地球物理反演理论.pdf
(完整word版)地球物理反演理论综述
目录摘要 (2)一、反演问题基本概念 (2)二、线性反演问题 (3)三、线性反演问题的求解 (5)3。
1适定和超定问题 (5)3。
2欠定问题 (5)3.3混定问题 (6)四、非线性反演方法 (6)4。
1线性化迭代算法 (6)4。
2最速下降法 (6)4.3 共轭梯度法 (7)4。
4遗传算法 (8)4。
5模拟退货法 (9)4。
6人工神经网络法 (9)总结: (10)地球物理反演理论综述摘要在地球物理学中,其核心问题就是如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部分的物理状态。
不同的地球物理问题，其数学物理是不同的；同一个物理问题，应为观测方式不同,也会有不同的物理模型。
在地球物理学中,大多数的观测数据核模型参数之间是不满足线性关系的.但是在一定近似条件想均可简化或近似简化为线性关系.因此线性反演是地球物理的关键问题。
关键词: 反演；线性反演；非线性反演一、反演问题基本概念把数据模型中的一个点定义为m，把数据空间中的一个点定义为d，两者的关系可以成：d=Gm式中，G为模型空间M到数据空间D的一个映射，也称反函数算子，反应了模型m与数据d之间的物理规律从空间映射来看，如果存在一个映射A，使得m=Ad则A为有数据空间D到模型空间M的映射，即A为G的逆映射，称逆算子。
也可以写成=dm1-G我们把给定模型m求解数据d的过程称为正演;把给定数据d求解模型参数m的过程称为繁衍问题.图1。
1模型空间域数据空间之间的映射关系示意图反演问题的研究归纳为四个方面的问题：1) 解的存在性：给定数据d ，按照物理定律，能否找到满足要求的模型参数m ；2) 模型构制：若解存在,如何让构制问题的数学模型使得反演问题的解能迅速而准确地确定；3) 解的非唯一性：若解存在，其是否唯一;4) 解的评价：若解的非唯一性的，如何从非唯一解中获取真实解的信息.关于上述四方面问题的研究就构成了地球物理反演的基本理论。
二、线性反演问题为了使问题简单明了而又不失一般性，我们在此讨论一维问题。
地球物理反演理论
地球物理反演理论一、解释下列概念1.分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。
它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
2.协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。
其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。
在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。
在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。
可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:()(1)(cov )u aspread R size m α+-如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。
而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。
这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题4.正则化用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。
地球物理反演
2. 基于褶积模型的波阻抗反演
§6 反演结果的评价
1. 评价问题的提出 2. 评价准则 3. 平均函数A决定分辨率 4. 平均函数与哪些因素有关？
§7 解的稳定性
1. 稳定性的概念 2. 举例 3. 稳定性与核函数的性质有关
§8 线性反演问题综述
1. 构造一组新的正交基 2. 的含义 3. 模型构制（解的存在性） 4. 解的非唯一性 5. 长度最小模型是核函数的线性组合
§7 L 范数解
1． L 范数解的物理意义 2．目标函数
第三章 广义反演法
§1 广义逆 §2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆 §3 广义反演法 §4 数据分辨矩阵 §5 参数分辨矩阵 §6 特征值对反演结果的影响 §7 分辨率高的和方差大小的测度 §8 最佳折衷解
§1 广义逆
§2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆
数据加权的例子 1. 权系数矩阵为对角矩阵
E eTWee, diag(We ) (1,1, 2,1,1)T
三、等式限制条件
问题:
d Gm Fm h
