初中九年级数学 1.5测量物体的高度(2)三角函数的应用
利用三角函数解决实际问题的方法
利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。
一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。
利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。
假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。
二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。
利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。
假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。
三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。
利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。
假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。
四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。
利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。
假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。
快速复习初中数学三角函数的计算与应用
快速复习初中数学三角函数的计算与应用数学是一门抽象而精密的学科，而三角函数是数学中的重要组成部分。
在初中阶段，我们学习了关于三角函数的计算与应用，这是数学学习的基础知识之一。
本文将快速复习初中数学三角函数的计算与应用，帮助大家复习和巩固这一重要内容。
一、角的概念及度量在开始讨论三角函数的计算之前，我们先来回顾一下角的概念及度量。
角是由两条射线共同确定的，它可以用来描述物体之间的夹角或者方向的改变。
我们通常用度数来度量角的大小，一个完整的圆周对应角度为360°。
此外，还有一种常用的度量角的单位是弧度，一个完整的圆周对应弧度为2π。
二、三角比的定义与计算三角比是三角函数的重要概念，它们用来描述角与其对应的三角形之间的关系。
在初中阶段，我们主要学习了正弦、余弦和正切三个三角函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数描述了角与其对边之间的关系。
对于一个锐角三角形ABC，其中角A的对边为a，斜边为c。
我们定义正弦函数为sinA = a/c。
2. 余弦函数（cos）余弦函数描述了角与其邻边之间的关系。
对于同一个锐角三角形ABC，其中角A的邻边为b，斜边为c。
我们定义余弦函数为cosA =b/c。
3. 正切函数（tan）正切函数描述了角的对边与邻边之间的关系。
对于同一个锐角三角形ABC，其中角A的对边为a，邻边为b。
我们定义正切函数为tanA= a/b。
根据上述定义，我们可以根据已知的角和边长来计算三角函数的值，或者根据已知的三角函数值来求解未知角或边长。
三、三角函数的应用三角函数在实际生活中有广泛的应用，下面我们简要介绍一些常见的应用场景：1. 高度测量三角函数可以用于测量物体的高度。
我们可以利用正切函数来计算物体的高度。
首先，我们需要测量物体与地面之间的距离（邻边），然后测量我们的视线与地面之间的夹角（角）。
通过使用正切函数，我们可以计算出物体的高度。
2. 角度测量三角函数也可以用于角度测量。
例如，在航空与航海导航中，我们可以利用正弦函数来计算两个位置之间的航向角度。
数学北师大版九年级下册《利用三角函数测高(第2课时)》
M
30°
90 0 90
2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M， 记下此时铅垂线所指的度数。
测量底部可以直接到
达的物体的高度:
M
C
α
E
N
A
1
、在测点A安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的
水平距离AN=l；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求
出MN的高度。 MN=ME+EN=l· tanα+a
M
E N
C A
E N
D B
C A
作业：
补充完善活动报告
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
(第2课时)
新添中学 杨维兵
知识回顾
测角仪的使用方法 测量底部可以到达的物体
高度的方法 测量底部不可以到达的物 体高度的方法
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
P Q
90 0 90
1、把支架竖直插入地面，使支架的中
心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合， 这时度盘的顶线PQ在水平位置。
测量底部不可以直接到
M
达的物体的高度:
C
α
D
β
E
A
B
N
在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角 ∠MCE=α；
在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时 M的仰角∠MDE=β；
量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测
点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据, 可求出物体MN的高度.
M E M E b ,M N M E a t a n t a n
部编北师大版九年级数学下册优质课件 6 利用三角函数测高 (2)
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角
2∠.在M测CE点=Bα.处安置测倾器,测得M的仰角
∠3.量M出DE测=倾β. 器的高度AC=BD=a,以及A,B之间
则的C距D离=AABB==Cb.E－tMaDnEE = taMnE =∴bME(=btatnan－ ttaann) ∴MN(=btatnan－ ttaann)
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角 2∠.量M出CE测=点α. A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a. 可求出MN的高度:MN=ME+EN=ltanα+a.
活动三:测量底部不可以到达的物体的பைடு நூலகம்高所度谓. "底部不可以到达",就是在 地面上不能直接测得测点与被测物 体的底部之间的距离.如图,要测量物 体MN的高度,可以按下列步骤进行:
+a
新课 导入
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量 物体的高度. 活动方式:分组活动、全班交流研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪、测角仪)、皮尺 等测量工具.
