1.5 推理规则与证明方法

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精品文档-离散数学(方世昌)-第1章

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第1章数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的，故将它归属于命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于命题。
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第1章数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命题。这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子命题或本原命题。例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值，因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称为命题常元。
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第1章数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。但这样描述过于表面，它没能指出命题公式的结构。因为不是由命题变元、联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成规则生成的公式叫命题公式(简称公式):

数学平面几何的推理和证明

数学平面几何的推理和证明数学平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的图形和它们之间的关系。

推理和证明是数学平面几何中最基本的思维方式和方法，它们帮助我们发现几何图形之间的内在规律，解决各种几何问题。

本文将探讨数学平面几何中推理和证明的方法和技巧。

一、推理和证明的基本原理在数学平面几何中，推理和证明是建立在严格的逻辑基础之上的。

它们遵循一定的规则和原理，确保从已知事实推导出正确的结论。

以下是推理和证明中常用的基本原理：1. 公理和定义：数学平面几何的推理和证明是建立在一系列公理和定义之上的。

公理是不需要证明的基本事实，而定义是给出图形和概念的精确定义。

我们可以根据公理和定义来进行推理和证明。

2. 推理规则：在推理和证明过程中，我们需要运用一些基本的推理规则。

比如，反证法、数学归纳法、等价替代法等。

这些推理规则帮助我们从已知的条件中得出新的结论。

3. 推理链：推理和证明的过程是一个逐步推进的过程。

我们需要构建一个推理链，从已知条件开始，通过一系列推理步骤得出最终的结论。

二、推理和证明的方法和技巧推理和证明在数学平面几何中有许多不同的方法和技巧。

下面介绍几种常用的方法：1. 直接证明法：这是最常见的证明方法之一，也是最直接的方法。

它通过给出已知条件、构造推理链，最终得出所要证明的结论。

这个方法要求推理过程中每一步都是正确的，每一步都要给出充分的理由。

2. 反证法：反证法是推理和证明中常用的方法之一。

它假设所要证明的结论不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原假设是错误的。

这个方法常用于证明某些定理的唯一性。

3. 数学归纳法：数学归纳法常用于证明一些关于自然数的结论。

它分为两个步骤：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，再证明当n=k+1时结论也成立。

通过这个过程可以推导出结论对于所有自然数成立。

4. 等价替代法：等价替代法是用于证明一个命题中的各个等价条件之间的关系。

通过证明这些等价条件的任意一个，就可以推导出其他等价条件的成立。

第一章逻辑与证明(2)

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NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
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NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。前提：已知的命题系列结论：由假设得出的结论
结论从前提导出结论为真任何论证过程都有形式：如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。论证有效在于形式不在于内容
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NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真，那么论证有效；否则论证过程是无效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
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谓词逻辑的推理规则和证明方法

谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。

在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。

本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。

一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。

2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。

3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。

4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。

在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。

2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。

3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。

二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。

2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。

3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。

4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。

5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。

6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。

7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。

三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。

2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。

数学中的逻辑推理与证明方法

数学中的逻辑推理与证明方法数学作为一门严谨而抽象的学科，离不开逻辑推理和证明方法的应用。

通过逻辑推理，数学家们能够根据已知条件得出结论，通过证明方法，他们能够确保这些结论的正确性和可靠性。

本文将介绍数学中常用的逻辑推理和证明方法，帮助读者更好地理解数学的思维方式和推理过程。

一、命题逻辑与谓词逻辑在逻辑学中，命题逻辑和谓词逻辑是两种重要的逻辑系统。

命题逻辑讨论的是关于命题的逻辑关系和推理规则，将复杂的推理问题简化为对命题的推理。

而谓词逻辑则进一步引入了谓词和量词，讨论的是关于谓词的逻辑关系和推理规则，可以描述更丰富和复杂的问题。

在数学中，常常用到命题逻辑和谓词逻辑来进行推理和证明。

通过命题逻辑的推理规则，可以判断命题之间的合取、析取、蕴含等关系，进而得出新的结论。

而在谓词逻辑中，通过引入谓词和量词，可以表达更为复杂的数学概念和关系，进一步推理和证明数学命题。

二、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，也是最直观和直接的证明方法。

它通过假设前提条件为真，逐步推演得出结论的真实性。

具体步骤包括：假设前提条件为真，运用逻辑推理规则将其逐步推演为已知的真实命题，然后得出结论。

例如，证明一个数的平方是非负数。

假设有一个数x，要证明x²≥0。

根据实数乘积的性质可知，x²的值只可能大于等于零，因此可以推断出结论x²≥0。

三、反证法反证法是一种重要的证明方法，常常用于证明数学中的命题。

它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而得出结论的正确性。

例如，证明根号2是一个无理数。

首先假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

然后通过对这个假设进行逻辑推理，得到根号2是一个无理数的结论。

由此可见，反证法是一种强有力的证明方法，能够解决很多数学问题。

四、归纳法归纳法是一种在数学中广泛应用的证明方法。

它通过从个别案例到普遍规律的推理方式，逐步证明整体的真实性。

离散数学知识点整理

离散数学一.逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。

联接词：A. V. -、f -o记住“p仅当q”意思是“如果p,则q” ,即系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。

1. 3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。

证逻辑等价是通过推导出证永真式是通过推导岀。

1・4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如Vx>OP(x)o当论域中的元素可以一一列举，那么VxP(x)就等价于P(xl)AP(x2)... A P (xn) o 同理，3 xP (x)就等价于P(xl) \/P(x2)・•. VP(xn) o两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x (P(x) AQ(x))和(V xP(x)) A (W xQ(x))。

量词表达式的否定：「V xP (x) o 3 x「P(x), T xP (x) o V X^P (x) O 1.5量词嵌套我们釆用循环的思考方法。

量词顺序的不同会影响结果。

语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。

嵌套量词的否定就是连续使用徳摩根定律，将否定词移入所有量词里。

1・6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。

但有效论证不代表结二.集合、函数、序列、与矩阵2 ］集合W说的是元素与集合的关系，匚说的是集合与集合的关系。

常见数集有N=｛0,l,2, 3...｝, Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集, C复数集。

A和B相等当仅当V X(X WA F EB)； A是B的子集当仅当V x(xGA-xGB)； A 是B 的真子集当仅当V x(xWAf xWB) AB X(X^AA X^B)。

