第十一章 含时微扰与量子跃迁

1 (0) 0
求t时刻电子的自旋波函数
(t )
解法一： 设t时刻电子的波函数是
a(t ) (t ) b(t )
代入薛定谔方程得
0 1 a(t ) d a(t ) i b(t ) L 1 0 b(t ) dt


11.1.2 Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论
量子态随时间的演化
i t (t ) U (t ) (0) , U (t) T exp H (t )dt 0
更有意思的兴趣： 在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？ 编时算符
设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0Hale Waihona Puke Baidu不含时间)，包括 H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是{|ψn>}，设体系 初始时刻处于某一能量本征态|ψk> 即
H H0 H et /τ
e t /τ 称为绝热因子。
(i / ) m H n 1 0 t / i mn t am (0) m H n e dt 1 i i
则

mn
若τ足够大，则
m H n am 0 0 En Em
§11.3
周期微扰
i (t ) ( H 0 H ) (t ) t
(20)
将(19)代入(20)得
i Cnk (t )eiEnt / n Cnk (t )eiEnt / H n
n n
(21)
上式左乘<ψk´|，并利用本征函数的归一性得
iCk k Cnk eiknt / k H n
(3) 量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同，也可在同能级 间跃迁，如弹性散射，此时 kk 0 此时跃迁概率为
2
1 Pk k (t ) 2
H
0
t
k k
dt
(35)
例题2 设在 t 时，一维谐振子处于基态，问经过微扰
H (t ) eExet
2
/τ 2
(5) (6)
则t时刻的波函数是
(t ) U (t ) (0) e iHt / an n
n
a n e iE n t / n
n
(7)
例题1 设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中 (不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场 的相互作用是 eB eB H B sx x L x c 2c eB L 2c 设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2
后，在 t 时，处在第n个本征态
|n>的概率。 ( t 2 / 2 解： Cn1) () 1 (eE ) n x 0 e eint dt 0 i 1/ 2 利用公式 x (a a ) 2mω (1 及产生与湮灭算符的性质可知，只有 C10) () ，其它均为零 0
上两式相加减得
i L t
e
i L t
i L t
e
i L t
a(t ) cosLt ,
或
b(t ) i sin Lt
cos L t (t ) i sin t L
解法二：体系的能量本征态和本征值分别为
x 1, E E L , x 1, E E L ,
n
(22)
(23)
(24)
其中 初始条件
kn ( Ek En ) /
Cnk (0) nk
在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是
Pnk (t ) Cnk (t )
2
(25)
即体系从初态ψk在t 时刻跃迁到ψn态的概率是Pnk(t) 单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为
d d 2 wnk Pnk (t ) Cnk (t ) dt dt
则
(31)
1 Pk k (t ) 2
e
0
t
i k k t
H k k dt
2
(32)
上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。
上述公式成立的条件是
Pkk (t ) 1, ( for k k )
(33)
即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。
选择定则：若H具有某种对称性使得H´k´k=0, 则Pk´k=0，即在 一级近似下，不能从初态k 跃迁到末态k´,或者说从 k态跃迁到k´态是禁戒的，就相应某种选择定则。
初始条件：a(0)=1, b(0)=0 则
a iLb,
b iL a
两式相加、减得
a b iL (a b),
积分得
a b iL (a b)
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
(0) k
(17) (18)
ˆ ˆ ˆ 加入微扰后体系的哈密顿是 H (t ) H0 H (t )
由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能 保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加
(t ) Cnk (t )eiE t / n
n
(19)
n
在初态条件下求解薛定谔方程
ieE C ( ) 2m
(1) 10
1/ 2



