应用统计学课件第三章方差分析
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均值检验方差分析课件
消费行为
通过均值检验和方差分析，可以研究消费者行为、消费习惯、消费 心理等方面的差异和变化。
产业组织
在产业组织研究中，均值检验和方差分析可用于研究企业规模、市 场结构、企业绩效等方面的差异和变化。
04
均值检验与方差分析的注意事项
数据正态性的检验
总结词
在进行均值检验和方差分析之前，需要检验数据是否符合正态分布。正态分布是许多统计方法的前提假设，如果 数据不满足正态分布，可能导致分析结果不准确。
详细描述
为了控制第一类错误的概率，可以采用适当 的统计方法进行多重比较校正。例如，在方 差分析后，可以使用多重比较校正的方法（ 如Tukey's HSD、Scheffé's method）来比 较各组之间的差异，以减少假阳性错误。此 外，还可以根据实际研究目的和数据情况选
择其他适当的统计方法进行多重比较。
适用场景
比较不同组别或不同时间点的平均值
例如比较不同班级的平均成绩、不同月份的平均销售额等。
检验总体均值的假设
例如检验某产品的平均质量是否符合标准。
计算方法
01
02
03
04
计算各组的平均值。
计算标准误差或标准差。
使用t检验或z检验等方法比较 平均值。
根据p值判断是否拒绝原假设 ，即各组平均值相等。
05
均值检验与方差分析的软件实现
SPSS软件实现
描述性统计
SPSS提供了丰富的描述性统计功能，如均值、中位数、众数、标准 差等，用于初步了解数据分布情况。
均值检验
SPSS中的“比较均值”功能可以比较两组或多组数据的均值，通过 T检验或非参数检验等方法，判断组间差异是否具有统计学显著性 。
方差分析
通过均值检验和方差分析，可以研究消费者行为、消费习惯、消费 心理等方面的差异和变化。
产业组织
在产业组织研究中，均值检验和方差分析可用于研究企业规模、市 场结构、企业绩效等方面的差异和变化。
04
均值检验与方差分析的注意事项
数据正态性的检验
总结词
在进行均值检验和方差分析之前，需要检验数据是否符合正态分布。正态分布是许多统计方法的前提假设，如果 数据不满足正态分布，可能导致分析结果不准确。
详细描述
为了控制第一类错误的概率，可以采用适当 的统计方法进行多重比较校正。例如，在方 差分析后，可以使用多重比较校正的方法（ 如Tukey's HSD、Scheffé's method）来比 较各组之间的差异，以减少假阳性错误。此 外，还可以根据实际研究目的和数据情况选
择其他适当的统计方法进行多重比较。
适用场景
比较不同组别或不同时间点的平均值
例如比较不同班级的平均成绩、不同月份的平均销售额等。
检验总体均值的假设
例如检验某产品的平均质量是否符合标准。
计算方法
01
02
03
04
计算各组的平均值。
计算标准误差或标准差。
使用t检验或z检验等方法比较 平均值。
根据p值判断是否拒绝原假设 ，即各组平均值相等。
05
均值检验与方差分析的软件实现
SPSS软件实现
描述性统计
SPSS提供了丰富的描述性统计功能，如均值、中位数、众数、标准 差等，用于初步了解数据分布情况。
均值检验
SPSS中的“比较均值”功能可以比较两组或多组数据的均值，通过 T检验或非参数检验等方法，判断组间差异是否具有统计学显著性 。
方差分析
5第三章 方差分析1
i 1
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
0
平方和与自由度的分解
∴ ( xi j x..)2
i 1 j 1
k
k
n
n ( xi. x..) ( xij xi. )
2 i 1 i 1 j 1
k
n
2
其中
n ( xi. x..)2
i 1
k
称为处理间平方和，记为SSt，即
而
( x
假设某单因素试验有k个处理， 每个处理有 n 个观察值，共有 nk 个观测值。这类试验资料的数据 模式如表3-2所示。
表3-2 每处理具n个观测值的k组数据的符号表
处理
1 x11
2 x21 x22 … x2j
… … … … …
i xi1 xi2 …
… … … … …
k
xk1
xk2 … xkj
观 察 值
B C D
E
21 22 19
15
19 23 20
16
18 22 19
16
18 20 18
17
76 87 76
64
19.00 21.75 19.00
16.00
T=392 x..=19.6
解：
①建立假设 H0：各组平均数相等 HA：各组平均数不全相等 ②计算统计量 “F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（k-1）， 计算组内均方时，使用自由度为 k(n-1)。
p25作业
4.从胡萝卜中提取β-胡萝卜素的传统 工艺提取率为91%。现有一新的提取 工艺，用新工艺重复8次提取试验，得 平均提取率=95%，标准差S=7%。试 检验新工艺与传统工艺在提取率上有 无显著性差异？
解： （1）提出假设 H0:μ=μ0=91%；即认为新工艺与传统工艺在提取率上无显著差异。 HA:μ≠μ0 （2）选取显著水平α＝0.05
应用统计学方差分析
3. 数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失 值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、 样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立 。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议 。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统 计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的 比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更 可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意 事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参 数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确 。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析 结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗 ，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟 形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差 和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独 立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确 性。
