34机器人运动学雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
简述机器人雅可比矩阵的概念
简述机器人雅可比矩阵的概念机器人雅可比矩阵是机器人控制理论中的一个重要概念，它描述了机器人末端执行器在关节空间和笛卡尔空间中的运动学关系。
本文将从机器人运动学的基本概念入手，介绍雅可比矩阵的定义、性质和应用，以及在机器人控制中的重要作用。
一、机器人运动学基本概念机器人运动学是研究机器人运动规律和运动参数的学科，它是机器人控制理论的重要组成部分。
机器人运动学主要分为正运动学和逆运动学两个部分。
正运动学是指通过机器人关节角度计算机器人末端执行器的位置和姿态，即把关节空间的运动状态转换为笛卡尔空间的运动状态。
逆运动学则是指通过机器人末端执行器的位置和姿态计算机器人关节角度，即把笛卡尔空间的运动状态转换为关节空间的运动状态。
正逆运动学是机器人控制中的基本问题，也是机器人实际应用中必须解决的问题。
机器人运动学中的基本概念包括机器人坐标系、机器人关节角度、机器人末端执行器的位置和姿态等。
机器人坐标系是机器人运动学中的一个基本概念，它是描述机器人运动状态的基础。
机器人坐标系可以分为基座坐标系和工具坐标系两种类型。
基座坐标系是机器人的固定参考系，通常与机器人底座相对应。
工具坐标系则是机器人末端执行器的参考系，通常与机器人末端执行器的位置和姿态相对应。
机器人关节角度是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人关节运动状态的参数。
机器人关节角度通常用关节角度向量表示，例如q=[q1, q2, ..., qn]T，其中n是机器人关节数量。
机器人关节角度向量是机器人控制中的重要参数，它可以用来控制机器人的关节运动状态。
机器人末端执行器的位置和姿态是机器人运动学中的另一个基本概念，它是描述机器人末端执行器运动状态的参数。
机器人末端执行器的位置通常用位置向量表示，例如p=[x, y, z]T，其中x、y、z 是机器人末端执行器在笛卡尔空间中的位置坐标。
机器人末端执行器的姿态通常用姿态矩阵或欧拉角表示，例如R=[r11, r12, r13; r21, r22, r23; r31, r32, r33]，其中r11、r12、r13、r21、r22、r23、r31、r32、r33是姿态矩阵的元素。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
(完整版)机器人学_机器人雅可比矩阵
dy
,
dz
)Rot(k, d)
I 44
k z d
k y d
0
kzd
0
k x d
0
k y d kxd
0
0
dx
dy
dz
0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，
δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
1 0 0 0
例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪
作用于外界环境的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，若关节无摩擦
力存在，求力 的等效关节力矩
。
解：由前面的推导知
0F [Fx , Fy ]T
所以得：
y0
2
1
x0
图3-18 关节力和操作力关系
例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩
传感器，若已测出传感器上的力和力矩
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
解：因为已知
，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可
根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即
求得
，
4.2 机器人的静力学
v F
[
v f,
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵是一种用于分析机器人运动学的方法。
它是一
个m x n矩阵，其中m是机器人的关节数，n是要求输出的目标点坐标数。
矩阵中的每一行对应于一个机器人关节，每一列对应一个目标点
坐标。
矩阵的每个元素都是一个实数，表示该关节的角度或目标点的
坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依赖性。
通
过解雅可比矩阵，可以求出所需的机器人关节的角度值，从而实现机
器人末端外型的控制。
通常来说，雅可比矩阵是由机器人的齐次变换矩阵计算得来的，
如下所示：
T_01=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)
T_02=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)
T_03=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)*T (θ6)
这里，T (θi)是一个4x4变换矩阵，代表第i个关节的关节转动，θi是该关节的角度。
现在，我们可以用下面的公式来计算雅可比矩阵：
J(θ)=(dT_0j/dθ1)T_01^-1+(dT_0j/dθ2)T_02^-
1+(dT_0j/dθ3)T_03^-1
这里，j=1,2,3，分别对应3个目标点的坐标值，即x、y、z。
