高三数学精准培优专题练习18：离心率
高考数学专题十八离心率精准培优专练理
培长处十八离心率1．离心率的值22例 1：设 F 1 ， F 2 分别是椭圆x y的左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段C :a 2b 21 a b 0PF 1 的中点在 y 轴上，若PF 1 F 230 ，则椭圆的离心率为（）A ．3B ． 3C ．1D ．13636【答案】 A【分析】 此题存在焦点三角形△PF 1F 2 ，由线段 PF 1 的中点在 y 轴上， O 为 F 1F 2 中点可得PF 2∥y 轴，进而 PF 2F 1 F 2 ，又因为 PF 1F 2 30 ，则直角三角形 △PF 1F 2 中，PF 1 : PF 2 : F 1 F 2 2:1: 3 ，且 2a PF 1PF 2 ， 2cF 1F 2 ，因此ec 2c F 1F 23，应选 A ．a 2aPF 1 PF 232．离心率的取值范围例 2：已知 F 是双曲线x2 2ya 0,b 0 的左焦点，E 是该双曲线的右极点，过点Fa 2b 21且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若 △ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为（）A ． 1,B ． 1,2C ． 1,1 2D ． 2,12【答案】 B【分析】 从图中可察看到若 △ABE 为锐角三角形， 只要要AEB 为锐角． 由对称性可得只要0,π即可．且 AF ，FE 均可用 a ，b ，c 表示， AF 是通径的一半， 得： AF2AEFb ，FE a c ，AF b 2 c 2 a 2 c a ，即 e1,2 ，应选 B ．因此 tan AEFa a c1c 11 e 2FEa aa对点增分集训一、单项选择题1．若双曲线 C :x 2 y 20,b 0的一条渐近线经过点 2, 1 ，则该双曲线 C 的离心率22 1 aab为（ ）A ． 10B ． 5C ．13 D ．522【答案】 D【分析】 Q 双曲线的渐近线过点2, 1 ，代入 ybx ，可得：12b ，aa即b1 ，225，应选 D ．ec 1ba2a 2a 222．倾斜角为 πx 2 y 2 1 a b0 右焦点 F ，与椭圆交于 A 、 B 两点，且的直线经过椭圆 224a buuur uuurAF 2 FB ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3 D ．3 3232【答案】 Axc2 t【分析】 设直线的参数方程为2 ，代入椭圆方程并化简得2yt21 212224 ，2abt2b ct b 02因此 t 1t 2 2 2b 2 c ， t 1 t 22b 4uuuruuur2t 2 ，代入上述韦达定理，a 2b 2 22 ，因为 AF2 FB ，即 t 1a b22 ， c 2．应选 A ．化简得 8c 2 a 2b 2 ，即c2a 9a33．《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 第九章“勾股”， 叙述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设F1、 F2分别是双曲线2y 2x2 1 a 0,b0 ，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF1， PF2分别2ba是 Rt△F1 PF2的“勾”“股”，且PF1 PF2 4ab ，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C． 2D．5【答案】 D【分析】由双曲线的定义得PF1 PF22a ，因此PF1PF224a 2，222 PF1 PF24a 2，由题意得PF1PF222F1F22即 PF1PF2，因此 PF1PF24c2，又 PF1PF24ab ，因此 4c28ab4a2，解得 b2a ，进而离心率 e c 5 ，应选 D．a22x y1 a0,b0的一个焦点 F 与抛物线C2: y2 2 px p 04．已知双曲线 C1 : 22的焦点a b同样，它们交于A，B 两点，且直线AB 过点 F ，则双曲线 C1的离心率为（）A．2B．3C． 2 1D． 2【答案】 C【分析】设双曲线 C1的左焦点坐标为 F 'c,0，由题意可得：F c,0， c p ，2则 A p, p ， B p ,p ，即 A c,2c， B c,2c ，22又： AF'AF2a ， AF ' F ' F 222222c ，AF2c2c据此有： 22c2c2a，即 2 1 c a ，则双曲线的离心率：c12 1 ．此题选择 C 选项．e21a225．已知点 P x0 , y0 x0ax y0 上，若点M为椭圆 C 的右极点，在椭圆 C : a2 b 2 1 a b且 PO PM （ O 为坐标原点），则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）3B ． 0,1C ．2D ． 0,2 A ． 0,,1232【答案】 C【分析】 由题意 POPM ，因此点 P 在以 OM 为直径的圆上，圆心为a,0 ，半径为 a，22因此圆的方程2y2为： xaa ，224b 2 2 20,a 上有解，与椭圆方程联立得：12 x ax b 0 ，此方程在区间a因为 a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，因此对称轴要介于a与 a 之间，2因此aaa ，联合 abc ，解得121 ，2a2222 b 22 2c 21a 2依据离心率公式可得21 ．应选 C ．e2226．已知椭圆x2y 2 1 a b 0 ，点 A ， B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得abAPB 120 ，则该椭圆的离心率的最小值为（）A ．2 B ． 3C ．6D ．32234【答案】 C【分析】 设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得AMB APB120 ，即 AMO60 ，因为 tanOMAa a tan603 ， a222， 2a 23c 222 b，因此3b ，a 3 a c，e，b3e6，应选 C ．3x 227．已知双曲线y1的左，右焦点分别为F 1， F 2，点P 在双曲线的右支上，且a 2b 2PF 1 4 PF 2 ，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ． 2D ．7333【答案】 B【分析】 由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a①；又 PF 1 4 PF 2 ，②联立①②解得 PF 18 a ， PF 2 2 a ，3364 a 2 4 a 24c 29在 △PF 1F 2 中，由余弦定理，得 cos F 1PF 29 917 2，828 e2 a a833要求 e 的最大值，即求 cos F 1 PF 2 的最小值，当 cos F 1 PF 21 时，解得 e5，即 e 的最大值为5，应选 B ．33解法二：由双曲线的定义知 PF 1 PF 2 2a ①，又 PF 1 4 PF 2 ，②，联立①②解得PF 18a ， PF 22a ，因为点 P 在右支因此 PF 2c a ，即 2a ca 故 5a c ，即 e 的3333最大值为 5，应选 B ．3228．已知椭圆x2y2 1 ab0 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 在椭圆上， O 为坐标ab原点，若 OP12）F 1 F 2 ，且 PF 1 PF 2a ，则该椭圆的离心率为（2A ．3B ． 3C ．1D ．2 4222【答案】 D【分析】 由椭圆的定义可得， PF 1 PF 2 2a ，又 PF 1 PF 2a 2 ，可得 PF 1PF 2a ，即 P 为椭圆的短轴的端点，OPb ，且 OP1 c ，即有 c ba 2c22c ， ec 2 F 1F 2，即为 aa．应选 D ．22 229．若直线 y2 x 与双曲线x2y 21 ab0 有公共点， 则双曲线的离心率的取值范围为ab（ ）A ．1,5B ．1,5C ．5,D ．5,22bx ，【分析】 双曲线xy 1 ab 0 的渐近线方程为 ya 2b 2abcb2由双曲线与直线 y2 x 有交点，则有 2 ，即有 e 1+ 1 45 ，aaa则双曲线的离心率的取值范围为 5,，应选 D ．10．我们把焦点同样且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“有关曲线”．已知 F 1，F 2是一对有关曲线的焦点，e 1 ， e 2 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点， F 1 PF 2 60 ，则双曲线的离心率 e 2（ ）A ． 2B ． 2C ． 3D ． 3【答案】 C【分析】 设 F 1 c,0 ， F 2 c,0 ，椭圆的长半轴长为 a ，双曲线的实半轴长为 m ，可得 PF 1PF 2 2a ， PF 1 PF 2 2m ，可得 PF 1 a m ， PF 2 a m ，由余弦定理可得 F 1 F 2 2PF 1 2PF 2 22PF 1 PF 2 cos60 ，即有 4c 2a m2a m23m 2 ，a m a m a 2由离心率公式可得 13 4 ， e 1 e 2 423 0 ，解得 e 23 ，应选 C ．e2e21，即有 e 24e 21 211．又到了大家最喜（ tao ）爱（ yan ）的圆锥曲线了．已知直线 l : kxy 2k 1 0 与椭圆x 2y 21 a b 0 交于 A 、B 两点，与圆 C2 : x22y 21交于 C 、D 两点．若C 1: 221abuuur uuur存在 k 2, 1 ，使得 AC DB ，则椭圆 C 1 的离心率的取值范围是（）A ． 0,1B ． 1,1C ． 0,2 D ．