ⊗=⊗B ．()()a b a bλλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗10．（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯=.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯B ．AB AD AD AB⨯=⨯C ．6S BC AC =⨯ D ．111AC A D ⨯ 与1BD 共线11．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥,1BC AB AD CD ===，2BC PA ==，记四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，平面PAD 与平面PBC 的交线为,l BC 的中点为E ，则（）A ．l ∥BCB ．AB PC⊥C ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题12．在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是．14．若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB 等于.15．已知()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()7,5,c λ= ．若a 、b 、c三向量共面，则实数λ=．16．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1AC BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是.17．球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点Q 是侧棱PD 的中点，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，当空间四边形PMND 的周长最小时，点Q 到平面PMN 的距离为．四、解答题19．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -．(1)求向量AB与AC 夹角θ的余弦值；(2)求向量AB在向量AC 上的投影向量a ．20．图①是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=︒∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且1AC =(1)求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 的距离为5？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．21．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 上靠近点1A 的三等分点.（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E 所成角的正弦值为37，求二面角1E D C D --的余弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.(1)求证：直线//PB 平面AMC ；(2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.24．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．(1)求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．。

高三空间向量练习题

高三空间向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j - k，向量b = i - j + 4k，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量a与向量b的数量积可以通过向量的内积公式计算得出。

内积的计算方式为将两个向量对应分量相乘后相加。

a ·b = (2i + 3j - k) · (i - j + 4k)= 2i · i + 3j · (-j) - k · j + 2i · (-j) + 3j · (4k) - k · (4k)= 2 + 3 + 0 - 2 - 12 + 4= -5所以，向量a与向量b的数量积为-5。

2. 已知向量c = 3i + 2j + 4k，向量d = 5i + 6j + 2k，求向量c与向量d的向量积。

解析：向量c与向量d的向量积可以通过向量的叉乘公式计算得出。

叉乘的计算方式为以行列式形式表示，按照i、j、k的顺序展开。

c ×d = |i j k ||3 2 4 ||5 6 2 |= (2 × 2 - 4 × 6)i - (3 × 2 - 4 × 5)j + (3 × 6 - 2 × 5)k= -20i + 7j + 8k所以，向量c与向量d的向量积为-20i + 7j + 8k。

3. 已知向量e = 3i + 4j - 6k，向量f = 2i - 5j + k，求向量e与向量f 的夹角的余弦值。

解析：向量e与向量f的夹角的余弦值可以通过向量的内积和模长的乘积计算得出。

计算公式为：cosθ = (e · f) / (|e| × |f|)。

|e| = √(3^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(9 + 16 + 36) = √61|f| = √(2^2 + (-5)^2 + 1^2) = √(4 + 25 + 1) = √30e ·f = (3i + 4j - 6k) · (2i - 5j + k)= 3i · 2i + 4j · (-5j) - 6k · j + 3i · (-5j) + 4j · k - 6k · k= 6 - 20 - 0 - 15 + 4 - 6= -31cosθ = (-31) / (√61 × √30) ≈ -0.283所以，向量e与向量f的夹角的余弦值约为-0.283。

