第二章_质点组力学解析

因为
dri vi dt
是质点 pi 的速度，故对整个质点组而言，有
d 2 ri d n dri d n dp m ( m ) m v i i i i 2 dt dt dt dt dt i 1 i 1 i 1
n
式中
p mi vi
i 1
n
是质点组的动量， 等于质点组中诸质点动量的矢量和， 因此式 （2.2.3） 可改写为
d 2 rc 式中 2 是质心的加速度。方程（2.2.9）表明，质点组质心的运动， dt
就好像一个质点的运动一样，此质点的质量等于整个质点组的质量，作用 在此质点上的力，等于作用在质点组上所有诸外力的矢量和，这就是质心 运动定理。
（3）动量守恒律
1、 全部守恒：条件 故 但 所以又得
(e) F i 0 i 1 n
M 1v0 M 2 v0
又把手以速度 v0 作平动，故把手动量 P 2 故此系统动量 P
P 1P 2 M 1 M 2 v0
§2.3
动量矩定理与动量矩守恒律
（1）对固定点O的动量矩定理
d 2 ri mi 2 Fi (i ) Fi ( e ) dt
在这方程的两侧，从左面矢乘 ri ，并对 i 求和， 就得到
式（2.2.4） 、 （2.2.5） 、或式（2.2.6）是质点组动力学第一个基本定理， 叫做质点组的动量定理，即质点组的动量对时间的微商，等于作用在质点 组上诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质点组上诸外力的 元冲量的矢量和。
（2）质心运动定理
因为
m r mr （2.2.7）
i 1 i i c n
rc OC
m r
i 1 n
n
i i
m
i 1
（2.1.3）
i
从式（2.1.3）可以看出：将各质点的质量乘其位矢并求知，然后除以总质 量，显然仍然代表一个位矢。这个位矢末端（始端仍在 O）所确定的一点， 定义为质点组的质心。 在直角坐标系中，质心的坐标为
xc
m x
i 1 n
n
i i
2、 部分守恒 如果作用在质点组上的诸外力对某定点 O 的力矩虽然不等于零，但对 通过原点 O 的某一坐标轴（设为 x 轴）的力矩为零，也就是说，如果
(e) (e) ( y F z F i iz i iy ) 0 i 1 n
则
J x mi ( yi zi zi yi ) 常数
如假定某质点组由 n 个质点组成，则质点中诸内力的总和亦必等于零，即
F
(i )
fij 0 （2.1.2）
i 1 j 1 j i
n
n
在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤立系或闭合系。
（2）质 心
1． 质心 在对整个质点组运用动力学基本定理，我们发现：在质点组中恒存在 一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以这个特殊点作为参照点，又常 能使问题简化。我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心，简称质心。 2． 质心位置的确定 假定有 n 个质点，它们的质量是 m1, m2, … mn ，位于 p1 , p2 ，…， pn 诸 点，这些点对某一指定的参照点 O 的位矢是 r 1, r 2 ，…， rn ，则质心 C 对 此同一点的位矢 rc 满足以下关系：
第二章
质点组力学
§2.1
质点组
（1）质点组的内力和外力
1． 质点组 我们把由许多 （有限或无限） 相互连系着的质点所组成的系统叫做质点组。 2． 内力和外力 质点组中质点间相互作用的力， 叫做内力； 质点组以外的物体对质点组 内任一质点的作用力，叫做外力。故任何一对质点（例如第 i 个质点和第 j 个质点）间相互作用的力，恒相等而相反并且作用在同一条直线，即 （2.1.1） fij f ji 0 ， 式中 fij 表示第 j 个质点对第 i 个质点的作用力。
n
求式（2.2.7）两侧对时间 t 的微商，则得
P mi vi mvc （2.2.8）
i 1
式中 vc 是质点组质心的速度，于是，由（2.2.4）式，得
n dvc m Fi ( e ) dt i 1
n d 2 rc (e) 或 m 2 Fi （2.2.9） dt i 1
n d n (e) (e) m ( y z z y ) ( y F z F ) i i i i i i iz i iy dt i 1 i 1 n d n (e) (e) m ( z x x z ) ( z F x F ) i i i i i i ix i iz dt i 1 i 1 n d n (e) (e) m ( x y y x ) ( x F y F ) i i i i i i iy i ix dt i 1 i 1
m
i 1
， yc
m y
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
， zc
m z
i 1 n
n
i i
i
m
i 1
（2.1.4）
i
如要求出连续性物体的质心，则一般要用重积分来解算。
§2.2 动量定理与动量守恒律
（1）动量定理
假定有一个由 n 个质点所组成的质点组，其中某一个质点 pi 的质 量为 mi ，对某惯性参考系坐标原点 O 的位矢为 ri ，作用在质点 pi 上 诸力的合力为 Fi ，则根据上节的讨论，知 Fi 可分为两类；一为内力， 以 Fi 表之；另一为外力，以 Fi 点 pi 的运动微分方程为
n dp Fi ( e ) （2.2.4） dt i 1 n
或 dp (
(e) F i )dt （2.2.5） i 1
写成分量形式，则为
n dpx d n ( mi vix ) Fix ( e ) dt dt i 1 i 1 n dp y d n ( mi viy ) Fiy ( e ) （2.2.6） dt dt i 1 i 1 n dpz d n ( mi viz ) Fiz ( e ) dt dt i 1 i 1
