第九讲结构动力学问题有限元法
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7.2 结构动力学的有限单元法
B：应变矩阵 ν：线性阻尼系数
三、结构的动力学方程
单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，要用来形成整体 的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。在不考虑体积力的条 件下，整个结构的动力学方程为：
& & Mδ& + Cδ + Kδ = f
当f = 0, c = 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程 0时得到自由振动时的无阻尼动力方程
四、有限元法求解动力学问题实例
设第j个梁单元的单位长度质量为m 抗弯刚度为EI 设第j个梁单元的单位长度质量为mj, 抗弯刚度为EIj， 长度为L 两端的节点编号为j j+1，节点j 长度为Lj， 两端的节点编号为j和j+1，节点j的横向 位移为u 角位移为u 节点j+1的横向位移为u 位移为uj1, 角位移为uj2, 节点j+1的横向位移为uj3, 角 位移为u 位移为uj4。设梁单元的广义坐标向量为：
关于振型的正交性
δ K δm = δ ω M δm
2 m
^ T n
^
^ T n
^
2 δ K δ m = δ ωn M δ m
^ T n
^
^ T n
^
(ω − ω ) δ M δ m = 0
2 m 2 n
^ T n
^
ω ≠ω
2 m
^ T n ^
2 n
δ M δm = 0
^ T n
^
同样可以求得 δ K δ = 0 振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交 m
ω T = [ω1 ω 2 ... ω N ]
四、方程的特征值及振型的正交性
对于齐次代数方程 ( K − ω M ) δ = 0 ，只能求得振型矢量 的各元素的相对值。
有限元 第9讲 动力学问题有限单元法
有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。
有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。
本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。
动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。
动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。
稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。
动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。
确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。
在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。
例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。
有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。
有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。
有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。
2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。
3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。
4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。
5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。
6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。
有限元法应用举例
核反应堆运行过程中涉及高温、 高压、高辐射等极端条件，热工 水力学分析是确保安全性的重要
环节。
有限元法可以对核反应堆的热工 水力学进行模拟，评估冷却剂流 动、热能传递、压力容器应力分
布等关键参数。
通过模拟分析，可以优化反应堆 设计，提高运行效率，降低事故
风险。
建筑物的能耗模拟与优化
建筑物的能耗是节能减排的重要领域，能耗模拟与优化有助于降低能源消耗和碳排 放。
况，为设备的电磁兼容性设计和优化提供依据。
通过有限元分析，可以评估设备的电磁辐射是否符合相关标准
03
和规定，以及优化设备的天线布局和结构设计等。
高压输电线路的电场分析
高压输电线路在运行过程中会 产生电场和磁场，其强度和分 布情况对环境和人类健康具有 一定影响。
有限元法可以用来分析高压输 电线路的电场分布情况，包括 电场强度的计算和分布规律的 分析等。
通过有限元分析，可以评估高 压输电线路对环境和人类健康 的影响，为线路的规划、设计 和优化提供依据。
07
有限元法应用举例：声学分析
消声室的声学设计
消声室是用于测试和测量声音的特殊 实验室，其内部环境需要极低的噪音 水平。
通过模拟和分析，可以确定最佳的吸 音材料和布局，以及最佳的隔音结构， 以达到最佳的消声效果。
有限元法应用举例
• 有限元法简介 • 有限元法应用领域 • 有限元法应用举例：结构分析 • 有限元法应用举例：流体动力学分析 • 有限元法应用举例：热传导分析 • 有限元法应用举例：电磁场分析 • 有限元法应用举例：声学分析
01
有限元法简介
定义与原理
定义
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散 化为有限数量的简单单元（或称为元素），并建立数学模型 ，对每个单元进行单独分析，再综合所有单元的信息，得到 整个系统的行为。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
动力学问题的有限元法
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
T
V
dV VuT(fu u)dV SuTTdS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离