数学推理与证明方法详细解析与总结

数学推理与证明方法详细解析与总结数学是一门严谨而又充满美感的学科，其中的推理与证明方法是数学思维的核心。

通过推理与证明，数学家们得出了众多定理与结论，推动了数学学科的发展。

本文将对数学推理与证明的几种常见方法进行详细解析与总结，并对其应用场景与注意事项进行讨论。

一、直接证明法直接证明法是数学中常用的证明方法之一。

它通过一系列推理步骤，以逻辑严密的方式得出结论。

方法的基本过程如下：1. 提出假设。

首先，我们提出一个假设，即要证明的命题。

2. 推理步骤。

通过逻辑推理，依次展开一连串步骤，将假设转化为结论。

3. 得出结论。

最后，根据推理步骤，得出所要证明的结论。

在应用直接证明法时，需要注意以下几个问题：1. 对假设进行限制。

应该明确规定所假设的条件，避免出现不必要或无效的推理。

2. 中间步骤的严谨性。

每一步的逻辑关系必须清晰，符合逻辑规律。

3. 结论的恰当性。

结论必须与所给的假设一致，并且是可行的。

二、间接证明法与直接证明法相对的是间接证明法。

间接证明法通过“反证法”来证明一个命题。

方法的基本过程如下：1. 假设带有否定形式的命题。

我们假设所要证明的命题为假，即取其否定形式。

2. 进行推理。

通过一系列推理步骤，得出一个与假设矛盾的结论。

3. 得出矛盾结论。

由于得出的结论与已知的事实矛盾，因此我们推翻了最初的假设，证明了原命题。

在应用间接证明法时，需要注意以下几个问题：1. 反证假设的合理性。

必须确保所假设的命题与所要证明的命题存在逻辑矛盾。

2. 推理的合理性。

推理过程必须是严密而准确的，不能出现任何漏洞。

3. 结论的有效性。

所得出的矛盾结论必须与已知事实严密对应。

三、归纳法归纳法是一种从特殊到一般的证明方法，通过对一系列特例的研究，总结出普遍规律，从而推导出结论。

方法的基本过程如下：1. 观察特例。

首先，我们观察一些特别情况，找出其中的共同规律。

2. 提出猜想。

基于观察到的共同规律，我们提出一个猜想，即所要证明的命题成立。

小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤

小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤基本步骤是数学推理和证明的核心，它们是数学学习中非常重要的一部分。

通过学习和应用基本步骤，学生能够培养逻辑思维和分析问题的能力，并且能够理解和掌握更高级的数学知识。

本文将介绍小学数学知识点中数学推理与证明的基本步骤。

首先，数学推理与证明的基本步骤之一是观察和发现。

在解决数学问题时，学生需要仔细观察并发现问题中的特点、规律或者其他相关信息。

观察和发现阶段是解决数学问题的关键，它需要学生具备敏锐的直觉和分析能力。

其次，数学推理与证明的基本步骤之二是归纳和总结。

在观察和发现的基础上，学生需要对所观察到的规律或者特点进行归纳和总结。

通过归纳和总结，学生能够将复杂的问题进行简化和概括，从而更好地理解和解决问题。

接下来，数学推理与证明的基本步骤之三是假设与猜想。

基于观察、发现、归纳和总结的基础上，学生需要根据自己的理解和推测做出假设和猜想。

这些假设和猜想是解决问题的关键，它们可以引导学生继续进行推理和证明。

然后，数学推理与证明的基本步骤之四是推理和证明。

在做出假设和猜想后，学生需要进行推理和证明，以验证自己的猜想是否正确。

推理和证明的过程中，学生需要运用已学过的数学知识和方法，运用逻辑和推理，通过论证和演绎得出结论。

最后，数学推理与证明的基本步骤之五是总结和归纳。

在完成推理和证明后，学生需要对整个过程进行总结和归纳。

这个过程能够帮助学生进一步理解和巩固所学的数学知识，并且能够应用到以后的学习和解决问题中。

综上所述，小学数学知识点数学推理与证明的基本步骤包括观察和发现、归纳和总结、假设与猜想、推理和证明以及总结和归纳。

通过学习和应用这些基本步骤，学生能够培养逻辑思维和分析问题的能力，并且能够理解和掌握更高级的数学知识。

数学推理和证明是数学学习中的重要内容，对学生的数学素养和思维能力的培养具有重要意义。

1.5推理规则和证明方法

离散数学Discrete Mathematics数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法张晓西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10引言什么时候数学论证是正确的？用什么方法来构造数学论证？数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过程。

所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。

要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。

2011-1-10离散数学21.5.1推理规则前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的一种应用。

现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从逻辑推理角度来理解命题演算。

2011-1-10离散数学34个推理的例子设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。

例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。

前提 x是偶数。

x2是偶数。

例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2是偶数。

2011-1-10P→Q P结论∴Q在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。

右侧是例子的逻辑符表示。

P→Q Qx是偶数。

离散数学∴P4例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x不是偶数。

x2不是偶数。

例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2不是偶数。

x不是偶数。

2011-1-10 离散数学P→Q P ∴ QP→Q Q ∴ P5例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则就是左侧规则的另一P →Q P ∴ Q种写法所对应的永真蕴含式。