2、 在动系上质点 Pi 的动力学方程
故（2.3.1）式可写成下列形式：
n dri d n (e) ( r m ) ( r F i i i i ) dt i 1 dt i 1 n
（2.3.3）
微商符号内的表示式可以简写为
(r p ) ，它和（1.8.10）式右边的形
i 1 i i
式类似，只是多一下标 i 和一求和号，它等于诸质点的动量对定点 O 动量 矩的矢量和，可以 J 表之，代表质点组对定点 O 的动量矩，也叫角动量。 又式 （2.3.3） 的右方也是诸外力对同一定点 O 的力矩的矢量和， 可以 M 表 之。这样式（2.3.3）就可简写为
（2.3.6）
（2）动量矩守恒律
1、全部守恒 如果所有作用在质点组上的外力对某一固定点 O 的合力矩为零，即
dJ M 0 0 dt
因而得到矢量积分
J =恒矢量
这个关系叫做质点组动量矩守恒律。即质点组不受外力作用时，或虽 受外力作用，但这些力对某定点的力矩的矢量和为零，则对此定点而 言，质点组的动量矩为一恒矢量，亦即得到了运动方程的第一积分。
[例]一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为 m，炮身及炮车质量和等于 M， 炮车可以自由地在铁轨上反冲。如炮身与地面成一角度α ，炮弹对炮 身的相对速度为 V，试求炮弹离炮身时对地面的速度 v 及炮车反冲的 速度 U。
[解]方法一：认为炮弹与炮身沿同一方向运动。 本题沿水平方向 （设为 x 方向） 无外力作用， 因为火药爆炸力是内力， 故沿 x 方向动量守恒，即 （1） mvx MU 0 （用绝对速度，不能用相对速度） 又由相对运动关系，知
(i ) (e)
表之。由牛顿运动第二定律，得质
d 2 ri mi 2 Fi ( e ) Fi ( i ) dt
（i=1,2,3…，n） （ Fi
(i )
f ij ） (2.2.1)
j 1 j i
n
我们可以对质点组中每一质点写出这样的微分方程， 一共得到 n 个微 分方程。但如果把这 n 个方程加起来，则得
V cos U vx ,V sin vy
由（1）及（2） ，得：
（2）
m U V cos M m M vx V cos M m v y V sin
2 x 2 y
（3）
M 2 2 v v v ( ) V cos2 V 2 sin 2 M m M 2 = V 1 [( ) 1]cos 2 M m
n n d 2 ri (i ) (e) ( r m ) ( r F ) ( r F ) （2.3.1） i i i i i i 2 dt i 1 i 1 i 1 n
(i ) ( r F i i )0 i 1
n
（2.3.2）
又
d 2 ri d dri ri 2 (ri ) dt dt dt
n n d 2 ri (e) (i ) m F F i i i 2 dt i 1 i 1 i 1 n
（2.2.2）
而由牛顿运动第三定律，知内力的总和为零，于是式（2.2.2）变为
n d 2 ri (e) m F i i 2 dt i 1 i 1 n
（2.2.3）
ix
dpx 0 0 dt
或 px
m v
i 1
i ix
mvcx 常数
因而，在这一情形下，虽然质点组的动量并不是一个恒矢量，但它在 这一轴（现在 x 轴）上的投影却保持为常数，或者说，质点组质心的 速度，在这一轴上的投影为一常数，亦即我们得到了一个第一积分， 在解算具体问题时，常常要用到这个关系。
dp 0 dt
p =恒矢量 p =m vc
vc =恒矢量
在此情形下， 质点组的动量是一个恒矢量， 而它的质心则作惯性运动， 这个关系，叫做质点组的动量守恒律。即质点组不受外力作用或 所受外力的矢量和为零而运动时，质点组的动量亦即质心的动量都是 一个恒矢量。
2、 部分守恒 条件
F
i 1 n
n
(e)
dJ M dt
（2.3.4）
这就是质点组动力学的第二个基本定理，叫做质点组的动量矩定量，它跟 质点的动量矩定量（1.8.14）亦类似，可用文字表述于下： 质点组对任一固定点的动量矩对时间的微商，等于诸外力对同一点的 力矩的矢量和。
式（2.3.4）也可改写
dJ Mdt
（2.3.5）
这是动量矩定理的另一数学表达式，即质点组动量矩的微分等于诸外力的 元冲量矩的矢量和。 将方程（2.3.4）投影在原点为 O 的三直角坐标轴上，就得到
i 1
n
因而，在这一情形下，质点组的动量矩在这轴上的投影为一常数，亦 即得到了一个第一积分。
1、动系与静系 假设我们有一个由 n 个质点所组 成的质点组， Pi 是这个质点组中的任 一质点，它的质量是 mi ，C 是此质点
（3）对质心的动量矩定理
组的质心（图 2.3.1）.假设 Pi 对固定点 O 的位矢为 ri ，对质心 C 的位矢为 ri ， 而质心 C 对 O 的位矢则为 rc 。图中 O-xyz 是固定坐标系。 另有一组动坐标系 C- xy z ， （称为质心坐标系或质心系） ， 它的 原点在质心 C 上，并随着 C 相对于 O-xyz 平动。
V cos U vx ,V sin vy 。
补充例题：压路碾子在直线道路上运动，设滚子中心的速度为 v0 ，把手一 端被认为靠在地面上，若已知滚子与把手的质量分别是 M1 和 M 2 ，均视 为均质，试求此系统的动量。
解：∵ 滚子与把手均视为均质，故滚子中心即为滚子的质心，故 滚子的动量 P 1
1 m(2M m) 2 2 = V [1 cos ] (m M ) 2
（4）
如 v 与水平线间夹角为 ,则
V sin m tg (1 )tg M vx M V cos M m vy
故由于炮车反冲 v<V 而 >
(5)
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方法二：炮弹与炮身沿相反方向运动，这时： mvx MU 0