可以看到，雅可比矩阵是一个m×n维矩阵，其中m是机器人的关
节数，n是要求输出的目标点坐标数。
它的元素表示每个关节的角度或
目标点的坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依
赖性。
只要解雅可比矩阵，就可以获得机器人末端各个关节的角度值，从而将机器人移动到特定的目标位置。
雅可比矩阵在机器人运动中的应用
雅可比矩阵在机器人运动中的应用
1、什么是离散雅可比矩阵
离散雅可比矩阵(Discrete Jacobian Matrix)是一种矩阵，它可以用来在机器人运动中表征机器人关节的变化。
它的各元素表示的是每个关节的误差，当关节变动时它们之间以特定的函数或将坐标变换。
它是一个多列多行的矩阵，是一种具有变换性质的矩阵，具有不好求解的变换能力。
2、雅可比矩阵在机器人运动中的应用
a. 雅可比矩阵可用于机器人运动的运动规划。
例如，对于一个六轴机器人，可以利用雅可比矩阵计算出一组关节变换，实现机器人从起始点移动到目标点的运动规划。
b. 雅可比矩阵可以用来计算每个关节的变化，这有助于机器人可编程实现直线和曲线运动。
c. 雅可比矩阵可用于分析转动角速度和角度变化。
d. 雅可比矩阵可用于计算相关度，判断机械臂移动是否稳定。
e. 雅可比矩阵可用于某些运动学算法中，用来计算机器人关节的运动学参数，例如机械臂的位置，速度，加速度以及操纵力和力矩。
f. 雅可比矩阵可用于计算右手法则，以计算机器人操纵力和力矩及其变化。
3、雅可比矩阵的优缺点
a. 优点：雅可比矩阵具有变换性，可以用来计算任意一个关节变动所带来的影响，可实现微小调节以改变机器人空间位姿，有助于更好地控制和定位机器人，并为机器人运动规划提供可靠的参考值；
b. 缺点：离散雅可比矩阵的求解速度较慢，而且有时由于机器人17极空间非线性特征而造成求解精度偏差。
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人控制领域中的一种重要方法，它可以用来计算机器人末端执行器在关节空间中的速度和加速度。
雅可比矩阵是一个重要的数学工具，它可以将机器人的运动学和动力学问题转化为线性代数问题，从而简化计算过程。
雅可比矩阵是一个矩阵，它描述了机器人末端执行器在关节空间中的速度和加速度与关节角度之间的关系。
具体来说，雅可比矩阵的每一行代表末端执行器在某个方向上的速度或加速度，而每一列代表某个关节角度对末端执行器速度或加速度的影响。
因此，雅可比矩阵可以用来计算机器人末端执行器在关节空间中的速度和加速度，从而实现机器人的运动控制。
机器人雅可比矩阵求法的基本思想是通过对机器人的运动学和动力学方程进行求导，得到雅可比矩阵的表达式。
具体来说，机器人的运动学方程描述了机器人末端执行器在关节空间中的位置和姿态，而动力学方程描述了机器人末端执行器在关节空间中的速度和加速度。
通过对这两个方程进行求导，可以得到雅可比矩阵的表达式。
机器人雅可比矩阵求法的具体步骤包括以下几个方面：首先，需要确定机器人的运动学和动力学方程；其次，需要对这两个方程进行求导，得到雅可比矩阵的表达式；最后，需要将雅可比矩阵的表达式转化为矩阵形式，从而实现机器人的运动控制。
机器人雅可比矩阵求法是机器人控制领域中的一种重要方法，它可以用来计算机器人末端执行器在关节空间中的速度和加速度。
通过对机器人的运动学和动力学方程进行求导，可以得到雅可比矩阵的表达式，从而实现机器人的运动控制。
机器人的雅可比矩阵
机器人学院
机器人学技术基础
——雅可比矩阵
LOGO
机器人学院
一、引入
Tn T1T2 Tn
运动学方程只限于静态位 置问题的讨论，未涉及机 器人运动的速度、加速度 和力等动态过程。
nx ox ax px
Tn
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
动力学主要研究运动和 力的关系。
Tq F T D
机器人学院
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器 人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ = JTF
式中： JT为n*6阶机器人力雅可 比矩阵，并且是机器人 速度雅可比J的转置矩阵。
它表示静态平衡状态下，操作力 向关节力映射的线性关系。
思考与速度雅可比有什么不同
机器人学院
机器人学院
• 上述计算中，当θ2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式 为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度 将趋于无穷大。
• 从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失 了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操 作空间的自由度将减少。
机器人学院
)
速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小 运动dθ与手部空间（操作空间）微小位 移dX的关系。
dX
X
1
d1
X
2
d2
dY
Y
1
d1
Y
2
d2
X
dX dY
1
Y
1
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分（原创实用版）目录1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响5.结论正文1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛，人们对机器人的运动控制也越来越关注。