空间向量题目

空间向量题目一、已知空间向量a与向量b不共线，且向量c满足c = a + 2b，则下列说法正确的是？A. 向量a与向量c一定共线B. 向量b与向量c一定共线C. 向量a、b、c一定共面D. 向量a、b、c一定不共面（答案：C）二、空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，若向量AB = a，向量AD = b，则向量MN可以表示为？A. 0.5a - 0.5bB. 0.5a + 0.5bC. a - bD. 0.5(a + b)（答案：A，注：此题需根据向量加减法及中点公式判断）三、已知空间向量a、b、c，满足a ⊥ b，b ⊥ c，则a与c的关系是？A. a ⊥ cB. a // cC. a与c相交但不垂直D. a与c的关系不确定（答案：D）四、若空间向量a、b满足|a| = 2，|b| = 3，且a · b = -4，则a与b的夹角为？A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°（答案：C，注：利用向量夹角公式cosθ = a · b / (|a| * |b|)计算）五、已知空间向量a、b、c，若a × b = c，则下列说法错误的是？A. a、b、c三者相互垂直B. a、b不共线C. c的模等于a与b构成的平行四边形的面积D. c的方向垂直于a与b所在的平面（答案：A，注：叉乘结果c垂直于a和b，但a与b 不一定垂直于c）六、在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于原点对称的点B的坐标为？A. (-1,-2,-3)B. (1,-2,3)C. (-1,2,-3)D. (1,2,-3)（答案：A）七、已知空间向量a = (1,2,3)，b = (4,5,6)，则a与b的点积为？A. 32B. 14C. 20D. 28（答案：A，注：点积计算为a1b1 + a2b2 + a3b3）八、若空间向量a、b、c满足a × b = 0（零向量），则？A. a = 0或b = 0（零向量）B. a // bC. a ⊥ bD. a与b的关系不确定，但a、b中至少有一个是零向量（答案：C，注：叉乘为零向量意味着两向量平行或其中之一为零向量，但通常理解为垂直更符合几何意义）。

空间向量试题和答案

空间向量及运算一、选择题：1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设1123AC xAB yBC zCC =++，则x ＋y ＋z 等于 A ．1B ．23C ．56D ．1162．设a ＝(x ，4，3)，b ＝(3，2，z )，且a ∥b ，则xz 的值为 A ．9B ．－9C ．4D ．6493．已知A （1，2，－1）关于面xoy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则BC = A ．（0，4，2）B ．（0，－4，－2）C ．（0，4，0）D ．（2，0，－2）4．如图，在四面体O —ABC 中，是M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN = A ．121232OA OB OC -+ B ．112223OA OB OC +- C ．211322OA OB OC -++D ．221332OA OB OC +-5．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于A ．－1B ．－3C ．－5D ．－156．设空间四点O ，A ，B ，P ，满足,OP OA t AB =+ 其中0<t <1，则有A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上 7．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 等于 A ．1B ．15C ．35D ．758．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=则B 、C 、D 三点构成 A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定9．若向量,,MA MB MC 的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 为空间任一点），则能使向量,,MA MB MC 成为空间一组基底的关系是 A ．111333OM OA OB OC =++ B ．MA MB MC ≠+ C ．1233OM OA OB OC =++D ．2MA MB MC =-10．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，且sin α≠cos α，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题： 11．已知a ＝（2，－1，2），b ＝（2，2，1），则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为． 12．与向量a ＝（2，－1，2）共线，且满足方程a ·x ＝－18的向量x ＝． 13．若点A 、B 的坐标为A （3cos α，3sin α，1）、B （2cos θ，2sin θ，1）则 ||AB 取值范围． 14．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA OB OC OG λ++=，则λ＝．15．已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，则123123a a ab b b ++=++ ．三、解答题：16．(本题满分l2分)已知a ＝（1，1，0），b ＝（1，1，1），若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，试求b 1，b 2． 