进行 新课
活动一:测量倾斜角.
测量倾斜角可以用测倾器.简单的测 倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如右图).
使用测倾器测量倾斜角的 步1. 骤把如支下架:竖直插入地面,使 支架的中心
线、铅锤线和度盘的0°刻 度线重合,
这时度盘的顶线PQ在水 平位置.
2. 转动度盘,使度盘的直径对准目标 P,记下此时
铅垂线所指的读数.
读数α就是目标的仰角,β就是目 标的俯角.
活动二:测量底部可以到达的物 体所的谓高"度底.部可以到达",就是在地 面上可以无障碍地直接测得测点与 被测物体的底部之间的距离.如图,要 测量物体MN的高度,可以按下列步骤 进行:
九年级下册数学课件(北师版)利用三角函数测高
2.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得 仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至C处.测得仰角为 60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
A
D′
C′
B′
D
C
B
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，
D′C′=50 m.
三、测量底部不可以到达的物体的高度
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚
下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解
三角形的知识来求出东方明珠的高度.
M
所谓“底部不
可以到达”，就是
在地面上不能直接
测得测点与被测物
体的底部之间的距 C α D β 离，如图中的AN
Q tan AG , tan AG ,
A
EG
FG
EG AG AG 3AG,
tan tan 30
E
αF
β
G
FG AG AG AG,
CD
B
tan tan 45
CD EF EG FG ( 3 1) AG,
AG CD 60 30( 3 1)(m), 3 1 3 1
利用三角函 数测高
测量底部可以到达的物体的 高度（一次测量仰角）
测量底部不可以到达的物体 的高度的高度
测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户
C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为
48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结
果保留整数）
（参考数据： sin 37o 3，tan37o 3，sin 48o 7 ，tan48o 11 ）
北师大版九年级下册5三角函数的应用第一章：测量物体的高度-三角函数的应用教学设计
北师大版九年级下册5三角函数的应用第一章：测量物体的高度-三角函数的应用教学设计一、教学目标1.理解三角函数概念。
2.掌握三角函数的概念和公式。
3.掌握如何通过三角函数测量物体的高度。
4.培养学生应用三角函数解决实际问题的能力。
二、教学内容1.三角函数的概念和公式。
2.如何通过三角函数测量物体的高度。
3.实际问题求解。
三、教学重难点1.三角函数的概念和公式的理解。
2.实际问题求解。
四、教学环节设计1. 导入环节老师通过视频或图片展示两个人看到楼房高度的不同，引出三角函数的概念，并提出三角函数的作用。
2. 讲解环节1.介绍正弦、余弦、正切的概念以及对应的公式。
2.介绍三角函数的图像和性质。
3. 实际应用环节老师通过教材上的题目或者真实场景中的实例，向学生展示如何通过使用三角函数测量物体的高度。
教师应保证学生理解这种应用是有实际意义的。
4. 总结环节1.教师对本课内容进行总结，提醒学生三角函数是信息与科学领域中一个十分重要的概念。
2.教师要求学生回答提出的问题，考察对学生是否对本课内容进行了充分的理解。
五、教学方法本节课采用“讲、练、课堂探究”相结合的教学方法。
六、教学手段黑板、多媒体课件等。
七、教学评估在教学过程中，老师可以在课堂上设置练习和小作业，以便帮助学生理解本节课内容。
老师通过观察学生的表现，以教师与学生对话的形式进行评估。
八、教学扩展在教学完本节课的内容后，老师可以指导学生进行三角函数的扩展学习，如：三角函数解析式、三角函数在解决生活问题中的应用等。
这将有助于学生更好地理解三角函数的应用和概念，帮助学生建立对数学概念的深入理解。
九年级数学下册《利用三角函数测高》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握正弦、余弦、正切三角函数的定义及其在解决实际问题中的应用。
2.理解并运用直角三角形的边角关系，解决高度、距离等实际问题。
3.学会使用计算器或计算工具，进行三角函数的计算，提高计算准确性和效率。