2,12222【答案】 C【分析】 直线 l : kx y 2k 1 0 ，即 k x 2y 1 0 ，Q 直线 l 恒过定点 2,1 ， 直线 l 过圆 C 2 的圆心，uuur uuurC 2 B ， C 2 的圆心为 A 、 B 两点中点，Q AC DB ， AC 2x 1 2 y 121 ， 设 A x 1 , y 1 ， B x2 , y 2 ， a 2 b 2x 2 2 y 2 21a2b2上下相减可得：x 1x 2 x 1 x 2 y 1 y 2 y 1y2，a 2b 2化简可得x 1 x 2b 2 y 1 y 2k ， 2b 2 k ，y 12x 1x 2a 2y 2 a22b 2 k 1 ,1 ， e b0, 2 ，应选 C ． a22a 222212．已知点 P 为双曲线xy 1 ab 0 右支上一点，点F 1 ， F 2 分别为双曲线的左右焦a 2b 2点，点 I 是 △PF 1 F 2 的心里（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 S △ IPF 1S △ IPF 2 1S △IF 1 F 2 建立，则3双曲线的离心率取值范围是（）A ． 1,2B ． 1,2C ． 0,3D ． 1,3【答案】 D【分析】设 △PF 1F 2 的内切圆半径为 r ，由双曲线的定义得 PF 1PF 2 2a ， F 1F 22c ，S △ PF 1 PF 1 r ，S △ PF1PF 2r ， S △PF F1222c r cr ，1221 2由题意得 1 PF 1 r1 PF2 r 1 cr ，故 c3 PF 1 PF 2 3a ，2 23 2故 ec3 ，又 e 1 ，因此，双曲线的离心率取值范围是1,3 ，应选 D ．a二、填空题2 213．已知抛物线 y 2 2 px p 0 与双曲线xyF ，点A 是22 1 a 0, b 0 有同样的焦点a b两曲线的一个交点，若直线 AF 的斜率为 3 ，则双曲线的离心率为 ______．【答案】7 23【分析】 如下图，设双曲线的此外一个焦点为 F 1 ，因为 AF 的斜率为 3 ，因此BAF60 ，且 AFAB ，因此 △ABF 是等边三角形，因此F 1 BF 30 ，因此 BF 12 3c ， BF4c ，216c 2 4c 2 2 4c 2c cos120 28 ，因此 AF 1因此 AF 1 2 7 c ，由双曲线的定义可知2a 2 7c 4c ，因此双曲线的离心率为7 2 ．32214．已知双曲线xy1 a0,b0 ，其左右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若 M 是该双曲线右支a 2b 2上一点，知足 MF 13，则离心率 e 的取值范围是 __________ ．MF 2【答案】 1,2【分析】 设 M 点的横坐标为x ，∵ MF 13 ， M 在双曲线右支上 x a，依据双曲线的第MF 2二定义，22可得 3e xaa， ex2a ，e xccQ x a ， ex ea ， 2a ea ， e 2 ， Q e 1 ， 1 e 2 ，故答案为 1,2 ．2 215．已知椭圆xy0 的左、右焦点分别为F 1，F 2 ，过 F 1 的直线与椭圆交于A ，a2b 21 a bB 的两点，且 AF 2x 轴，若 P 为椭圆上异于 A ， B 的动点且 S △ PAB 4S △ PBF 1 ，则该椭圆的离心率为 _______．【答案】33【分析】 依据题意，因为 AF 2x 轴且 F 2 c,0 ，假定 A 在第一象限，则 Ac,b 2，a过B 作 BC x 轴于 C ，则易知 △AF 1F 2 ～△ 1BFC ，由 △PAB△得 AF3 BF，因此 AF2 3 BC，F F3 CF，S 4 S PBF 1111 21因此 B5 c, b 2 ，代入椭圆方程得 25c 2 b 21 ，即 25c2 b 2 9a 2 ，3 3a 9a 2 9a 2又 b 2a 2 c 2 ，因此 3c 2a 2 ，因此椭圆离心率为 ec3 ．a3故答案为3 ．3x 2 216．在平面直角坐标系 xOy 中，记椭圆y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1，F 2，若a22b该椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1F 2 P 为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范 围是 ____________ ．【答案】1 1 1 3 , U ,122【分析】 椭圆上恰巧有 6 个不一样的点 P ，使得 △F 1 F 2 P 为等腰三角形， 6 个不一样的点有两个为椭圆短轴的两个端点，此外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设 P 在第一象限， PF 1 PF 1 ，当 PF 1 F 1 F 2 2c 时， PF 2 2a PF 1 2a 2c ，即 2a 2a 2c ，解得 e1 ，2又因为 e 1 ，因此1e 1 ，2当 PF 2 F 1 F 2 2c 时， PF 1 2a PF 2 2a 2c ，即 2a 2c 2c 且 2ca c ，解得： 1e1 ，32综上1e 1 或1e1 ．2 32三、解答题x2 217．已知双曲线y1 a 0,b 0 的的离心率为3 ，则C :2b 2a（1）求双曲线 C 的渐进线方程．（2）当 a 1 时，已知直线 xy m0 与双曲线 C 交于不一样的两点 A ， B ，且线段 AB 的中点在圆 x 2y 25 上，求 m 的值．【答案】（ 1） y 2x ；（ 2） m1 ．【分析】（ 1）由题意，得 ec 3 ，c 2 3a 2 ，a2∴ b2c2a22a 2 ，即b22 ，a∴所求双曲线 C 的渐进线方程yb x 2x ．a2（2）由（ 1）适当 a1 时，双曲线2yC 的方程为 x1 ．2设 A ， B 两点的坐标分别为x 1 , y 1 ， x 2 , y 2 ，线段 AB 的中点为 M x 0 , y 0 ，由x2y 2 12 22 ，得 x 2 0 （鉴别式0 ），2mx mx ym 0∴x 0x 1 x 2m ， y 0x 0 m 2m ，2∵点 M x 0 , y 0 在圆 x 2 y 25 上，∴ m 225 ，∴ m 1 ．2mx 2 y 2218．已知椭圆2 1 a b 0 的左焦点为 F C : 2b 1,0 ，离心率 e ．a2（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．uuur uuur uuur uuur①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F ，交 y 轴于点 P ，且知足 PA AF ，PBBF ．求证：为定值；②若 OAOB ，求 △OAB 面积的取值范围．2 32 ．【答案】（ 1）xy21 ；（ 2）①看法析，② S △OAB222【分析】（ 1）由题设知， c2 ， c 1，因此 a22 ， c 1 ， b 2 1 ，a 22因此椭圆 C 的标准方程为x2 1 ．2y（2）①由题设知直线 l 斜率存在，设直线l 方程为 y kx 1，则P0,k ．2设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 l 代入椭圆 xy 2 1 得 1 2k 2 x 2 4k 2 x 2k 2 2 0 ，222uuur uuur uuur uuur因此 x 1x 24k 2 ， x 1 x 2 2k 22，由 PA AF ，PBBF 知1 2k1 2kx 1 ， x 2 ，x 21 x 11x 1 x 22x 1 x 24k 2 4k 2 41 2k 21 2k 24 ．1 x 1x 2x 1 x 24k22 k 2 212k 212k 21②当直线 OA ， OB 分别与坐标轴重合时，易知S△ OAB2 ．2当直线 OA ， OB 斜率存在且不为0 时，设 OA : ykx ，OB : y 1，xk设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，直线 ykx 代入椭圆 C 获得 x 22k 2 x 2 2 0 ，22因此 x1212， y122k，同理 x222k， y1222k212k 212k212k2S△ OAB 11k 21k 22OA OB1 2k2 2 k 22k45k 2，22令 t 1k2 1 ，则S△OABt 2t2112，2 t 1222t2t 1 1 195 t 121 1t24t2t2因为10,1，因此 29119，故 3S△ OAB2，综上3S△ OAB 2 ．t4t242222。
高三离心率提速练习题
高三离心率提速练习题一、填空题1. 圆的离心率是______。
2. 椭圆的离心率是______。
3. 双曲线的离心率是______。
二、选择题1. 下列哪个图形的离心率等于0？a. 圆b. 椭圆c. 双曲线2. 当椭圆的离心率为1时，该椭圆是一条：a. 圆b. 抛物线c. 双曲线3. 曲线的离心率越大，表示：a. 曲线越接近圆形b. 曲线越扁平c. 曲线越陡峭三、解答题1. 一椭圆的焦点分别是(-4,0)和(4,0)，离心率为2/3。
求此椭圆的方程。
2. 已知一双曲线的离心率为3/2，焦点到直线的距离为2。
求此双曲线的方程。
3. 画出离心率为1/2的椭圆和离心率为2的双曲线。
四、应用题某天，小明骑自行车以恒定的速度沿椭圆形跑道绕行。
已知此椭圆的焦点为A、B，小明起始点C与焦点A、B的距离分别为7m和9m。
小明从C点出发后，经过40秒后又回到C点。
试问小明此次跑道的周长是多少米？五、综合题在太阳系中，行星围绕太阳运动形成的轨道大致是一个椭圆。
已知地球绕太阳运行的平均速度为30km/s，并且地球和太阳的距离（称为半长轴）为1.496×10^8km，离心率为0.0167。
假设地球绕太阳的轨道是一个正椭圆，请回答以下问题：1. 地球离太阳最远时与最近时的距离分别为多少？2. 地球离太阳的距离是否处于任何一个固定的数值范围内？3. 地球绕太阳一周需要多长时间？4. 地球从最近点运动到最远点需要多长时间？5. 地球到最近点和最远点的距离差是多少？六、总结与归纳本练习题以高三离心率提速为题，涵盖了填空题、选择题、解答题、应用题和综合题等多个类型的题目。
通过解答这些题目，我们可以深入理解离心率概念，并应用到实际问题中。
此练习题旨在帮助学生巩固和提高对离心率知识的掌握程度，并培养解决实际问题的能力。
2019届高考数学专题十八离心率精准培优专练理 - 副本
