衡水金卷河北衡水中学2020届高三卫冕大联考理科数学试卷(有答案)
河北省衡水中学2020年全国高三统一联合考试理科数学(含解析)
AF∥BE，AF∩AD＝A，BC∩BE＝B，所以平面 ADF∥平面 BCE．
因为 CE 平面 BCE，所以 CE∥平面 ADF．
（方法二）取 AF 的中点 M，连接 DM，EM，如图．
由题意知 AM＝BE 且 AM∥BE，所以四边形 ABEM 为平行四边形，即 ME＝AB
且 ME∥AB．
又因为四边形 ABCD 是菱形，所以四边形 DCEM 为平行四边形，即有 DM∥CE．
2
三、解答题
（一）必考题
17．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝2n－2an＋1＋n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．如图，在多面体 ABCDFE 中，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，四边 形 ABEF 是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2． （1）证明：CE∥平面 ADF． （2）若平面 ABCD⊥平面 ABEF，H 为 DF 的中点， 求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值．
以
A
为坐标原点，以
uuur AN
，
uuur AB
，
uuur AF
的方向分别为
x
轴、y
轴、z
轴的正方向，
建立空间直角坐标系 A—xyz 如图所示．
故 A（0，0，0），C（ 3 ，1，0），D（ 3 ，－1，0），F（0，0，2），H ( 3 , − 1 ,1) ，
22
uuur AH = (
3
,
−
1
D． 21
7
11．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，A 为抛物线 C 上异于顶点 O 的一点，
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2020届高三9月大联考数学(理)试题(原卷版)
【百强名校】衡水金卷2020届全国高三上学期大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）学|科|网...学|科|网...A. B. C. D.5. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（）A. B. C. D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.14. 已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为__________.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性50 50 100女性60 40 100合计110 90 200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63520. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.21. 已知函数（，），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.衡水金卷2020届全国高三大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】..................................所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为S，由题意可得：.本题选择B选项.5. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.故选C.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数，则，即当时，，构造函数，满足，则函数是偶函数，则，当时，，据此可得：，即偶函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：，即：.本题选择D选项.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，得.的图象，故为假命题，所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，两式子做差得到，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到，故，故裂项求和得到，由条件恒成立，得到K的最小值为．故答案选B．点睛：本题考查到了通项公式的求法，从而得到数列是等差数列，再求出，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。
2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()25z i i -=，则在复平面内复数z 对应的点(),Z x y 所在的曲线方程为（ ）A ．224x y +=B ．24y x =C ．20x y +=D ．22148x y += 2．已知集合{}22|22A x x x x x=-=-，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}|12x x ≤≤B ．{}|01x x ≤≤C ．{}|0x x ≤D ．∅ 3．已知352567log21,log 6log 7log 8a b c -==-=⨯⨯，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c << 4．如图所示是2018年11月份至2019年10月份的居民消费价格指数(()%CPI )与工业品出厂价格指数(()%PPI )的曲线图，从图中得出下面四种说法：①()%CPI 指数比相应时期的()%PPI 指数值要大；②2019年10月份()%CPI 与()%PPI 之差最大；③2018年11月至2019年10月()%CPI 的方差大于()%PPI 的方差﹔④2018年11月份到2019年10月份的()%PPI 的中位数大于0.则说法正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ） A ．6钱 B ．7钱 C ．8钱 D ．9钱 6．如图所示的ABC 中，02,1,60,2,//AB AC BAC BD DC DE AC ==∠==，则AD DE ⋅=（ ） A ．23 B ．23- C ．56 D ．56- 7．与函数()()2sin 2x x f x x +=的部分图象最符合的是（ ） A ． B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为（ ）A ．20182019 B ．20192020 C ．20202021 D ．20212022 9．2020年4月20日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为n ，则满足不等式2(1)2n m m C -≤的最小正整数m 的值为（ ）A ．36B ．42C ．48D ．54 10．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若7AF FB =，则双曲线的离心率为（ ）A ．32 BC ．2D ．5211．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2[,]33ππ-上单调递增，且()1f x =在区间[0,2]π上有且仅有一解，则ω的取值范围是（ ）A ．3(0,]4 B ．33(,)42 C ．15[,)44 D ．13[,]4412．若函数()sin x x f x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题 13．