应用统计学课件第三章方差分析

A课程
B课程
C
方差分析的
1 2
2058 2176
3339
2777
2228 2578
检验方法:
3
3449
3020
1227
4
2517
2437
2044
基本思路：
5 均值
944
2228.8
3067
2928
1681
1951.6
判断样本均值的变异是由于因素的不同水平造 成的，还是纯粹由于随机因素造成的。
研究数据间的“变异”（也称为平方和）， 即离差平方和：
多重比较检验方法
df 2
12 14
Mean Square 1265897.867 399232.333
F 3.171
Sig. .078
Байду номын сангаас
结论：在0.05水平上培训对销售业绩的影响不显著。
单因素方差分析的一般模型
设：因素有r个水平，各水平的实验次数 为nj ，得到样本数据如表
因素水平 试验次数
1
2
1
x11 x12
2
x21 x22
3000
sales 组间
平方和 2531795.7
A NO V A
df
均方
2 1265897.9
F 3.171
2800
2600
2400
显著性 .0 2200 78
Mean of SALES
组内 4790788.0
12 399232.33
2000
总数 7322583.7
14
1800
1
2
3
TRAINSTA
三个离差平方和的关系为：
SST SSE SSA
证明：
(xij x)2
((xij x j ) (x j x))2
(xij x j )2
(x j x)2
r nj
2
(xij x j )(x j x)
j1 i1
r nj
r
nj
(xij x j )(x j x) [(x j x) (xij x j )] 0
1
3 .986
d均f值1 差 (I-J) df标2 准误 277.220000 399.6112598
显显著著性性 ..470118
95% 置信区间
下限
上限
-722.7890 1277.1890
2
3
976.40000 399.61598
.056 -23.5890 1976.3890
a. Dunnett t 检验将一个组视为一个控制组，并将其与所有其他组进行比较。
4、计算检验统计量 和假设检验
建立假设 H0 : x1 x2 x j xr H1 : 各组均值不全相等
F
MSA MSE
SSA/(r 1) SSE /(n r)
～F(r-1,n-r)
培训例
⒈ 计 算 水 平 均 值 和 总 均 值
i
j A课程
1
2058
2
2176
3
3449
4
2517
方差分析的类型
单因素方差分析（一维方差分析）：检验由单一因素 影响的一个或几个独立的响应变量的组间均值差异是 否显著。如上例，一个影响因素（培训）的不同水平 对一个响应变量（销售业绩）的影响分析。（oneway ANOVA 过程）
单响应变量多因素方差分析：对一个响应变量是否受 一个或多个因素影响进行分析，包括协方差分析。常 用的是双因素方差分析。（Univariate 过程）
第三章 方差分析
概述 单因素方差分析（one-way ANOVA） 单响应变量方差分析（ANOVA） 协方差分析（ANCOVA） 多响应变量方差分析（MANOVA）
一、概述
方差分析: 英国统计兼遗传学家费舍尔在设计多 种农业试验，特别是田间试验，并对试验进行评 估中发展起来的。
主要用于研究某种因素（如广告）对所感兴趣的 因变量（如销售额）是否有显著影响
同一组中的数据看成是来自同一总体，它们有一个理论 上的均值，
不同组的数据来自不同总体，一般认为这些总体具有相 同方差（其他条件保持不变），而它们的均值可能相同， 也可能不同。
方差分析的目的：通过假设检验，判断实验因素对响应变 量是否有显著影响，即各组均值是相同，还是不同 一般地，有 r个水平的因素，H0:1=2=…=r= 对上例，r=3
r 1
31
接受域 拒绝域
3500.00
3
3000.00
2500.00
s a le s
2000.00 1500.00
1000.00 5
F (n1, n2 )
500.00
1
2
3
tra in s ta
F MSA 1265897.87 3.17
MSE 399232.33
0.05时
F0.05(2,12) 3.89
方差不等时可选 择的比较方法
与对照组的 配对比较
“选项”对话框：输出统计量
描述统计量
固定因素和随机 效应的统计量
等方差检验 显示均值图
培训-销售业绩SPSS输出结果
方 差 齐 性多检重验比 较
因变量: sales
Dunnett t（双sa侧l）esa
Levene 统
(I) trainsta 计(J)量trainsta
组内差异：随机因素造成
组间差异：培训和随机因素造成
如果三组销售人员的平均业绩没有显著 差别（组间差异不明显），则说明销售 训练失败
如果接受销售训练的销售人员的业绩显 著突出，则说明销售训练成功
A课程
B课程
C
3500.00
3
1
2058
3339
2228
3000.00
2
2176
2777
2578
3
检验方法：组间变异是否远大于组内变异
方差分析的术语
因素：一个独立的变量，是方差分析研究的对象。 在例1中，“培训”就是一个待研究的因素。
水平：因素的不同状态就称为“水平”。分组是 按因素的不同水平划分的。例1中，因素“培训” 分为三个水平（A课程、B课程、无训练）。
响应变量(性能指标）：在分组试验中，对试验对 象所观测记录的变量称为“响应变量”，它是受 “因素”影响的变量，如例1中“销售业绩”。
抽样得到的实验数据显示出实验结果的差异性， 其原因可能有三类：
观测条件不同（影响因素）引起试验结果有所不同
此结果差异是系统性的
其他影响因素不同引起试验结果有所不同
协方差分析
此结果差异是系统性的——干扰：其他条件不变
由于各种随机因素的干扰，试验结果也会有所不同
此差异是偶然性的
方差分析的目的
1227
2517
2437
2044
944
2228.8
3067
2928
1681
1951.6
902.028 339.333 518.551
注意 不仅不同组中销售员的业绩有区别，同一组 中接受相同培训的销售员的业绩也有区别
销售培训会提高销售人员的业绩吗？
