交叉列联表分析

交叉列联表分析 ---------用于分析属性数据

1. 属性变量与属性数据分析

从变量的测量水平来看分为两类：连续变量和属性(Categorical)变量，属性变量又可分为有序的(Ordinal)和无序的变量。

对属性数据进行分析，将达到以下几方面的目的：

1) 产生汇总分类数据——列联表；2) 检验属性变量间的独立性(无关联性)； 3) 计算属性变量间的关联性统计量；4) 对高维数据进行分层分析和建模。

在实际中，我们经常遇到判断两个或多个属性变量之间是否独立的问题，如：吸烟与患肺癌是否有关？色盲与性别是否有关？上网时间与学习成绩是否有关等等．解决这类问题常用到建立列联表，利用χ2

统计量作显著性检验来完成．

2．列联表（Contingency Table ）

列联表是由两个以上的属性变量进行交叉分类的频数分布表。 设二维随机变量（X ，Y ），X

可能取得值为x x x r ,,,2

1 ，Y

可能取得值

为y y y s ,,,2

1 ．现从总体中抽取容量为n 的样本，其中事件（X =x i Y =y j ）

发生的频率为n j i （i = 1,2, …,r ，j=1,2, …,s ，）记n i ∙=

∑=s j j i n 1

，n j ∙=∑=r

i j i n 1

，

则有n =

∑∑==r i s j j i n 11

=∑=∙r i i n 1

= ∑=∙s

j j n 1

，将这些数据排列成如下的表：

这是一张r ×s 列联表．

3．属性变量的关联性分析

对于不同的属性变量，从列联表中可以得到它们联合分布的信息。但有时还想知道形成列联表的行和列变量间是否有某种关联性，即一个变量取不同数值时，另一个变量的分布是否有显著的不同，这就是属性变量关联性分析的内容。

属性变量关联性检验的假设为 H0：变量之间无关联性；

H1：变量之间有关联性

由于变量之间无关联性说明变量互相独立，所以原假设和备择假设可以写为：

H0：变量之间独立； H1：变量之间不独立

χ

2

检验

H 0：

X 与Y 独立．

记P (X =x i ，η=y j ) = p j

i ，i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ，

P (X =x i ) =

p

i .

， i =1，2，…，r ，P (Y =

y j ) =p j . ，j = 1，2，…，s ．

由离散性随机变量相互独立的定义，则原假设等价于 H 0：p

j

i =

p i .p j . ，i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ．

若

p

j

i

已知，我们可以建立皮尔逊χ2

统计量 χ

2

=

∑==∑

-r

i s

ij j

i j i j i p n p n n 1

1

2

)

(．

由皮尔逊定理知，χ2

的极限分布为)1(2

-rs χ

．但这里p j i 未知，因此用它

的极大似然估计

p ij ∧

代替，这时检验统计量为

χ

2

=

∑==∧

∧

∑-r

i s

ij j

i j

i j i p

n p n n 1

1

2

)

(．

在H 0成立的条件下，

p

j

i =

p i .p j .，即等价于用p i ∙和p j ∙.的极大似然估计

p i ∙∧

和p j ∙∧

的积去代替．可以求得

p i ∙∧

=

n

n i ∙

， i =1，2，…，r ， p j ∙∧

=

n

n j

∙ ， j = 1，2，…，s ，

则

p ij ∧

= n n i ∙n

n j ∙ ． i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ，

从而得到统计量

χ

2

=

∑==∧

∙∧

∙∧

∙∧∙∑-r

i s

ij j

i j

i j i p p n p p n n 1

1

2

)

(=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∑∑==∙∙1112r i s ij j i j i n n n n ． 在H 0成立的条件下，当n →∞时，χ2

的极限分布为

)12(2--+-

）（s r rs χ= ))1)(1((2--s r χ． 对给定的显著性水平α，当 χ

2

＞))1)(1((2

1---s r χα，则拒绝H 0，否则接

受H 0．

特别，当r = s = 2 时，得到2×2列联表，常被称为四格表，是应用最广的一种列联表．这时检验统计量为

χ

2

=n n n n n n n n n

2

121211222112

)

(∙∙∙∙-

它的极限分布为χ2

（1）．

对于二维随机变量（X ，Y ）是连续取值的情况，我们可采用如下方法将其离散化．

① 将X 的取值范围（-∞，+∞）分成r 个互不相交的区间，将Y 的取值范围

（-∞，+∞）分成s 个互不相交的区间，于是整个平面分成了rs 个互不相交的小矩形；

② 求出样本落入小矩形中的频数n j i i =1，2，…，r ，,j = 1，2，…，s ； ③ 建立统计量

χ2

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∑∑==∙∙1112r i s ij j i j i n n n n ， 在H 0成立时且n 充分大时，χ2

的极限分布为))1)(1((2

--s r χ

，拒绝域的确

定同离散型的情况． 3．属性变量的关联度计算

2χ检验的结果只能说明变量之间是否独立，如果不独立，并不能由2χ的