目标函数:
E (d Gm)T (d Gm) T [Fm h]
例一
m1
1 N
(1, 1, , 1)mm2N
地球物理反演理论
刘学伟
第一章 绪论
§1 反演的目的和任务 §2 几个反演例子 §3 非线性问题线性化与连续模型离散化 §4 模型构制 §5 解的非唯一性 §6 反演结果的评价 §7 解的稳定性 §8 线性反演问题综述
§1 反演的目的和任务
1．什么是反演，什么是正演？ 2．地球物理反演： 3．反演理论中的四大问题： 4．数学物理模型和响应函数的正演问题：
z
地球物理反演理论课件
m (G T G )1G T d 1 当 r (G T G ) N , 解存在 ； 2 当 r (G T G ) N , 解不存在 ， 因逆矩阵不存在
m(G T G ) 1 G T d
N h1N M M N N M M 1
；
( a 即使 M N ， 解也不存在 )
(b 这等同于 M 个方程中线性无关的方
Zi z i1
g
( z ,
j )dz
4
d Gm
d1
m1
G11 G12
G1N
0
dd2
mm2 GG21
G22
G2N
0
4
8
12
Z
dM
mN
GM1
GM1
GM
M
m
i
Yangtze University
• 反演理论
4
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—引言
参数化模：能型用有限个参数模 表型 征的 3、可用有限参数加义 变的 量连 定续模 。 型
C GG T 1 GG T max 很大 。 min ( a \ 条件数大 ， 称为坏条件问题 )
(b \ 条件数大 ， 解 d Gm 称为病态问题 )
( c \ 数据中的误差会被放大
)
Yangtze University
• 反演理论
9
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—混定问题的马奎特法
程个数小于 N )
( c 这种情况下 ， 称数据方程是奇异的
，G T G 是奇异阵 )
( d G T G R R T 有些特征值为零 )
3 当 r (G T G ) N , 解存在 。 但 G T G 有一些特征值很小 , G T G 的条件数
地球物理反演
主讲：朱良保
符号规则：黑体小写拉丁字母代表矢量，黑体大写拉丁字母代表矩阵（非一维）。 带下角标的非黑体拉丁字母代表分量。
1．前言
物理科学中一个非常重要的研究领域就是如何由观测数据来推断物理参数。如：太阳的 内部结构，储油层的深度，Moho面的深度，核幔边界的形态等。如果给定物理体系的参数， 一般来说，由物理定律能够计算出与观测数据相对比的理论数据。由物理定律根据给定的物 理参数计算出数据是正演问题。如图1
(14)
其中
ΛT = (λ1 λ2 Lλn )
(15)
为拉格朗日乘数矢量。用下角标表示
求导数并令其为零得
S = mi2 + λi (di − Aij m j )
∂S ∂mk
= 2mk − λi Aik
2mk = λi Aik
即
2m = AT Λ
（16）
进而得
2Am = AAT Λ
7
2d = AAT Λ
推得
AlTi di = AlTi Aik m~k
设 (AT A)−1 存在，则
m~ = (AT A)−1 AT d
（10）
5
所以方程组（6）的最小二乘解为
m~
=
1 3
⎜⎜⎝⎛
2 −1
−1 2
11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛
1 ⎟⎞ 2⎟ 2 ⎟⎠
m~1
=
2 3
（11）
m~2
=
5 3
图3中的小黑方块就是这一解，他离三条直线的距离最近。 由（10）可知方程组（9）的最小二乘意义下的广义逆为
A −g = (AT A)−1 AT
根据（4），分辨矩阵
R = (AT A)−1 AT A = I
地球物理反演
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
地球物理反演
1968)证明了，在线性反演中由于数据量的不足以及误差，反演的不唯一性是必然的。非线 性反演更是如此。
反演的非唯一性特征意味着，存在许多反演模型能够解释观测数据，由观测数据反演得 到的模型不一定就是真实的模型。由图1表征的反演过程过于简单了。我们必须做一些其他 的事情。实际的反演过程分两步进行。假如用m表示真实的模型，d表示数据。第一步由数
正问题
真模型 m
数据 d
评估问题
推断模型
m~
推断问题
图 2.反演过程是推断加评估
一般来说，观测数据是离散的。而模型可以是离散的，也可以是连续的。就模型而言， 反演分离散方法和连续方法，处理上有所不同。模型参数与数据的关系有时是线性的，有时 是非线性的。对于线性问题，目前的有比较成熟的解决方案。非线性问题比较复杂，还没有 找到很好的方案解决模型评估问题。一种方案是对非线性问题做局部近似使其线性化，然后 采取循环迭代，逐步接近非线性问题的解，其结果依赖于初始模型的选择。另一种方案是模 型空间的全局搜索。目前，无论哪种方案都不能很好地解决非线性反演问题。非线性方法的 研究是一个挑战。