P ,P → Q 推得 QP∧(P→Q) ⇒ Q从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。

它恰好代表左侧的推理规则。

这条推理规则叫假言推理, 从形式上看结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。

数学推理及证明方法

数学推理及证明方法数学推理及证明方法是数学研究中一项关键的技巧和方法。

它不仅在解决数学问题时起到重要作用，同时也促进了数学领域的发展和进步。

本文将介绍数学推理的基本概念、常见的证明方法以及一些实际应用案例。

在数学推理中，推理是指由已知的真实命题出发，通过一系列合理的步骤得出新的结论。

推理的目的是通过逻辑推理演绎出结论的真实性。

数学推理的基础是数学公理和定义，通过运用逻辑原理、推理规则和证明方法，来推导出未知命题的正确性。

数学证明是数学推理的一个重要部分，它是指通过严密的推理过程来证明一个数学命题的真实性。

在数学证明中，常见的证明方法有直接证明法、归谬法、递推证明法、反证法、数学归纳法等。

直接证明法是最常见的证明方法之一。

它通过假设已知命题成立，然后通过逐步推理得出目标命题的正确性。

例如，在证明一个数学定理时，我们可以先假设已知的条件成立，然后按照逻辑顺序一步步进行推导，最终得到目标命题成立的证明。

归谬法是一种通过假设目标命题为假，然后通过推理演绎出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性的证明方法。

当假设的目标命题为假的时候，无论如何推导都会导致矛盾，从而说明目标命题一定为真。

递推证明法是通过将目标命题分解成同一类型的小命题，并将小命题的正确性递推到目标命题的证明方法。

这个方法通常适用于同构问题，即具有相同结构和重复性质的问题。

通过证明一个基本情况成立，然后利用递推关系将证明扩展到更一般的情况。

反证法是假设目标命题不成立，并通过逻辑推理得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性。

当假设的目标命题不成立时，通过逻辑推理会导致矛盾，从而说明目标命题一定成立。

数学归纳法是一种证明自然数命题或递归定义的正确性的常用方法。

它由两个步骤组成：基本情况的证明和归纳步骤的证明。

基本情况是证明命题在最小的情况下成立，而归纳步骤是证明如果命题在一个情况下成立，则对于下一个情况也成立。

数学推理及证明方法在实际问题中有广泛的应用。

1.5推理规则和证明方法-1

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归谬法(反证法)
欲证明前提：A1, A2, … , An 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AnB (A1A2…An)B (A1A2…AnB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AnB)为重言式注：设公式A1, A2, … , An 的命题变元为P1, P2, … , Pn . 如果存在某个指派，使得A1∧A2∧…∧An 具有真值T，则称集合{A1, A2, … , An }是一致的，否则称为非一致的。
ABBA
ABAB (AB)(AB)A
推理规则（续）
推理规则 (1) 前提引入规则（规则P）:
在证明的任何步骤上, 都可以引入前提.
(2) 结论引入规则（规则T）:
在证明的任何步骤上，所得到的结论都可以作为后继证明的前提.
(3) 置换规则:
在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中一个公式.
00 01 10 11
1 1 1 1
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实例（4）
（4）若a是偶数，则a能被2整除. a能被2整除.所以，a是偶数. 解设P: a是偶数. Q: a能被2整除. 前提： (PQ) , Q 结论： P 推理的形式结构： (PQ) Q P 经观察，易知：01时成假赋值，故该推理不正确.
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(AB)AB (AB)AB A(AB)A, A(AB)A
基本等值式(续)
零律 A11, A00
同一律排中律
矛盾律蕴涵等值式等价等值式
A0A,
AA1 AA0
A1A
ABAB AB(AB)(BA)
假言易位
等价否定等值式归谬论
(4) 假言推理规则 AB A \B (5) 加法规则 A \AB (6) 简化规则 AB \A

数学证明和推理的方法与技巧

数学证明和推理的方法与技巧数学作为一门精确的科学，需要严谨的逻辑思维和推理能力来解决问题和证明定理。

在数学学习的过程中，学生常常会遇到各种证明和推理题目，掌握一些有效的方法和技巧有助于提高解题的效率和准确性。

本文将介绍数学证明和推理的方法与技巧，帮助读者更好地掌握数学思维。

一、直接证明法直接证明法是最常见和最直观的证明方法之一。

它基于已知的前提和规则，通过逻辑推理得出结论。

在使用直接证明法时，通常需要说明前提条件、引用已知定理或公理，并使用推理规则逐步证明所要证明的结论。

例如，在证明一个几何问题时，可以利用几何定理和公理，通过一系列推理推导出答案。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，特别适用于一些无法直接证明的问题。

