第九讲结构动力学问题有限元法

第九讲结构动力学问题有限元法
二、单元分析
单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。 动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。
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在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
3.常用单元的一致质量矩阵
●一次杆单元 N 1
me AlNTNdxAl121 2dx
A l
2 1
122dx
1第九2讲结构动力2学问题有限元法
l
6
2 1
1 2
3.常用单元的一致质量矩阵
●二次杆单元
me
A
NT
l
Ndx
A
l
222122
1 2
412
222122
1 2
412
T
UTdV
V
单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 ddV 和阻尼力 ddV ，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：
WdTPvdVdTPsdAdTPc
V
A
dTddVdTddV
V
V
式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态 集中力；V为单元面积；A为单元面积。
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5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因 此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。 整个结构的平衡方程为
M q C q K q R t
式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶 常微分方程组。
9 动态分析有限元法
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工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达； 受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。 动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需 要进行动态分析，以了解产品动态特性。
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第九讲结构动力学问题有限元法
第一节 动态分析有限元法的特点
一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。 这是与静力分析的一个根
本区别。
二、位移特点 1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节
点位移{q}作为基本未知量。
2、节点具有速度 q和q加速度。
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阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵
在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
mi mj mk 3 V dV
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2.集中质量矩阵 单元质量矩阵为：
m e dm i im a i m jg m j m km k
在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。
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单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。
1.一致质量矩阵
在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
q t2 2 t2 2N e N t2 2e
求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。
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第二节 动态分析有限元法的一般步骤
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一、结构离散
该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求 有可能不一样。 静力分析：要求在应力集中部位加密网格； 动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求 整个结构采用尽可能均匀的网格形式。
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式中 keBTDBdV
V
me NTNdV
V
ce NTNdV
V
分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的 特性矩阵。
R t e N T P v d V N T P s d A N T P c
V
A
称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节 点移置的结果。
dx
4
Al
30
1
8
1 8 4 8 8 16 第九讲结构动力学问题有限元法
源自文库 3.常用单元的一致质量矩阵
●三次梁单元
156 22l 54 13l
me Al 22l 4l2 13l
3l2
420 54 13l 156 22l
13l 3l2
22l
4l2
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3.常用单元的一致质量矩阵
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由于 dN qe,B qe
且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有
d N qe
d N qe
d N qe
B q e
根据虚位移原理，有
UW
代入经整理，可得单元运动方程为
m e q e c e q e k e q e R t e
●三角形平面问题单元
2 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有： 第九讲结构动力学问题有限元法
1.一致质量矩阵
R
e q
N
T
qdV
V
V
N
T
N
2 t 2
e
dV
N T N dV e
V
于是，令
meN TNdV
第九讲结V构动力学问题有限元法
1.一致质量矩阵
me 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移
d=Nqe
一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为
= B qe =DBqe
但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t 变化的函数。
动载荷（又称动力分析）
固有特性分析
响应分析
固 有 频 率
振 型
位 移 响 应
速 度 响 应
加 速 度 响 应
动 应 变
动 应 力
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固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度 分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应； 响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。