(14)
其中
ΛT = (λ1 λ2 Lλn )
(15)
为拉格朗日乘数矢量。用下角标表示
求导数并令其为零得
S = mi2 + λi (di − Aij m j )
∂S ∂mk
= 2mk − λi Aik
2mk = λi Aik
即
2m = AT Λ
（16）
进而得
2Am = AAT Λ
7
2d = AAT Λ
正演
模型 m
数据 d
反演
图 1. 正反演的传统定义
反演问题是根据一组观测数据来重建物理模型。需要强调的是，任何形式的反演过程都必须 借助正演手段。没有理论上的正演，就不可能把观测数据有效地与物理参数联系起来，反演 就失去方向。
地球物理反演理论课件(1)
C GTG 1 GTG max 很大时， 病态。 min 5 GTG 2 I也是N N的方阵，r(GTG 2 I ) N,逆矩阵存在， 非奇异；
GTG 2 I的条件数为
C
GT G 2 I 1 GT G 2 I
max 2 min 2
通过调节2 的大小可使C 的条件数降低， 使求解变成良态。
Yangtze University
• 反演理论
5
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—超定问题的最小方差解
观测数据的个数(M )多于模型参数的个数(N)
观测数据的个数(M )多于模型参数的个数(N)
并且G的秩r(G) N M 采用最小误差拟合法是合适的 尽可能的拟合数据。
d
G
m
(M 1) (M N ) (N 1)
• 反演理论
18
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解
一个数据的地球密度问题
假定地球密度为两个常数， 分界面在u0 0.7937。 1833
1 0
(u)
u2du
1 6
1
2
10998 1
1
1 2
纯欠定问题
10998 1 2
当作混定问题解 马奎特解法
G 1 1
GT
1 1
GT
G
1 1
17
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解 一个数的地球密度问题 解的性质 假定地球密度为两个常数， 分界面在u0 0.7937。
10988 1
1
1 2
纯欠定问题
在所有可能的解中， 只当：
1 5499， 2 5499时，
E
mT m
12
(完整版)地球物理学中的反演问题
地球物理学中的反演问题1、介绍物理科学的一个重要的方面是根据数据对物理参数做出推断。
通常，物理定律提供了计算给定模型的数据值的方法，这就被称为“正演问题”，见图-1。
在反演问题中，我们的目标是根据一组测量值重建物理模型。
在理想情况下，存在一个确定的理论规定了这些数据应该怎样转换从而重现该模型。
从选择的一些例子来看，这样一个存在的理论假定了（我们）所需要的无限的、无噪声的数据是可以获得的。
在一个空间维度中，当所有能量的反射系数已知时，量子力学势能可以被重建[Marchenko,1955; Brurridge,1980]。
这种手法可以推广到三维空间[Newton,1989]，但是在那样的情形下要求有多余数据组，其中的原因并不是很理解。
在一条一维的线上的质量密度可以通过对它的所有本征频率的测量来构建[Borg,1946]，但是因为这个问题的对称性，因而只有偶数部分的质量密度可以被确定。
如果（地下的）地震波速只和深度有关，那么根据地震波的距离，运用阿贝尔变换，这个速度可以通过测定震波的抵达时间来精确构建[Herglotz,1907;Wiechert,1907]。
从数学上看，这个问题和构建三维空间中的球对称量子力学势是相同的[Keller et al.,1956]。
然而，当波速随着深度单调增加时，Herglotz-Wiechert的构建法只能给出唯一解[Gerver and Markushevitch,1966]。
这种情况和量子力学是相似的，在量子力学中，当电势没有局部最小值时，径向对称势只能被唯一建立[Sabatier,1973]。
（量子力学相关概念不熟悉，翻译起来有点坑~~）图-1尽管精确非线性反演法在数学表达上是美妙的，但它们的适用性是有限的。
原因有很多。
第一，精确的反演法通常只在理想状态下适用，这在实际中可能无法保持。
比如，Herglotz-Wiechert反演假定了地下的波速只依赖于深度并且随着深度单调增加。
第一章地球物理反演理论 绪 论
7， John A. Scales and Luis Tenorioz, Prior information and uncertainty in inverse problems, GEOPHYSICS, VOL. 66, NO. 2, 2001; P. 389–397