4.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
2.教学内容：梳理三角函数在测高问题中的应用，形成知识体系。
3.教学评价：通过学生自我评价、小组评价和教师评价，了解学生对本节课知识的掌握程度，为下一步教学提供参考。
在教学内容与过程中，注重理论与实践相结合，关注学生的参与度和思维发展。通过导入新课、讲授新知、学生小组讨论、课堂练习和总结归纳等环节，使学生掌握三角函数在测高问题中的应用，提高他们解决实际问题的能力。同时，关注学生的情感态度与价值观的培养，激发他们对数学学科的兴趣和热情。
（3）合作探究：设计测高问题，让学生分组讨论，共同探讨解决问题的方法。
（4）实践操作：组织学生进行实地测量活动，使他们在实践中掌握三角函数的应用。
（5）总结反馈：引导学生总结测高问题中的关键步骤和方法，形成知识体系。
2.教学策略：
（1）情境教学法：以实际生活中的问题为载体，创设情境，让学生在情境中感知、体验和解决问题。
（2）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计不同难度的教学活动和练习，使每个学生都能得到有效的提高。
（3）启发式教学：引导学生通过观察、思考、交流，主动发现问题和解决问题。
（4）评价激励：运用多元化的评价方式，关注学生的过程表现，激发他们的学习积极性。
3.教学步骤：
（1）新课导入：展示生活实例，提出测高问题，引导学生思考。
九年级数学利用三角函数测高
测量高度是数学中一个重要的应用问题，利用三角函数可以有效地解决这类问题。
三角函数是研究角和三角形之间关系的数学工具，包括正弦、余弦和正切等函数。
下面我们将详细介绍如何利用三角函数测量高度的方法。
首先，我们需要明确什么是三角函数。
在一个直角三角形中，我们可以定义三个重要的比率：正弦、余弦和正切。
正弦（sine）函数表示一个角的对边与斜边之比，记作sin。
余弦（cosine）函数表示一个角的邻边与斜边之比，记作cos。
正切（tangent）函数表示一个角的对边与邻边之比，记作tan。
在测量高度的问题中，我们可以利用正切函数来解决。
假设我们要测量一个物体的高度，我们只需要找到一个合理的角度，测量与物体顶点相对应的斜边长度和与地面相对应的邻边长度，然后通过相应的三角函数计算出物体的高度。
具体步骤如下：1.找到一个合适的角。
选择一个适合的角度，最好是仰望物体的角度，使得斜边和邻边都容易测量。
2.测量斜边和邻边长度。
使用测量工具例如量角器、直尺等工具，测量出斜边和邻边的实际长度。
3. 计算三角函数。
利用正切函数的性质，高度（对边）与邻边的比值可以表示为tan函数。
即 tan(角度) = 高度 / 邻边。
4.解方程求解。
将已知的斜边长度、邻边长度和求解的角度代入以上方程，通过解方程求解，可以得到物体的高度。
总结一下，利用三角函数测高的步骤：选择角度、测量斜边和邻边长度、计算三角函数、解方程求解。
通过这样的方法，我们可以在不直接测量物体高度的情况下，利用三角函数关系计算出物体的高度。
除了利用正切函数测量高度，我们还可以利用正弦或余弦函数来测量高度。
这些方法在特定的条件下也可以有效地解决测量高度的问题。
需要注意的是，三角函数测高的方法适用于测量具备一定高度，但是无法直接测量的物体，例如高楼大厦、山峰等。
但是对于一些无高度要求的物体，例如台灯、植物等，可以直接使用直尺等工具进行测量，无需利用三角函数。
综上所述，利用三角函数测量高度是数学中的一个重要应用问题，可以帮助我们在现实生活中解决高度测量的难题。
北师大版初中数学九年级下课件：三角函数的应用、利用三角函数测高
关系式
AG=AC+CG=AC+BE
图形
BC=DC-BD =AD·(tanα-tanβ)
1 1 ( ) BC=BD+DC=AD· tan tan
关系式
测倾器
皮尺
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.对于方位角,各观测点的南北方向线不一定平行.( ) 2.若从点A看点B在北偏东60°方向,则从点B看点A在南偏西 × 30°方向.( ) 3.从不同位置观察同一物体,方位角一定不同.( ) 4.测量物体的高度时至少要知道三个数据.( ) ×
×
×ห้องสมุดไป่ตู้
知识点一 与方位角有关的问题 【示范题1】如图,在东西方向的海岸线MN上有A,B两艘船,均收 到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知船P在船A的北偏东58°方 向,船P在船B的北偏西35°方向,AP的距离为30n mile.
30 20 19.4 15
【想一想】 示范题1中A，B两艘船的距离是多少(精确到0.1 n mile)？ 提示：在Rt△APE中，AE=AP·cos∠PAE=AP·cos 32°≈ 25.441，在Rt△BPE中，BE= ≈11.133， ∴AB=AE+BE=25.441+11.133≈36.6 n mile.