17．（本题满分12分）如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为31(,,0)22，点D 在平面yoz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°． ⑴求向量CD 的坐标；⑵求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．18．（本题满分14分）已知a ，b 是非零的空间向量，t 是实数，设u ＝a ＋t b ． ⑴当|u |取得最小值时，求实数t 的值；⑵当|u |取得最小值时，求证：b ⊥(a ＋t b )．19．（本题满分14分）如图，已知四面体O —ABC 中，E 、F 分别为AB ，OC 上的点，且AE ＝13AB ，F 为中点，若AB ＝3，BC ＝1，BO ＝2，且∠ABC ＝90°，∠OBA ＝∠OBC ＝60°，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．20．(本题满分14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．21．(本题满分14分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦；⑵求点A1到平面APC的距离．第十单元空间向量及运算参考答案二、填空题11．65 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．56三、解答题16．解：∵b 1∥a ，∴令b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1＝(1－λ，1－λ，1)，又∵b 2⊥a ，∴a ·b 2＝(1，1，0)·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0， ∴λ＝1，即b 1＝(1，1，0)，b 2＝(0，0，1)． 17．解：⑴过D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD cos60°＝1－12＝12，∴D 的坐标为（0，－12，32），又∵C （0，1，0），∴3(0,2CD =-⑵依题设有A 点坐标为A 1,0)2，∴33(,1,),(0,2,0)22AD BC =--=则cos ,5||||AD BC AD BC AD BC ⋅<>==-⋅．故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为105． 18．解：⑴∵22222222222()||||||2()||||()||||||a b a b u a tb a a b t t b b t a b b ⋅⋅=+=+⋅+=++-， ∴当t ＝2||a bb ⋅-时，|u |＝|a ＋t b |最小． ⑵∵222()||||()0()||a bb a tb a b t b a b b b a tb b ⋅⋅+=⋅+=⋅+-=∴⊥+． 19．解：∵12(),23BF BO BC OE BA BO =+=-， ∴222117||(||||2)(412||||cos60),444BF BO BC BO BC BO BC =++⋅=++︒=222744||;||||||4444,|| 2.293BF OE BA BO BA BO OE ==+-⋅=+-==又212213(||)(241)23322BF OE BA BO BO BC BA BC BO ⋅=⋅-+⋅-⋅=--=-， ∴337cos ,14||||27BF OE BF OE BF OE ⋅-<>===-，故异面直线OE 与BF 所成的角的余弦值为3714． 20．解：⑴设BP ＝t ，则222(2),22(2),CQ t DQ t =--=---∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q 2211(22(2),2,0).(2(2),2,2),(2,2,2)t QB t PD t ---=---=-- 又∵11110BQ D P QB PD ⊥⇔⋅=， ∴2222(2)2(2)220,2(2)t t t t -----+⨯=--=即解得t ＝1，即P 、Q 分别为中点时，B 1Q ⊥D 1P ．⑵由⑴知PQ ∥BD ，且AC ⊥PQ ，设AC ∩PQ ＝E ，连C 1E ，∵CC 1⊥底面BD ，CE ⊥PQ ， ∴C 1E ⊥PQ ，即∠CEC 1为所求二面角O —PQ —C 1的平面角，易得1tan 22CEC ∠=． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A 1（2，0，0），B 1(1,3,0),(1,3,)P z ，13(,,2),(0,0,2),(2,0,2)22M C A由A 1P ⊥B 1M 知110A PB M ⋅= ∴13131(1,3,)(,,2)20,,22222z z z -⋅--=-+=∴= 即点P 的坐标为P 1(1,3,)2． ⑴设平面APC的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由20,0,3(0,,).3230,0,2x n CA n z z x y z n CP =⎧⎧⋅=⎪⎪∴=⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩即取z ＝－1，则有n ＝3(0,,1)2--，方向指向平面APC 的左下方，又11(1,3,)2PA =--，111cos,119||PA nPA nPA n⋅<>===⋅．设直线A 1P与平面APC所成角为α，则sin119α=．⑵1||1A P=+=，设A1到平面P AC的距离为d，则1||sin27d A Pα====．。