8， Alberto Malinverno, Parsimonious Bayesian Markov chain Monte Carlo inversion in a nonlinear geophysical problem, Geophys. J. Int. (2002) 151, 675-688 9， Sven Friedel, Resolution, stability and efficiency of resistivity tomography estimated from a generalized inverse approach, Geophys. J. Int. (2003) 153, 305–316
绪论
1，地球物理反演的研究对象 2，地球物理反演的发展简史 3，地球物理反演的研究内容和方法
地球物理学研究的一般流程
地球物理反演的研究对象
地球物理反演是在地球物理学中利用地球表面观测到的物理现象 推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构的一个分支。 地球物理学可分为固体地球物理学和勘探地球物理学两大方面， 其理论上有一个共同的核心问题：如何根据地面上的观测信号推 测地球内部与信号有关部位的物理状态，如物理性质、受力状态 或热流密度分布等，这些问题就构成了地球物理反演的独特研究 对象。 具体地说，地球物理反演研究的是各种地球物理方法中反演问题 共同的数学物理性质和解估计的构成和评价方法。它是从各个地 球物理分支中抽象出来的边缘学科。 地球物理反演又可分为单一地球物理现象的反演和多种地球物理 现象的联合反演。
地球物理反演
3、m和d关系： d=f(m)
g f 4 3 h R 3 3 ( x 2 h2 ) 2
非线性问题——纽带
1、模型m球体：物性参数——密度差σ 几何参数——半径R和中心埋深h
地球物理反演分类
2、异常数据d=Δg：一系列有限的有误差的 离散的观测值
• 欧几里得空间： 1. (a,b)=(b,a) 2. (ka,b)=k(a,b) 3. (a+b,c)=(a,c)+(b,c) 4. (a,a) ≥0,而(a,a)=0当且仅当a=0 a,b,c – 向量；k—实数。 • 长度：
a (a, a) ai2
i 1
n
地球物理反演——模型构制
3、m和d关系： d=f(m) 两种关系： 线性关系 非线性关系
1、模型m：两种模型 离散模型 连续模型
2× 2 = 4 线性离散反演 非线性离散反演 线性连续反演 非线性连续反演
地球物理正反演与基础数学概念的对比
地球物理d=f(m) 和d=Gm
正问题：由m求d，类似于计算函数。 反问题：由d求m，类似于解方程，所以地球物理 反问题是解方程的继续。 基础数学y=f(x)和y=ax
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
（1）非奇异？ （2）奇异？ （3）病态？
线性反演
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，纯欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
地球物理反演基本理论与应用方法
地球物理反演基本理论与应用方法目录第一章地球物理反演问题的一般理论1－1 反演问题的一般概念1－2 地理物理中的反演问题1－3 地球物理反演中的数学物理模型1－4 地球物理反演问题角的非唯一性1－5 地球物理反演问题的不稳定性与正则化概念1－6 地球物理反演问题求解思考题与习题第二章线性反演理论及方法2－1 线性反演理论的一般论述2－2 线性反演问题求解的一般原理2－3 离散线性反演问题的解法思考题与习题第三章非线性反演问题的线性化解法3－1 非线性问题的线性化3－2 最优化的基本概念3－3 最速下降法3－4 共轭梯度法3－5 牛顿法3－6 变尺度法（拟牛顿法）3－7 最小二乘算法3－8 阻尼最小二乘法3－9 广义逆算法思考题与习题第四章完全非线性反演初步4－1 线性化反演方法求解非线性反演问题的困难4－2 传统完全非线性反演方法4－3 模拟退火法4－4 遗传算法4－5 其他完全非线性反演方法简介思考题与习题第五章位场勘探中的反演问题5－1 位场资料反演中的几个基本问题5－2 直接法求位场反演问题5－3 单一和组合模型位场反演问题5－4 连续介质参数化的线性反演问题5－5 物性分界面的反演问题思考题与习题第六章电法勘探中深曲线的反演6－1 直流电测深曲线的反演6－2 交流电测深曲线的反演思考题与习题第七章地震勘探中的反演方法7－1 地震资料反滤波处理7－2 波阻抗反演7－3 地震波速度反演7－4 其他地震反演思考题与习题参考文献。
地球物理反演理论课件-1
i-1
i
↓
Hi
i i+1
i+1
2 2 x 2 x2 e x1 erf x 3 (t ) ? (正演公式， 略。 ) 3 PE sn sin (t ) 2r 4
