专题2.4 幂函数与二次函数-2021届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

【规律方法】 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析
式的形式，一般选择规律如下：
5
【训练 2】 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有
f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)＝________.
4ac－b2，＋∞ 4a
R
x＝－ b 2a
－ b ，4ac－b2 2a 4a
－∞，4ac－b2 4a
奇偶性 单调性 【微点提醒】
当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数
－∞，－ b
在
2a 上是减函数；
－ b ，＋∞
在 2a
上是增函数
－∞，－ b
在
2a 上是增函数；
－ b ，＋∞
在 2a
上是减函数
【解析】法一 (利用“一般式”解题)
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1，
a＝－4，
由题意得 a－b＋c＝－1， 解得 b＝4，
4ac－b2＝8， 4a
c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
第二篇 函数及其性质
专题 2.04 幂函数与二次函数
【考试要求】 1.通过具体实例，结合 y＝x，y＝1，y＝x2，y＝ x，y＝x3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；
x 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象
因此设 f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在 y＝f(x)的图象上，
所以 3a＝3，则 a＝1.
故 f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
考点三 二次函数的图象及应用
【例 3】 (1)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
7
(2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
【答案】见解析
【解析】
(1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1，
又 f(－4)＝35，f(6)＝15，
是( ) A.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝2x
B.f(x)＝x2－1 D.f(x)＝2x＋1
【答案】 A
【解析】 由存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的 x 恒成立，可得函数图象的对称轴为
x＝a≠0.只有选项 A 中，f(x)＝x2－2x＋1 关于 x＝1 对称. 2
)
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
(2)(2018·上海卷)已知α∈ －2，－1，－12，
1，1，2，3 2
.若幂函数
f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，
则α＝______.
【答案】 (1)A (2)－1 【解析】 (1)由题意得 a－1＝1，且1＝ab，因此 a＝2 且 b＝－1.故 f(x)＝x－1 是奇函数，但在定义域(－∞，
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
1
定义域 值域 对称轴 顶点 坐标
在 y 轴左侧，排除 C，D.
若 a>1，则 y＝loga x 在(0，＋∞)上是增函数，
6
y＝(a－1)x2－x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足. (2)因为 f(x)的对称轴为 x＝－1，f(0)＝a>0，所以 f(x)的大致图象如图所示.
2
由 f(m)<0，得－1<m<0， 所以 m＋1>0，所以 f(m＋1)>f(0)>0. 【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个 点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口” 是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【训练 3】 一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.( ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2.( )
4a 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
1
【解析】 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝xα，故 y＝2x 3不是幂函数，(1)错.
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 a>0，时恒有 f(x)>0，当 a<0，时，恒有 f(x)<0.
Δ<0
Δ<0
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
1
(1)函数 y＝2x 3是幂函数.( )
＝1，y＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练 1】
(1)(2019·洛阳二模)已知点
a，1 2
在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上，则函数 f(x)是(
【答案】 (－∞，－8]∪[16，＋∞)
【解析】 由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝k，所以要使 f(x)在[－1，2]上是单调函数，则有k≤
8
8
－1 或k≥2，即 k≤－8 或 k≥16. 8
【真题体验】
4
2
1
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a＝2 ，b＝3 ，c＝25 ，则( )
3
因为 f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（－1）＝1，所以 m＝1.
2
2
2
又根据题意，函数有最大值 8，所以 n＝8，
x－1 2 所以 y＝f(x)＝a 2 ＋8.
2－1 2 因为 f(2)＝－1，所以 a 2 ＋8＝－1，解得 a＝－4，
所以
f(x)＝－4
x－1 2
2
＋8＝－4x2＋4x＋7.
故 f(x)的最大值是 35.
(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要使 f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4
或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4，
故 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
角度 2 二次函数的恒成立问题
3
3
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
【答案】 A
42
2
2
2
【解析】
因为
a＝23＝43，b＝33，c＝5
又
3
y＝x
3在(0，＋∞)上是增函数，所以
c>a>b.
5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f(x)可能
(2)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知 f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0
B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0
D.f(m＋1)<0
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)若 0<a<1，则 y＝loga x 在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x 开口向下，其图象的对称轴
法三 (利用“零点式”解题)
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，即4a（－2a－1）－（－a）2＝8.
4a 解得 a＝－4 或 a＝0(舍). 故所求函数的【解析】式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
2 0)∪(0，＋∞)不是单调函数.
(2)由题意知α可取－1，1，3.又 y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，
∴α<0，取α＝－1.
4
考点二 二次函数的解析式
【例 2】 (一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定该二次函
数的解析式.
【答案】见解析
6.(2019·菏泽检测)幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8 在(0，＋∞)上为增函数，则 m 的值为________.
【答案源自文库 1
m2－4m＋4＝1，
【解析】 由题意知
解得 m＝1.
m2－6m＋8>0，
【考点聚焦】
考点一 幂函数的图象和性质
【例 1】 (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( )
【答案】 C 【解析】 A 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向上， A 错误； B 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，b>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向上，对 称轴 x＝－ b <0，B 错误；C 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c
【答案】 x2－4x＋3
【解析】 因为 f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，
所以 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称.
又 y＝f(x)的图象在 x 轴上截得的线段长为 2，
所以 f(x)＝0 的两根为 2－2＝1 或 2＋2＝3.
2
2
所以二次函数 f(x)与 x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
2a 的图象应该开口向下，对称轴 x＝－ b <0，C 正确；
2a D 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向下，D 错误. 考点四 二次函数的性质 角度 1 二次函数的单调性与最值 【例 4－1】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值；
(3)由于当 b＝0 时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c 为偶函数，故(3)错.
(4)对称轴 x＝－ b ，当－ b 小于 a 或大于 b 时，最值不是4ac－b2，故(4)错.
2a
2a
4a
【教材衍化】
1， 2 2.(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)＝k·xα的图象过点 2 2 ，则 k＋α＝( )
3
12
12
11
(2)若 a＝ 2 3，b＝ 5 3，c＝ 2 3，则 a，b，c 的大小关系是( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<c<a
D.b<a<c
【答案】 (1)C (2)D 【解析】 (1)设幂函数的解析式为 y＝xα，
因为幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)， 所以 2＝4α，解得α＝1.
2 所以 y＝ x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当 0<x<1 时，其图象在直线 y＝x 的上方，对照选项，C
正确.
2
12
12
1x
12
11
(2)因为 y＝x
在第一象限内是增函数，所以
3
a＝
2
3>b＝
5
3，因为
y＝
2
是减函数，所以 a＝ 2 3<c＝ 2 3，
所以 b<a<c.
【规律方法】 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y
A.1
B.1
C.3
D.2
2
2
【答案】 C
2
【解析】
1， 2
1α
因为 f(x)＝k·xα是幂函数，所以 k＝1.又 f(x)的图象过点 2 2 ，所以 2 ＝
2，所以α＝1，所以
2
2
k＋α＝1＋1＝3. 22
3.(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[－1，2]上是单调函数，则实数 k 的取值范围是________.
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).