三角函数的图象和性质复习课

2006-12月，天津市第二届“信息技术优化教学过程优秀教学设计”中学组二等奖。

三角函数的图象和性质

复习课之教学设计

天津开发区国际学校

何韬

通讯地址：天津开发区晓园街9号

邮编：300457

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三角函数的图象和性质复习课之教学设计

天津开发区国际学校何韬 300457

【知识目标】①掌握作函数y=Asin(ωx+φ)的简图的方法――五点法和图象变换法；

②了解函数的变换思想；

③三角性质的综合应用

【能力目标】经历猜想、观察、操作、推理等活动，培养观察能力，提取信息的能力，运用现代工具进行探索的能力；并渗透先猜后证的数学探索和研究方法；

通过图象变换不同方式的比较，渗透函数代换思想和数形结合思想

【情感态度目标】经历自主探索和交流合作，分享思想交流带来的乐趣和成就，逐步养成探究习惯和小组分工合作意识。

【教学重点和难点】三角性质的综合应用

【课题的主要体现】1、运用图形计算器，与VCE合理并进；

2、师生运用图形计算器和计算机课件 (ppt演示文稿, 几何画板，图

形计算器软件)，进行研究和探讨，交流合作，操作实践

【主要内容及步骤简介】

第一步：复习用五点法和图像变换法作三角函数的图像；

第二步：复习正、余弦函数的性质；

第三步：以一道综合题来应用巩固知识并培养、提高能力。

第四步：练习，小结和作业。

教学步骤实在是极为普通，学生也很容易枯燥乏味。为充分调动学生，体现新课改思想，我这样来设计教学的每个环节。

【教学设计】

一、五点法作图要点说明及举例（对比教学，突出选点方法及操作步骤）

例：作以下两图在一个周期内的图像

y=cosx y=3sin(2x+2π/3)

操作步骤：（注意两表的不同，指出选点方法） 列表 描点 连线（平滑曲线）

【设计说明】：用实例复习取代单纯的理论复习和罗列知识框架，更利于学生的参与。变“单纯的抽象理论”为“由形象认识逐渐抽象到理论规律”，符合学生的认知规律。所以，我以y=cosx ，22sin(2)3

y x π

=+

为例，

以学生口答和笔答的形式，通过两例对比，突出五点法的三个步骤及实施关键；

二、 图象变换法作图：以一个例题来说明

1、复习y=Asin(ωx+φ) ，A ＞0中三个参数在函数图像变换的作用。

2、例：写出由y=sinx 图像到图像22sin(2)3

y x π

=+

的变换步骤， 并指出是先伸缩后平移，还是先平移后伸缩。（箭头上下方均须填空……） (1)y=sinx

23

2)

3x x π

π+

−−−−−−−−−−→

　左移

个单位函数代换思想：将代换为(2sin()

3

y x π

=+1

2

2−−−−−−−−−→

　横坐标缩为　

函数代换思想：将x代换为x

2sin(2)3y x π=+2−−−−−→纵坐标变为倍

22sin(2)3

y x π=+,这是先_____后_____平移量是________

(2) y=sinx −−−−−

→ 2sin y x =−−−−−→　

2sin 2y x = −−−−−→　

2sin 2()3y x π=+22sin(2)3x π=+，这是先_____后_____

平移量是________

说明：1、函数代换思想。关键点：每次变换均是将x ．

进行代换。 2、体现由图象y=sinx 变换到y=Asin(ωx+φ) ，A ＞0的一般方法：一是先平移后伸缩，二是先伸缩后平移，但它们的平移量不同。两次的平移量分别是________________

【设计说明】：

1、以由y=sinx 图像到图像22sin(2)3

y x π

=+

的两种变换步骤(‘先平移后伸缩’，

‘先伸缩后平移’)为例，通过比较，让学生自己发现和领悟其中的规律，来突出变换步骤，并体现出函数的代换思想。

2、采用“接龙问答”的游戏方式，提高学生兴趣。即在问答中，被提问学生可以直接指出下一个问题的回答者，依此类推，往后延续，调动学生的参与积极性。

3、理论推导的过程中，鼓励小组同学分工，使用图形计算器验证自己的每一步推导。最后教师用几何画板展示两类变换。

三、正余弦函数图象的性质(观察，讨论，指出下表中的错误之处)

y=Acos(ωx+φ) (ω>0) 的周期的求法：T＝2π/ω

【设计说明】：

1、常见的“画出表格，一一罗列”复习形式容易让学生有枯燥乏味之感，毕竟学生在这一过程中是被动接受的，而且是在接受着自己已经学过的东西。这势必会使学生因缺乏新鲜感，而削弱了学习的积极性和主动性。

2、于是，基于新课改精神，给学生更多的参与，更多的自主探究和交流合作，我

这样去设计这一步的教学：

１）把性质一一列在表格中，让学生找出表中的错误所在，增加趣味性。 ２）启用“小组学习”，鼓励组员间互相商量，讨论，得出一致意见，之后让组代表回答。以图复习形式新颖并且有效，调动学生积极参与。

四、综合应用（体现运用工具的能力，培养自主探索的兴趣和方法，可利用图形计算

器和课件）

例：已知21sin cos 2y x x x x R =

+∈ （1） 试判断函数是否为周期函数。若是，周期为多少？ （2） y 取最大值时x 的集合

（3） 如何由y=sin x 图像变换得到该函数的图像？

我从以下几个方面和步骤来启发学生：设疑启疑，猜，工具，化简，提取信息 A 、设疑启疑：这是一个怎样的表达式？你能判断这个函数的周期吗？你能判断它是否为周期函数吗？你知道其图像形状吗？你找到这个题的切入点吗？

B 、猜？----先猜后证，是一种探索世界、研究和解决问题的好方法。在合适机会启用小组同学分工合作，绘图、运算、观察图形特征，比较推导结果与图像结果是否一致等等。

C 、点出可以利用图形计算器作图，观察图像得出结果。----[由观察得出的结果尽管不能保证严谨和精确，但在实际生活和探索中也不失为一种好的想法和常用方法。值得肯定的是：作出的图像往往能起到提示的作用，往往能激起思维和智慧的火花。] 观察类似三角的图像，猜想表达式化简变形为y=Asin(ωx+φ)形式，并尝试将函数化简变形，一步一步地探索。

D 、或通过挖掘题目的有用信息来猜想：如第3问，如何由正弦曲线变换得到该函数的图象？其实在暗示着该图象其实可由正弦曲线通过平移，翻折，对称，伸缩等变换方法得到？这时可猜想该函数应该可化简变形为y=Asin(ωx+φ)形式。

E 、在巡视中，物色典型，让小组代表上台，展示本组同学的思路和解题过程，促进组间交流。

F 、调动学生自己设计问题，继续探索，延伸课堂。在解决完例题中的三个问题之