高考数学空间向量例题15页

高考数学空间向量例题15页一、单选题(本大题共 8小题，共 40分)1.(5分) 如图,点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点, OA ⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗ =c ,则为()A.12(a +b ⃗ )−c B.12(c +a )−b ⃗ C.12(b ⃗ +c )−a D.a +12(b ⃗ +c ) 2.(5分)在三棱锥O-ABC 中, OA ⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗ =c ,AM⃗⃗⃗⃗ =2MO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 为BC 中点,则 MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.12a −23b ⃗ +12c B.−13a +12b ⃗ +12cC.12a +12b ⃗ −12c D.13a +23b ⃗ −12c 3.(5分) 已知点M(0,1,3), N(-1,- 2,4), 则 ()A.(1,3,- 1)B.(1,3,1)C.(-1,-3,1)D.(1,-3,- 1)4.(5分) 已知A, B, C 三点不共线,对空间内任意一点O,若( ,则P,A, B, C 四点()A.不共面B.共面C.不一定共面D.无法判断是否共面5.(5分) 如图已知正方体ABCD -A'B'C'D'中,E 是CC'的中点, a=12AA ⃗⃗⃗ ′,b =12AB ⃗⃗⃗ , c =13AD ⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗ =xa +yb +zc ,则( )A. x=1, y=2, z=3B.x =12,y =1,z =1 C. x=1, y=2, z=2 D.x =12,y =1,z =326.(5分)如图所示，在平行六面体 ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中, ()A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1B.DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.BA ⃗⃗⃗⃗⃗7.(5分)在正四面体PABC 中，点O 为4ABC 的中心，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点,则 NO ⃗⃗⃗=()A.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC⃗⃗⃗⃗⃗ C.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.13PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(5分)如图,在平行六面体ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中,M 为A ₁C ₁与B ₁D ₁的交点,若(则下列向量中与相等的向量是()A.−12a +12b ⃗ +c B.−12a −12b ⃗ +c C.12a +12b ⃗ +c D.12a −12b ⃗ +c 二、多选题(本大题共5小题，共 25分)9.(5分) 在长方体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中,则 ()A.A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1−D 1C 1⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1D.B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 10.(5分)在四面体PABC 中，下列说法正确的是()A.若 AD ⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗ ,则 BC ⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗B.若点 Q 为△ABC的重心,则.C.若则 0D.若四面体PABC 的各棱长都为2, M, N 分别为PA, BC 的中点,则|11.(5分) 在平行六面体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁中, ∠BAD =∠A 1AB =∠A 1AD =π3,各棱长均为1，则下列命题中正确的是( )不是空间的一个基底B.⟨AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1⟩=23π C.|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1|=√2 D. BD⊥平面ACC ₁A ₁12.(5分)对于向量和实数，下列命题中的假命题是()A.若 0 则 0或 0B.若 0则λ= 0或 0C.若则或D.若则是锐角13.(5分)如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A ₁B ₁C ₁D ₁,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A.(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2B.AC⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 C.向量与的夹角60° 与所成角的余弦值为 √三、填空题(本大题共5小题，共 25分)14.(5分)已知A, B, C, D 为空间中任意四点,化简( ( )( ) .15.(5分)如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M, N 分别为OA, BC 的中点，点G 在线段MN 上，且若则x+y+z= .16.(5分)已知空间向量 a =(1,2,3),b =(3,−1,2),c=(−1,0,1),则 . 17.(5分)在四面体O-ABC 中, OA ⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗ =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则 (用表示)18.(5分)已知向量( {,,} {,0,} 若则实数k= .四、解答题(本大题共5小题，共 60分)19.(12分)如图,四棱锥P-OABC 的底面OABC 是矩形, PO⊥平面OABC,设( , E, F 分别是PC, PB 的中点,试用{ { , , }表示20.(12分)已知四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形,E 为棱PC 上的点,且CE =2 EP,试用表示向量(21.(12分)已知 a =(1,0,−1),b=(−1,1,2). (1)求与a 的夹角的余弦值.(2)若与平行，求k 的值.(3)若与垂直，求k 的值.22.(12分)如图,在三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中,D是棱B₁C₁的中点,设=a ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗,AA⃗⃗⃗⃗⃗ 1=c.(1)试用向量表示向量.(2)石AD=AL=AA1=3, ∠BAL=∠A1AD=∠A1AL=60°, 水|BE|.23.(12分)在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中,AB=4,AD=6,AA′=8,∠BAD= 90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,P是CC₁的中点.(Ⅰ)用'表示(Ⅱ)求AP的长.。

(完整word版)空间向量练习题

空间向量在立体几何中的应用【知识梳理】1、已知直线12,l l 的方向向量分别为12,v v ，平面,αβ的法向量分别为12,n n ，则（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ ；（3）若直线12,l l 的夹角为θ，则cos θ= ；（4）1//l α⇔ ；（5）1l α⊥⇔ ；（6）若直线1l 与面α的成角为θ，则sin θ= ；（7）//αβ⇔面面；（8）αβ⊥⇔面面；（9）若αβ面与面成二面角的平面角为θ，则。

