一般的旋转曲面方程椭球面双曲面抛物面
大学课件高等数学下学期6-6曲面及其方程
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z02 c2
1
单叶双曲面
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面 的形状.
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x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
z
特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号.
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c) 的交线为圆.
上一页 下一页
(2) a b c
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
z
O
y
x
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那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而
曲面S 就叫做方程的图形．
上一页 下一页
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
第六节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
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一、曲面方程的概念
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
旋转曲面
解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
空间解析几何常见的曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生 .
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
? ? ?
x a
2 2
?
y2 b2
? 1?
h2 c2
(5)
?? z ? h
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
? x2 ?? a 2
?
y2 b2
?
?1
?? z ? 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
? ? ?
y b
2 2
?
z2 c2
?1
?? x ? 0
—yoz面 上的双曲 线
? ? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?1
—xoz面上
?? y ? 0
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
xOy面
:
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
xOz面
:
?? ?
x2 a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
yOz面
:
?? ?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
?? x ? 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 ? y2 ? z2 ? 1 a 2 b2 c2
一般的旋转曲面方程椭球面双曲面抛物面
2
，其母线
的方向数是 1,0,1，求该柱面的方程.
解 设 M1(x1, y1z1) 是准线上的点，过 M1(x1, y1z1) 的母线为
x x1 y y1 z z1
1 0
1
且有 x12 y12 z12 1
2x12 2 y2 2 z2 2 2
由直线方程得 x1 x t, y1 y, z1 z t
代入得 (x t)2 y2 (z t)2 1
2(x t)2 2 y2 (z t)2 2
得
(z t)2 0,t z
所求柱面方程为
(x z)2 y2 1
即
x2 y2 z2 2xz 1 0 .
例2
已知圆柱面的轴为
x 1
y 1 2
z 1 2
，点
M1(1, 2,1)
在此柱面上，求这个圆柱
面的方程.
解法一 记所求的圆柱面为 S 因 S 的母线平行于其轴，母线的方向数为 1，－2，－2，若能求
得圆柱面的准线圆，则用例 1 的方法即可解题. 空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，故圆柱面的准线圆可
看成以轴上的点. M0 (0,1, 1) 为中心， d | M 0M1 | 14 为半径的球面 x2 ( y 1)2 (z 1)2 14 与 过 已 知 点 M1(1, 2,1) 且 垂 直 于 轴 的 平 面
此处 t 的取值应使 t 有确定的意义，则称 f (x1, x2, , xn ) 为 n 元 次齐次函数， 对应的方程 f (x1, x2, , xn ) 0 为 次齐次方程.
例 u x2 y 2 yz 2 xyz 为三次齐次函数.
空间几何旋转曲面方程记忆口诀
空间几何旋转曲面方程记忆口诀空间几何旋转曲面方程记忆口诀一、引子在学习空间几何的过程中，我们经常会遇到旋转曲面方程这一内容。
它们在三维空间中呈现出各种不同的形态，对于我们理解和掌握空间几何的知识至关重要。
但是，由于其复杂的形式和多样的变化，我们往往会感到困惑和不知所措。
本文将结合口诀的形式，带领大家逐步记忆和理解空间几何旋转曲面方程，希望对大家的学习能够有所帮助。
二、空间几何旋转曲面简介在空间几何中，旋转曲面是指直线或者曲线绕着一条轴线旋转而形成的曲面。
它们可以分为圆锥曲面、双曲面、抛物面等多种类型，每种类型又有不同的特点和方程形式。
而要深入理解和掌握这些旋转曲面的方程，我们首先需要记忆它们的具体形式和特点。
三、提出口诀为了更好地帮助大家记忆空间几何旋转曲面的方程，我特意设计了如下口诀，希望能够带给大家一些帮助：“圆锥曲面轴中心，双曲面两异心。
抛物面退化记，口诀带你追。
”四、口诀解读1. 圆锥曲面轴中心：圆锥曲面的方程一般形式为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)当圆锥曲面的轴与坐标轴重合时，即轴线通过空间坐标系的原点时，称之为轴中心圆锥曲面。
2. 双曲面两异心：双曲面的方程有两种形式，一般的双曲面方程为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)当双曲面有两个焦点且与坐标轴相交时称之为双曲面两异心。
3. 抛物面退化记：抛物面的一般方程为：\( z = ax^2 + by^2 \)当抛物面变化成简单曲线的时候，我们称之为抛物面退化。
