任意角和弧度制

例3．已知角的顶点与坐标系原点重合，始 边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并 指出它们是哪个象限的角？ (1)420º，(2) －75º，(3)855º，(4) －510º．
答：(1)第一象限角； (2)第四象限角， (3)第二象限角， (4)第三象限角.
知识点一 任意角的概念 (一)教材梳理填空 1．角的概念
() () () ()
答案：(1)× (2)× (3) √ (4)√ 2．与 45°角终边相同的角是
()
A．－45°
B．225°
C．395°
D．－315°
解析：因为 45°＝－315°＋360°，所以与 45°角终边相同的角是－315°.
答案：D
3．与 610°角终边相同的角表示为(其中 k∈Z )
第三象限角 _{_x_|_1_8_0_°＋__k_·_3_6_0_°_＜__x_＜__2_7_0_°＋__k_·_3_6_0_°_，__k_∈__Z_}__
第四象限角 __{x_|_2_7_0_°_＋__k_·3_6_0_°_＜__x_＜__3_6_0_°_＋__k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z_}__
[典例 1] (1)(多选)下列说法正确的是
()
A．锐角都是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于 180°的角是钝角、直角或锐角
D．在 90°≤β＜180°范围内的角 β 不一定是钝角
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作
出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°；②855°；③－510°.
[解析] (1)选 AD 锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象
限，是第一象限角，所以 A 正确；
－350°角是第一象限角，但它是负角，所以 B 错误；
0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以
C 错误；
由于在 90°≤β＜180°范围内的角 β 包含 90°角，所以不一定是钝角， 所以 D 正确．
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º， 角度的绝对值可大于360º.于是就会出现 720º， － 540º等角度.
2．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ {β|_β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°_，__k_∈__Z__}，即任一与角 α 终边相同的角，都可 以表示成角 α 与整数个周角的和．
3．轴线角的集合 角 α 终边的位置
在 x 轴的非负半轴上 在 x 轴的非正半轴上 在 y 轴的非负半轴上 在 y 轴的非正半轴上
(2)象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
_{_x_|k_·_3_6_0_°_＜__x_＜__9_0_°_＋__k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z_}
第二象限角 _{_x_|9_0_°_＋__k_·3_6_0_°_＜__x_＜__1_8_0_°_＋__k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z__}
绕着它的端点O按逆时针方向
旋转到另一位置OB，就形成角B
α．
旋转开始时的射线OA叫做
角α的始边，旋转终止的射线
O
A
OB叫做角α的终边，射线的端
点O叫做角α的顶点．
⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β= －150°，γ=660°，
2．将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120°所得的角为( )
A．120°
B．－120°
C．240° 答案：A
D．－240°
3．时钟经过 1 小时，时针转动的角的大小是________． 解析：时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过 12 个小时时针 转动一个周角，故经过 1 个小时时针转动周角的112，所以转动的角的 大小是－112×360°＝－30°. 答案：－30°
2．用旋转来描述角时需要注意的三个要素 (1)旋转中心：射线旋转时绕的端点． (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对 意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负 数来表示，那么许多问题就可以解决了． (3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过 360°，角度的绝对值 可大于 360°.于是就会出现 720°，－540°等角度．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同， 它是第三象限角．
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同， 它是第四象限角．
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中 来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴 的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，
我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落 在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30、390、330是第Ⅰ象限角， 300、 60是第Ⅳ象限角， 585、1300是第Ⅲ象限角， 135 、2000是第Ⅱ象限角等
3．角的分类 按旋转方向可分为三类：
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)大于 90°的角都是钝角．
()
(2)零角的终边与始边重合．
()
(3)从 13：00 到 13：10，分针转过的角度为 60°.
()
(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(2) S={β| β=k·360º－21º(k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 0×360º－21º=－21º； 1×360º－21º=339º； 2×360º－21º=699º．
(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º～720º间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
5.1 任意角和弧度制
1、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解，但它是从图形形状来定义角，因此角的 范围是[0º, 360º)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于 “狭隘”.
生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720º，跳水运动员向
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
内、向外转体1080º；
生活中很多实例会不在该范围。 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
wenku.baidu.com⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构
成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和
⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② 是任意角； ③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应 看成k·360º+(－30º)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º的整数倍.
3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
角的概念推广以后，它包括任意大小的正 角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量）
(2)作出各角的终边，如图所示：
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
[方法技巧] 1．理解角的概念的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 2．象限角的两种判定方法 (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
知识点二 象限角与终边相同的角 (一)教材梳理填空 1．象限角
(1)象限角的概念：当角的顶点与坐__标__原__点__重合，角的始边与_x_轴__的__非___ 负___半__轴_重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是_第__几__象__限__角_． 如果角的终边在_坐__标__轴__上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
在 x 轴上 在 y 轴上 在坐标轴上
角 α 的集合表示 {α|α＝k·360°，k∈Z } {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z } {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z } {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z } {α|α＝k·180°，k∈Z } {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z } {α|α＝k·90°，k∈Z }
角可以看成平面内_一__条___射__线_绕着它的_端__点__旋转所成的图形． 2．角的表示
如图，(1)始边：射线的_起__始___位置 OA； (2)终边：射线的_终__止_位置 OB； (3)顶点：射线的端点 O； (4)记法：图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或“∠__A__O_B___”．“角 α”或“∠α”可简记为“α”．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并把S中在－360º~720º间的角写出来：
(1) 60º；(2) －21º；(3) 363º14′.
解：(1) S={β| β=k·360º+60º(k∈Z) }, S中在－360º～720º间的角是 －1×360º+60º=－280º； 0×360º+60º=60º； 1×360º+60º=420º．
4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同.
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到 360的角与k(k∈Z)个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4) 1770=305×360 (k=－5)
()
A．k·360°＋230°
B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70°
D．k·180°＋270°
解析：∵610°＝360°＋250°，∴610°与 250°角的终边相同，故选 B.
答案：B
4．已知 0°≤α＜360°，且 α 与 800°角终边相同，则 α＝________，它是
第________象限角．
解析：因为 800°＝360°×2＋80°，所以 80°角与 800°角的终边相同，
且 0°≤80°＜360°，故 α＝80°，它是第一象限角．
答案：80° 一
题型一 任意角的概念及应用 [学透用活]
1．角的概念的推广 (1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转 “方向”，得到正角、负角和零角． (2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．
[微思考] 定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么？ 提示：求象限角、终边相同的角时，必须注意前提条件：角的顶点 与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)第二象限角大于第一象限角． (2)第二象限角是钝角． (3)相等的角终边一定相同． (4)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．