它的基本思想是通过假设所要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推出所要证明的结论。

反证法的关键在于对假设的否定进行推理，如果能够推导出明显的矛盾，那么原假设一定是错误的。

例如，在证明某个数是无理数时，可以假设其为有理数，然后通过推理得出矛盾，从而推断出其为无理数。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用于证明自然数性质的方法。

它的基本思想是通过证明一个递归关系的基本情况成立，以及任意情况成立时，下一个情况也成立，从而证明整个递归关系的性质。

在使用数学归纳法时，需要明确归纳假设、确定基本情况的成立，以及推导下一个情况的成立。

例如，证明任意正整数的和公式成立时，可以通过归纳法证明各个基本情况和递推关系的正确性。

四、递推关系法递推关系法是一种常用于证明数列性质和逻辑关系的方法。

它的基本思想是通过已知条件和递推关系式，逐步推导出数列的通项公式或确定关系的规律。

在使用递推关系法时，需要根据问题中给出的条件和递推关系，结合已知的数学知识，推导出所要证明的结论。

例如，证明斐波那契数列的通项公式时，可以利用其递推关系式和已知的初值，逐步推导出通项公式的形式。

通过以上介绍的直接证明法、反证法、数学归纳法和递推关系法，读者可以灵活运用不同的方法和技巧来解决数学证明和推理题目。

第一章数理逻辑

第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。

(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。

(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。

R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。

3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。

4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。

P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。

P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。

P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。

证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。

8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。

9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。

数学中的逻辑推理学习证明与推理的方法

数学中的逻辑推理学习证明与推理的方法数学是一门严谨的学科，其核心在于逻辑推理。

逻辑推理是指通过合理的推断和证明，从已知条件得出结论的过程。

在数学中，学习证明与推理的方法对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。

一、数学证明的基本要素数学证明的基本要素包括：前提、推理和结论。

前提指已知条件，推理是根据前提进行逻辑推理，而结论是通过推理得出的结论。

在数学证明中，前提是最重要的。

前提是问题的已知条件，也是证明的起点。

在进行数学证明时，要先明确已知条件，然后运用逻辑推理，将已知条件转化为待证明的结论。

二、数学证明的方法1. 直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一。

它的步骤是：根据已知条件，运用逻辑推理，从前提出发，一步步地推导出结论。

例如，假设要证明一个命题"P"，可以从前提出发，逐步运用已知定理和推理规则，得出"P"的真值。

这种方法简单直接，适用于许多数学证明问题。

2. 反证法反证法也是一种常用的证明方法。

它的基本思想是：假设要证明的命题为假，然后通过推理推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题为真。

例如，假设要证明一个数是素数，可以假设该数不是素数，然后通过推理得出矛盾的结论，说明假设错误，即该数是素数。

反证法常用于证明存在性命题，尤其适用于证明素数、方程的唯一解等问题。

3. 数学归纳法数学归纳法是一种适用于一类问题的证明方法。

它的基本思想是：通过证明问题在某一特定情况下成立，并且在问题的扩展情况下也成立，从而推断问题在所有情况下都成立。

数学归纳法一般包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤是证明问题在某一特定情况下成立，而归纳步骤是证明问题在扩展情况下成立。

归纳步骤中，首先假设问题在某一情况下成立，然后用此前提证明问题在下一情况下也成立。

数学归纳法常用于证明命题在整数范围内成立，如正整数的等差数列和公式等。

三、数学证明的推理规则在数学证明中，推理规则是指根据逻辑关系进行推理的规则，常见的推理规则包括：1. 合取（合取规则）合取是指将两个命题同时成立的关系，合取规则包括合取引入和合取消去。