已知实数x ，y 满足不等式组2030230x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值是______.14．已知等差数列{}n a 中，3722a a +=，49a =，数列{}n b 满足12n a n b -=，则123n b b b b ⋅⋅⋅⋅=______. 15．已知点()1,2P 在抛物线E ：()220y px p =>上，过点()1,0M 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，若3AM MB =，则直线l 的倾斜角的正弦值为______. 16．已知三棱锥P ABC -中，二面角P AB C 的大小为120︒，ABC 是边长为4的正三角形，PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______. 三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若2A π≠，且csin 24cos sin A A C =，求a 的值； （2）若sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，求B 的最大值.18．如图所示的斜三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在底面ABC 的投影O 为AC 边的中点，3AB =，4AC =，5BC =，14AA =. （1）证明：平面1ABC ⊥平面11ACC A ；（2）求平面11A B C 与平面111A B C 所成的锐二面角的大小. 19．在我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为34，45，23，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品. （1）求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率； （2）若该同学制作10次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差； （3）该同学掌握技术后制作的小视频被某广告公司看中，聘其为公司做广告宣传，决定试用一段时间，每天制作小视频(注：每天可提供素材制作个数至多40个)，其中前7天制作合格作品数y 与时间t 如下表：(第t 天用数字t 表示)其中合格作品数(y )与时间(t )具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程(精确到0.01)，并估算第14天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)？ (参考公式()()()1221121n ii i n n i n i i i i i i x y nx y b n x x x xy x x y ====-=---=-∑∑∑∑，a y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑.)20．如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，右焦点为F ，13A F =，离心率为12.（1）求椭圆的方程；（2）过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ，直线1MB 与直线2NB 交于点T ，试讨论点T 是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.21．已知函数()()()ln 1x a f x x e e x a a R =-+-+∈.（1）当0a =时，证明不等式()20f x +<；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点分别为A ，B ，点P (异于A ，B 两点)在曲线C 上运动，求PAB △面积的最大值.23．已知不等式()130x m x m --+≤>对x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）记m 的最大值为k ，若0a >，0b >，a b k +=2≤.参考答案1．C【分析】根据复数的乘除运算求出12z i -+，得到对应点Z 的坐标，代入方程即可求解.【详解】由()25z i i -=，得()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+， 所以对应点()1,2Z -，其满足方程20x y +=.故选：C.【点睛】本题考查了复数得四则运算、复数的坐标表示，考查了基本运算能力，属于基础题. 2．B【分析】由绝对值的意义，可知220x x -≤，求得{}|02A x x =≤≤，根据偶次根式有意义的条件，可求得{}|1B x x =≤，根据集合交集的定义求得结果.【详解】 由2222x x x x -=-可得220x x -≤，解得02x ≤≤，所以{}|02A x x =≤≤，由{|B x y ==可以求得{}|1B x x =≤，所以{}|01A B x x =≤≤，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于基础题目.3．D【分析】结合对数函数的性质判断2log 567log 6,log 7,log 8的取值范围，结合指数函数的性质可求出3521--的取值范围，即可选出正确答案.【详解】解：因为12<<，所以20log 1a <=<； 30521210b -=-<-=， 因为876>>，所以567log 61,log 71,log 81>>>，即567log 6log 7log 81c =⨯⨯>， 所以c a b >>，故选: D.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，属于基础题.4．B【分析】根据题中所给的图，观察曲线的形状，以及对应的走向，分析可得结果.【详解】因为消费价格指数(()%CPI )曲线在工业品出厂价格指数(()%PPI )曲线的上方， 所以()%CPI 指数比相应时期的()%PPI 指数值要大，所以①正确；由图可知，2019年10月份()%CPI 最大，()%PPI 值最小，所以其差最大，所以②正确； 2018年11月至2019年10月()%CPI 较平稳，()%PPI 的波动性更大，所以2018年11月至2019年10月()%CPI 的方差小于()%PPI 的方差，所以③错误； 2018年11月份到2019年10月份的()%PPI 的值有5个正的，4个负数，三个0， 所以中位数为0，所以④错误；所以正确的命题为两个，故选：B.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有曲线图的应用，属于简单题目.5．C【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m ⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤， 根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.6．B【分析】设,AB a AC b ==，根据向量的线性运算法则，求得1233a AD b =+，2233DE CA b ==-，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设,AB a AC b ==，因为2,//BD DC DE AC =， 可得2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+， 2233DE CA b ==-， 又由02,1,60AB AC BAC ==∠= 所以221222424()()cos603339999AD DE a b b a b b a b b ⋅=+⋅-=-⋅-=-⋅- 21422119293=-⨯⋅⨯⨯-⨯=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，注重考查推理与运算能力. 