PE tanPBE
【微点拨】(1)对于方位角,各观测点的南北方向线(东西方向 线)互相平行. (2)解决实际问题时常要列方程求解,列方程时常用的等量关系 有勾股定理、相似三角形的性质和三角函数的定义等.
【方法一点通】 运用三角函数解决实际问题“三步法”
知识点二 测量物体的高度 【示范题2】宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是标志性建筑 之一(如图①),喜爱数学实践活动的小伟查资料得知:大观楼始 建于明代(一说是唐代韦皋所建),后毁于兵火,乾隆乙酉年 (1765年)重建,它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一. 小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度,如图②,他利 用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进12m 到达A处,在A处测得P的仰角为60°.请你帮助小伟算算大观楼 的高度.(测角仪高度忽略不计, ≈1.7,结果保留整数).
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
无论是物理学、工程学还是计算机科学，都离不开三角函数的应用。
本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。
一、物理学中的三角函数应用1. 三角函数与运动学：在物理学中，我们经常研究物体的运动，而三角函数可以帮助我们描述物体的位置、速度和加速度等。
例如，对于一个简谐运动的物体，其位置可以用正弦函数或余弦函数来描述，速度和加速度可以通过对三角函数求导得到。
2. 三角函数与波动现象：波动是物理学中重要的现象，而三角函数可以用来描述波的特性。
例如，正弦函数可以用来描述周期性波动的振幅、频率和相位等特征。
光的传播、声音的传播等都可以通过三角函数来解释和预测。
二、工程学中的三角函数应用1. 三角函数与测量学：测量学是工程学中的重要组成部分，而三角函数是测量学中常用的工具。
例如，三角测量法可以利用正弦定理和余弦定理计算出未知角度或距离。
三角函数还可以用于测量物体的高度、长度等。
2. 三角函数与结构力学：工程学中的结构力学涉及到物体的应力和应变等，而三角函数可以帮助计算这些物理量。
例如，对于一个受力作用的桥梁，我们可以利用正弦函数和余弦函数计算关键点的力的方向和大小。
三、计算机科学中的三角函数应用1. 三角函数与图形处理：在计算机科学中，图形处理是一个重要的领域，而三角函数在图形处理中有广泛的应用。
例如，计算机生成的图像可以利用正弦函数和余弦函数来定义形状和位置，以及实现图像的旋转、缩放等效果。
2. 三角函数与信号处理：信号处理是计算机科学中一个重要的研究领域，而三角函数可以帮助分析和处理信号。
例如，傅里叶变换是信号处理中常用的方法之一，而三角函数是傅里叶变换的基础。
综上所述，三角函数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
无论是描述运动、波动，还是解决测量和结构力学问题，三角函数都起到了至关重要的作用。
在日常生活中，我们也可以通过学习三角函数来更好地理解和解决实际问题。
北师大版九下数学1.5三角函数的应用教案(3课时)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数应用相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室内的物体高度，演示三角函数的基本原理。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握三角函数概念及其应用，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力，使其能运用三角函数知识解决实际问题。
2.通过对直角三角形和特殊三角形中三角函数的研究，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.在解决问题的过程中，提高学生的数据分析能力，使其能够从实际问题中抽象出数学模型，运用数学工具进行求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-利用锐角三角函数解决直角三角形中的计算问题（如：已知两边和夹角求第三边，已知一边和两个角求其他边和角等）
-实际问题中的应用（如：测量物体的高度、距离等）
3.第三课时：三角函数在特殊三角形及多边形中的应用
-探索并应用三角函数在等腰三角形、等边三角形等特殊三角形中的性质
-三角函数在多边形中的应用（如：求解多边形的内角和、外角和等）
五、教学反思
初三教案利用三角函数测高2
1.6 利用三角函数测高本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.因此本节课采用活动的形式，先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.综合运用直角三角形的边角关系的知识.解决实际问题，培养学生不怕困难的品质，发展学生的合作意识和科学精神.学习中，关注的是学生是否积极地投入到数学活动中去.在活动中是否能积极想办法，克服困难，团结合作等.教学目标知识与技能目标能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.过程与方法目标经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