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C ．13 D ．162．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,1+D ．(2,1 1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）A B C D 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．3 B ．2 C D 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1 D ．25．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D ．347．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =， 则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43 B ．53C ．2D ．73 8．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞ 10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）A B ．2 C D ．311．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> （1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值； ②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．。
2021高三数学(理)精准培优专项训练《18离心率》教师版
二、双曲线的离心率
例 2：已知双曲线 C : x2 ay2 3a a 0 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． a
B． 3
C． a 1 a
D． 2 3 a 0 ，得双曲线标准方程为 x2 y2 1 ， a 0 ，
3a 3
c2 3a 3 ，e 3a 3 a 1 ，故本题正确选项 C．
C． 8
D． 2 2
3
【答案】C
【解析】∵椭圆方程为 x2 y2 1 ，∴ a 2 ， 4
由椭圆定义知 △ABF2 的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 AF2 BF2 4a 8 ．
故选 C．
7．已知双曲线
y2 m2
x2 n2
1
(m 0, n 0) 的渐线方程为 y 2 x ，则此双曲线的离心率为（ 3
5．已知双曲线 x2 y2 a2 b2
1a 0,b 0 的离心率为
5 ，点 4,1 在双曲线上，则该双曲线的方程
2
为（ ）
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1 20 5
C． x2 y2 1 12 3
D． x2 y2 1 8
【答案】C
【解析】因为离心率为 5 ，所以 c 5 ①；
2
2
故选 C．
10．经过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b
0) 的右焦点，倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,
B． 1, 2
C． 1, 2
D． 2,
【答案】A
【解析】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
3．已知椭圆
x2 a2
第十八篇离心率01—2020年高考数学选填题专项测试(文理通用)(解析版)
2020高考数学选填题专项测试01（离心率）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·河北安平中学高三月考）已知m 是两个数2，8的等比中项，则圆锥曲线221yx m+=的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．2D 【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214y x +=，故离心率为2c e a ====；当4m =-时，曲线方程为2214y x -=，故离心率为c e a ====B ． 2．（2020·梅河口市第五中学高三）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A B C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o ，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABFAFBF FBF S S S ''∆∆∴==，又2224tan 45FBF b S b a ∆'===o ，可得：225c a =，25e ∴=e ⇒=。
【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.3．（2019·河北安平中学高三月考）设双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为α，且cos α=13，则C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】B 【解析】【分析】由0a b ＞＞，渐近线b y x a =的斜率小于1，从而判断渐近线的倾斜角为α，得到ba 的值，再根据222c ab =+，得到离心率． 【详解】∵0a b ＞＞，∴渐近线b y x a =的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为α，cos α=13， 222211cos ,sin ,tan 232322ααα===，∴2212b a =，所以22212c a a -=，∴232e =，∴e =． 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角α，判断渐近线的斜率，考查转化思想以及计算能力．4．（2020·山西高二月考）已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ．[)3,+∞ C．⎤⎦D．(【答案】A 【解析】【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a ，最后求出结果．【详解】设|PF 2|=m ，（m≥c ﹣a ），则：根据双曲线的定义：|PF 1|=2a+m ，所以212||PF PF =2(2)a m m +=24a m+4a+m≥8a 当且仅当m=2a 时成立．因为m≥c ﹣a ，所以c ﹣a≤2a ，即解得：1＜e≤3，故选A ． 【点睛】（1）本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．（2）求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.5．（2019·吉林长春外国语学校高二期中）已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．49B ．23C ．59D【答案】D【解析】因为12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足122249PA PA b ck k e a a⋅=-=-∴=既可以解得为D6．（2020·山西大同一中高三月考）若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线221yx a+=的离心率是（ ）ABCD ．13或10 【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得a 的值，分类讨论可求曲线的离心率．【详解】由1，a ，81成等比数列有：281a =，所以9a =±，当9a =时，方程为2219yx +=，表示焦点在y 轴的椭圆，其中13a =，1c =，故离心率11c e a ==；当9a =-时，方程为2219y x -=，表示焦点在x 轴的双曲线，其中21a =，2c ==，故离心率22c e a ==，故选择A . 【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.7．（2020·山东高三期末）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，若||2FM OF =，且120OFM ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．32B．12C ．2 D．12【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为1,F运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为1,F 由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=︒，即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠g222214424()122c c c c =+--=g g，即有1||MF =，由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，即有c =，可得c e a ==．故选D ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．（2020·河南南阳中学高三月考）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，11||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1]2D．1]【答案】C 【解析】【分析】设12,PF n PF m ==，计算13m n <，得到23m n n m <+…，计算得到答案. 【详解】设12,PF n PF m ==，由110,0x y >>知m n <，由()()1111,,,P x y Q x y --在椭圆C 上，2||2PQ OF =可知四边形12PFQF 为矩形，12QF QF =； 由113QF PF …13m n<，由椭圆的定义可得2222,4m n a m n c +=+=，平方相减可得()222mn a c =-，所以()2222242c m n m n mn n m a c +==+-，而23m n n m <+…，即()222422c a c <-…由()222422c a c <-可得222,2c a c e a <=>，由()222432c a c -…，可得22241)c a =-=…，所以1c e a =…1e <….