专题七下第2讲几何证明选讲、不等式选讲
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第2讲几何证明选讲、不等式选讲
高考定位高考对本内容的考查主要有:(1)三角形及相似三角形的判定与性质;
(2)圆的相交弦定理,切割线定理;(3)圆内接四边形的性质与判定;(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求;(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用,属B级要求.
真题感悟
1.(2017·江苏卷)如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.
求证:(1)∠P AC=∠CAB;
(2)AC2=AP·AB.
证明(1)因为PC是圆O的切线,所以∠PCA=∠CBA,
又AP⊥PC,所以∠P AC+∠PCA=90°,
因为AB为半圆O的直径,
所以∠CAB+∠CBA=90°,
所以∠P AC=∠CAB.
(2)由(1)可得△P AC∽△CAB,所以AP
AC=AC AB,
所以AC2=AP·AB.
2.(2016·江苏卷)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D 为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.
证明由BD⊥AC.可得∠BDC=90°,
由E为BC中点,可得DE=CE=1
2BC,
则∠EDC=∠C,由∠BDC=90°,得∠C+∠DBC=90°,又∠ABC=90°,则∠ABD+∠DBC=90°,
∴∠ABD=∠C,
又∵∠EDC =∠C ,∴∠EDC =∠ABD .
3.(2017·江苏卷)已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac +bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,
即(ac +bd )2≤4×16=64,故ac +bd ≤8.
4.(2016·江苏卷)设a >0,||x -1<a 3,|y -2|<a 3,求证:|2x +y -4|<a .
证明 由a >0,|x -1|<a 3可得|2x -2|<2a 3,
又|y -2|<a 3,
∴|2x +y -4|=|(2x -2)+(y -2)|≤|2x -2|+|y -2|<2a 3+a 3=a .
则|2x +y -4|<a 成立.
考 点 整 合
1.相似三角形的判定定理
判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
2.(1)圆内接四边形的性质定理:
①圆的内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
(2)圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
3.(1)圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
(4)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
(5)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
4.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<-a ;