2、（1）三余弦定理：；（2）三垂线定理（及逆定理）：；（3）二面角的平面角定义（范围）：；【小试牛刀】1、A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是(2、向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直平行以上都不对3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A .－21a +21b +c B .21a +21b +c C .21a －21b +c D .－21a －21b +c 4.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OM --=23 B.513121++=C.0=+++OMD.0=++5.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41 B.41- C.43 D.43-6.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.17.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453 D.4538.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BDC .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为A .3 B .552 C .5 D .510.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为．14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 .15、已知()()2,4,,2,,26a x b y a b ===⊥，若a 且，求x y +值.俯视图侧视图正视图EDCBAP16如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值（3）求证：A 1B ⊥C 1M .17.如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：（1）直线//EF 面ACD ；（2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．D 'C 'B'A'P D CBA参考答案1、C 2、C3.)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.4.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x z y x C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在MC MB MA MC y MB x MA y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 5.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且,41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴故选B . 6.B 7.B 8.D 9.D 10.4,cos ==><=AC AB5==,故选A11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-=⋅=⋅=⋅===0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系设平面P AD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==. 15、解：由22262436a x =⇒++=，又0a b a b ⊥⇒⋅=即4420y x ++= 由①②有：4,34,1x y x y ==-=-=或13x y ∴+=-或16、如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，E F ⊄面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，，由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m =，所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，．（1）因为0011cos 2DH CC +⨯'<>==，，所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，，所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC 又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,DE DA BA BE =-===-设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,'a b =-令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π.。

空间几何与向量练习题及解析

空间几何与向量练习题及解析一、选择题1. 已知向量A = 3A + 2A− A，向量A= −2A + A + 3A，求A与A的数量积A·A的值为：A. 1B. -1C. -10D. 10解析：数量积公式为：A·A = AAAA + AAAA + AAAA，其中AA、AA、AA分别表示向量A和A的A、A、A分量的乘积。

带入已知的A和A的分量进行计算：A·A = (3)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -6 + 2 - 3 = -7答案：选项A. 12. 在空间直角坐标系中，已知点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)，向量A的末端与向量A的起点重合，A·A的值为：A. 3B. 17C. 11D. -9解析：点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)可以确定唯一的向量A和A。

根据数量积A·A的定义，可以先求出A和A的分量，然后进行运算：A·A = (2)(-1) + (1)(4) + (3)(2) = -2 + 4 + 6 = 8答案：选项B. 17二、填空题1. 设向量A = 2A + 3A− A，向量A = 4A + A，若A = A + AAA，则A和A分别为______、______。

解析：根据已知条件，A的A分量为-1，而A的A分量为1。

因此A = 4，A = -1。

答案：4、-12. 已知点A(1, 2, 3)和点A(4, -1, -2)，则向量AA的大小为________。

解析：向量AA可以由终点坐标减去起点坐标得到，即AA = (4-1)A + (-1-2)A + (-2-3)A = 3A - 3A - 5A。

根据向量的模的定义，可以得到：|AA| = √((3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 9 + 25) = √43答案：√43三、计算题1. 已知向量A = 3A - 2A + 4A，向量A = A + A，求向量A与向量A 的夹角A的余弦值cos A。

(完整版)空间向量小题(答案)