故选：C .【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.9．（2020·河北衡水中学高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【详解】由题意知等腰ABP ∆中，||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆，∴2sin a θ=，∴sin θ=，cos θ=∴243sin 22,cos 22155θθ===⨯-=．设点P 的坐标为(,)x y ，则118(cos 2),sin 255a a x a AP y AP θθ=-+=-==，故点P 的坐标为118(,)55a a-．由点P 在双曲线上得2222118()()551a aa b -=，整理得2223b a =，∴3c e a ===．选C ． 点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得,a b 间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．10．（2020·江西临川一中高三月考）已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=u u u v u u u v，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.11．（2020·山西高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）A B C ．32D 1【答案】B【解析】【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，，可求得幂函数为()f x =方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是12ce a ===. 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，已知抛物线方程求焦点坐标，求幂函数解析式，直线的斜率公式及导数的几何意义，考查了学生分析问题和解决问题的能力，难度一般.12．（2020·黑龙江实验中学高三期末）设椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=u u u v u u u v，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．2⎣⎦ B．⎫⎪⎪⎣⎭C．1⎤⎥⎣⎦D．)1,1【答案】A 【解析】【分析】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知且0FA FB ⋅=u u u r u u u r，可得四边形AFBF ′为矩形，设|AF ′|=n ，|AF |=m ，根据椭圆的定义以及题意可知mn =2b 2 ，从而可求得22cb的范围，进而可求得离心率.【详解】设椭圆左焦点为F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=u u u r u u u r，即F A⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |=|FF ′|=2c .设|AF ′|=n ，|AF |=m ，则在Rt △F ′AF 中，m ＋n =2a ①，m 2＋n 2=4c 2 ②，联立①②得mn =2b 2 ③.②÷③得222m n c n m b +=，令m n =t ，得t ＋2212ct b=.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n =t ∈[1，2]，所以t ＋2212c t b =∈52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故椭圆C 的离心率的取值范围是23⎣⎦.【点睛】本题考查了椭圆的离心率的取值范围的求法，考查了椭圆焦点三角形问题，需掌握椭圆的定义，属于中档题.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C．(1,1D．(2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE ac =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B．2CD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a==D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ===，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥选C ．7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有c b ==a =，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B．(C．)+∞D．)+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有c e a =>=，则双曲线的离心率的取值范围为)+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ______．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 60BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，所以130F BF ∠=︒，所以1BF =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得ce a==223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△．【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OABS ==△因为()10,1t ∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤<△，综上32OAB S ≤<△．。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
高三离心率练习题
高三离心率练习题离心率是椭圆曲线的一个重要属性，它反映了椭圆形状的扁平程度。
在高三数学的学习中，离心率也是一个重要的知识点。
下面是一些关于高三离心率的练习题，供同学们加深对这一概念的理解。
练习题1：已知一个椭圆的长轴为6，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：椭圆的离心率e的计算公式是e = √(a^2 - b^2)/a，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
代入已知条件，可以得到e = √(6^2 -4^2)/6 = √(36-16)/6 = √20/6 ≈ 0.58。
练习题2：已知椭圆的离心率为0.75，长轴的长度是8，求短轴的长度。
解答：同样利用离心率的计算公式，可知0.75 = √(8^2 - b^2)/8。
通过解方程可以得到b ≈ 3.06。
练习题3：已知一个椭圆的长轴为10，离心率为0.6，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到0.6 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 6.67。
练习题4：若一个椭圆的长轴和短轴之和为16，离心率为0.8，求长轴和短轴的长度。
解答：设长轴长度为a，短轴长度为b，则离心率e = √(a^2 - b^2)/a，长轴和短轴之和可表示为a + b = 16。
根据这两个方程，可以解方程组得到a ≈ 12.25，b ≈ 3.75。
练习题5：已知一个椭圆的长轴为8，短轴为4，求该椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，可得e = √(8^2 - 4^2)/8 = √(64-16)/8 = √48/8 = √6 ≈ 2.45。
练习题6：已知椭圆的离心率为1.5，短轴的长度为6，求长轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可得1.5 = √(a^2 - 6^2)/a。
解方程可得a ≈ 17.82。
练习题7：已知一个椭圆的离心率为1，长轴的长度为10，求短轴的长度。
解答：根据离心率的计算公式，可以得到1 = √(10^2 - b^2)/10。
解方程可得b ≈ 0。