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失 值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、 样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立 。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议 。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统 计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的 比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更 可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意 事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参 数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确 。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析 结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗 ，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟 形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差 和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独 立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确 性。
统计学之方差分析
执行方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
方差分析法PPT课件
计算各样本平均数 y 如i 下:
表 6－2
型号
ABCDE F
yi
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
•5
引言 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
y 1与 y ,2 与y 1 ,…y 3 与 y ,1 与y 6 ,…y ,2 与y 3 ,共有y (5
6.3 显著性检验
利用(6-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给定的显著水
平,可以从F分布表查出临界值
A的值.
F(k1,k(再m根1)据),样本观测值算出F
当 FAF(k1,时k(m ,拒1绝))H0,
当 FAF(k1,,时k(m ,接1 受))H0。
即：如果H0成立，F应等于1；相反应大于1，而且因素的影响越大， F值也越大
m
km
T Tj Yij
•38
j1
作统计假设：6种型号的生产线平均维修时数无显 著差异，即
H0： i=0（i=1,2,…,6）,H1:i不全为零
•37
6.3 显著性检验
计算SA及SE
k
SA
k
m
i1
(Yi
Y)2
Ti2
i1
m
T2 km
k
km
km
Ti2
SE i1
(Yij Yi)2
j1
i1
j1Yij2i1m
m
Ti Yij
j 1
相当于检验假设
H0 : i 0 (i=1,2,…,k) , H1 : αi不全为零
•29
6.3 显著性检验
可以证明当H0为真时,
ST
2
~2(k
医学统计学(课件)方差分析
要点二
原理
通过将因变量和协变量之间的关系线 性化，进行线性回归分析，并控制其 他因素的影响。
要点三
应用
医学研究中用于研究疾病与基因型、 环境因素之间的关系，社会科学中用 于研究收入和教育水平的关系等。
多重比较方法
01
定义
多重比较方法是方差分析的一种补充 方法，用于比较多个组之间的差异。
02
原理
通过比较每个组与对照组或其他组之 间的差异，推断各组之间的差异是否 具有统计学显著性。
重复测量方差分析
定义
重复测量方差分析是方差分析的另一种拓展，用于比较多次测量或重复观测的差异。
原理
通过将多次测量视为不同的观察对象，对测量误差进行控制和调整。
应用
医学研究中常用于比较不同治疗方案的效果，以及社会科学中研究时间序列数据的变化等。
协方差分析
要点一
定义
协方差分析是方差分析与其他统计方 法的结合，通过控制一个或多个协变 量对因变量的影响。
偏度检验
检查数据分布的偏斜程度。
峰度检验
检查数据分布的峰态。
正态性检验
通过图形和统计量判断数据是否符合正态分布。
方差齐性检验
• 方差齐性检验：通过Levene's Test或Bartlett's Test检验各组方差是否相等。
主效应检验
将数据按照分组变量进行分组，并 对每个分组变量的平均值进行计算 。
方差分析还可以与其他统计方法结合 使用，例如与回归分析结合可进行协 方差分析和混合线性模型分析等。
02
方差分析基本原理
数学模型
数学模型的假设
假定每个总体均数之间有差异，且每个总体均数与模型中其他变量的关系已知。
第章方差分析(页)PPT课件
1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验
结果的作用和影响；
3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的 交互作用；
4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条
件比较严格，即要求各样本为随机样本，各 样本来自正态总体，各样本所代表的总体方 差齐性或相等。
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第2页
结束
《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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第16页
结束
2. 计算各部分变异 ：
（1）单因素方差分析中，可以分出组间变异 （SS组间）和组内变异（SS组内）两大部分；
（2）双因素方差分析中，可以分出处理组变 异（SS处理），区组变异（SS区组）或称为 配伍组变异（SS配伍）及误差变异（SS误差） 三大部分。
简历
简历
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第10页
结束
单因素方差分析模式表
简历
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第11页
结束
6. 各种变异除以相应的自由度，称为均方，用MS 表示，也就是方差。当H0为真时，组间均方与组 内均方相差不大，两者比值F值约接近于1。 即 F＝组间均方／组内均方≈1。
7. 间当均H方0不增成大立，时此，时处，理F因＞素＞产1，生当了大作于用等，于使F得临组界 值数时 不， 全则 相等P≤。0.05。可认为H0不成立，各样本均
方差分析ppt课件
我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不同水平对试验
指标的影响。即要检验假设：H0 : 1 2 ... r
为此我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...r 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X r 相互独立，从而各子样也相互独立。
Central South University
量有没有影响?对这样的问题我们是采用方差
分析.