情感与价值观要求通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.教学重点、难点设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。
教具准备自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.教学过程提出问题，引入新课现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？活动一：设计活动方案，自制仪器首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器.制作测角仪时应注意什么?支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下.一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤)活动二：测量倾斜角（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角.问题1、它的工作原理是怎样的？如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA ＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数.问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.活动三：测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.要测旗杆MN 的高度，可按下列步骤进行：(如下图)1.在测点A 处安置测倾器(即测角仪)，测得M 的仰角∠MCE=α.2.量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN ＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC ＝a(即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN 的高度.在Rt △MEC 中，∠MCE=α，AN=EC=l ，所以tan α=ECME ，即ME=tana ·EC ＝l ·tan α.又因为NE ＝AC ＝a ，所以MN ＝ME+EN ＝l ·tan α+a. 活动四：测量底部不可以到达的物体的高度.所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示)：1.在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE ＝α.2.在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪(A 、B 与N 都在同一条直线上)，此时测得M 的仰角∠MDE=β.3.量出测角仪的高度AC ＝BD ＝a ，以及测点A ，B 之间的距离AB=b根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出MN 的高度。
三角函数的应用与实际问题
三角函数的应用与实际问题引言数学是一门非常重要的学科，它在我们的生活中无处不在。
其中，三角函数作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用。
三角函数的应用可以帮助我们解决各种实际问题，从测量到建筑设计，从天文学到音乐，都离不开三角函数的应用。
本文将探讨三角函数在实际问题中的应用，以及它们在不同领域中的重要性。
一、三角函数在测量中的应用1. 角度测量三角函数最基本的应用之一是角度测量。
在测量中，我们经常需要测量物体之间的夹角或者方向。
而三角函数提供了一种有效的方法来测量这些角度。
例如，在导航中，我们可以使用三角函数来计算航向角，从而确定船只或飞机的航向。
此外，在地理测量中，三角函数也被广泛应用于测量地球上不同地点之间的角度和距离。
2. 高度测量三角函数还可以用于测量物体的高度。
在现实生活中，我们经常需要估计建筑物、山峰或其他物体的高度。
通过测量物体的底边长度和与水平线的夹角，我们可以使用三角函数来计算物体的高度。
这种方法被广泛应用于工程测量、地质勘探和地形测量等领域。
二、三角函数在物理学中的应用1. 力的分解三角函数在物理学中的应用非常广泛。
其中一个重要的应用是力的分解。
在物理学中，一个力可以被分解为两个分力，分别作用于不同的方向。
通过应用三角函数，我们可以计算出这两个分力的大小和方向。
这种方法在力学、静力学和动力学等领域中被广泛使用。
2. 振动和波动三角函数也可以用于描述振动和波动现象。
在物理学中，振动和波动是一种重要的现象，涉及到周期性的运动。
通过使用三角函数，我们可以描述振动和波动的特征，如频率、振幅和相位等。
这种描述方法被广泛应用于声学、光学和电磁学等领域。
三、三角函数在工程中的应用1. 建筑设计三角函数在建筑设计中有着重要的应用。
建筑师和工程师经常需要计算建筑物的斜坡、倾斜角度和梯度等参数。
通过使用三角函数，他们可以计算出这些参数，以便进行建筑设计和结构分析。
此外，三角函数还可以用于计算建筑物的阴影和光照角度，以提供更好的设计和舒适性。
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。
通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。
同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。