概率论-第四讲推理规则和证明方法

18
三、证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法）定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是 P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以某一指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm具有真值T, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。这个定义也可这样叙述: H1∧H2∧…∧Hm ⇒ R∧¬R, 则{H1,H2, … , Hm} 是非一致的, 否则是一致的。
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三、证明方法
例8：证A→(B→ C)，¬ D∨ A，B ⇒ D→C 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) D ¬ A A B B C D D ∨ A →(B → C) → C P（附加前提） P T,(1),(2),I5 P T,(3),(4),I3 P T,(5),(6),I3 CP
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三、证明方法
例9: P ∧ Q → R, ¬ R∨ S, ¬ S ⇒ ¬ P ∨ ¬Q ¬ P P R ¬ S ¬ S (¬ P ∨ ¬Q) ∧ Q ∧ Q → R R∨ S S ∧ ¬ S P,假设前提 T,(1),E10,E P T,(2),(3),I3 P T,(4),(5),I5 P T,(6),(7),合取式
P→Q，R→ ¬ Q，R ⇒ ¬ P （1） R P,前提3 （2） R→ ¬ Q P,前提2 （3） ¬ Q T,(1),(2),I3 （4） P→Q P,前提1 （5） ¬ P T,(3),(4),I4
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三、证明方法
1. 无义证明法证明 P ⇒ Q，只需证明P为假。 2. 平凡证明法证明 P ⇒ Q，只需证明Q为真。无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。