影响业绩 的因素：
培训课程 随机因素：如个人特质、运气
销售训练会提高销售业绩呢？当然这种差异也许是
由于随机因素所造成，所以需要进行统计检验。
方差分析的假设为：
H0 : 1 2 3 H1 : 1, 2 , 3不全相等
• 如果原假设成立，说明培训对销售业绩没有显著影响， 组间差异与各组内差异都是随机因素造成的。
• 如果备择假设成立，说明培训对销售业绩有显著影响，各 组内的差异由随机因素造成，而组间差异则由随机因素和 销售训练所导致的系统性差异造成。
3449
3020
1227
2500.00
s a le s
4
2517
2437
2044
2000.00
5
944
3067
1681
1500.00
均值 2228.8 2928 1951.6
1000.00 5
影响业绩
培训课程
500.00
的因素：
随机因素：如个人特质、运气 1
2
3
tra in s ta
• 从上表可以看出，各组样本数据差异较大，尤其是 3组与1、2组的均值具有一定的差异。这是否说明
培训例-续
SST
(xij x)2
(2058 2369.467)2 (2176 2369.467)2
(1681 2369.467)2
7322583.73
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
(2058 2228.8)2 (944 2228.8)2
(3339 2928)2 (3339 2928)2
(22281951.6)2 (16811951.6)2
4790788
SSA SST SSE 7322583.73 4790783 2531795.73
组内均方和： MSE SSE 4790788 399232 .33 n r 15 3
组间均方和：
MSA SSA 2531795 .73 1265897 .87
F=3.17<3.89，接受原假设，培训没有显著效果
单因素方差分析过程 one-way ANOVA
分析→比较均值→单因素 ANVOA
响应变量
因素
“对比”对话框：均值多项式比较
例如：4mean1-mean3
“两两比较…”对话框：选择均 值多重比较方法
方差相等时可选 择的比较方法
用t检验完成各组 均值的配对比较
将观测条件不同而引起的系统差异与随 机因素引起的偶然差异用数量形式区别 开来，以确定在实验中有没有系统性因 素在起作用。
例1 某公司希望对新进销售人员进行销售培训 以保证销售业绩。如何培训才能达到好的效果 成为公司关注的问题。为此设置了两组培训课 程。为了比较它们的有效性，进行了一项实验： 随机选择三组新进销售人员，每组五人。
5
944
水平均值 2228.8
观测值个数 5
总均值 2369.467
B课程
3339
2777 3020 2437 3067
2928
5
C
2228 2578 1227 2044 1681
1951.6
5
水平均值
nj
xij
x j i1 nj
j 1,2,3
总均值为 x xij n
本例r=3。
3
n n j j 1
j1 i1
j 1
i1
(xij x)2
(xij x j )2
(x j x)2
SST
SSE
SSA
3、计算均方和
均方和
离差平方和 自由度
离差平方和 自由度
SSA
r-1
SSE
r(nj-1)=n-r
SST
n-1
均方和MS MSA=SSA/(r-1) MSE=SSE/(n-r)
自由度：观测值的个数约束条件数 (n 1) (n r) (r 1)
多响应变量多因素方差分析：研究一个或多个因素变 量与多个响应变量集之间的关系。（Multivariate 过 程）
重复测量方差分析：因素对响应变量影响的试验如果 是重复测量的，就需要用重复测量方差分析。 （Repeated Measures过程）
二、单因素方差分析
问题的表述和假设
按实验因素水平形成分组数据
2、计算离差平方和
总离差平方和（总变异S总）
SST
(xij x)2
误差项离差平方和：组内变异S组内
SSE
( xij
x
j
)
2
j i
水平项离差平方和：组间变异S组间
nj
SSA
(x j x)2 n j (x j x)2
j i1
j
三个离差平方和的关系为： SST SSE SSA
1
2
3 …j … r
1
x11 x12
x13 x1j
x1r
2
x21 x22
x2j
x2r
…
i
xi1 xi2
xij
xir
… …
… …
…
xn11 xn2 2
xn j j
xnr r
水平均值 x1 x2
x j xr
nj
xij
水平均值：x j i1 nj
总均值为 x xij
r
j 1,2,, r
n n n j j 1
一组接受A课程销售训练 一组接受销售B课程销售训练 另一组C没有参与任何训练（对照组）
当前两组的训练课程结束后，三组人员都开始 实践。两个星期后统计了各组销售人员的销售 记录如下：
销售业绩：
1 2 3 4 5 均值 标准差
A课程
B课程
C
2058
3339
2228
2176
2777
2578
3449
3020
检验统计量：
F
S组间 S组内
/自由度 /自由度
平方和/自由度=均方和 服从F分布
通过F值与其临界值的比较，推断各组均值是否相同。
A NOVA
S A LE S
Between Groups Within Groups Total
Sum of S qu ar es
2531796 4790788 7322584
3
x31 x32
3 …j … r
x13 x1j
x1r
x2j
x2r
x3j
x3r
…
i
xi1 xi2
xij
xir
… …
… …
…
xn11 xn2 2
xn j j
xnr r
方差分析步骤
计算各水平均值和 总均值
计算离差平方和：S
F检验
计算检验统计量F
计算均方和： S/自由度
⒈计算水平均值和总均值
因素水平 试验次数
变异来源分解，
组内变异（样本与组均值的离差平方和）： 随机因素造成，记作S组内。
组间变异（组均值与总均值的离差平方和）： 可能单纯由于随机因素造成，也可能是因素 的不同水平造成，记作S组间。
S组内+ S组间=S总（总变异：样本与总均值的离差平方和）
S组间和S组内的比值反映了两种差异大小的对比， 比值越大说明因素各个水平引起的差异越显著