一类直线斜率取值范围的简便求法

一类直线斜率取值范围的简便求法

吴家华（四川省遂宁中学校 629000）

我们知道，直线划分平面区域：)0(0><++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 左侧的平面区域；)0(0>>++A C By Ax 表示直线0=++C By Ax 右侧的平面区域. 由此我们很容易得出如下几个有关直线划分平面区域的结论：

性质 1 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若21,P P 在直线l 的异

侧，则有 .0))((2211<++++C By Ax C By Ax

性质2 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若直线l 与线段21P P

相交，则有 .0))((2211≤++++C By Ax C By Ax

性质3 设直线0,C By Ax =++：l 点),,(111y x P ),(222y x P ，若21,P P 在直线l 的同

侧，则有 .0))((2211>++++C By Ax C By Ax

应用上面的性质，能够迅速地解决一类直线斜率的取值范围问题.请看下面的例子. 例 1 直线l 过点)2,1(-M 且与以点)0,4()3,2(Q P 、--为端点的线段恒相交，则l 的斜率的取值范围是（ ） A. ]5,52[- B.]5,0()0,52[ - C.),5[]52,(+∞--∞ D. ]5,2

()2,52[ππ - 分析 本题许多学生选择答案A, 主要原因是没有掌握斜率变化的本质.老师讲解时即使弄懂了，但过后还是会有很多学生犯同样的错误.此类问题的一般解法是：先求出M 点与线段端点P, Q 连线的斜率)(,2121k k k k <，过点M 作y 轴的平行线，若该直线与线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围为),[],(21+∞-∞k k ；若该直线与线段PQ 无交点，则l 的斜率的取值范围为],[21k k .按此法可以正确地求解这类问题，但过程较繁.这里我们应用上面的性质2给出本例的一个简便解法.

解 设直线l 的方程为),1(2+=-x k y 即 .02=++-k y kx

∵直线l 与线段PQ 相交，由性质2，得：

0)204)(232(≤++-+++-k k k k 即0)5

2)(5(≥+

-k k 52k ,5-≤≥∴或k ，故应选C.

例2 已知点（3，1）和（,4-6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围 是 .

解 由题意及性质1，得：

0]62)4(3)[1233(<+⨯--⨯+⨯-⨯a a

即0)24)(7(<-+a a

∴ .247<<-a

故应填 .247<<-a

例3 已知点A(2, 3 ), ),2,3(--B 若直线m 过点P(1, 1)且与线段AB 没有公共点，则直线m 的斜率k 的取值范围是（ ） A. 43>k B. 243<

3k ,2<>或k 解 设直线m 的方程为)1(1-=-x k y ,即.01=-+-k y kx

∵直线m 与线段AB 没有公共点，∴点A,B 在直线m 的同侧.

由性质3，得：

.0)123)(132(>-++--+-k k k k

即 0)4

3

)(2(<--k k ∴ .24

3<

例4 若直线与：2k kx y 1++=l 42x y 2+-=：l 的交点在第一象限，则k 的取值范围是 .

解 因为2l 与x 轴、y 轴分别交于点),4,0(),0,2(B A 那么1l 与2l 的交点在第一象限⇔点

A 、

B 在直线1l 的两侧,由性质1，得：

0)240)(202(<++-⋅++-⋅k k k k

即 0)2)(32(<-+

k k ∴ .23

2<<-k 故应填 .23

2<<-k 从以上几例的解答过程，我们不难看出，应用直线划分平面区域的性质来求这类直线斜率的取值范围比应用斜率的变化来解答要简捷得多，而且学生一般都容易掌握且不会出错，因此有必要向读者介绍,大家一同分享.