2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） AB 3C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::3PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ．2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．()2,12+【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a=，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．对点增分集训一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，222251c b e a a ∴=+，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） AB 2C 3D 3 【答案】A【解析】设直线的参数方程为22x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得22224112022a b t b ct b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以21222b c t t +=412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2228c a b =+，即2229c a =，2ca=A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ） AB 3C ．2D 5【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B 3C 21 D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，()()2222''2222AF F F AFc c c =++，据此有：2222c c a -=，即)21c a =，则双曲线的离心率：2121c e a ===-．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．2⎫⎪⎪⎝⎭D ．2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） AB 3C 6D ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan603a b ≥︒，3a b ∴≥，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥C ．7．已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．34BC ．12D【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．( B ．(5⎤⎦C ．)5,+∞D ．)5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b-=>>的渐近线方程为by x a =±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ） AB ．2C 3D ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，222b e a ⎛ ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△，由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 3______． 72+【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以123BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以127AF c =，由双曲线的定义可知2274a c c =-72+ 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______． 3 【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△，由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为3c e a == 3． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）2y x =±；（2）1m =±． 【解析】（1）由题意，得3ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程2by x x a=±=±．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴1202x x x m +==，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，离心率2e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）①见解析，②32OAB S ≤<△【解析】（1）由题设知，c a =1c =，所以22a =，1c =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知111x x λ=-+，221xx μ=-+，2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知2OAB S =△ 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+ ()2224222112252122OAB k S OA OB k k k k+=⨯==++++△， 令211t k =+>，则()()22222211112121512911242OABt t S t t t t t tt ===+--+-+⎛⎫+--- ⎪⎝⎭△因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故322OAB S ≤<△322OAB S ≤<△。
高三数学精准培优专题练习18：离心率
培优点十八 离心率1．离心率的值例1：设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3 C ．13D ．16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=︒，则直角三角形12PF F △中，1212::2:1:3PF PF F F =，且122a PF PF =+，122c F F =，所以1212232F F c c e a a PF PF ∴====+，故选A ． 2．离心率的取值范围例2：已知F 是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(1,12+D ．(2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭即可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2b AF a =，FE a c =+，所以()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++，即()1,2e ∈，故选B ．一、单选题1．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】Q 双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21ba -=-，即12b a =，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（ ） ABCD【答案】A【解析】设直线的参数方程为x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以12t t +=，412222b t t a b ⋅=-+，由于2AF FB =u u u r u u u r ，即122t t =-，代入上述韦达定理，化简得2228c a b =+，即2229c a =，c a =A ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设对点增分集训1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D【答案】D【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()22124PF PF a -=，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=，由题意得12PF PF ⊥，所以222212124PF PF F F c +==，又124PF PF ab ⋅=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率ce a=D ． 4．已知双曲线()2212210,0:x y C a b a b -=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A B C 1D ．2【答案】C【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2pc =， 则,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即(),2A c c ，(),2B c c -，又：'2AF AF a -=，'AF ，据此有：22c a -=，即)1c a =，则双曲线的离心率：1c e a ==．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为2a ，所以圆的方程为：22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立得：222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，此方程在区间()0,a 上有解，由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a 之间，所以22221a a a b a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合222a b c =+，解得221122a c <<，1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） ABCD ．34【答案】C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=︒，即60AMO ∠≥︒， 因为tan a OMA b ∠=，所以tan60a b ≥︒=，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，223e ≥，e ≥，故选C ． 