在机器人运动控制中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念，它直接影响着机器人的运动性能。
本文将从微分的角度，探讨机器人雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为 J。
它由机器人的结构参数和关节角度组成，可以描述机器人末端执行器相对于基座的位姿变化。
雅可比矩阵是机器人运动学中的一个关键概念，它在机器人运动控制、轨迹规划等方面有着广泛的应用。
3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用微分是数学中的一种基本运算，可以用来研究函数在某一点的变化率。
在机器人运动学中，微分主要用于研究雅可比矩阵随关节角度的变化情况。
具体来说，就是求雅可比矩阵关于关节角度的偏导数，用以描述关节角度变化引起雅可比矩阵的变化。
4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义。
首先，通过研究雅可比矩阵的微分，可以得到机器人末端执行器位姿对关节角度的一阶导数，从而得到机器人的运动学模型。
其次，雅可比矩阵的微分可以用于计算机器人在给定关节角度下的末端执行器速度，从而实现机器人的运动控制。
最后，雅可比矩阵的微分还可以用于分析机器人的运动性能，如机器人的运动范围、奇异点等。
5.结论本文从微分的角度，探讨了机器人雅可比矩阵的概念及其在机器人运动控制中的应用。
雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义，它可以帮助我们更好地理解机器人的运动性能，从而提高机器人的运动控制水平。
机器人学中雅可比矩阵的用法
在机器人学中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念，它被广泛应用于机器人的运动学和动力学分析中。
雅可比矩阵的用法主要体现在以下几个方面：
1. 描述刚体的运动状态：雅可比矩阵可以描述刚体的运动状态，通过分析矩阵可以得出刚体的位移、速度和加速度等运动参数。
2. 求解机器人的逆运动学问题：在机器人学中，雅可比矩阵可用于求解机器人的逆运动学问题，即给定机器人末端的位置和姿态，求解机器人的关节变量。
3. 求解机器人的正运动学问题：雅可比矩阵还可以用于求解机器人的正运动学问题，即根据机器人的关节变量，求解机器人末端的位置和姿态。
4. 表示关节速度与末端笛卡尔速度之间的关系：雅可比矩阵在机器人学中最常用于表示关节速度与末端笛卡尔速度之间的关系，有公式：ν=J(θ)θ˙，其中ν表示空间速度，包括线（平移）速度v和角（旋转）速度w两部分，θ表示当前关节的位置或角度，θ˙表示当前关节的速度。
总之，雅可比矩阵在机器人学中具有广泛的应用，是理解和分析机器人运动和动力学特性的重要工具。
机器人雅可比矩阵
上式中，66的偏导数x 矩阵J(Jq (q)q ) 叫做雅可比矩阵。其中
Ji
jq
xi q
qj
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
C再对时间求导，得到：
C Jq J q
J是雅克比矩阵对时间的导数，可记为
J J / q q。
用系统的运动方程替代 q，得到 C Jq J W(Q Qˆ )
设 C为零，有
J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C 的速度）必须满足J q＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q| J q 0 Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和
外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可⽐矩阵第4章速度运动学——雅可⽐矩阵在数学上，正运动学⽅程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了⼀个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可⽐矩阵来决定。
雅可⽐矩阵出现在机器⼈操作的⼏乎各个⽅⾯：规划和执⾏光滑轨迹，决定奇异位形，执⾏协调的拟⼈动作，推导运动的动⼒学⽅程，⼒和⼒矩在末端执⾏器和机械臂关节之间的转换。
1.⾓速度：固定转轴情形k θω =（k 是沿旋转轴线⽅向的⼀个单位向量，θ是⾓度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵⼀个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T,我们⽤)3(so 表⽰所有33?