散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
Ma(t)Ca(t)Ka(t)Q(t)
方程中的系数矩阵分别为：系统质量矩阵，阻尼 矩阵，整体刚度矩阵。右端项为整体节点载荷向量。
u N ae
u(x, y, z,t) u来自v(x,
y,
z, t)
w( x, y, z, t)
a
e
a a
1 2
a n
ai
uvii
(t) (t)
(i
1,2,, n)
wi (t)
• 为建立有限元动力学响应控制方程，利用达朗倍尔原
理，在每个时刻 t，将连续介质中质点加上惯性力 u 和阻尼力 u ，则系统的动力学问题转化为等效静
• 如果忽略阻尼，则结构动力学方程简化为：
Ma(t) Ka(t) Q(t)
• 上式动力学方程的右端项为零时就得到结构自由振动 方程。
• 从动力学方程导出过程可以看出，动力学问题的有限元 分析中，由于平衡方程中出现了惯性力和阻尼力，从而 引入了质量矩阵和阻尼矩阵，运动方程是耦合的二阶常 微分方程组，而不是代数方程组。该方程又称为有限元 半离散方程，因为对空间是有限元离散的，对时间是连 续的。
9 杆系结构的有限元法 -1
苏轼诗词的风格特点简析_苏轼的诗词代表作有哪些苏轼是北宋文坛革新的杰出领袖，也是宋代乃至中国历史上一个全能的文学天才。
每个作者都有自己的风格特点，那么苏轼诗词的风格特点是怎样的?下面就是小编给大家整理的苏轼诗词的风格特点，希望对你有用!苏轼诗词的风格特点一、气势恢弘、激情磅礴的豪放风格苏轼开创了豪放词风，是豪放词的代表，他能够借助瑰丽恢宏的意象来抒发慷慨豪情，将充沛激昂或悲壮苍凉的激情融入词中，并开拓了词的写作范围。
(一)气势磅礴、场景宏阔雄壮气势恢弘。
苏词的豪放词有气势豪迈飞动、场景宏阔雄壮的特点。
如：《念奴娇·赤壁怀古》大江东去，浪淘尽，千古风流人物。
故垒西边，人道是、三国周郎赤壁。
乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪。
江山如画，一时多少豪杰。
遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。
羽扇纶巾，谈笑间、强虏灰飞烟灭。
故国神游，多情应笑我，早生华发。
人生如梦，一樽还酹江月。
这是一首著名的豪放词，磅礴的气势、壮美的场景、雄浑的境界，正是豪放词风的体现。
词的上片写景，描写赤壁的景色，前三句，仿佛是描述远景，长江水浩浩荡荡，滔天波浪如大浪淘沙，送走了一代风流人物;次三句，描写近景，目光投向赤壁古战场;上片最后两句，是上片景物描写的总结。
下片怀古，词人抓住周瑜年轻有为的主要特征，塑造了他雄姿英发的英雄形象，并由此联想到自己华发早生，功业无成，不免产生人生如梦之感。
总体来看，这首词从江水的东流，感受到时光的逝去，进而把江山与人物合写，使“江山如画”与“风流人物”都得到形象的表现，写得雄浑豪放，气象恢弘，堪称历代咏史怀古诗词之绝唱，亦开后世豪放一派之先河，给人以撼魂荡魄的艺术力量。
这类词还如《水调歌头黄州快哉亭赠张握诠》(落日绣帘卷)等。
(二)直抒胸臆，自由豪放豪情奔放。
苏轼的词注重抒情言志，直抒胸臆，自由豪放。
如：《江城子·密州出猎》：“老夫聊发少年狂，左牵黄，右擎苍。
锦帽貂裘，千骑卷平冈。
欲报倾城随太守，亲射虎，看孙郎。
有限元法概述
但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子数 值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才显 著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位移 法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Clough 等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
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刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
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三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
动力学问题的有限元法（ＰＤＦ）
第七章 动力学问题的有限元法结构动力学是研究动载荷作用下结构动力反应规律的学科，讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法，寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系。
研究结构在动力荷载作用下的反应规律，能够为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
前面介绍的静力学问题的研究对象是受不随时间变化的载荷作用。
而动力学问题的对象受随时间而变的载荷的作用，从而使在结构中产生的位移、速度、应力和应变都随时间而变。
当结构受随时间变化的载荷作用，且这种载荷的作用对结构的变形和应力的产生起主要作用，以致影响设备的安全性，或舒适性。
这时就要进行动力学分析，充分认识其规律性，从设计阶段就抑制这种不利状况的发生。
例如，有时虽然动载荷不大，但结构在交变力的作用下，其某些固有频率与激励力的作用频率相接近时，就会引起很大的振动、变形或应力，这时，就必须对结构作动力学分析。
又如，要利用结构在周期性作用力驱动下的定向振动，例如利用这种运动输送产品，这时，就必须巧妙地设计结构，使其具有某些与激励频率一致的固有频率，并且使结构对激励具有适当的响应能力。
总之，不管是利用振动，还是抑制振动，都需要进行结构动力学分析。
当前结构动力学的研究内容有三类。
第一类问题：反应分析（结构动力计算），第二类问题：参数（或称系统）识别，第三类问题：荷载识别。
第一类问题是已知系统动态特性和动载荷作用部位及大小，求出系统的响应——随时间变化的位移，速度，加速度和应力等。
第二类问题是已知系统的输入输出特性，分析系统固有的动态特性，结构模态分析就属于这一类问题。
第三类问题是在已知系统动态特性的条件下, 通过测量系统的响应,或由响应准则预先给出响应要求, 以此识别对响应的外载荷。
三类结构动力学研究内容的载荷、结构和响应之间的关系如图7-1所示。
动载荷种类大致分类如图7-2所示。