7．已知双曲线22221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ② 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅，要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．8．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点， 若1212OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．34B ．3 C ．12D ．2 【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，又212PF PF a ⋅=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，OP b =，且1212OP F F c ==，即有22c b a c ==-，即为2a c =，2c e a ==．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()222210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．()1,5 B ．(1,5⎤⎦C ．)5,⎡+∞⎣ D ．()5,+∞【答案】D【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >，即有21+145c b e a a ⎛⎫==>+= ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率的取值范围为()5,+∞，故选D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=︒，则双曲线的离心率2e =（ ）AB ．2 CD ．3【答案】C【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒， 即有()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+， 由离心率公式可得2212134e e +=，121e e =，即有4222430e e -+=，解得2e =，故选C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆()()222:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， Q 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，AC DB =u u u r Q u u u r，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩， 上下相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-，222b k a -⋅=， 221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，e ⎛= ⎝⎦，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】D 【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =， 1112PF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122PF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥，故()12332c PF PF a ≤-=， 故3ce a=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ． 二、填空题13．已知抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF 的斜率为3，则双曲线的离心率为______． 【答案】72+ 【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，由于AF 360BAF ∠=︒，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以13BF c =，4BF c =， 所以2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=，所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点， 满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】设M 点的横坐标为x ，∵123MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义， 可得223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ex a ∴=，x a ≥Q ，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >Q ，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得222225199c b a a +=，即222259c b a +=，又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==．． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12e >， 又因为1e <，所以112e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-， 即222a c c ->且2c a c >-，解得：1132e <<，综上112e <<或1132e <<．三、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>（1）求双曲线C 的渐进线方程．（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．【答案】（1）y =；（2）1m =±．【解析】（1）由题意，得ce a=223c a ∴=， ∴22222b c a a =-=，即222b a=，∴所求双曲线C 的渐进线方程by x a=±=．（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2212y x -=．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由2212yxx y m-⎧=++=⎪⎨⎪⎩，得22220x mx m---=（判别式0Δ>），∴1202x xx m+==，002y x m m=+=，∵点()00,M x y在圆225x y+=上，∴()2225m m+=，∴1m=±．18．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点为()1,0F-，离心率2e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值；②若OA OB⊥，求OAB△面积的取值范围．【答案】（1）2212xy+=；（2）①见解析，②322OABS≤<△．【解析】（1）由题设知，2ca=1c=，所以22a=，1c=，21b=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=．（2）①由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为()1y k x=+，则()0,P k．设()11,A x y，()22,B x y，直线l代入椭圆2212xy+=得()2222124220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+，由PA AFλ=u u u r u u u r，PB BFμ=u u u r u u u r知111xxλ=-+，221xxμ=-+，2222121222121222444212124422111212k kx x x x k kk kx x x xk kλμ--++++++=-=-=--++++-+++．高三数学总复习精准培优专题练习11 ②当直线OA ，OB分别与坐标轴重合时，易知OAB S =△． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1:OB y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=， 所以212212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，212212y k =+212OAB S OA OB =⨯==△， 令211t k =+>，则OAB S ==△ 因为()10,1t∈，所以291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭，故32OAB S ≤△，综上32OAB S ≤<△．。
高三数学解析几何压轴题训练——离心率
