电路分析基础第八章

K k =1
ik = 0
K k =1
ik =
K k =1
& e jω t ) = 0 Re( I km
K k =1
& =0 I km
& = I ∠ϕ ) (I km km k
K k =1
(任一节点)
K
uk = 0
K k =1
uk =
K k =1
& e jω t ) = 0 Re( U km
k =1
例 ： 已知： uab ( t ) = −10 cos(ωt + 60 o ) V ，
ubc ( t ) = 8 sin(ωt + 120 ) V ，求 uac。
o
§
三种基本电路元件
的相量形式
i1 ± i2 = i3 时域 频域
将 正弦量 与 相量 建立 起 对 应 关系 这实际 上是 一种 变 换思 换 想，由时域变换到频域：
& ± I & =I & I 1 2 3
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时 间为自变量分析电路。 频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以 频率为自变量分析电路。 相量法： 相量法 将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进 行分析, 属于频域分析。 分析
1. 电阻元件VCR的相量形式 时域形式：u(t ) = U m cos(ωt + ϕ u ) 相量形式：
模相除 角相减
③旋转因子 复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ +j θ 旋转因子 0 F∙ejθ
F∙ejθ
F +1
特殊旋转因子
π θ= , 2 π π e = cos + j sin = + j 2 2
j π 2
+ jF
+j
F
0
+1
− jF
−F
π j− π π π 2 θ = − , e = cos( − ) + j sin( − ) = − j 2 2 2
同频率正弦量相加
u1 = u2 =
平行四边形法则
2U 1 cos (ω t + ϕ 1 ) 2U 2 cos( ω t + ϕ 2 )
& U 2
& U 1
1
& U
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
& =U & +U & U 1 2
小结：正弦量的四种表示法
i 波形图
Im
ωt
ϕ
T
瞬时值 相量图 复数 符号法
i 2 dt
（方均根值）
当i
Im 可得 I = 时， 2
例：若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用 于 220V 的线路上 ~ 220V
电器
最高耐压 =300V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um = 220V = 311V
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以 不能用。 用
& e jωt ] = Re[U & ∠ ωt ] = Re[U m m
& = U e jϕ = U ∠ϕ U m m m & = U e j ϕ = U ∠ϕ U －－电压振幅相量 －－电压有效值相量
相量的书写方式
最大值
相量图
相量在复平 面上的图示。
& = U ∠ϕ U m m
ϕ
有效值
& U
U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量。若其振幅用最大
1 2
t
t
1
2
1
两种正弦信号的相位关系 同 相 位
2
ϕ2
1
2
ϕ1
i2
i1
i1
相 位 领 先 相 位 落 后
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 >
1
2
i1 领先于 i2
1
∆ϕ = ϕ1 −ϕ2 <
2
1
i2
i1 落后于 i2
同频率正弦波运算后，频率不变。
u1 u2
u = u1 + u2
U1 U2
t t
1 2
= =
——相量法分析正弦稳态电路
8-1 复数 8-2 相量 8-3 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 8-4 三种基本电路元件VCR的相量形式 8-5 阻抗、导纳 8-6 电路的相量模型、相量分析法 8-7 相量模型的网孔分析和节点分析 8-8 相量模型的等效
§
1. 复数的表示形式
复数
b 代数式 o
U1 U
ω t + ϕ1 + ω t +ϕ
U2
ω t + ϕ2
幅值、相位变化 频率不变
正弦稳态电路频率特点：
在 线性电路 中 ， 如 果 电路的 激励 都 是 同 一 频率 的正弦量，则电路 全部 的 稳态响 应 都 将 是 同 频 率的正弦量。 由 于 正弦 稳态 电路 频率 的特点， 将同 频率 的正 弦量的三要素之一(ω)省去，其余二要素用复数 形式来表示正弦量的方法称为相量法。 相量法
例 ： 已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流，其
相量形式为： 求：i1和i2。
o & I1 = 100 ∠ − 60 A
& = 10 e I 2
j 30 o
A
解： ω = 2π f = 2π ×1000 = 6280 rads
i1 = i2 = t− t+
o o
相量运算：
同频率正弦量的加减
θ = ±π , e
j± π
= cos(±π ) + j sin( ±π ) = −1
+j，–j，-1 都可以看成旋转因子。
§
一、正弦波的特征量
i
相量
Im
i = Im
ω t +ϕ
ωt
ϕ
I m ： 振幅（最大值）
特征量: ： 角频率（弧度/秒） ： 初相角
特征量之一：振幅
最大值
电量名称应大 写，下标加 m。 如：Um、Im
F
F e
jθ
F
F = a 2 + b2 b θ= a
或
a b
F F
2. 复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式 若 则 +j
F1 a1 b1， F2 a2 b2 F1±F2 a1±a2
F1+F2
b1±b2
+j F1+F2 F2
F2 F1
F1 o F1-F2 -F2 +1
o 图解法
& ，I & 。 值表示 ，则用符号：U m m
&, I &。 2. 实际应用中，振幅多采用有效值，则用符号：U
&, I & 包含幅度与相位信息。 3. 相量符号 U
称 I = I∠ ϕ 为正弦量 i(t) 对应的相量：
•
i(t ) =
2 I cos( ω t + ϕ ) ⇔ I = I ∠ ϕ
•
+j F |F| θ a 三角函数式 +1
F
a
b
(j = − 1 为虚数单位 )
F =| F | (cosθ + j sin θ ) = a + jb
由欧拉公式： e
jθ
= cosθ + jsin θ
指数式
F
F e
jθ
jθ
F =| F | e =| F | ∠θ
极坐标式
几种表示法的关系：
+j b |F| θ o a +1 F
& =0 U km
& = U ∠ϕ ) (U km km k
(任一回路)
在 正弦 稳态 电路 中 ，基尔霍夫定律可 直 接 用 电流振幅相量和电压振幅相量写出。