图7-1 结构动力学研究的内容图7-2 动载荷种类本章主要介绍结构动力学分析的基础知识，并主要介绍系统固有特性的有限元分析方法——有限元模态分析。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
有限元动力学问题有限单元法
物理领域
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限元课件ch9 结构动力学
n
K
(n)
K 1 0 0
n i
0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可 以 得 到 ： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标， 称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交 振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)
sin
i
t
1 M i
i
t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型
K
(n)
K 1 0 0
n i
0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可 以 得 到 ： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标， 称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交 振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)
sin
i
t
1 M i
i
t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型
机械结构有限元分析---结构动力问题有限元法
K V B DB dV
e T
单元阻尼矩阵
单元刚度矩阵 单元等效结点荷 载向量
F (t )e V N T FV dV S N T Fs T dS
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.3 结构运动方程及其动力学矩阵
一、结构的运动方程 按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进 行集成，可得结构总体运动方程：
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.1 动力学问题的基本概念
1、自由振动与受迫振动 自由振动——动荷载为零，由初始位移和初始速度引 起的结构振动。 受迫振动——由动荷载引起的结构振动。 2、动力问题的主要研究内容 结构的自振特性分析（无阻尼自由振动分析)，寻求结构 的固有频率和主振型
结构的动力响应分析（受迫振动分析），寻求结构的 动内力、动位移的大小及其变化规律。
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
3、动力有限元法的基本概念
结构离散
与静力问题相同，基本未知量仍为独立的结点位移 {δ}，但{δ}是时间t的函数，同时是确定结构全部质量位置 的参数，故又称作动力自由度。 位移模式
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
2、集中质量矩阵 将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动 力自由度顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称集中质 量矩阵。 当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和 体积确定该结点集中质量的大小。 因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转 动自由度相对应的质量为零。
0 sin t
代带入自由振动方程得
K M O
e T
单元阻尼矩阵
单元刚度矩阵 单元等效结点荷 载向量
F (t )e V N T FV dV S N T Fs T dS
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.3 结构运动方程及其动力学矩阵
一、结构的运动方程 按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进 行集成，可得结构总体运动方程：
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.1 动力学问题的基本概念
1、自由振动与受迫振动 自由振动——动荷载为零，由初始位移和初始速度引 起的结构振动。 受迫振动——由动荷载引起的结构振动。 2、动力问题的主要研究内容 结构的自振特性分析（无阻尼自由振动分析)，寻求结构 的固有频率和主振型
结构的动力响应分析（受迫振动分析），寻求结构的 动内力、动位移的大小及其变化规律。
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
3、动力有限元法的基本概念
结构离散
与静力问题相同，基本未知量仍为独立的结点位移 {δ}，但{δ}是时间t的函数，同时是确定结构全部质量位置 的参数，故又称作动力自由度。 位移模式
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
2、集中质量矩阵 将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动 力自由度顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称集中质 量矩阵。 当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和 体积确定该结点集中质量的大小。 因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转 动自由度相对应的质量为零。
0 sin t
代带入自由振动方程得
K M O
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3、利用节点位移插值表示单元内任一点的位移
d=Nqe
一般仍采用与静力分析相同的形函数，[N]。当单元数量较多时，上述 插值可以得到较好的插值精度。 4、在线弹性条件下，单元内的应变和应力与节点位移的关系仍为
= B qe =DBqe
但这时的位移、应变和应力都是某一时刻的瞬时值，它们都是随时间t 变化的函数。
●三角形平面问题单元
2 0 1 0 1 0
2 0 1 0 1
惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和 实施过程，有： 第九讲结构动力学问题有限元法
1.一致质量矩阵
R
e q
N
T
qdV
V
V
N
T
Nห้องสมุดไป่ตู้
2 t 2
e
dV
N T N dV e
V
于是，令
meN TNdV
第九讲结V构动力学问题有限元法
1.一致质量矩阵
me 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
第九讲结构动力学问题有限元法
第一节 动态分析有限元法的特点
一、载荷特点 结构所受的载荷是随时间变化的动载荷。 这是与静力分析的一个根
本区别。
二、位移特点 1、节点位移{q}不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。仍以节
点位移{q}作为基本未知量。
2、节点具有速度 q和q加速度。
第九讲结构动力学问题有限元法
第九讲结构动力学问题有限元法
式中 keBTDBdV
V
me NTNdV
V
ce NTNdV
V
分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的 特性矩阵。
R t e N T P v d V N T P s d A N T P c
V
A
称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节 点移置的结果。
第九讲结构动力学问题有限元法
由于 dN qe,B qe
且形函数仅为坐标x、y、z的函数，与时间无关，因此有
d N qe
d N qe
d N qe
B q e
根据虚位移原理，有
UW
代入经整理，可得单元运动方程为
m e q e c e q e k e q e R t e
动载荷（又称动力分析）
固有特性分析
响应分析
固 有 频 率
振 型
位 移 响 应
速 度 响 应
加 速 度 响 应
动 应 变
动 应 力
第九讲结构动力学问题有限元法
固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度 分布）决定，而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应； 响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。
在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。
第九讲结构动力学问题有限元法
单元质量矩阵根据其形成过程分为一致质量阵和 集中质量阵，各有自身的优点和缺点。
1.一致质量矩阵
在离散后的结构中，取出一个单元，根据达朗贝 尔原理，单位体积上作用的惯性力为：
q t2 2 t2 2N e N t2 2e
9 动态分析有限元法
第九讲结构动力学问题有限元法
工程中受动载荷的产品：受道路载荷的汽车；受风载的雷达； 受海浪冲击的海洋平台；受偏心离心力作用的旋转机械等。 动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载荷时，需 要进行动态分析，以了解产品动态特性。
第九讲结构动力学问题有限元法
第九讲结构动力学问题有限元法
UTdV
V
单元除受动载荷外，还有加速度和速度引起的惯性力 ddV 和阻尼力 ddV ，其中ρ为材料密度，v是线性阻尼系数。外力所做的虚功为：
WdTPvdVdTPsdAdTPc
V
A
dTddVdTddV
V
V
式中，{Pv}、{Ps}、{Pc}分别为作用于单元上的动态体力、动态面力和动态 集中力；V为单元面积；A为单元面积。
第九讲结构动力学问题有限元法
二、单元分析
单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵，形成单元特性方程。 动态分析中，单元特性矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特性矩阵。
第九讲结构动力学问题有限元法
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元 内也产生相应的虚位移 d 和虚应变 。单元内产生的虚应变能为:
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。
2.集中质量矩阵
在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量 平均分到单元的各个节点上，如平面三角形单元的 质量可分配为：
mi mj mk 3 V dV
第九讲结构动力学问题有限元法
2.集中质量矩阵 单元质量矩阵为：
m e dm i im a i m jg m j m km k
第九讲结构动力学问题有限元法
5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态，因 此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再集成。 整个结构的平衡方程为
M q C q K q R t
式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二阶 常微分方程组。
dx
4
Al
30
1
8
1 8 4 8 8 16 第九讲结构动力学问题有限元法
3.常用单元的一致质量矩阵
●三次梁单元
156 22l 54 13l
me Al 22l 4l2 13l
3l2
420 54 13l 156 22l
13l 3l2
22l
4l2
第九讲结构动力学问题有限元法
3.常用单元的一致质量矩阵
求解过程复杂，建立有限元模型时要特别注意控制模型规模。
第九讲结构动力学问题有限元法
第二节 动态分析有限元法的一般步骤
第九讲结构动力学问题有限元法
一、结构离散
该步骤与静力分析完全相同，只是应该分析内容不同，对网格形式的要求 有可能不一样。 静力分析：要求在应力集中部位加密网格； 动态分析：由于固有频率和振型主要与结构的质量和刚度分布有关，要求 整个结构采用尽可能均匀的网格形式。
3.常用单元的一致质量矩阵
●一次杆单元 N 1
me AlNTNdxAl121 2dx
A l
2 1
122dx
1第九2讲结构动力2学问题有限元法
l
6
2 1
1 2
3.常用单元的一致质量矩阵
●二次杆单元
me
A
NT
l
Ndx
A
l
222122
1 2
412
222122
1 2
412
T