五、口诀应用以上口诀为大家概括了圆锥曲面、双曲面和抛物面的方程形式和特点。
我们可以根据这些口诀，快速记忆和掌握各类旋转曲面的方程，帮助我们更好地理解和应用空间几何的知识。
六、个人观点对于空间几何旋转曲面方程的记忆，我认为口诀是一种非常有效且有趣的方式。
空间曲面及其方程
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面，该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解： 显然整个球面在同一卦限， 又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点， 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
旋转曲面知识点总结
旋转曲面知识点总结一、旋转曲面的概念旋转曲面是通过将一个曲线或者一个封闭曲线绕着某个轴进行旋转而形成的曲面。
简单来说，就是用一个曲线或者曲线围成的区域来绕着一条直线或者曲线旋转，就可以得到一个旋转曲面。
通常来说，绕直线旋转得到的曲面称为旋转抛物面，绕曲线旋转得到的曲面称为旋转曲线面。
二、旋转曲面的性质1. 旋转曲面是旋转对称的。
这意味着旋转曲面上的每一点都具有旋转对称性，即曲面上的任意一点和以曲面为轴的旋转曲面上的另一点关于曲面旋转中心对称。
2. 旋转曲面具有定向性。
这表示曲线或者曲线围成的区域旋转后得到的曲面具有确定的方向。
3. 旋转曲面是连续的。
这就是说曲线或者曲线围成的区域绕着轴旋转后，曲面上的点是连续的，并且形成了一个完整的曲面。
三、旋转曲面的参数方程求解旋转曲面的参数方程通常可以分为两种情况：一种是绕直线旋转得到的旋转抛物面，一种是绕曲线旋转得到的旋转曲线面。
1. 绕直线旋转得到的旋转抛物面设直线为z轴，旋转曲面为曲线y=f(x)绕z轴旋转得到的曲面。
则可得到参数方程如下：x = r*cosθy = r*sinθz = f(r)其中，r为y轴到曲线f(x)的距离（注意r与polar coordinates中的r不同，不要混淆），θ为极角。
2. 绕曲线旋转得到的旋转曲线面如果是曲线y=f(x)绕曲线y=g(x)旋转得到的曲面，则参数方程如下：x = g(x)*cosθy = g(x)*sinθz = f(x)其中，g(x)是旋转曲线的参数方程，f(x)是曲面的参数方程，θ为极角。
四、旋转曲面的表面积和体积1. 旋转曲面的表面积计算旋转曲面的表面积通常可以使用定积分进行求解。
对于绕x轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫a^b f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx对于绕y轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫c^d x*g(x)*sqrt(1+(g'(x))^2)dx2. 旋转曲面的体积计算旋转曲面的体积同样可以使用定积分进行求解。
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
4.3旋转曲面 4.4椭球面
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
椭球面----双曲面---抛物面
椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。
相应地，将平面叫做一次曲面。
一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。
一、椭球面由方程x a y b z c 2222221++=(1)所表示的曲面叫做椭球面。
1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 a b c ,,叫做椭球面的半轴。
2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。
3、用平行于xoy 坐标面的平面z z z c =≤11()去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 212-与b c c z 212-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1由0渐增大到c 时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。
4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与上述类似的结果。
综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。
5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。
它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆 其半径为a c c z 212-。
6、若 a b c ==，那未(1)变成这是球心在原点，半径为a 的球面。
二、抛物面由方程x p y q z p q 2222+=()与同号(2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
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5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
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( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
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2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
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3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
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y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
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x y z 2 1 2 a c
五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0