反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满⾜0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独⽴项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式：---=000121323s s s s s s S 如果Tz y x a a a a ),,(=是⼀个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：---=000)(xy x zy z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表⽰向量叉乘3）)()(Ra S R a RS T=，左侧表⽰矩阵)(a S 的⼀个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表⽰与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于⼀个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何⼀个向量nR X ∈，有0=SX X T旋转矩阵的导数)(θθSR R d d= 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以⼀个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
3.⾓速度：⼀般情况)())(()(t R t w S t R= ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用
雅可比矩阵在机器人静力学中的作用雅可比矩阵在机器人静力学中扮演了关键的角色，它用于描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
下面我将逐个回答你的问题，并用易于理解的术语解释。
1. 雅可比矩阵是什么雅可比矩阵是一个将机器人的关节速度与其末端执行器速度之间的关系进行描述的矩阵。
它将机器人关节空间中的速度转化为末端执行器空间中的速度。
雅可比矩阵的每个元素代表了末端执行器速度对于关节速度的敏感程度。
2. 机器人的静力学是什么机器人的静力学研究的是机器人系统在静止或匀速运动时所受到的力学影响。
它关注的是机器人系统在特定关节角度下的受力情况，包括关节力和末端执行器力等。
3. 雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是什么雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是用于分析机器人系统中的力学平衡和力的传递。
通过雅可比矩阵，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以控制机器人系统中的力分配。
4. 如何利用雅可比矩阵进行力的传递分析在机器人静力学中，我们可以利用雅可比矩阵来分析力的传递和分布。
具体而言，我们可以通过雅可比矩阵将末端执行器上的力转化为关节空间中的力。
这样，我们可以对机器人系统进行力分析，包括力矩的计算和力的传递路径的分析等。
5. 为何需要力的传递分析力的传递分析对于机器人的应用非常重要。
它可以帮助我们理解机器人系统中的力分配情况，从而进行力控制和路径规划等。
通过力的传递分析，我们可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，以及力的传递路径是否满足设计要求。
总结起来，雅可比矩阵在机器人静力学中的作用是描述机器人系统中的运动学和动力学关系。
它帮助我们分析机器人系统中的力学平衡和力的传递，从而进行力控制和路径规划等。
通过雅可比矩阵的应用，我们可以将末端执行器的力转化为关节力，并且可以确定机器人系统中各个部分所受到的力，从而进行力的传递分析。
这对于机器人的应用非常重要，能够帮助我们优化机器人的设计和控制，提高其性能和安全性。
机器人雅各比矩阵
速度雅可比矩阵与速度分析
机器人雅可比矩阵（简称雅可比，Jacobian Matrix）揭示了操 作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关
机器人速度分析
对前式左、右两边各除以dt，得 或表示为 式中：V
dX dq =J (q) dt dt
V = X =J （q )q
为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
q
J(q) 为确定关节空间速度
q
,与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人
V 1 x V = =J （q ) Vy 2
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
x x dx d1 d 2 1 2 y y dy d1 d 2 1 2
x 1 dx dy y 1 x 2 d1 y d 2 2
将其微分得
写成矩阵形式为
令
x J 1 y 1
x 2 y 2
前式简写为
dX Jd
d1 d d 2
式中
dx dX dy
J称为2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
可见，J 阵的值是关于θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人 广义关节变量: q= [q1, q2, …, qn]T
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
scara机器人运动学方程雅可比矩阵
Scara机器人是一种广泛应用于工业领域的机器人，它的运动学方程雅可比矩阵是描述其运动学性能的重要工具。
通过雅可比矩阵，我们可以了解到Scara机器人在不同关节位置和速度下的末端执行器的速度和位置关系。