逻辑精点pdf

逻辑精点pdf《逻辑精点》第一章逻辑基础1.1 什么是逻辑逻辑是研究正确推理与论证的学科，主要关注思维的规范性。

1.2 逻辑的意义与应用逻辑有助于我们提高思考能力，正确评估论据的有效性，并帮助我们从复杂的问题中找出解决方案。

1.3 逻辑中的基本概念逻辑中的基本概念包括命题、推理、论证、演绎和归纳等。

1.4 命题与命题关系命题是陈述性语句，可以分为真命题和假命题。

命题关系包括合取、析取、条件和双条件等。

1.5 推理与论证推理是从前提推出结论的过程，论证是使用推理来支持或证明某个观点。

第二章演绎逻辑2.1 演绎逻辑的基本原理演绎逻辑的基本原理包括充足性、必然性和确证性。

2.2 假言命题与推理假言命题是以条件形式陈述的命题，推理中常用的假言推理包括假言合成、假言分离等。

2.3 命题逻辑中的推理规则命题逻辑中的推理规则包括析取引入、析取消去、假言引入、假言消去等。

第三章归纳逻辑3.1 归纳逻辑的基本原理归纳逻辑的基本原理包括一般化、归纳和因果关系。

3.2 归纳推理与论证归纳推理是从特殊案例推出一般规律的过程，论证中的归纳包括两者一致、类比和统计等。

3.3 等价与虚假归纳等价是指两个命题具有相同真值，虚假归纳是从特例得出错误的一般结论。

第四章逻辑推理的实际运用4.1 判断推理的正确性判断推理的正确性需考虑前提的真实性、推理规则的正确应用和推理过程的合理性。

4.2 逻辑思维在问题解决中的应用逻辑思维可用于问题解决的分析、概括、演绎和预测等。

4.3 提高逻辑思维的方法提高逻辑思维的方法包括积累知识、分析思考过程和培养思辨能力。

（以上内容只是简要概述，详细内容请阅读原文。

）。

4-全功能集推理

1 2 n
9
§1.5 推理理论
5. 形式推理系统
一个形式推理系统由下列四个部分组成：
初始符号：一个非空的字母表
形成规则：确定由字母表中的符号构成的合式公式集
公理集：合式公式集中的一些特殊公式(一些永真式) 推理规则集
自然推理系统：从任意给定前提(一组命题公式)出发，应用系统的推理规则进行演算，得到的最后命题公式就是推理的结论.
联接词全功能集:
»基本恒等式 » {↑}是全功能集
设C是联接词集合,若任何公式均可用仅含C中联接词的公式
等价地表示，则称C是联接词全功能集；
设C是联接词全功能集，如果从C中删去任意一个联接词，
C就不是全功能集，则称C是联接词的极小全功能集。
{ ┐,∧,∨,→, }是联接词全功能集，但不是极小的。
┐(A1∧A2∧„∧An∧A)∨B(A1∧A2∧„∧An∧A)→B
例2：证明：P→(Q∨R), Q→┐P, S→┐R P→┐S
(1) (2) (3) (4) (5)
P P→(Q∨R) Q∨R Q→┐P ┐Q
(6) R 附加前提 (7) S→┐R 前提 ⑴⑵假言推论 (8) ┐S (9) P→┐S 前提 ⑴⑷拒取式 -吴扬扬-
⑶⑸析取三段论前提 ⑹⑺拒取式 CP规则
8
§1.5 推理理论
4.反证法(归谬法)
»蕴涵式 »恒等式
把结论的否定作为附加前提，与给定前提一起推证，若能引出矛盾，则说明结论是有效的。 {A ,A ,„,A ,┐B}不相容要证A1∧A2∧„∧AnB,只需证A1∧„∧An∧┐B是永假式(pp.27) 例3：用反证法证明例1的 P→Q， Q→┐R， R ┐P。证明：（1） ┐（┐P）附加前提（2） P (1)双重否定律（3） (P→Q) 前提（4） Q (2)(3)假言推论（5） (Q→┐R) 前提（6） ┐R (4)(5)假言推论 (7) R 前提 -吴扬扬(8) R∧┐R (6)(7)

数学推理的推理规则

数学推理的推理规则数学推理是数学思维和逻辑的重要组成部分，它是通过逻辑推理从已知事实出发，得出未知结论的过程。

数学推理的推理规则指导着我们在数学问题中正确推导和解决问题的方法和步骤。

本文将介绍数学推理的一些常见推理规则，并以例子进行说明。

一、命题与逻辑连接词在数学推理中，命题是可以判断为真或假的陈述句。

逻辑连接词则用来表示命题之间的逻辑关系，常见的逻辑连接词包括“与”、“或”、“非”等。

1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个复合命题才为真。

例如，若命题P为“2是偶数”，命题Q为“3是奇数”，则命题P∧Q为假，因为2既不是奇数也不是奇数。

1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个复合命题就为真。

例如，若命题P为“2是偶数”，命题Q为“3是奇数”，则命题P∨Q为真，因为2是偶数同时也是奇数。

1.3 非运算（¬）非运算表示取反命题的真假。

例如，若命题P为“2是偶数”，则命题¬P为假，因为2是偶数。

二、条件命题推理条件命题是一种常见的逻辑命题，它包含一个条件部分和一个结论部分。

条件命题推理是根据已知条件，利用推理规则得出结论的过程。

2.1 假言命题（→）假言命题是一种条件命题的推理形式，表示如果条件成立，就会发生结论。

例如，若命题P为“如果今天下雨，那么我会带伞”，命题Q为“今天下雨”，则命题P→Q为真，表示如果今天下雨，我会带伞。

2.2 逆命题、逆否命题、逆否等价式逆命题是将条件命题的条件和结论互换得到的新命题。

例如，原命题为P→Q，则逆命题为Q→P。

逆命题与原命题的真假性相同。

逆否命题是在逆命题的基础上取反得到的新命题。

例如，原命题为P→Q，则逆否命题为¬Q→¬P。

逆否等价式指原命题与逆否命题的等价性。

即P→Q与¬Q→¬P是等价命题。

三、等价命题推理等价命题是在逻辑上等价的两个命题，它们的真假性相同。

等价命题推理是根据已知等价命题，通过推理规则得出结论的过程。

离散数学第四讲-推理规则与证明方法

20
永真永真永真永真永真永真
13
3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D P（附加前提） (2) ¬ D A P (3) A T,(1),(2),I5 (4) A →(B → C) P (5) B → C T,(3),(4),I3 (6) B P (7) C T,(5),(6),I3 (8) D → C CP规则
iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬ Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q 是重言式 iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q 是重言式 iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q 是重言式 iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn) 是重言式 iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
推理规则
推理
前提
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
2
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1. 如果x是偶数, 则x2是偶数。前提 x是偶数。例2. 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。 P Q
x2是偶数。 ------------- 结论
特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
注意：
1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。
2. 结论的真假取决于前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。