7．B【分析】分析出函数()y f x =的定义域、奇偶性、在()0,∞+上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】函数()()2sin 2x x f x x+=的定义域为{}0x x ≠，排除A 选项； ()()()()()22sin 2sin 2x x x x f x f x x x --+-==-=--，函数()y f x =为奇函数，排除C 选项； 令()()sin 2g x x x =+，当01x <≤时，022x <≤，()sin 20x >，则()()sin 20g x x x =+>，当1x >时，()()()sin 21sin 20g x x x x =+>+≥，由上可知，当0x >时，()()20g x f x x=>，排除D 选项. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．C【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量111122*********S =++⋯+⨯⨯⨯的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量111122*********S =++⋯+⨯⨯⨯的值， 可得：1111111112020(1)()()11223202020212232020202120212021S =++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯． 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．9．A【分析】根据分步原理即可知不同的安排方法数2343n C A =，再由2(1)2n m m C -≤解不等式即可求出m 的范围，进而得到最小正整数m ；【详解】由题意知：其中有一个点有两名老师；∴安排步骤：1、任选两位老师分配到一个点，另两位老师分别到另两个点，即分成三组，2、将三组任意安排到三个点；∴安排方法：234336n C A ==，而2(1)2n m m C -≤知： 236630(1)2m m C -≤=且0m >，解得：36m ≥； 故选：A【点睛】本题考查了分步计数原理以及求一元二次不等式的解集，由分步原理求出不同的安排方法数，结合已知不等式求参数范围，进而求值；10．A【分析】设直线方程为：3x x c =+，将直线方程与双曲线方程联立消x ，根据7AF FB =，可得127y y =-，利用韦达定理可得22236473c b a-=-，整理即可求解.【详解】过右焦点F 的直线的倾斜角60︒,不妨设直线方程为：3x y c =+，联立方程222222x y c b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，得22224103b a y cy b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0F c ，因为7AF FB =，所以127y y =-，所以2222422223613713c y b a b y b a ⎧-⎪⎪-=⎪-⎪⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩，所以422222242222436133713b c y b a b y b a ⎧=⎪⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎪⎩， 所以22236473c b a -=-， 所以2222797a b c -=，因为222+=a b c ，所以()22222797a c a c --=，所以223616a c =， 所以223616c a =，所以32c a =. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了运算求解能力，属于中档题. 11．D【分析】根据正弦型函数的单调增区间求得()sin (0)f x x ωω=>的单调增区间，由222,,3322k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得304ω<≤，根据已知可得124T π⨯≤，且524T π⨯>,计算可得结果. 【详解】因为()sin (0)f x x ωω=>，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，即222k x πππωωω-+≤≤+2,k k Z πω∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 又因为函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以222,,3322k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得223ππω-≤-，且32ππω≤，又因为0>ω，所以304ω<≤， 又()1f x =在区间[0,2]π上有唯一的实数解，所以1224ππω⨯≤，且5224ππω⨯>，可得15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上，13,44ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的图象和性质，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题. 12．A 【分析】 判断()sin xxf x e ex x -=-+-是R 上的奇函数，利用导函数可判断()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立等价于22ln(1)2x a x -+≥-，分离a 得22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，经过分析知()g x 是R 上的偶函数，只需求()g x 在()0,∞+上的最大值，进而求得a 的取值范围.【详解】 因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2xx -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题. 13．3 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形，确定出目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】由题意，画出不等式组2030230x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =-，可化为直线1()22zy x =+-， 当直线1()22zy x =+-过点A 时，此时在y 轴上的截距最小，此时目标函数最大值， 又由30230x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)A ，所以目标函数的最大值为3203z =-⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划求最值问题，其中解答中正确画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于基础题. 14．22nn+【分析】根据等差数列的通项公式求出n a ，从而求出12n a n b -=，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】 由题意111262239a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()1121n a a n d n =+-=+，所以1222n a n n b -==， 则()22224622123222222n n nnnn b b b b ++⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==.