函数解析的充要条件概述

复习 实二元函数可微定义：
u u u x y o ( x 2 y 2 ). x y
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证 仅证
. 由于 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
u u 于是 u x y 1x 2y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0 v v v x y 3x 4 y, x y
在复平面内处处不解析.
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例2 讨论函数 f ( z ) x 2 i y 2 的可导性与解析性。
解 由 ux ,v y ,有
2 2
u u 0, 2x , y x v v 2y, 0, y x
由C - R 方程， x y,
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
a 2, b 1, c 1, d 2.
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内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
u v . y x
2.函数区域可导或解析的充要条件:
一、点可导的充要条件 定理1 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 可导
u( x, y ) 和 v ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：
u v u v , . x y y x
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
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例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); (3) w z Re( z ). 解 (1) w z ,
u x, v y ,
u 1, x
u 0, y
第二节
第二章
函数解析的充要条件
一、点可导的充要条件
二、区域解析的充要条件
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问题：对于函数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) , 在上一节， 我们用解析的定义判别 f (z)的解析性. 那么有没有其它更好的方法呢？
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u( x, y )与 v( x, y ) 在D 内可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
故
u v u v 0, x y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
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(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e x sin y,
v x y f ( z z ) f ( z ) u i (1 i 3 ) ( 2 i 4 ) . 则 z z x x z
极限存在,故f ( z)在点z x iy 处可导，且有求导公式:
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
y
x y
x
2 2 f ( z ) x i y 所以 仅在直线 x y 上点可导，
且处处不解析。
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例3 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在
区域 D 内为一常数.
证 利用求导公式 u u v v i 0, f ( z ) i y x x y
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
即 2 x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
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二、区域解析的充要条件
定理2 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析
u( x, y ) 和 v( x, y ) 在区域 D 内可微， 且满足
C - R 方程。 注：偏导数连续
二元函数可微
推论 若函数u( x, y ) 和 v ( x, y ) 偏导数在D 内存在连续， 且满足C - R 方程 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域D 内解析。