例 ： 如图为电路中的一个节点，已知：
i1 (t ) = 10 cos(ωt + 60o ) A， i2 (t ) = 5 sin(ωt ) A， 求i3 (t )。
& = 6∠30o V U 1 & = 4∠60o V U
2
& =U &1 + U &2 = ∠ U
o
+ ∠
o
= 5.19 + j3 + 2 + j3.46 = 7.19 + j6.46
=
∠
o
∴ u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = 9.64 2cos(314t + 41.9o ) V
正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) = 2U cos(ωt + θ ) ⇔ U = U∠θ
相量的模表示正弦量的振幅（或有效值） 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
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例 ：已知 i = 141.4 cos(314t + 30o )A
u = 311.1cos(314t − 60o )V
试用相量表示 i和u。 相量 解： I = 100∠30 A,
i Im
t
i 为正弦电流的瞬时值
I m为正弦电流的最大值
工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指 示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。 标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
有 效 值 概 念
热效应相当
T 0
有效值
电量大写 如：U、I
i R dt
交 流
2
2
直 流
T
则有
I
Im t
T
0
& = U ∠ϕ U m m u
i (t ) = I m cos(ωt + ϕ i )
& = I ∠ϕ I m m i
uR = Ri
⇔ U m cos(ωt + ϕ u ) = RI m cos(ωt + ϕ i )
二、正弦波的相量表示方法
正弦波的表示方法： i
♣
波形图
ωt
♣
瞬时值表达式 相量
i=
t+
°
♣
相量的复数表示
u(t ) = U m cos(ωt + ϕ )
由欧拉公式：
e j(ωt +ϕ ) = cos(ωt + ϕ ) + jsin(ωt + ϕ )
∴ u ( t ) = Re[U m e j(ωt +ϕ ) ] = Re[U m e jϕ e jωt ]
+1
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若
F1 F1 θ 1 ， F2 F2 θ 2
jθ1
则: F1 ⋅ F2 = F1 e
⋅ F2 e
jθ2
= F1 F2 e
j(θ1 +θ2 )
= F1 F2 ∠θ1 + θ2
模相乘 角相加
F1 | F1 | ∠ θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1−θ2 ) = = = e jθ 2 F2 | F2 | ∠ θ2 | F2 | e | F2 | |F1| = |F2| θ1 − θ2
& ⇔ f (t ) A 2 2
设α1和α2为两个实数，则正弦量 α1 f1 (t ) + α 2 f 2 (t )
& +α A & 表示。 可用相量 α1 A 1 2 2
基尔霍夫定律的相量形式：
1. 单一频率ω 的正弦激励电路进入稳态时，所 有电流、电压响应都是同频率的正弦量。 2. 相量的线性性质：表示若干个同频率正弦量 线性 组合 的相量等 于 表示 各 个 正弦量的相量的 同一线性组合。 在正弦交流电路中，KCL和KVL可用相应 的相量形式表示。
•
•
jω t
•
jω t
+ 2 U 2 e ) = Re( 2(U 1 + U 2 )e jωt )
•
jω t
•
•
& =U &1 + U &2 相量关系为： U
& U
同频率正弦量的加减运算变换为对应相量的加减运算。
例
u1 (t ) = 6 2cos(314t + 30o ) V u2 (t ) = 4 2cos(314t + 60o ) V
4
特征量之三：初相位
i=
I
ω t +ϕ
ω t + ϕ ：正弦波的相位角或相位。
ϕ ：t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。 i
ωt
ϕ
说明：ϕ 给出了观察正弦波的起点或参考点， 常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差 初相差
1
2
ωt
1
2
i1 i2
I m1 I m2
2
t t
u1 (t ) = 2 U1 cos(ω t + ϕ1 ) = Re( 2 U 1 e jω t ) u2 (t ) = 2 U 2 cos(ω t + ϕ 2 ) = Re( 2 U 2 e jω t )
• •
u (t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = Re( 2 U 1 e ) + Re( 2 U 2 e jωt ) = Re( 2 U 1 e
特征量之二：角频率
ω ：单位时间正弦量变 化的弧度数。
i T
ωt
描述变化周期的几种方法： 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：s，ms..
单位：Hz，KHz ... 单位：rad/s
3. 角频率ω： 每秒变化的弧度
1 f = T
2π ω= = 2πf T
电网频率： 中国 美国、日本 有线通讯频率： 无线通讯频率： ×
o
•
U = 220∠ − 60 V
o
•
100
I&
30 o
− 60o
220
U&
o 已知 I = 50 ∠ 15 A, f = 50Hz . 例 ：
•
试写出电流的瞬时值表达式。
o i = 50 2 cos( 314 t + 15 )A 解：
已知 i1 (t ) = −10 sin(314t + 60 )， 例 ：
u = U m cos ω t + ϕ
& U
& I
&
§8-3
相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式
相量线性性质：表示若干个同频率正弦量线性组
合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组 合。
• •
f1 (t ) = Re( A1 e
jω t
),
f 2 (t ) = Re( A2 e
jω t
)
& ⇔ f (t ), A 1 1
o
试写出振幅相量。 i2 (t ) = −4cos(314t + 60o )，
解： i1 = −10 sin (314t + 60 ) = 10cos(314t + 60 + 90 )
o o o
& = 10∠150o A I 1m i2 = −4 cos(314t + 60o ) = 4cos(314t + 60o + 180o ) & = 4∠240o = 4∠ − 120o A I 2m