故答案为：22n n+.15【分析】求出2p =，设过点()1,0M 的直线方程为1x my =+，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，根据向量可得123y y -=，从而求出直线的倾斜角，即求. 【详解】因为点在抛物线E ：()220y px p =>上，所以421p =⨯，得2p =，所以24y x =，设过点()1,0M 的直线方程为：1x my =+，所以214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，所以2440y my --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以124y y m +=，124y y =-，又因为3AM MB =，所以123y y -=，所以m =，因为直线的斜率tan k θ== 由()0,θπ∈，所以3πθ=或23π，所以sin θ=故答案为：2【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题. 16．2089π【分析】找到三棱锥P ABC -外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得三棱锥P ABC -外接球的表面积. 【详解】依题意，三角形ABC 是等边三角形，设其外心为1O ，线段AB 的中点设为2O ，则2CO AB ⊥，且1O 在线段2CO 上、1122CO O O =. 三角形PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形，所以其外心为2O .过2O 在三角形PAB 内作2O D AB ⊥.所以2CO D ∠是二面角PAB C 的平面角，所以2120CO D ∠=︒.设外接球球心为O ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面PAB ，所以12OO CO ⊥、22OO O D ⊥，所以230OO C ∠=︒. 在三角形2OCO中，1222333CO CO ==⨯=，12211333O O CO ==⨯=，12112122tan 3OO OO C OO O O O ∠==⇒===,所以外接球的半径R OC ====所以外接球的表面积为2522084499R πππ=⨯=. 故答案为：2089π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，属于中档题. 17．（1）2；（2）3π【分析】（1）利用二倍角公式及正弦定理计算可得；（2）根据等差中项的性质及正弦定理可得2b a c =+，再利用余弦定理及基本不等式得到1cos ,12B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而求出B 的最大值；【详解】解：（1）因为csin 24cos sin A A C = 所以2sin cos 4cos sin c A A A C = 因为2A π≠，所以cos 0A ≠，所以sin 2sin c A C =所以2sin 2sin C cc A a ==，所以2a =（2）因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin sin sin B A C =+，由正弦定理可得2b a c =+，由余弦定理可得2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==223331442284a c acc a ac a c +-⎛⎫==+- ⎪⎝⎭ 因为0c a >，0a c >，所以31311cos 84842c a B a c ⎛⎫=+-≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当c aa c=，即a c =时取等号， 因为cos 1B <，所以1cos ,12B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以B 的最大值为3π 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题. 18．（1）证明见解析；（2）3π. 【分析】（1）证明出AB ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的判定定理可证得平面1ABC ⊥平面11ACC A ；（2）取BC 的中点D ，连接OD ，证明出OD ⊥平面11ACC A ，1A O AC ⊥，然后以点O 为坐标原点，OD 、OC 、1OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11A B C 与平面111A B C 所成的锐二面角的大小. 【详解】（1）由于点1A 在底面ABC 的投影O 为AC 边的中点，则1A O ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AB A O ∴⊥，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，则222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥，1AO AC O =，AB ∴⊥平面11ACC A ，AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11ACC A ；（2）取BC 的中点D ，连接OD ，O 、D 分别为AC 、BC 的中点，//OD AB ∴，由（1）可知，AB ⊥平面11ACC A ，则OD ⊥平面11ACC A .1A O ⊥平面ABC ，AC ⊂平面11ACC A ，1A O AC ∴⊥，以点O 为坐标原点，OD 、OC 、1OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,2,0A -、()3,2,0B -、(1A 、()0,2,0C ，设平面11A B C 的一个法向量为(),,m x y z =，()113,0,0A B AB ==，(10,2,AC =-， 由11100m A B m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3020x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则0x =，y =()0,3,1m =，易知平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1n =，则1cos ,2m n m n m n⋅<>==⋅. 因此，平面11A B C 与平面111A B C 所成的锐二面角的大小为3π. 【点睛】本题考查面面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的大小，考查计算能力，属于中等题.19．（1）54125；（2）()4E X =，()125D X =；（3）ˆ0.82 1.72yt =+，13个. 【分析】（1）根据题意可直接求出制作一次视频成功的概率，进而可以求出该同学进行三次制作，恰有一次合格作品的概率； （2）首先判断出2105XB ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而可以利用二项分布的期望与方差公式直接求出随机变量X 的数学期望与方差；（3）根据题干给出的公式直接计算ˆb、ˆa ，即可求出对应的回归方程，令14t =，即可故算出第14天能制作13个合格作品. 