高三数学解析几何压轴题训练——离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23 D.34[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示] 法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a. 又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n 2m ＝1，－c a ＋n m ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法 同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c (x ＋a )，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝maa －c，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A [解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233 C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ，所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b (a －1)a 2＋b 2＋b (a ＋1)a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5. 答案：52， 5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 2.3．已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )A.53B.54C.53或2516D.53或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|3b －a |a 2＋b2＝1，即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2， 可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53 C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－(2α＋2β)2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c2a ＝sin (2α＋2β)sin 2α＋sin 2β＝2sin (α＋β)cos (α＋β)2sin (α＋β)cos (α－β)＝cos (α＋β)cos (α－β).由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos (α－β)＝cos (α－β)sin 2β，2sin2αsin 2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos (α＋β)cos (α－β)＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22. 6．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C的离心率为e ＝ca ＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1. 又其渐近线的方程为y ＝b a x ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a2， 所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b ax ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2ba ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23. 11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2. 因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内， 故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2， 即c 2－a 2＜3a 2，解得ca ＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.53，＋∞ B.54，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54.二、填空题13.设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a ≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案： 215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25. 设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2(a 2－9)a 2－25 ＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥ 2400＋41＝9，当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53. 答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，所以双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1， 消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.∵与双曲线交于两点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1， ∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a ＝1＋1a 2> 1＋12＝62，且e ＝1＋1a 2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)。
高三数学专项训练：离心率的求法
高三数学专项训练：离心率的求法1．椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C D 2．已知点A 是椭圆上一点，F 为椭圆的一个焦点，且xAF ⊥( )A.B. 1C. 1D.3．已知椭圆C 的长轴长为2，两准线间的距离为16，则椭圆的离心率e 为（ ）A B C D 4．若椭圆上存在一点P ，使得点P 到两焦点的距离之比为1:2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）5的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围为（ ）6．已知圆(x-2)2+y 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=A ．1 BC ．7．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线 （ ）A B8．设椭圆的两个焦点分别为121,,F F F 过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A 9倍，则椭圆的离心率等于（ ）A. 22；B. 2；C. 21； D. 23；10．若点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，PF 2⊥F 1F 2___________11．已知12,F F 是椭圆, 若存在点P 为椭圆上一点, 使则椭圆离心率e 的取值范围是A BCD ．12．则椭圆的离心率为（ ）A 13．.一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点则椭圆的离心率为（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ14．连接椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为220x y -+=，则该椭圆的离心率为（ ）A15M ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，若212||||2MF MF b ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是 ）。
A B D16．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为( )17．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )A B18（ ）A B ．C ．D ． 19．在ABC △中，90A ∠= ，．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．220．焦点在x 轴的椭圆C 过A 21．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．31C ．33 D ．4122．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A23．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为（ ）A B C D24．F 1，F 2右焦点，O 为坐标原点，半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.B. D.25．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ▲ ）A B C D 26．ABC ∆是等腰三角形，B ∠=︒120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为27F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，12F F 在1F P 上的投影的大小恰好为｜1F P ｜，且它们的夹角为率e 为28．已知抛物线22(0)y px p=>的焦点恰好是椭圆F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则椭圆的离心率为 ( ）CD29．设O为坐标原点，存在点P满足▲）30．P若12PFPF=且）A B C D31．若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )AC D32的两顶点为(,0),(0,)A aB b，且左焦点为F，FAB∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）ACD33．＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为A BCD34．过椭圆左焦点F且倾斜角为060的直线交椭圆于BA,两点，A35．若双曲线x ya b2222-=1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1．+∞)36的离心率为（ ）A B C D37则双曲线的离心率为A. 2B.C.D.38．已知点F ，A 分别为双曲线C ： (0,0)a b >>的左焦点、右顶点，点满足FB AB ⊥，则双曲线的离心率为B.C ． D.39的两个焦点分别为12,F F ,过作垂直于x 轴的直线,与双曲线的一个交点为P ,且01230PF F ∠=,则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 40．已知双曲线221kx y -=210x y ++=垂直,则双曲线的离心率是（ ）A B C D41．以双曲线两焦点为直径的端点的圆交双曲线于四个不同点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个双曲线的离心率等于ABCD 42．．已知双曲线的焦点1F 、2F 在x 轴上,A 为双曲线上一点, x AF ⊥2轴,1:3||:||21=AF AF ,则双曲线的离心率为（ ）A B ．243． 为F1、F2，P 是准线上一点，且1PF ·2PF =0，则双曲线的离心率是44的渐近线与抛物线21y x =+有且只有两个公共点，则该双曲线的离心率A ．5B C D45．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点，A 、D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是 （ ）A B C D461，则双曲线的离心率为47．已知双曲线C:(a>0，b>0)的右焦点为F,过F 且斜率为的直线交C 于A 、B 两点，若，则C 的离心率为（ ）A.B. C.D.48的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为49F 的直线l 与双曲线的左支交于A 、B 两点，且以线段AB 为直径的圆被双曲线C 那么双曲线的离心率为（A （B （C ）2 （D12右焦点,B.5 D.3参考答案1．D【解析】试题分析：根据已知条件可知，椭圆的方程221168x y+=，那么可知焦点在x轴上，且a=4,b=2221688c a b c=-=-=∴=,那么结合离心率公式e=42ca==,故选D.2．C【解析】试题分析：设焦点(),0F c，椭圆方程中令x c=得考点：求椭圆离心率点评：求离心率关键是找到关于,,a b c的齐次方程或不等式3．C【解析】解：因为椭圆C的长轴长为2=2a，a=1，两准线间的距离为C4．D【解析】分析：设椭圆上点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，则PF1=r，PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r．再由椭圆上动点P满足|PF1-PF2|≤2c，可得23a≤6c，最后结合椭圆的离心率满足0＜e＜1，得到该椭圆的离心率e的取值范围．解答：解：设椭圆的两焦点分别为F1、F2，∵点P到两焦点F1、F2距离比为1：2，∴设PF1=r，则PF2=2r，可得2a=PF1+PF2=3r，r=23a∵|PF1-PF2|=r≤2c，（当P点在F2F1延长线上时，取等号）∴23a≤2c，所以椭圆离心率e=ca≥13又∵椭圆的离心率满足0＜e＜1，∴该椭圆的离心率e∈[13，1)故答案为D5．C【解析】此题考查椭圆的标准方程的形式、离心率的计算、椭圆中离心率的范围；由已知得21541(,1)4a aa>+⇒∈，且5e==≤=，所以选C；此题利用均值不等式求的范围；6．D【解析】有图形位置关系知：园过点(,0)a和点(,0)c C为半焦距，于是22(2)1,(2)1a c -=-=由于a c >解得13,13a c e ==∴= 故选D7．D 【解析】m 4m 4a 2b 1c e c/a m 4a 1b 2c e D==±=======-====解：依题意可知当时，曲线为椭圆，，，则当时，曲线为双曲线，，，故选8．D 【解析】依题意可得，112PF F F ⊥，所以12F PF ∆是等腰直角三角形，则11221||||2,|||PF F F c PF PF ====。
离心率练习题(题型全面)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】离心率练习题（题型全面）一、 椭圆1. 设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e?4.椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?5.椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？6.椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为3332322223正三角形，求椭圆离心率？ 7．点F为椭圆:22221x y a b+=(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 。
二、 双曲线1．已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A.23 B.23 C.26 D.3322．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. 23 B.26C. 23 D 。
3．已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A.324+B. 13-C.213+ D. 13+4．设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D.3325．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）OPF 1F 2A 3 B26 C36 D336．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A3B 5 C25 D 13+7．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ） A25 B210 C215 D 58．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 π3 ， 则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ．3C ．263D ．2339．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P 在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、求离心率范围1．设⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（ ）A.21B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,22 D.()+∞,222221,(0,0)x y a b a b-=>>12,F F 12||4||PF PF =43532732．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知双曲线12222=-b y a x()0,>b a 的左，右焦点分别为F 1,F 2，若双曲线上存在点P 使ca FPF F PF =∠∠1221sin sin，求该双曲线离心率的取值范围4．设双曲线C ：()01222>=-a y ax与直线1:=+y x l 相交于不同的两点A ，B 。
离心率练习题答案
离心率练习题答案离心率是描述行星或天体围绕中心天体运动时偏离中心的程度，它是一个无单位的比率，表示为e。
在天文学中，离心率e的计算公式是：\[ e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p} \]其中，\( r_a \) 是远地点距离，\( r_p \) 是近地点距离。
以下是一些离心率练习题的答案：1. 假设一颗行星的轨道半长轴为3天文单位（AU），半短轴为2天文单位（AU），求该行星的离心率。
答案：根据离心率公式，\( r_a = 3 \) AU，\( r_p = 2 \) AU，代入公式得：\[ e = \frac{3 - 2}{3 + 2} = \frac{1}{5} = 0.2 \]2. 如果一个天体的远地点距离是地球到太阳的平均距离的两倍，而近地点距离是这个平均距离的一半，求该天体的离心率。
答案：假设地球到太阳的平均距离为1 AU，那么远地点距离为2 AU，近地点距离为0.5 AU。
代入公式得：\[ e = \frac{2 - 0.5}{2 + 0.5} = \frac{1.5}{2.5} = 0.6 \]3. 某行星的轨道半长轴为5 AU，如果该行星的离心率是0.5，求其半短轴。
答案：根据离心率公式，\( e = 0.5 \)，\( r_a = 5 \) AU，可以解出\( r_p \)：\[ 0.5 = \frac{5 - r_p}{5 + r_p} \]解这个方程得 \( r_p = 2.5 \) AU。
半短轴 \( b \) 可以通过公式 \( b = \sqrt{r_a^2 - r_p^2} \) 计算：\[ b = \sqrt{5^2 - 2.5^2} = \sqrt{25 - 6.25} = \sqrt{18.75} \approx 4.33 \] AU4. 某彗星的轨道离心率是0.9，其轨道半长轴为10 AU，求其轨道半短轴。
答案：使用离心率公式，\( e = 0.9 \)，\( r_a = 10 \) AU，解出\( r_p \)：\[ 0.9 = \frac{10 - r_p}{10 + r_p} \]解这个方程得 \( r_p \) 约为 1.8 AU。