2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。
（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。
北师大版九年级下册5三角函数的应用第一章：测量物体的高度-三角函数的应用教学设计 (2)
北师大版九年级下册5三角函数的应用第一章：测量物体的高度-三角函数的应用教学设计一、教学目标1.了解三角函数的概念，以及它在实际测量中的作用；2.掌握利用三角函数来测量高度的方法；3.能够运用所得知识完成实际问题的解决。
二、教学内容本章主要探讨三角函数在测量物体高度中的应用。
包括三角函数的概念、三角函数与直角三角形的关系、三角函数在实际测量中的应用，以及通过计算测量物体高度的方法。
具体内容如下：1.三角函数的概念；2.正弦、余弦、正切函数的定义与图像；3.三角函数与直角三角形的关系；4.三角函数在实际测量中的应用；5.通过计算测量物体高度的方法。
三、教学方法结合实例，以问答式教学为主，辅以实验、讨论、解决问题等形式。
在教学过程中，通过实验与讨论加深学生对三角函数应用的理解，提高学生的实际动手能力。
1.引入根据学生的实际情况，通过图片、实物等途径让学生感受物体高度的概念，在此基础上引入本章的核心：三角函数的应用。
2.三角函数的概念介绍三角函数的定义，并展示三角函数的图像。
帮助学生通过图像形象地理解三角函数。
3. 正弦、余弦、正切函数的定义与图像进一步介绍正弦、余弦、正切函数，并讲解它们的定义与图像。
通过图像让学生感受三角函数的升降变化和周期性。
4. 三角函数与直角三角形的关系让学生通过实验、讨论等形式理解三角函数与直角三角形的关系，进一步强化三角函数的概念。
5. 三角函数在实际测量中的应用讲解三角函数在实际测量中的应用，引导学生思考如何借助三角函数计算物体的高度。
6. 通过计算测量物体高度的方法结合实例，运用所学的知识，通过计算测量物体高度的方法，梳理应用三角函数测量物体高度的步骤。
7.小结对所学内容进行总结，并对不熟悉的知识点进行补充和强化，确保学生掌握本章的重点内容。
1.通过考试形式对学生对三角函数的掌握程度进行评估；2.通过小组讨论等形式检验学生对本章知识的理解情况。
六、教学资源教材、黑板、多媒体教学设备等。
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2、解决这类测量问题往往是寻找或构造直角三角形 ，通过解直角三角形使问题得于解决。
直角梯形
直角三角形
解直角三角形
矩形
问题2、若旗杆不在操场上， 而在教学楼顶，如何在操场 上测得旗杆的高度呢？
方案： 分别解Rt △ABC
、Rt △FBC，求出AC，FC。 A ∴AF=AC-FC=a（tan β-tan α） F
E
BC
FD
辨析与研讨
1、从理论上讲方案一可以完成测量任务，但应考 虑到实际操作中测倾器本身有一个高度，不易实施。
2、方案二是一个切实可行的方案。 3、方案三由于在测量中涉及到了旗杆和人的影长 数据 需知，在实际测量时必须是晴天且影子清晰方 可实施。
反思与评价
1、充分体会将实际问题数学化的一种常用方式 ：即通过分析问题，建立数学模型，从而提出较 为完整的测量方案和解决问题的方法。
退出
问题1 学校操场上的国旗杆要更换，要求新 旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆 高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任 务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量 方案。
测国旗杆的高度
一、测量工具：皮尺（长度用a、 b、c……表示 ）
示）
测倾器（角度用 α、β 、γ ……表
二、要求：1、设计测量方案
∵CDBE为矩形，
A
∴BE=CD=b，CE=BD=a
在RtΔAEC中，
E
AE=EC • tan α。
B
∴AB=AE+EB=b+a • tanα
αC
D
方案三：
知道自己的身高EF为c,用皮尺量出旗杆的影长BC=a，和
人的影长FD=b。
A
∵ ΔABC∽ ΔEFD
∴ AB BC EF FD
∴ AB= ac 。 b
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***********************设情景 自主探索 辨析研讨 反思评价
C
D
β
B
α
E
自主探索
问题3、若旗杆的底部不能直接 到达，假设中间隔一条河，又如何 测得旗杆的高度呢？
方案：
分别解Rt △ABC、 Rt △ACD找
到已知与未知之间的等量关系，建
立方程。
A
BC=x·cot α，CD= x·cot β
∵BC-CD=BD， ∴ x·cot α- x·cot β=a
a
X=
C
cot cot
a
E
∴AE=AC+CE= cot cot + b
B βα
D
FG
反思与评价
1、凡是求高（求线段的长）的问题往往可 以借助解直角三角形来解决，如果没有直角 三角形可以设法去构造。
2、对于一些教复杂的问题，如果解一个 直角三角形还不能使问题得以解决，可考虑 解两个直角三角形。
3、如果不能直接通过解直角三角形处理问题， 可以去寻找已知与未知之间的等量关系，借助解 直角三角形建立方程，从而使问题得以解决。
自主探索
方案一：
在操场上取一点B，用皮尺测出B点到旗杆底C
的距离BC=a；在B点用测倾器测出旗杆顶的仰角 α
。
A
在RtΔABC中
∵tan α = AC
BC ∴AC=BC•tan α=a • tanα
α
Ca
B
方案二：
考虑到测倾器本身有一个高度，因此先量出 测倾器的高CD=b，再量出测倾器到旗杆底的距 离BD=a ,测出点C到旗杆顶A点的仰角α 。