2021年高中数学 第二章 平面向量 .1 向量的线性运算 .1.3 向量的减法示范教案 新人教B版

2021年高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的

减法示范教案新人教B版必修4

教学分析

向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．

三维目标

1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．

2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．

重点难点

教学重点：向量的减法运算及其几何意义．

教学难点：对向量减法定义的理解．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．

思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．

推进新课

新知探究

提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？

活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？

引导学生思考，相反向量有哪些性质？

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．

于是－(－a )＝a .

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．

任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.

所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.

(1)平行四边形法则

如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －

b .

图1

又b ＋BC →＝a ，

所以BC →＝a －b .

由此，我们得到a －b 的作图方法．

(2)三角形法则

如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可

以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

图2

讨论结果：(1)向量也有减法运算．

(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．

与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫作a 的相反向量，记作－a .

(3)向量减法的定义．我们定义

a －

b ＝a ＋(－b )，

即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

规定：零向量的相反向量是零向量．

(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．

应用示例

思路1

例1如图3，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？

图3

活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．

解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，

同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .

图4

图5

例2如图6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c.

活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

解：在平面上任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .

再作B C →＝c ，并以BA 、BC 为邻边作BADC ，

则B D →＝B A →＋B C →＝a －b ＋c (如图7)．

图6 图7 变式训练

1．在ABCD 中，下列结论中错误的是( )

A.AB →＝DC →

B.AD →＋AB →＝AC →

C.AB →－AD →＝BD →

D.AD →＋BC →＝0 解析：A 显然正确，由平行四边形法则，可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →＋BC

→＝AD →＋DA →＝0正确．

答案：C

2．已知向量a ，b ，c 与d ，求a －b ，c －d (图8)．

图8

解：作OA →＝a ，OB ＝b ，作BA →，则

a －

b ＝OA →－OB →＝BA →

；

作OC →＝c ，OD →＝d ，作DC →，则 c －d ＝OC →－OD →＝DC →.

例1判断题：

(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．