第3章(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ＝(x,2y,3)，b ＝(1,1,6)，且a ∥b ，则x ＋y 等于( ) A.12 B.34 C.32D ．2解析： ∵a ∥b ，∴x ＝2y ＝36，∴x ＝12，y ＝14.∴x ＋y ＝34.答案： B2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2 解析： a ＋λb ＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)，因为(a ＋λb )·a ＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1) ＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0，所以λ＝－2. 答案： D3．若向量(1,0，z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25，则z 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解析：由题知1，0，z ·2，1，01＋z 2·5＝25，21＋z 2·5＝25，1＝1＋z 2，∴z ＝0. 答案： A4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1－e 2，d ＝3e 1＋2e 2＋e 3({e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底)，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A.52，32，－1 B.52，12，1 C ．－52，12，1D.52，－12，1 解析： d ＝x a ＋y b ＋z c ＝x (e 1＋e 2＋e 3)＋y (e 1－e 2－e 3) ＋z (e 1－e 2)．∴{ x ＋y ＋z ＝3，x －y －z ＝2，x －y ＝1，∴⎩⎨⎧x ＝52，y ＝32，z ＝－1答案： A5．若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析： ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ， ∴l ⊥α，故选B. 答案： B6．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zC ′C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23 解析：如图，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋BC →－C ′C →，所以x ＝1,2y ＝1,3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案： B7．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析：以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)．∴BE →＝(0，－1,1)，CD 1→＝(0，－1,2)．∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →||CD 1→|＝32×5＝31010.故选C.答案： C8．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°解析：设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量． ∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)， ∴{ －5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝727＝12，∴θ＝30°.故选C.答案： C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.13 C.32D.33解析：以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．又可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD ，又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13.故选B.答案： B10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.23D.55解析：因为A 1B 1∥EF ，G 在A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 的距离即为A 1到平面D 1EF 的距离，即是A 1到D 1E 的距离，D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55.故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 解析：因为a －2b ＝(8，－5,13)，所以|a －2b |＝82＋－52＋132＝258.答案：25812．设a ＝(2，－3,1)，b ＝(－1，－2,5)，d ＝(1,2，－7)，c ⊥a ，c ⊥b ，且c ·d ＝10，则c ＝________.解析：设c ＝(x ，y ，z )，根据题意得{ 2x －3y ＋z ＝0，x －2y ＋5z ＝0，x ＋2y －7z ＝10.解得⎩⎨⎧x ＝6512，y ＝154，z ＝512.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫6512，154，512 13．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是________．解析：以C 为坐标原点，CA 、CB 、CP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95，所以AB →＝(－4,3,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，0，95，所以AP →在AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以P 到AB 的距离为d ＝|AP |2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案： 3。

空间向量的模拟试题

空间向量的模拟试题题目一：向量运算已知向量a= −2a + 3a + 4a和向量a = 5a− 2a + a，计算以下向量运算：1. a + a2. a− a3. a ·a（内积）4. a ×a（叉积）解答：1. a + a:(−2a + 3a + 4a) + (5a− 2a + a)= (−2 + 5)a+ (3 − 2)a + (4 + 1)a= 3a + a + 5a2. a− a:(−2a + 3a + 4a) − (5a− 2a + a)= (−2 − 5)a + (3 + 2)a+ (4 − 1)a= −7a + 5a + 3a3. a ·a:(−2a + 3a + 4a) · (5a− 2a + a)= −10 − 6 + 4= −124. a ×a:使用右手定则，得到:a ×a = (3a)(a) − (4a)(−2a) + (−2a)(−2a)= 3a + 11a + 8a题目二：向量投影已知向量a = 2a + a + 3a和向量a = 3a− a + 2a，求向量a在向量a上的投影。

解答：向量a在向量a上的投影记为 proj a(a)。

根据向量投影的公式，可以计算出投影向量：proj a(a) = a ·a / |a|² * a其中，|a| 表示向量a的模长。

首先计算 |a| 的值：|a| = √(3²+ (−1)² + 2²) = √14然后计算a ·a的值：a ·a = (2a + a + 3a) · (3a− a + 2a)= 6 − 1 + 6= 11最后，代入公式计算投影向量：proj a(a) = 11 / (14) * (3a− a + 2a)= (33/14)a− (11/14)a + (22/14)a= (33/14)a− (11/14)a + (11/7)a题目三：向量夹角已知向量a = 2a− a和向量a = 3a + 4a，求向量a和向量a的夹角的余弦值。

空间向量练习题

空间向量练习题一、选择题1. 空间中两个向量a和b的夹角为60°，|a|=3，|b|=4，求向量a和b的点积。

A. 6B. 7C. 8D. 92. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，求向量a和b的叉积。

A. (7,0,-1)B. (-1,7,0)C. (0,-1,7)D. (1,-7,0)3. 空间向量a和b共线，且|a|=2|b|，若a=(2,-3,4)，则b的可能值为：A. (1,-1.5,2)B. (-1,1.5,-2)C. (-2,3,-4)D. 以上都是二、填空题4. 若空间向量a=(2,3,4)，求向量a的模。