e
t 2 / 2 it
dt
ieE 2 1 / 2 2 2 / 4 ( ) e 2m
1/ 2
跃迁概率为
e 2 E 2 2 2 2 / 2 P C10 () e 10 2m
第十一章 含时微扰与量子跃迁
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5
量子态随时间的演化 突发微扰与绝热微扰 周期微扰与有限时间内的常微扰 能量-时间不确定度关系 光的吸收与辐射的半经典理论
§11.1 量子态随时间的演化
含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题 可分为两类： (1) 系统的Hamilton量不依赖时间 散射问题或行进问题 初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关 (2) 系统的Hamilton量依赖时间 如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、 交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。
注: (1)
Pk k Pkk
(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸 简并态求平均，对终止能级诸简并态求和
如在中心力场中
Enl Enl
(34)
Pnl nl
1 Pnlm,nlm 2l 1 m,m
Pnlm,nlm
是从nlm态到n´l´m´态的跃迁概率
H , ( t / 2) H (t ) , 0 0, ( t / 2) (1)
对薛定谔方程两边积分，并取极限可得
1 /2 lim ( / 2) ( / 2) lim H (t ) (t )dt 0 0 0 i / 2 (2)
( 0) k k ( 0) k k
根据式(24)有
Ck(0) (t ) k k k
(0 一级近似：在式(22)右边，令 Cnk (t ) Cnk ) (t ) nk
由此得出一级近似解
( iCk1k) eikk t H kk
(28)
积分得
1 t ikk t C (t ) e H k k dt i 0
t
跃迁概率是
4 H k k sin[(k k )t / 2] Pk k (t ) Ck k (t ) 2 k k
2 2
2
(2)
利用公式
lim

sin 2 x ( x) 2 x
即
lim
t
sin 2 [(k k )t / 2] t [(k k ) / 2] 2 [(k k ) / 2]
说明突发微扰不改变体系的状态。 例题3：考虑β-衰变
A Z
BZ AC e 1
T ~ (a / Z ) / c a / Zc
释放一个电子的持续时间
原子中1s轨道电子运动的特征时间为 则
~
1 a/Z 137 Zc
T / Z / 137
T
在此短暂的过程中，β-衰变前原子中的一个K层电子的状态还 没有来得及改变，但由于原子核电荷已经改变，原来的状态并 不是新原子的能量本征态，即不是新的1s态，那么原子有多大 概率处于新的1s态？ 1/ 2
Z 3 Zr / a K层电子的波函数是 100 ( Z , r ) 3 e a
P 100 ( Z 1) 100 ( Z ) 1 1 1 1 Z 2Z
3 6 2
则K电子处于新原子1s态的概率是
(26)
如何求 Cnk (t )
?
用微扰法近似求解
H H 0 , Cnk (t ) 1
2
且随时间缓慢变化，体系仍 有很大的概率停留在原来的态。
零级近似：忽略H´的影响，按照(22)式有
(0) 0, C (0) constant Ckk k k
则
C (t ) C (0) Ckk (0)
2 Z 3 ( Z 1)3 2 ( 2 Z 1) r / a 2 (4 ) e r dr 0 2a6
3 1 2 4Z
(1 Z 137)
如Z=10, 则P~0.9932
11.2.2 绝热微扰 与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰 作用时间足够长，变化足够慢。 假定t→-∞时，体系处在无微扰状态，在(0,-∞)的足够 长时间内加入微扰，在t=0时，体系的哈密顿量为
如
11.1.1 Hamilton量不含时的体系 此时含时薛定谔方程的解是
(t ) U (t ) (0) eiHt / (0)
U (t ) eiHt /
(3)
是描述量子态随时间演化的算符。
若初态可表示成 其中
(0) an n
n
(4)
an n (0) H n En n
有限时间内的常微扰
考虑周期为微扰
H (t ) H eit
(1)
i (kk ) t
则在时刻t体系从初态k跃迁到末态k´的跃迁振幅是
1 1 e 1 i (kk ) t Ck k (t ) dt k H k e k H k i 0 i i(k k )
2
含时间微扰与定态微扰的关系 定态微扰是含时微扰的一种近似，事实上，任何微扰总是与 时间有关，如Stark效应，外加电场的时间总是比原子的特征 时间大很多，因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢， 此时可用定态微扰处理。
§11.2 突发微扰与绝热微扰
11.2.1 突发微扰
设体系受到一个突发但有限的微扰的作用
(1) k k
(29)
因此在准确到微扰一级近似下有
Ck k (t ) Ck( 0) Ck(1k) k k k
对k´≠k(初态不同于末态)
1 t ikk t e H k k dt i 0
(30)
1 t ikk t Ck k (t ) e H k k dt i 0

1 1 2 1 1 1 2 1
电子的自旋初态为 则t 时刻的波函数是
1 1 (0) 0 2

cosLt 1 iLt i L t (t ) e e i sin t 2 L