初二数学中心对称和中心对称图

【学习目标】

1．掌握中心对称和中心对称图形的概念，知道它们之间的区别和联系．

2．掌握成中心对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称．

3．会作出已知图形关于已知点的中心对称图形．

【主体知识归纳】

1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．

2．中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形．

（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．

3．中心对称图形把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4．中心对称与中心对称图形的异同

（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．（2）中心对称与中心对称图形都有对称中心，如果把成中心对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看做是两个图形，那么它们又成中心对称．

【基础知识精讲】

1．本节的重点是中心对称的概念和性质，关于中心对称的概念，可对照轴对称的概念来学习，因为它们是相仿的，要抓住下面三个要点：

中心对称轴对称

1 有一个对称中心——点有一条对称轴——直线

2 图形绕中心旋转180°图形“沿轴对折”

3 旋转后与另一图形重合翻转后与另一图形重合

2．轴对称图形与中心对称图形都是某个图形所具备的某种属性的一种称呼，因此，某个图形可能同时具备这两种属性，也可能具备其中之一，还有可能一种属性都不具备．

【例题精讲】

［例1］如图4－61，已知四边形ABCD和BC边上的中点M，画四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD关于点M对称．

图4—62

画法：（1）连结AM并延长到A′，使MA′＝MA，得到点A的对称点A′；同法得点D 的对称点D′；

（2）B点的对称点B′和C重合，C点的对称点C′和B重合；

（3）连结A′B′、A′D′、C′D′，则如图4－62，四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形．

图4—62

说明：作一个图形关于某一点的中心对称图形可采用关键点定位法，将关键点的对称点作出，这个图形的对称图形即可画出．

［例2］下列图形中，哪些是轴对称图形，哪些是中心对称图形？

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等边三角形；⑥等腰直角三角形；⑦线段；⑧角．

解：①②③④⑦是中心对称图形，②③④⑤⑥⑦⑧是轴对称图形，其中②③④⑦既是轴对称图形又是中心对称图形．

【同步达纲练习】

1．选择题

（1）下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A．平行四边形B．矩形

C．菱形D．等边三角形

（2）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．平行四边形B．菱形

C．等腰三角形D．等边三角形

（3）下列图形中，是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（）

A．直线B．线段

C．角D．平行四边形

（4）如果△ABC和△A1B1C1关于某点成中心对称，△A1B1C1和△A2B2C2关于某条直线轴对称，则△ABC和△A2B2C2有（）

A．是全等关系B．无全等关系

C．可能有全等关系D．以上都不对

（5）下列命题中，真命题是（）

A．轴对称图形一定是中心对称图形

B．中心对称图形一定是轴对称图形

C．关于中心对称的两个四边形全等

D．全等的两个三角形一定关于某一点成中心对称

2．填空题

（1）正方形既是_____图形，又是_____图形，它有_____条对称轴，对称中心是_____．（2）一个正方形要绕它的中心旋转_____度，才能和原来图形重合．

（3）已知A、B、O三点不共线，A、A′关于O对称，B、B′关于O对称，那么线段AB 与A′B′的关系是_____．

（4）P是∠AOB内任一点，分别作P关于AO、BO的对称点P1、P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5，则△PMN的周长为_____．

（5）矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将纸片折叠使得A、C重合，则折痕的长是_____． 3．分别按下列条件，画一个与已知△ABC成中心对称的三角形：

（1）以顶点C为对称中心；

（2）以△ABC外一点P为对称中心．

4．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝AD＝2，AC＝25，求（1）BC的长；（2）

△ABC的面积．

5．如图4－63，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC和BD均关于O成中心对称，且B、D关于AC成轴对称．

求证：四边形ABCD是菱形．

图4—63

【思路拓展题】

你知道吗

一面镜子竖直悬挂在墙壁上，人眼位置如图4－64（O点）所示，有三个物体A、B、C 放在镜子前面，人眼能从镜子里看见哪个物体？

图4—64

参考答案

【同步达纲练习】

1．（1）D （2）B （3）D （4）A （5）C

2．（1）轴对称中心对称 4 对角线的交点

（2）90 （3）平行且相等（4）5 （5）7.5

3．略

4．（1）42提示：延长AD到E使DE＝AD，连结CE，得△ACE为直角三角形

（2）4

5．略

【思路拓展题】

你知道吗

能看见A、B两个物体．提示：因为点A、B关于MN的对称点在∠MON的内部，而点C 的对称点不在∠MON的范围内．