Central South University
2
一、方差分析是什么？
1、在实践中，影响一个事物的因素往往很多，人们总是要 通过试验考察各种因素的影响。
例如：种植水稻，不同的水稻品种，不同的耕作方法， 不同的耕作人员、不同的气候等等，对水稻的产量、质量都 会有影响。在水稻、耕作方法、耕作人员、气候诸因素中， 有的因素影响大，有的因素影响小，有的因素可控制，有的 因素不可控制。如何在多种可控制因素中找到主要因素，通 过对主要因素的控制调整，提高水稻产量、质量？解决此问
8
因素 引入例：五个水稻品种单位产量的观测值
品种 重复
A1 A2 A3 A4 A5
五个水平
1
41 33 38 37 31
2
39 37 35 39 34
3
3
xij
j 1
40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
53
xij 546
i1 j 1
53
xi
40 35 36 38 33 xij 15 36.4
Central South University
7
3、方差分析本质要解决的问题是在诸个不 同水平的因素的组合寻找出优化的组合。
指标的影响。即要检验假设：H0 : 1 2 ... r
为此我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...r 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X r 相互独立，从而各子样也相互独立。
Central South University
量有没有影响?对这样的问题我们是采用方差
分析.
Central South University
2
一、方差分析是什么？
1、在实践中，影响一个事物的因素往往很多，人们总是要 通过试验考察各种因素的影响。
例如：种植水稻，不同的水稻品种，不同的耕作方法， 不同的耕作人员、不同的气候等等，对水稻的产量、质量都 会有影响。在水稻、耕作方法、耕作人员、气候诸因素中， 有的因素影响大，有的因素影响小，有的因素可控制，有的 因素不可控制。如何在多种可控制因素中找到主要因素，通 过对主要因素的控制调整，提高水稻产量、质量？解决此问
8
因素 引入例：五个水稻品种单位产量的观测值
品种 重复
A1 A2 A3 A4 A5
五个水平
1
41 33 38 37 31
2
39 37 35 39 34
3
3
xij
j 1
40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
53
xij 546
i1 j 1
53
xi
40 35 36 38 33 xij 15 36.4
Central South University
7
3、方差分析本质要解决的问题是在诸个不 同水平的因素的组合寻找出优化的组合。
第三章多组均数间比较的方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。
本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。
方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。
在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。
如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。
进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。
原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。
在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。
接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。
这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。
在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。
如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。
常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。
这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。
总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。
通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。
研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。
方差分析-统计学原理
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析
一、 随机区组设计 随机区组设计（ randomized block design ），又称 配伍组设计，是配对设计的扩展。 具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素 将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
各种变异之间的关系是：
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
