弹塑性力学与有限元-应变分析

位移—由于外部因素如载荷或温度 变化,物体内部各点空间位置发生的 变化 ；
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变小 ij 0(i, j x, y, z)表示夹角变大
《弹塑性力学与有限元》
P1P2 2
1 2
2
3,
O P3
3
M P2
P1
P2 P3 2
2
3
2
1,
P3 P1 2
1 3
2
2.
2 1
图 3-3
1、 2、 3——称为主剪应力， max ——最大剪应力.
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
➢ 由右图可见，若在已知应力状态上
叠加一个静水压力，其效果仅使三
➢ 应变偏量eij可写为：
eij eeyxx
exy ey
exz e yz
x 0 yx
xy y 0
xz yz
ezx ezy ez zx
zy z 0
其中，ex x 0 ，e y y 0 ，ez z 0 称为“应变偏量分量”。
纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且
弹塑性力学与有限元
应力分析
八面体应力
八面体平面：通过某点做平面 ，该平面的法线与
三个应力主轴夹角相等。设在这一点取 1, 2, 3
坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三 个方向余弦为：
l1 cos(n, x)
1 3
l2 cos(n, y)
1 3
l3 cos(n, z)
1 3
若用主应变表示应 变偏量，则有式：
eij
21 2 3
3
0
0
2 2 1 3 3
0
0
在主应变为坐标的应变空间中有：
八面体应变
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
本章学习要点：
理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念； 掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主
方向的计算公式； 理解Cauchy方程和Saint Venant的物理意义，熟练掌握这两
个基本方程。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（3.43）
式可以分解为：
ij eij 0ij
➢ 球形应变张量为：
0 0 0
0 ij
0
0
0
0 0 0
式中， 0为平均正应变。 0
1 3
(1
2
3)
1 3
( x
y
z)
1 3
I1
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
偏应变张量（应变张量的分解）
y
2 zx
z
2 xy
)
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
➢ 工程主剪应变
1 | 2 3 | 2 | 1 3 | 3 | 1 2 |
➢ 最大值
max | 1 3 |
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
偏应变张量（应变张量的分解）
仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应
应力分析
作业：
1）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —应变分析
应变分析
主要内容
应变—位移关系（几何方程）
一点的应变状态 应变张量
应变协调方程（连续性 方程、相容方程）
主应变
偏应变张量（应变张量的分解）
个方向。
x
u ， x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
u z
w x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变张量
➢ 一点的应变状态也可 以用张量表示，这时 引进符号
xy
1 2
xy
1 (v 2 x
u ) y
yz
zx
1 2
yz
1 2
zx
1 (w v ) 2 y z 1 (u w) 2 z x
关，或者说与 I1 有关；
2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 oct
2 3
J2
，与应力偏张
量的第二不变量 J2 有关。
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
在 平面上，P1( 1,0), P2( 2,0), P3( 3,0)
三点中的任意两点为直径端点，可作出三
个Mohr圆，如右图所示.其半径为：
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应变分析
主应变和主剪应变
➢ 将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应变 的特征方程
(ij ij )n j 0
(
x
)dx
xy dy
xz dz
0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zxdx zydy ( z )dz 0
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微分平行六面体
ij ij x, y, z
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应力分析
平衡微分方程
在x=0的面上，应力是 x、xy、 xz
在x=dx面上的应力
x
x x
dx、 xy
xy x
dx、 xz
xz x
dx
由x方向的平衡
x
x x
dx dydz
x dydz
yx
yx y
dy dxdz
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
八面体应力
oct
1l12
2l22
32l32
1 3
1
2
3
1 3
I1
m
oct
Toct 2
2 oct
1 3
(1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 .
oct
2 3
J2
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
1)垂直于八面体面的分量，即正应力 oct m ，它与应力球张量有
• 线应变或正应变是指线段的相对伸长量， 以线段伸长为正；
• 剪应变以直角的缩小为正。
x
z
B
l
B'
l'
0
A 90
A'
y
C C'
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应变分析
应变—位移关系(几何方程)
设由变形体中取出一个微小六面体（ 见右图投影），在研究微小六面体的变 形时，采用的分析方法是将六面体的各 面投影到直角坐标系的各个坐标平面上 ，研究这些平面投影的变形，并根据这 些投影的变形规律来判断整个平行六面
dx，则有：
同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变，因此有：
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应变分析
应变—位移关系(几何方程)
x
u x
y
v y
z
w z
当 x， y， z 大于零时，
表示线段伸长，反之表示缩短。
下面研究六面体的剪应 z
C
变，即各直角的改变。
C
B
角应变用 zx表示，其 w
A
B
w w dx x
值为 和 之和，即：
A
o
zx
u
B
x
u u dx x
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应变分析
应变—位移关系(几何方程)
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为:
BB
w1
w
w x
dx
w dx
w
tg
x dx u dx
x 1 u
x
x
w