雅可比矩阵是一个2x3的矩阵，其中的元素代表了末端执行器位置和速度相对于关节角度和速度的变化率。
简单来说，雅可比矩阵可以帮助我们理解Scara机器人的动力学特性和运动规律。
通过对雅可比矩阵的分析，我们可以得到一些有用的信息。
首先，我们可以确定Scara机器人的工作空间范围，即机器人可以到达的位置和姿态。
其次，我们可以根据雅可比矩阵来计算机器人在不同关节角速度下的末端执行器速度，从而实现机器人的精确控制。
除此之外，雅可比矩阵还可以用于路径规划和碰撞检测。
通过计算机器人在不同关节位置下的雅可比矩阵，我们可以确定机器人在执行任务过程中是否会发生碰撞，从而避免潜在的安全风险。
Scara机器人的运动学方程雅可比矩阵是研究机器人运动学行为和控制的重要工具。
通过对雅可比矩阵的研究和分析，我们可以深入理解机器人的运动规律，并实现对机器人的精确控制和路径规划。
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法
机器人雅可比矩阵求法是机器人运动学中的重要内容。
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节运动的速度之间的关系。
在机器人运动控制中，通过雅可比矩阵可以快速地计算机器人末端执行器的速度与关节速度之间的对应关系，从而实现机器人的控制。
在机器人的运动学模型中，雅可比矩阵是一个矩阵，它的行数等于机器人末端执行器的自由度，列数等于机器人各个关节的自由度。
雅可比矩阵中的每个元素表示机器人末端执行器中的一个自由度对
于机器人各个关节中一个自由度的影响程度。
雅可比矩阵的求解方法可以通过数值方法和解析方法两种途径。
数值方法是通过数值微分来近似计算雅可比矩阵。
解析方法则是通过对机器人的运动学模型进行求导来求解雅可比矩阵。
在实际应用中，解析方法更为常用，因为它具有计算量小、计算速度快、精度高等优点。
机器人雅可比矩阵求解的过程中，需要注意机器人的运动学模型是否具有奇异点，对于奇异点的处理需要格外注意。
此外，由于机器人的运动学模型是非线性的，因此在求解雅可比矩阵时需要进行线性化处理，以便更好地适应控制器的需求。
总之，机器人雅可比矩阵是机器人运动学中的重要内容，掌握雅可比矩阵的求解方法对于机器人的运动控制具有重要的意义。
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3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
3.4 机器人的雅可比矩阵
1、 微分运动与速度
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。
机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。
前面介绍过机器人运动学正问题
r f ( )
一般情况：
n
Rmn
fm
n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 ：基准坐标系 Oe xe ye ze ：指尖坐标系
ze
z0
Pe
Oe
ye
xe
O0
r f ( )
r r1, r2,
, rm T Rm1
1,2 , , n Rn1
rj f j (1,2, ,n ) j 1, 2, , m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新
课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、
此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
会员免费下载 环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号 曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？ 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在 划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文 意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁， 水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水 面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是 山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容
苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于
y0
x0
指尖的平移速度为：
v
dPe dt
df dq
dq dt
JL
dq dt
JLq
0
Pe
T
0 速度相关的雅可比矩阵
以2自由度平面关节型机器人为例：
J J1 J2
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr r J J d
dt
dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1
f
1
J T
f
m
1
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