其中：
v总 v处理 v区组 v误差
v区组 n 1
v误差 (n 1)(g 1)
v总 N 1 v处理 g 1
（1）总变异：反映全部试验数据间大小不等的状况，
SS总 X 2 C
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
二、变异分解 完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , 2 诸 ij 相互独立，且都服从N (0, )
模型可以改写为
yij ai ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , r mi ai 0 i 1 相互独立，且都服从N(0, 2 ) ij
均数间的差异没有统计学意义；反 之，如果处理有作用，则组间变异 不仅包含随机误差，还有处理因素
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
方差分析课件-PPT
、 、 、 增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
第三章 方差分析
N 报纸 广播 宣传品 体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Error 1.62232 2.16127 1.93647 2.24961 1.12732
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
df1 3
df2 140
Sig. .515
分析：统计量值为0.765， P=0.515>0.5, 不拒绝原假设， 即可以认为方差齐的。
(因为已证明了各水平既服从正态分布又是方差齐的，所以可以进 行方差分析）
方差分析表
A N OV A 销售额 Sum of Squares 5866.083 20303.222 26169.306 df 3 140 143 Mean Square 1955.361 145.023 F 13.483 Sig. .000
√
勾选“Descriptive”、 “Homogeneity-of-variance”、 “Means plot”三项。 点击“Continue”钮返回
点击“OK”钮输出结果
结果输出和讨论：
D e sc r i p ti v e s 销售额 Std. Deviation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 69.9287 76.5157 66.5013 75.2765 52.6243 60.4868 62.0442 71.1781 64.5911 69.0478
将“销售额[sale]”加入“Depedent”框；“广告形式[ad 加入“Factor List”框。 选择“Normality ….”(正态性检验）
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j1 i1
j 1
i1
(xij x)2
(xij x j )2
(x j x)2
SST
SSE
SSA
3、计算均方和
均方和
离差平方和 自由度
离差平方和 自由度
SSA
r-1
SSE
r(nj-1)=n-r
SST
n-1
均方和MS MSA=SSA/(r-1) MSE=SSE/(n-r)
自由度：观测值的个数约束条件数 (n 1) (n r) (r 1)
检验统计量：
F
S组间 S组内
/自由度 /自由度
平方和/自由度=均方和 服从F分布
通过F值与其临界值的比较，推断各组均值是否相同。
A NOVA
S A LE S
Between Groups Within Groups Total
Sum of S qu ar es
2531796 4790788 7322584
4、计算检验统计量 和假设检验
建立假设 H0 : x1 x2 x j xr H1 : 各组均值不全相等
F
MSA MSE
SSA/(r 1) SSE /(n r)
～F(r-1,n-r)
培训例
⒈ 计 算 水 平 均 值 和 总 均 值
i
j A课程
1
2058
2
2176
3
3449
4
2517
df 2
12 14
Mean Square 1265897.867 399232.333
F 3.171
Sig. .078
结论：在0.05水平上培训对销售业绩的影响不显著。
单因素方差分析的一般模型
设：因素有r个水平，各水平的实验次数 为nj ，得到样本数据如表
因素水平 试验次数
1
2
1
x11 x12
2
x21 x22
1
3 .986
d均f值1 差 (I-J) df标2 准误 277.220000 399.6112598
显显著著性性 ..470118
95% 置信区间
下限
上限
-722.7890 1277.1890
2
3
976.40000 399.61598
.056 -23.5890 1976.3890
a. Dunnett t 检验将一个组视为一个控制组，并将其与所有其他组进行比较。
5
944
水平均值 2228.8
观测值个数 5
总均值 2369.467
B课程
3339
2777 3020 2437 3067
2928
5
C
2228 2578 1227 2044 1681
1951.6
5
水平均值
nj
xij
x j i1 nj
j 1,2,3
总均值为 x xij n
本例r=3。
3
n n j j 1
方差不等时可选 择的比较方法
与对照组的 配对比较
“选项”对话框：输出统计量
描述统计量
固定因素和随机 效应的统计量
等方差检验 显示均值图
培训-销售业绩SPSS输出结果
方 差 齐 性多检重验比 较