__________。

5. 已知向量a=(1,0,1)，b=(2,1,0)，求向量a和b的夹角的余弦值。

__________。

6. 空间向量a=(3,-1,2)，b=(1,2,-3)，求向量a和b的混合积。

__________。

三、计算题7. 空间中有三个点A(1,2,3)，B(4,-1,2)，C(-2,3,5)，求向量AB和AC的点积。

8. 已知空间向量a=(1,1,1)，b=(2,3,4)，求向量a和b的夹角。

9. 空间中四个点A(2,1,0)，B(3,2,1)，C(1,3,2)，D(0,1,3)，求向量AB和CD的叉积，并求该叉积向量的模。

四、简答题10. 简述空间向量的基本性质，并给出两个空间向量正交的条件。

11. 解释空间向量在三维几何问题中的应用，并举例说明。

五、证明题12. 证明：若空间向量a，b，c两两垂直，则存在唯一的实数λ，μ，ν，使得a+λb+νc=0。

六、应用题13. 在空间直角坐标系中，点P(2,-1,3)，Q(-1,4,-2)，R(3,2,5)，求三角形PQR的面积。

14. 已知空间向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，c=(7,8,9)，求向量a在向量b和c上的投影。

七、探索题15. 探索空间向量在解决立体几何问题中的优势，并给出具体的应用场景。

空间向量练习题(二)

空间向量练习题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．B ．2⎢⎣C ．4⎡⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦2．如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在体对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点，则当P 最小时，点P 的坐标为（）.A ．112,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,0C ．()0,0,1D ．111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭3．将边长为1的正方形11AAO O 及其内部绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则直线1B C 与平面11OAAO 所成的角的正弦值为（）A B C ．2D 4．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且13,24MN ON AP AN ==，设向量OP xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．1112B ．1C ．34D ．565．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若OD kOA = ，OE mOB =，OF nOC = ，则111k m n++=（）A ．133B ．23C ．32D ．926．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 二、多选题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P ，Q 分别为AB ，1CC 的中点，R 在直线11A D 上，且111A R A D λ=，PQR 的重心为G ，则（）A ．若G 在平面11CDD C 内，则3λ=B ．若1B ，G ，D 三点共线，则1λ=C ．若DG ⊥平面PQR，则12λ=D ．点G 到直线11A D8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A ．11BD AA AD AB=+- B ．1BD =C ．1AC BD⊥D ．直线1A C ⊥平面11BDD B 9．下列选项正确的是（）A ．空间向量()1,1,2a =-与向量()2,2,4b =-- 共线B ．已知向量()2,,4a x = ，()0,1,2b = ，()1,0,0c = ，若a ，b ，c共面，则2x =C ．已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a 在b 方向上的投影向量为12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是（）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，14AB AC AA ===，点,,G E F 分别是11A B 、1CC 、AB 的中点，点D 是AC 上的动点.若GD EF ⊥，则线段DF 长度为.13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于．14．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足λ=BN BA ()1BC λ+- ，则点M 与平面BCD 的位置关系是；当AM最小且BN uuu r 最小时，AM MN ⋅=．16．已知点P 为棱长等于4的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且4PA = ，则11PC PD ⋅ 的值达到最小时，1PC 与1PD夹角的余弦值．17．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为是2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，点P 在线段11A C 上，且平面1B CP ⊥平面11ACC A ，则111AC PC =．四、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB所成的角的余弦值为5，求点P 到平面AEF 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．20．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点.1AB SM ==，2BC =.(1)求证；AM SD ⊥；(2)求直线SA 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)在线段SD 上是否存在点P ，使得面AMP ⊥面SCD ，若存在，求:SP SD 的值；若不存在，说明理由.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11AAC C ，AB AC ⊥，12AA AB AC ===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若3BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．在斜三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又已知11BA AC ⊥.(1)证明：⊥BC 平面11ACC A ．(2)求平面1AA B 和平面1A BC 的夹角的余弦值23．如图所示，四棱锥S -ABCDP 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。