【详解】（1）由题意知：制作一次视频成功的概率为34224535P =⨯⨯=， 所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率2132354=55125C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）根据题意可得：2105X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以()21045E X np ==⨯=，()()2312110555D X np p =-=⨯⨯=， （3）根据表格数据可计算出：123456747t ++++++==，343476857y ++++++==， 所以 1221163745230.82114071628ni ii nii t y nt yb tnx==-⨯⨯=-=-=≈-⨯∑∑，所以50.8214 1.72a y bt =-=-⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.82 1.72yt =+， 令14t =，得ˆ0.8214 1.7213.213y=⨯+=≈， 即估计第14天能制作13个合格作品. 【点睛】本题主要考查了事件与概率、随机变量与分布列，及统计案例.20．（1）22143x y +=；（2）存在，且定直线方程为3y =. 【分析】（1）由题意可得出关于a 、c 的方程组，求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线1MB 、2NB 的方程，求出交点T 的纵坐标，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩，解得2a =，1c =，b ∴== 因此，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=， ()()22264324396210k k k ∆=++=+>，由韦达定理得122843k x x k +=-+，122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ， 直线1MB的斜率为(11111kx k x +-==，直线1MB的方程为1y k x =直线2NB的斜率为(22221kx k x ++==，直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =，2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++===，其中12122843kkx x x x k =-=++，121221222122x x x x x x x ⎡⎤+++++====，解得3y =.因此，点T 在定直线3y =上. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）证明见详解；（2）(],1-∞ 【分析】（1）将0a =代入，求出()1x xe f x x-'=，记()1x g x xe =-，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值，()()0max 2f x f x =<即可. （2）将不等式转化为()ln ln a xx ea x e x +++≤+在()0,∞+恒成立，构造函数()xx e x ϕ=+，根据单调性可得ln a x x +≤，只需ln a x x ≤-恒成立，记()ln h x x x =-，利用导数求出()min h x 即可.【详解】（1）当0a =时，()ln xf x x e =-，函数的定义域为()0,∞+所以()11xx xe f x e x x-'=-=，记()1xg x xe =-，所以()()1xg x x e '=-+，当()0,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又因为()010g =>，()110g e =-<， 所以存在()00,1x ∈，使得()000010x g x x e=⇒-=，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>， 当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()()000max ln xf x f x x e ==-，又因为000000110ln x x x e e x x x -=⇒=⇒=-， 所以()000000011ln 2x f x x ex x x x ⎛⎫=-=--=-+<- ⎪⎝⎭， 即()020f x +<，所以()20f x +<，即证.（2）不等式()0f x ≤恒成立等价于()ln 10xax e e x a -+-+≤在()0,∞+恒成立，即ln a x xe a x e x ++≤+在()0,∞+恒成立， 也就是()ln ln a xx ea x e x +++≤+在()0,∞+恒成立，构造函数()xx e x ϕ=+，()10xx e ϕ'=+>， 所以()x ϕ在(),-∞+∞单调递增， 所以()()ln ln a x x a x x ϕϕ+≤⇒+≤， 即ln a x x ≤-， 记()ln h x x x =-， 所以()111x h x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()11h x h ≥=，所以1a ≤，故实数a 的取值范围(],1-∞. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于难题.22．（1）曲线C 的极坐标方程为1ρ=，直线l 的直角坐标方程为10x y --=；（212.【分析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得AB ，然后根据圆的几何性质求得P 到直线AB 的距离的最大值，由此求得三角形PAB 面积的最大值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，两式平方并相加得221x y +=，即211ρρ=⇒=.直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭122θθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 即cos sin 1ρθρθ-=，即10x y --=.（2）圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1r =，圆心到直线10x y --=的距离为d r =<，直线和圆相交.所以22AB ===根据圆的几何性质可知P 到直线AB 的距离的最大值为212d r ++=+=.所以三角形PAB面积的最大值为12212242⎛++== ⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查参数方程、极坐标方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题. 23．（1）(0,2]，（2）证明见解析 【分析】（1）设1,1()121,11,m x f x x m x x m x m m x m +<-⎧⎪=--+=-+--≤≤⎨⎪-->⎩，从而可得13m +≤，进而求出m 的取值范围；（2）由（1）可知2a b +=，然后利用基本不等式可证明结论 【详解】（1）解：设1,1()121,11,m x f x x m x x m x m m x m +<-⎧⎪=--+=-+--≤≤⎨⎪-->⎩，所以1()1m f x m --≤≤+，所以只需13m +≤，解得42m -≤≤， 因为0m >，所以02m <≤， 所以实数m 的取值范围为(0,2]（2）证明：由（1）可知m 的最大值为2，即2k =， 所以2a b +=，1≤==，2≤，当且仅当1a b ==时取等号 【点睛】此题考查绝对值不等式，考查利用基本不等式证明不等式，考查计算能力，属于中档题。
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)理数答案
{xlx>2}，所以M二N．故选A.
2. C【解析】z=(2＋沪 ＝ 3+4i，所以 z的虚部为4．故
选 C.
3． 4．
D C 【解析】D选项中，留北京人数不到 一半．故选D.
