专题七下第2讲几何证明选讲、不等式选讲

第2讲几何证明选讲、不等式选讲

高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；

(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求；(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.

真题感悟

1.(2017·江苏卷)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.

求证：(1)∠P AC＝∠CAB；

(2)AC2＝AP·AB.

证明(1)因为PC是圆O的切线，所以∠PCA＝∠CBA，

又AP⊥PC，所以∠P AC＋∠PCA＝90°，

因为AB为半圆O的直径，

所以∠CAB＋∠CBA＝90°，

所以∠P AC＝∠CAB.

(2)由(1)可得△P AC∽△CAB，所以AP

AC＝AC AB，

所以AC2＝AP·AB.

2.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.

证明由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°，

由E为BC中点，可得DE＝CE＝1

2BC，

则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°，

∴∠ABD＝∠C，

又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD .

3.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，

即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8.

4.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .

证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，

又|y －2|＜a 3，

∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a 3＝a .

则|2x ＋y －4|＜a 成立.

考 点 整 合

1.相似三角形的判定定理

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

2.(1)圆内接四边形的性质定理：

①圆的内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.

3.(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

4.含有绝对值的不等式的解法

(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；

(2)|f (x )|0)⇔－a

(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.

5.柯西不等式

(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.

(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n i ＝1a 2i )⎝⎛⎭⎫∑n i ＝1b 2i ≥(∑n i ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

6.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.

热点一 三角形相似的判定及应用

[命题角度1] 利用弦切角定理证明三角形相似

【例1－1】 如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切

线与BA 的延长线交于E 点.

证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；

(2)BC 2＝BE ·CD .

证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠ABC ＝∠BCD .

又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，

所以∠ACE ＝∠BCD .

(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，

所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC ，即BC 2＝BE ·CD .

探究提高 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理.