专题七下第2讲几何证明选讲、不等式选讲

第2讲几何证明选讲、不等式选讲高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理.本内容考查属B级要求；(5)含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.真题感悟1.(2017·江苏卷)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：(1)∠P AC＝∠CAB；(2)AC2＝AP·AB.证明(1)因为PC是圆O的切线，所以∠PCA＝∠CBA，又AP⊥PC，所以∠P AC＋∠PCA＝90°，因为AB为半圆O的直径，所以∠CAB＋∠CBA＝90°，所以∠P AC＝∠CAB.(2)由(1)可得△P AC∽△CAB，所以APAC＝AC AB，所以AC2＝AP·AB.2.(2016·江苏卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D 为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.证明由BD⊥AC.可得∠BDC＝90°，由E为BC中点，可得DE＝CE＝12BC，则∠EDC＝∠C，由∠BDC＝90°，得∠C＋∠DBC＝90°，又∠ABC＝90°，则∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，又∵∠EDC ＝∠C ，∴∠EDC ＝∠ABD .3.(2017·江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式可得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，即(ac ＋bd )2≤4×16＝64，故ac ＋bd ≤8.4.(2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明 由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a 3，又|y －2|＜a 3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a 3＝a .则|2x ＋y －4|＜a 成立.考 点 整 合1.相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.2.(1)圆内接四边形的性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.3.(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.4.含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.5.柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑n i ＝1a 2i )⎝⎛⎭⎫∑n i ＝1b 2i ≥(∑n i ＝1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.6.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.热点一 三角形相似的判定及应用[命题角度1] 利用弦切角定理证明三角形相似【例1－1】 如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点.证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ·CD .证明 (1)因为AC ︵＝BD ︵，所以∠ABC ＝∠BCD .又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ，所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CD BC ，即BC 2＝BE ·CD .探究提高 在证明角或线段相等时，证三角形相似是首选的解题思路，如果涉及弦切角，则需考虑弦切角定理.[命题角度2]利用圆周角、圆心角定理证明三角形相似【例1－2】如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.(1)求证：AC·BC＝AD·AE；(2)若AF＝2，CF＝22，求AE的长.(1)证明连接BE，由题意知△ABE为直角三角形.因为∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，所以△ABE∽△ADC，所以ABAD＝AE AC，即AB·AC＝AD·AE.又AB＝BC，所以AC·BC＝AD·AE.(2)解因为FC是圆O的切线，所以FC2＝F A·FB，又AF＝2，CF＝22，所以BF＝4，AB＝BF－AF＝2，因为∠ACF＝∠FBC，又∠CFB＝∠AFC，所以△AFC∽△CFB.所以AFFC＝ACBC，得AC＝AF·BCCF＝2，在△ABC中，cos∠ACD＝BC2＋AC2－AB22BC·AC＝4＋2－42×2×2＝24，∴sin∠ACD＝144＝sin∠AEB，∴AE＝ABsin ∠AEB＝4147.探究提高在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理.同时，要注意等量的代换.【训练1】(2014·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点.证明：∠OCB＝∠D.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.热点二四点共圆的判定及性质[命题角度1]四点共圆的判定【例2－1】(2017·南师附中等四校联考)如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于点D，BC和AC分别交DO的延长线于点P和点Q，求证：∠OBP＝∠CQP.证明连接OA，因为OD⊥AB，OA＝OB，所以∠BOD＝∠AOD＝12∠AOB.又∠ACB＝12∠AOB，所以∠ACB＝∠DOB.又∠BOP＝180°－∠DOB，∠QCP＝180°－∠ACB，所以∠BOP＝∠QCP.所以B，O，C，Q四点共圆.所以∠OBP＝∠CQP.探究提高 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.[命题角度2] 四点共圆的性质【例2－2】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .(1)解 连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明 因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上. 又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .探究提高 利用四点共圆的性质可解决角的相等，或结合切割线定理解决线段成比例问题.【训练2】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ， DF CF ＝DE CD ＝DGCB ，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG .因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.热点三 绝对值不等式[命题角度1] 绝对值不等式的解法【例3－1】 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}.(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.[命题角度2] 含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题【例3－2】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1可得①当x ≤－1时显然不满足题意；②当－1<x <2时，2x －1≥1，解得x ≥1，则1≤x <2；③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2.综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ，令g (x )＝f (x )－x 2＋x ，则g (x )≥m 解集非空只需要[g (x )]max ≥m .由(1)知g (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x －3，x ≤－1，－x 2＋3x －1，－1<x <2，－x 2＋x ＋3，x ≥2.①当x ≤－1时，[g (x )]max ＝g (－1)＝－3－1－1＝－5；②当－1<x <2时，[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3·32－1＝54； ③当x ≥2时，[g (x )]max ＝g (2)＝－22＋2＋3＝1.综上，[g (x )]max ＝54，故m ≤54.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 探究提高 解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).热点四 不等式的证明【例4】 (2014·江苏卷)已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .探究提高 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.【训练4】 (2013·江苏卷)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b ).因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0，2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .热点五 柯西不等式【例5】 已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}.(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1， 即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.探究提高 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.【训练5】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)∵a >0，b >0且a 3＋b 3＝2.由柯西不等式，得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4.当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时等号成立.因此(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4.(2)∵a 3＋b 3＝2，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2，即(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]＝2.所以(a ＋b )3－2＝3ab (a ＋b )，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）24， ∴(a ＋b )3－2≤34(a ＋b )3，则14(a ＋b )3≤2. 从而a ＋b ≤2当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.1.(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB .2.(2013·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明 连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3.(2012·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明 连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B ，于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .4.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧2x ，x >1，2，－1≤x ≤1，－2x ，x <－1.①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔－x 2＋x ＋4≥2x ，解之得1<x ≤17－12.②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0，则－1≤x ≤1.③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4，又x <－1，∴不等式此时的解集为空集.综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立.则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立.则只需⎩⎨⎧12－a ·1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1. 故a 取值范围是[－1，1].5.(2015·江苏卷)解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 6.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c .证明 法一 ∵a ，b ，c 都为正实数，∴a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a 2c ≥2a ，当且仅当a ＝b 2a ，b ＝c 2b ，c ＝a 2c ，即a ＝b ＝c 时取等号.∴a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ＋a 2c ≥2a ＋2b ＋2c ，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c .法二 ∵a ，b ，c 都为正实数，∴由柯西不等式有(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥(b ＋c ＋a )2， 当且仅当b a ＝c b ＝a c ，即a ＝b ＝c 时取等号.∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥a ＋b ＋c .。