【解析】由题意知圆心(Z,1)在直线 ax+by — l = O
以＼ m— n
=
— 23 ．故选B.
10. D【解析】如图，
上，则
2a +b=
l．又因为a
>O,b>O， 所 以
— a2.+
— 1 = b
(f 分）（2a +b) ＝ 了＋亨＋5?9，当且仅当 a =
B 二c A,B,C,D 四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD, CD共6条边．由题意知恰有 3条边且无孤立点，所以
1
21
b ＝ 了时取等号，所以（丁十了）皿n=9．故选C.
6. D【解析】A选项中，a 1= Z,q= 3 满足 {a n )单调递 增，故 A错误；B选项中，a1 =—l,q=2，满足{a n}单调
递减， 故 B 错 误； C 选 项 中，若a 1 = 1, q =—21 ， 则
C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏 半年比冬半年多几天．故选 A. 1 2. A【解析】如图，由题意知，P和Q分别为三棱锥 B1-A1BC1 和三棱锥A1 -AB1队．设平面A1BC1 与平 面AB1D1 的交线为EF，则M为四面体A1B1EF取 A1B1 的中点 O，连接EO，可得EO上平面A1B1F,
= — sin ( x —
习 re) 亢
sin(x
—
穴
了
5rc =sin(x勹），所以向右平移
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A ．M N ⊇B ．M N ⊆C ．()1,M N ⋂=+∞D ．()2,M N ⋃=+∞【答案】A【解析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i C ．4D ．4i【答案】C【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.3．以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造228280.4％2319.3％48933.6％300244.2％国内158355.8％94 3.8％29019.9％196729.0％出国（境）69924.6％137 5.5％19913.7％103515.3％就业49017.3％222489.2％94364.8％365753.9％签三方就业154 5.4％165666.4％86459.4％267439.4％灵活就业33611.8％56822.8％79 5.4％98314.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836100.0％2494100.0％1455100.0％6785100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可. 【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4．若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．9D ．【答案】C【解析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5．要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A ．4x y +≤ B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 6．若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><<C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题. 7．为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度【解析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos 5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案. 【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<，由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9．如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【答案】B【解析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案. 【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B . 【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10．区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【解析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数. 【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A．①B．①②C．②③D．①③【答案】A【解析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A. 【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ） A ．13B ．24C ．23D ．1【答案】A【解析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A 【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答) 【答案】60【解析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14．记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=，所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=的一个焦点的距离为p 的值为_________.【答案】2【解析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值. 【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以12FF p ===2p =.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16．已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解.因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意；当0k >时，画出()(),gx h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题17．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin ACE ∠=【解析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长 (2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则cos BAD ∠=所以1sin ,tan 52BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠= 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒.【解析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥.因为AB BE B=，所以CD⊥平面.ABE因为BC⊂平面ABE，所以BC CD⊥.（2）解：因为BE⊥平面ACD ，BCE∠即为BC与平面ACD所成的角，所以45BCE BCA︒∠=∠=，所以1BC AB==，以C为坐标原点，CD方向为x轴正方向，CB方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz-则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19．2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？ 【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【解析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10. 【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析【解析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-= 因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证. 【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=. （1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=直线MN 被曲线D求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为2221d +=⎝⎭，所以22112m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23．已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集为1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学试卷
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。
1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2020届全国高三2月大联考(全国卷)数学(理)试题Word版含答案
绝密★启用前河北衡水中学2020届全国高三大联考(全国卷)理数试题第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合益={x y y lg |=} ,B={x y x =|}，则集合A ∩B = (A) (0, +∞) (B) [0,+∞) (C) (1,+∞) (D) φ (2)已知复数z 满足i ai z ++=12（i 为虚数单位，a ∈R)，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y = -x 上，则a 的值为(A)0 (B)l (C)-l (D)2(3)设函数32)(2--=x x x f ,若从区间[-2，4]上任取一个实数0x ，则所选取的实数0x 满足0)(0≤x f 的概率为(A) 32 (B) 21 (C) 31 (D) 41 (4)已知a>0,且a ≠1，则双曲线1:2221=-y a x C 与双曲线1:2222=-x ay C 的 (A)焦点相同 （B)顶点相同 （C)渐近线相同 （D)离心率相等(5)中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(A) 32175里 (B)1050 里 （C) 3222575里 （D)2100里 (6)如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图. 侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为(A) 321π+ (B) 3234π+ （C) 63332π+ （D) 33332π+ (7)已知 0<a<3<l ，c>l ，则(A) c c a b log <log (B) c c )1(<)1(b a(C) c c ab ba < (D) aa c 1blog <b 1logc b(8)运行如图所示的程序框图，则输出的结果是(A) 9949 (B) 10150 (C) 10351 (D) 21 (9)如图所示，在棱长为a 的正方体4321D C B A ABCD -中，点E ，F 分别在棱AD ，BC 上，且AE=BF=31a.过EF 的平面绕EF 旋转，与1DD 、1CC 的延长线分别交于G ，H 点，与11D A 、11C B 分别交于1E ，1F 点。
河北省衡水中学2020届高三数学下学期一模考试试题 理(含解析)
2020学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合B,再求得解.【详解】由题得B={x|x≥2或x≤},所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2020年第一季度五省情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2020年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2020年第一季度的总量实现了增长.C. 去年同期河南省的总量不超过4000亿元.D. 2020年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2020年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为( )A. 1B.C.D.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为，连接，则（为点到渐近线距离），即的最小值为；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是线段，上的点，平面与平面所成（锐）二面角为，当最小时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面与平面所成（锐二面角为，，解得，当|最小时，，，，．故选：．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从图像可以看出为偶函数，结合的形式可判断出为偶函数，故得的值，最后通过得到的值．详解：为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以．因为，故，．因，故，所以，．因，故，所以．综上，，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：，三个梯形均为等腰梯形且平面平面到底面的距离为，间的距离为.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中为体积相等的四棱锥，且，，则棱柱为直棱柱，为直角三角形.又；，故五面体的体积为.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在中，内角所对的边分别是,且边上的高为,则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A，①而条件中的“高”容易联想到面积， bc sin A，即a2＝2bc sin A，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，∴＝2(cos A＋sin A)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析得到的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得等于函数的零点的2倍，所以的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令所以,所以所以绝对值最小的零点为，故的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于、两点，正三角形的顶点在直线上，则的边长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，求出，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线的焦点为，设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，由抛物线定义知：，，，，，即，所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为，联立直线AB方程和抛物线方程得，所以.故选：．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【解析】分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（,），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以的最小值为+．故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若，则的值为___________．【答案】0【解析】试题分析：由，解得，又．考点：三角函数的化简求值．15.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”；③函数图像上任意两点之间的“曲率”；④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是。
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题(附答案解析)
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题一、单选题1．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-3． 若函数f (x )＝sin(ωx －3π)(ω>0)在(－2π，0)上单调递增，则ω的最大值为( )A ．13B ．12C ．1D ．24．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交C 的渐近线于A ，B 两点.若2ABF ∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A BCD 5．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A ．②③B ．①③C ．②D ．①②6．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．已知tan （α+β）=35，tanβ=13，则tanα=（ ） A ．29B ．13C ．79D ．768．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2则输出的函数是（ ） A ．f （x ）＝sinxB ．f （x ）＝cosxC ．1()f x x= D ．f （x ）＝x 29．已知,,a b c R ∈，满足，则下列不等式成立的是 A ．B ．C ．D ．10．当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}0,1,3M =的孤星集为M '，集合{}0,3,4N =的孤星集为N '，则M N '⋃'=( )A ．{}0134，，，B ．{}14，C ．{}13，D ．{}03，11．ABC 中，ACB 90∠=，AC 3=，BC 4=，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD (= )A ．43CA CB 77+ B ．34CA CB 77+ C ．169CA CB 2525+ D ．916CA CB 2525+ 12．若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(0,)+∞C ．(),0-∞D ．(),2-∞二、填空题13．由球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，且PA =PBPC =则球O 的半径R =________．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，若6378S S =，则24a a ⋅=______. 15．在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 16．（2018届四川省南充高级中学高三1月检测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．三、解答题17．某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到()90,100的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到()80,90的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到()60,80的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.（1）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器A 和B 生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中A 机器生产的优等品的数量多于B 机器生产的优等品的数量的概率；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 2.临界值表：18．在极坐标系中，已知两点O (0，0)，B ，4π)．(1)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,{12,x t y t ＝＝＋（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，圆C 的圆心为C ，求三角形MNC 的面积． 19．已知函数f(x)=|2x −1|−|x +2|. （1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)≥t 2−3t 在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围.20．