因变量: sales
Dunnett t（双sa侧l）esa
Levene 统
(I) trainsta 计(J)量trainsta
2、计算离差平方和
总离差平方和（总变异S总）
SST
(xij x)2
误差项离差平方和：组内变异S组内
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
水平项离差平方和：组间变异S组间
nj
SSA
(x j x)2 n j (x j x)2
j i1
j
三个离差平方和的关系为： SST SSE SSA
检验方法：组间变异是否远大于组内变异
方差分析的术语
因素：一个独立的变量，是方差分析研究的对象。 在例1中，“培训”就是一个待研究的因素。
水平：因素的不同状态就称为“水平”。分组是 按因素的不同水平划分的。例1中，因素“培训” 分为三个水平（A课程、B课程、无训练）。
响应变量(性能指标）：在分组试验中，对试验对 象所观测记录的变量称为“响应变量”，它是受 “因素”影响的变量，如例1中“销售业绩”。
1227
2517
2437
2044
944
2228.8
3067
2928
1681
1951.6
902.028 339.333 518.551
注意 不仅不同组中销售员的业绩有区别，同一组 中接受相同培训的销售员的业绩也有区别
销售培训会提高销售人员的业绩吗？
影响业绩 的因素：
培训课程 随机因素：如个人特质、运气
培训例-续
SST
(xij x)2
(2058 2369.467)2 (2176 2369.467)2
(1681 2369.467)2
7322583.73
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
(2058 2228.8)2 (944 2228.8)2
(3339 2928)2 (3339 2928)2
F=3.17<3.89，接受原假设，培训没有显著效果
单因素方差分析过程 one-way ANOVA
分析→比较均值→单因素 ANVOA
响应变量
因素
“对比”对话框：均值多项式比较
例如：4mean1-mean3
“两两比较…”对话框：选择均 值多重比较方法
方差相等时可选 择的比较方法
用t检验完成各组 均值的配对比较
(22281951.6)2 (16811951.6)2
4790788
SSA SST SSE 7322583.73 4790783 2531795.73
组内均方和： MSE SSE 4790788 399232 .33 n r 15 3
组间均方和：
MSA SSA 2531795 .73 1265897 .87
方差分析的类型
单因素方差分析（一维方差分析）：检验由单一因素 影响的一个或几个独立的响应变量的组间均值差异是 否显著。如上例，一个影响因素（培训）的不同水平 对一个响应变量（销售业绩）的影响分析。（oneway ANOVA 过程）
单响应变量多因素方差分析：对一个响应变量是否受 一个或多个因素影响进行分析，包括协方差分析。常 用的是双因素方差分析。（Univariate 过程）
同一组中的数据看成是来自同一总体，它们有一个理论 上的均值，
不同组的数据来自不同总体，一般认为这些总体具有相 同方差（其他条件保持不变），而它们的均值可能相同， 也可能不同。
方差分析的目的：通过假设检验，判断实验因素对响应变 量是否有显著影响，即各组均值是相同，还是不同 一般地，有 r个水平的因素，H0:1=2=…=r= 对上例，r=3
3
x31 x32
3 …j … r
x13 x1j
x1r
x2j
x2r
x3j
x3r
…
i
xi1 xi2
xij
xir
… …
… …
…
xn11 xn2 2
xn j j
xnr r
方差分析步骤
计算各水平均值和 总均值
计算离差平方和：S
F检验
计算检验统计量F
计算均方和： S/自由度
⒈计算水平均值和总均值
因素水平 试验次数
3449
3020
1227
2500.00
s a le s
4
2517
2437
2044
2000.00
5
944
3067
1681
1500.00
均值 2228.8 2928 1951.6
1000.00 5
影响业绩
培训课程
500.00
的因素：
随机因素：如个人特质、运气 1
2
3
tra in s ta
• 从上表可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是 3组与1、2组的均值具有一定的差异。这是否说明
多响应变量多因素方差分析：研究一个或多个因素变 量与多个响应变量集之间的关系。（Multivariate 过 程）
重复测量方差分析：因素对响应变量影响的试验如果 是重复测量的，就需要用重复测量方差分析。 （Repeated Measures过程）
二、单因素方差分析
问题的表述和假设
按实验因素水平形成分组数据
变异来源分解，
组内变异（样本与组均值的离差平方和）： 随机因素造成，记作S组内。
组间变异（组均值与总均值的离差平方和）： 可能单纯由于随机因素造成，也可能是因素 的不同水平造成，记作S组间。
S组内+ S组间=S总（总变异：样本与总均值的离差平方和）
S组间和S组内的比值反映了两种差异大小的对比， 比值越大说明因素各个水平引起的差异越显著
三个离差平方和的关系为：
SST SSE SSA
证明：
(xij x)2
((xij x j ) (x j x))2
(xij x j )2
(x j x)2
r nj
2
(xij x j )(x j x)
j1 i1
r nj
r
nj
(xij x j )(x j x) [(x j x) (xij x j )] 0
A课程
B课程
C
方差分析的
1 2
2058 217633源自927772228 2578
检验方法: