函数解析的充要条件概述
函数解析的充要条件
函数解析的充要条件函数解析是研究函数的定义域和值域的一种方法，用于确定函数的限制条件和特性。
在数学中，函数解析的充要条件对于理解和推导函数的性质至关重要。
本文将介绍函数解析的充要条件及其应用。
一、函数解析的定义和概念在开始讨论函数解析的充要条件之前，我们先来了解一下函数解析的定义和概念。
函数解析是指确定函数的定义域和值域的过程。
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。
二、函数解析的充要条件函数解析的充要条件有以下几个要点：1. 定义域的确定：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
在确定定义域时，需要避免出现分母为零、负数开偶次方根、负数的对数等不合法的情况。
2. 垂直渐近线的存在性：如果函数在某个点x=a的左右极限存在且相等，那么该点x=a处就存在着一个垂直渐近线。
3. 水平渐近线的存在性：如果函数在无穷远处的左右极限存在且相等，那么函数就存在一个水平渐近线。
4. 每一个分段函数段的解析条件：对于分段函数，每一个分段函数段都要满足解析条件。
也就是说，每一个函数段都需要符合函数解析的充要条件。
三、函数解析的应用函数解析的充要条件在解析函数性质和求解问题中有着广泛的应用。
1. 确定函数的定义域：通过函数解析的充要条件，我们可以确定函数的定义域，从而确定函数的取值范围。
2. 求解极限：函数的垂直渐近线和水平渐近线的存在性可以帮助我们求解函数的极限。
3. 分段函数的分析：分段函数的每一个函数段都需要满足解析条件，通过函数解析的充要条件，我们可以分析每一个函数段的性质。
4. 函数的图像绘制：根据函数解析的充要条件，我们可以确定函数的特性，从而绘制出函数的图像。
四、总结函数解析的充要条件是确定函数的定义域和值域的重要方法，对于理解和推导函数的性质具有重要意义。
本文介绍了函数解析的定义和概念，以及函数解析的充要条件及其应用。
通过了解和应用函数解析的充要条件，我们可以更加深入地研究和理解函数的性质。
解析函数的充要条件
那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D
f(z)解析的充要条件
f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。
在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。
复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。
在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。
我们来定义f(z)在复平面上的解析性。
f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。
这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。
我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。
如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。
这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。
这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。
如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。
这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。
对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。
在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。
在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。
在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。
f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。
解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。
解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。
它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。
复变函数22函数解析充要条件
黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
课件
3
所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
[证毕]
课件
8
根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
课件
11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
复变函数2-2函数解析的充要条件
证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
27
思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
28
思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
26
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
2-2 函数解析的充要条件
u=0 v=10
x 0 y 0
x 0 y 0
u ax by 1x 2 y , v bx ay 2 x 1y
当 y 0 时，
0
当 x 0 时，
u u u u lim b lim 2 b lim a lim 1 a y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
z 0
令 f z a ib ， z 1 i 2 其中 lim 1 0 , lim 2 0
故
ax by 1x 2 y i bx ay 2 x 1y
u iv a ibx iy 1 i 2 x iy
u e x cos y
[解] w x yi 故 u =x ,v =-y
[解 ]
v e x sin y
u v 1 1 x y u v 00 y x
不满足C-R方程
u v x e cos y x y
u v x e sin y y x
0 0
v v v v lim a lim 1 a lim b lim 2 b y 0 y y 0 y x 0 x x 0 x
u v 因此 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微, 且 x y
0
u v y x
u v v u i i y 1 i 3 x 2 i 4 y x x y x y
x0 y0
根据柯西-黎曼方程得
f z z f z u v x y i 1 i 3 2 i 4 所以 z x x z z
第2节：函数解析的充要条件
vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,
解析的充要条件
解析的充要条件
函数解析的充要条件：
1、f'(z)=df/dz唯一存在。
f'(z)=(∂u/∂x)+(∂v/∂x)i=(∂v/∂y)-(∂u/∂y)i。
2、满足C-R方程（柯西黎曼方程）—(∂u/∂x)=(∂v/∂y)(∂v/∂x)=-(∂u/∂y)。
同部偏导相等，异部偏导相反。
区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。
B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
第二章3解析函数的充要条件
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)
=
−
= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知
Δ =
Δ +
( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ
∆
′ ()
( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0
Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：
=− .
证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有
第2节：函数解析的充要条件
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
函数在一点解析的充要条件
函数在一点解析的充要条件篇一：函数在一点解析的充要条件是指在一个点上,函数的值与其自变量的取值必须满足一定的关系。
在数学中,这个关系通常被称为函数的零点或者函数的极值。
下面介绍一些函数在一点解析的充要条件:1. 函数在一点处的函数值等于其自变量的取值之和:这个条件被称为函数在该点的“一次函数条件”。
如果函数是单调递增或单调递减的,那么这个条件是成立的。
如果函数是凸凹的,那么函数在一点处的函数值必须是其自变量的取值之和的相反数。
2. 函数在一点处的函数值等于其自变量的取值中最小值或最大值:这个条件被称为函数在该点的“最小值条件”或“最大值条件”。
如果函数是单调递增的,那么函数在一点处的函数值必须是在其自变量取值中的最小值。
如果函数是单调递减的,那么函数在一点处的函数值必须是在其自变量取值中的最大值。
3. 函数在一点处的函数值与该点的横坐标或纵坐标相等:这个条件被称为函数在该点的“横坐标或纵坐标条件”。
如果函数是单调递增的,那么函数在一点处的横坐标或纵坐标必须是其自变量的取值之一。
如果函数是单调递减的,那么函数在一点处的横坐标或纵坐标必须是其自变量的取值的相反数。
4. 函数在一点处的函数值与该点的坐标在函数图像上对应点处相等:这个条件被称为函数在该点的“坐标对应条件”。
如果函数是单调递增的,那么函数在一点处的坐标对应点必须在其图像上对应于其自变量的取值中的最小值或最大值。
如果函数是单调递减的,那么函数在一点处的坐标对应点必须在其图像上对应于其自变量的取值中的最大值。
这些条件是函数在一点解析中非常重要的一部分,可以帮助我们确定函数在该点处的取值,并理解函数在该点的性质。
了解这些条件可以帮助我们更好地理解函数的图像、零点和极值等概念。
篇二：函数在一点解析的充要条件是指在数学中,一个函数在某一点处取到的解析式可以表示为该点的坐标与一个常量(通常是函数的自变量或因变量)之间的关系。
具体来说,一个函数在一点处的解析式必须满足以下条件:1. 函数在该点处可导:这意味着函数在该点处的导数必须存在。
2.2 解析函数的充要条件
解 析
记 f (z) a i b, 由 w u i v , z x i y 有
函
u i v (a b i)( x i y) o(|z|),
数
u ax - b y o(|z|),
v bx a y o(|z|),
故 u( x, y) 和 v( x, y) 在点 ( x, y) 处可微，且
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
第 二
一、点可导的充要条件
章 二、区域解析的充要条件
解 析 函 数
1
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解定理 函数 w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在点 z x i y 处可导
函
数 推论 若函数 u( x, y) 和 v( x, y) 的四个偏导数 ux , uy , vx , vy
在区域 D内存在且连续，并满足 C - R方程，则函数
w f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D 内解析。
6
§2.2 解析函数的充要条件
例 讨论函数 w z 的可导性与解析性。
解 析
v vy y vx x o (| z |) ,
函 数
又由 u 和 v 满足 C - R 方程：ux vy , uy -vx , 得
u ux x - uvxy y o (| z |) ,
v uvyx y vx x o (| z |) ,
z
w u i v (ux i vx ) ( x i y) o(|z|), 即 f (z) 在 z x i y 处可微(可导)，且 f (z) ux i vx .
5
§2.2 解析函数的充要条件
§2.2 解析函数的充要条件
解析函数的充要条件
定理1,2的另一个版本
利用复数的三角表示形式 z r(cos i sin )
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(r, ) 定iv义(r在,区) 域D内,
则 f (z在) D内一点 z r(cos可导i s的in充)要条件:
举例:多项式, 有理分式函数 解析函数的特性
➢ 解析函数可无限可导 ➢ 非常值解析函数的零点孤立 ➢ 在局部上解析函数是幂级数的和函数
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
NUDT
§2 解析函数的充要条件
定理1 设函数 f (z) u(x, y)定义iv(在x, y区) 域 内，则 D f (z在) 内D 一点 z 可x导 i的y 充要条件是： 与u(x,在y) 点v(x,可y) 微，并(x,且y)满足柯西—黎曼方程
u v , u v . x y y x
定理2 函数 f (z) u(x, y)在 i区v(域x, y)内解析的D充要条件是： 与 在 u内(x,可y)微，v(x并, y且) 满D足柯西—黎曼方程
即今天的" 和N" "说法,他" 与德国数学
家戴德金,康托一起创立了实数理论. 至此,人们才知道无穷小量只不过是在某 个变化过程中以零为极限的变量.
导数
NUDT
§1 解析函数的概念
可导与连续的关系
连续不一定意味着可导,而可导必然连续.
工程数学-复变函数 2-2 函数解析的充要条件
x y
y x
第 条件的充分性 由于w u iv , 而u( x, y)、v( x, y)
二 章
在点 ( x, y)
处可微， 则
解 析 函
u
u x
x
u y
y
1x
2y
数
v
v x
x
v y
y
3x
4y
在这里 lim x0
k
u C2 ,v C3 , f (z) C2 iC3
- 11 -
y0
其中 lim x0 y0
(x)2 (y)2
0 ,但
显然不满足此式。
所以函数在原点不可导。
- 10 -
第二节 解析函数的充要条件
例4 设函数 w f (z) 在区域 D 解析，且 | f (z) |
为常数，证明： f (z) 在区域 D 为常数函数。
证 由于 | f (z) | C1 ，因此 u2 v2 C, 即
u v , u v
得 wu(xuxuxiyxxv)yzuy(y1x1ix3 )x2(y2 i4 )y
数
由于
xv z
1, xvyz x1
v , y
故y
3x
4y
liz m0(1
v bx ay 2x 2y
由于 lim (z) 0 , z0
所以
lim
x0
1
0,
lim
x0
2
0
,因此
高中数学关于充要条件的概念
高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。
高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
解析函数的充要条件
y 0
y 0
lim1x2y
x0 y0
z
0l i m2x1y
x0
z
y0
0
H
10
所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微.
""（由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
∵函数 w =f (z)点 z可导，即
f(zz)f(z)
f'(z)lim
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz
lim(z)0
z0
H
9
令：f (z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib，
(Δz)=1+i2 故（1）式可写为
siny
, coys
. yR (2)
2i
2
推广到复变数情形
定义 sinzezi ezi , coszezi ezi (3)
2i
2
称为z的正弦与余弦函数
H
28
正弦与余弦函数的性质
1)s izn及 cozs是 T2的 周 期 函 数
e e i(z2) i(z2) eize2i eHale Waihona Puke ze2i[cozs(2 )
f(z)limf(zz) f(z)
z0
z
[u(x, yy)iv(x, yy)][u(x, y)iv(x, y)]
lim
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v 0, x
v 1. y
上一节是由 解析定义判断 处处不解析
不满足柯西－黎曼方程, 故 w z 在复平面内处处不可导，处处不解析.
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(2) f ( z) e x (cos y i sin y)
u e x cos y, v e y y x
u 常数, v 常数,
因此 f ( z) 在区域 D 内为一常数.
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例4 问常数 a, b, c, d 取何值时, f ( z ) 在复平面内处处
设 f ( z ) x 2 axy by 2 i (cx 2 dxy y 2 ),
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(3) w z Re( z) x xyi,
2
u x , v xy,
2
u 2 x, x
u 0, y
v y, x
v x. y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0 时, 满足柯西－黎曼方程, 故函数 w z Re( z) 仅在 z 0 处可导,
u u x e cos y, e x sin y, x y v v x e sin y, e x cos y, x y u v u v 即 , . x y y x
由于四个偏导 数均连续
故 f ( z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
f ( z) e x (cos y i sin y) f ( z). 指数函数
解析? u u 解 2 x ay , ax 2by, x y v v 2cx dy , dx 2 y , x y u v u v 欲使 , , x y y x
即 2 x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
在复平面内处处不解析.
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例2 讨论函数 f ( z ) x 2 i y 2 的可导性与解析性。
解 由 ux ,v y ,有
2 2
u u 0, 2x , y x v v 2y, 0, y x
由C - R 方程， x y,
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例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); (3) w z Re( z ). 解 (1) w z ,
u x, v y ,
u 1, x
u 0, y
第二节
第二章
函数解析的充要条件
一、点可导的充要条件
二、区域解析的充要条件
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问题：对于函数 f ( z ) u ( x , y ) i v ( x , y ) , 在上一节， 我们用解析的定义判别 f (z)的解析性. 那么有没有其它更好的方法呢？
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y
x y
x
2 2 f ( z ) x i y 所以 仅在直线 x y 上点可导，
且处处不解析。
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例3 如果 f ( z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f ( z ) 在
区域 D 内为一常数.
证 利用求导公式 u u v v i 0, f ( z ) i y x x y
v x y f ( z z ) f ( z ) u i (1 i 3 ) ( 2 i 4 ) . 则 z z x x z
极限存在,故f ( z)在点z x iy 处可导，且有求导公式:
u v 1 u v f ( z ) i . x x i y y
a 2, b 1, c 1, d 2.
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内容小结 1.函数点可导的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在某点处可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
u v , x y
u v . y x
2.函数区域可导或解析的充要条件:
u( x, y )与 v( x, y ) 在D 内可微, 并且满足柯西－ 黎曼方程
复习 实二元函数可微定义：
u u u x y o ( x 2 y 2 ). x y
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证 仅证
. 由于 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
u u 于是 u x y 1x 2y, 其中 lim k 0, x 0 x y y 0 v v v x y 3x 4 y, x y
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二、区域解析的充要条件
定理2 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析
u( x, y ) 和 v( x, y ) 在区域 D 内可微， 且满足
C - R 方程。 注：偏导数连续
二元函数可微
推论 若函数u( x, y ) 和 v ( x, y ) 偏导数在D 内存在连续， 且满足C - R 方程 函数 w f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域D 内解析。
一、点可导的充要条件 定理1 函数 w f ( z) u( x, y ) i v( x, y ) 在点 z x i y 可导
u( x, y ) 和 v ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微，且满足
柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：
u v u v , . x y y x