如图，在Rt ABC 中，AB BC ⊥，2AB BC ==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）若E 是线段1A C 的中点，求四棱锥E PBCD -的体积.21．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10y x M a b a b +=>>的两个焦点，椭圆M ，()00,P x y 是M 上异于上下顶点的任意一点，且12PF F ∆面积的最大值为（1）求椭圆M 的方程；（2）若过点()0,1C 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2AC CB =，求直线l 的方程. 22．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.23．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且asinAsin(A +B)+ccos2A=√2b（1）求cb 的值；（2）若ΔABC的面积为b22，求a的值（用b表示）【答案与解析】1．B令真数为1，则可得到定点坐标.真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 2．B由题意易得1z mi =+，计算出iz ，结合纯虚数的概念即可得出结果. 因为复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，1z mi =+， 因为()1iz i mi m i =+=-+为实数，得0m =. 故选：B.本题主要考查了复数的几何意义，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3．A,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则,3233x ππππωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭， 因为单调递增，则232πππω--≥-，所以13ω≤，则ω的最大值为13， 故选A 。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
.2020 届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150 分.考试时间120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 S={1，2}，T={x|x 2＜4x ﹣3}，则 S∩T=（）A ．{1}B ．{2}C ．1D ．22．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1|=|z 2|=1，|z 1﹣z 2|= ，则|z 1+z 2|等于（ ）A ．2B ．C ．1D ．33．设正数 x ，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的 x ，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（）A ．a≥4B ．a ＞1C ．a≥1D ．a ＞44．如图，在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1 的中点，那么异面直线 OE 与 AD 1 所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜206．如图，在 R t△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）A ．（0，C ．（] B ．（，2 ] D ．（2，4]，2]7．数列{a n }中，对任意 n∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n ﹣1，则 a 12+a 22+…+a n 2 等于（）A ．（2n ﹣1）2B ．C ．4n ﹣1D ．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．C ．D ．9．设函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ 是常数，A ＞0，ω＞0），且函数 f （x ）的部分图象如图所示，则有（）A ．f （﹣C ．f （）＜f （）＜f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）） B ．f （﹣D ．f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）＜f （）＜f （ ））10．若圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a ，b ）向圆 C 所作切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．611．若函数 f （x ）=x 3﹣3x 在（a ，6﹣a 2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣1） B ．（﹣ ，﹣1] C ．（﹣ ，﹣2）D ．（﹣ ，﹣2]12．已知 f′（x ）为函数 f （x ）的导函数，且 f （x ）=x 2﹣f （0）x+f′（1）e x ﹣1，若g （x ）=f （x ）﹣ x 2+x ，则方程 g （﹣x ）﹣x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪{1}B ．（﹣∞，1]C ．（0，1]D ．[1，+∞）第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是．的Xf（x）﹣21﹣14116.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．，记角A，B，C18. （本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n （n+1）（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N *），求数列{c n }的前 n 项和 T n ．19. （本小题满分 12 分） 已知圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0．（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆 C 外一点 P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标．20. （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求二面角 F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF ，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1（1）求直线AB的极坐标方程；：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点（2）若过点C（2，0）的直线C2E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5B C C DA6-10A D B D C11-12D A．二．填空题13．﹣814.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴，∴（2）由三角形是锐角三角形可得，，即，，...............4分即由正弦定理得∴，，，=====∵，∴=，，∴，即..............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即，解得：a=﹣1或a=3，，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．….......................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知则A（3，0，0），，．，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当当故[f（x）]min =时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．=．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．.....................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又 ，当 x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而 g'（x ）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g （x ）在[1，e]上为增函数，故 g （x ）的最小值为 g （1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）．......12 分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线 C 1：ρ=﹣ sinθ，∴ρ2=﹣4 ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4 y ，∴曲线 C 1：x 2+y 2+ y=0，∴直线 AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣ ，∴直线 AB 极坐标方程为：θ = - 1( ρ ∈ R ) ．............ 5 分6（2）根据（1）知，直线 AB 的直角坐标方程为 y=﹣x ，根据题意可以令 D （x 1，y 1），则，又点 D 在直线 AB 上，所以 t 1=﹣（2+ t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|= ，同理，令交点 E （x 2，y 2），则有，又点 E 在直线 x=0 上，令 2+t 2=0，∴t 2=﹣ ，∴|CE|=|t 2|= ，∴|CD|：|CE|=1：2．........................... 10 分23.解：（1）∵f（x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式 f （x ）＞2，即 m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式 f （x ）＞2 的解集为（2，4），∴5﹣m=2 且 m+1=4，解得：m=3；....... 5 分（2）关于 x 的不等式|x ﹣a|≥f（x ）恒成立⇔关于 x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3 恒成立⇔|a ﹣3|≥3 恒成立，由 a ﹣3≥3 或 a ﹣3≤﹣3，解得：a≥6 或 a≤0．............. 10 分。