N N+1
(t ) ( PE , sn, , r , t ; 1 , i , N , H1 , , H i , H N 1 )
2.0
2.0
1.8
1.0
1.6
1.4 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
0.0 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 Depth (Km) -0.8 -1.0 -1.2
Log10 ( t ) (s)
Black square: theoretical response Red cross: initial model response Blue dot: fit response 60 delay time data points;radius=250m rms =2.05%; Number of iteration =98
反演的 ( x, z )二维电阻率 深度剖面 红色： 高电阻率层； 兰色： 低电阻率层。
Yangtze University
• 电法勘探
B Y
瞬变电磁测深法
16
LowTEM法－均匀各向同性水平层状介质电磁场的特性
Transmitter
φ
A
r
X
hz
Receiver s
ρ2
h1
2
┋
i-1
对水平层状介质， 接收线圈中的感应电动势
（地面地质调查和地下地质研究） 主要是在地面和井
地球物理反演理论课件
数据的质量和完备性对反演结果有重要影响，高质量和完备的数据可以提供更准 确的反演结果。
其他约束条件
先验信息
除了上述约束条件外，还可以利用先验信息对反演结果进行 约束，如已知的矿产资源分布、地下水水位等。
计算资源和时间限制
地球物理反演通常是一个计算密集型的过程，受到计算资源 和时间的限制，这也会对反演结果产生影响。
迭代反演方法需要更多的计 算资源和时间，且可能存在 局部最优解和全局最优解的
问题。
正则化反演原理
正则化反演原理
正则化反演方法是一种 通过引入额外的约束条 件来稳定反演过程的方 法。这些约束条件通常 与地下物理性质的一些 先验信息或物理定律相 关。
正则化项与惩罚 函数
在正则化反演中，通常 会定义一个正则化项或 惩罚函数，该项会考虑 到一些先验信息或物理 定律。这个正则化项会 与原问题一起优化，以 获得更加稳定和准确的 反演结果。
现代反演理论
随着计算机技术和优化算法的发展，现代反演理论逐渐形成。现代反演理论采用更复杂的数学模型和先进的优化算法 ，能够处理更复杂的情况和更高维度的数据，提高了反演精度和可靠性。
未来发展方向
随着地球物理学和相关领域的发展，地球物理反演理论将继续向更复杂、更精确的方向发展。未来反演 理论将更加注重多学科交叉融合，如与机器学习、深度学习等领域的结合，有望在反演理论和方法上取 得更大的突破和创新。
02
地球物理反演的基本原理
线性反演原理
线性反演原理
通过建立地球物理观测数据与地下物理性质之间的关系，利用线性方 程组求解地下物理性质的一种方法。
线性叠加原理
在地球物理观测数据中，不同地下物理性质的贡献可以线性叠加，通 过求解线性方程组可以得到地下物理性质。
地球物理反演理论(1章)
：密度异常
r0-r
r
G
△ρ (r)
G ：重力常数
z:
z轴方向（单位矢量）
图 重力异常观测示意图
第二节
基本概念
反演理论：就是从一个物理系统上的观测值 来恢复此系统的有用信息的一套数学和统计 技术（微积分、微分方程、矩阵代数、统计 估算和推断等）。 因而关系到：试验数据分析、数学模型、 实验数据拟合（模型未知参数估算）及最佳 实验设计等。
dV (t ) 已知，可以 dt
直接求得层速度。而且解是唯一的。公式（1.3） 的离散形式就是我们常说的Dix公式。
第二节
基本概念
公式（1.3 ）给出了RMS 速度的解析解，有人也许 会说反演问题已经得到了解决。一般来说在实际 计算中V(t)不是精确已知的，那么公式（1.3）的结 果是否仍然是层速度呢？ 当数据有限 v j v(t j ) j 1...N ，且不精确时，必 须对地球物理问题进行评估。在此假设我们有精 确数据，且已知任意时刻的V(t)及其导数，我们可 用公式（1.3）求取层速度。采用如图1-5所示方法 对数据进行插值。
第二节
基本概念
零化子并不神秘，它们 在实践中经常出现。例如 反射地震勘探中，考虑图 1-7所示的水平层状介质， 各层为均匀各向同性介质。 地层间的波阻抗差将引起 入射能量在界面上的反射。 图1-7 层状介质模型 用 r j表示第j层下边界的 r j 反射系数，反射系数函数 （各层内速度和密度为常数，为 第j层介质下边界的反射系数。） 方程为：
r (t ) r j (t j )
式中 j为地表到j层下界面的双程旅行时。若入射（平面） 地震脉冲w(t)垂直向下传播，则地震记录x(t)可由褶积模型 得到，即： x(t ) r (t ) w(t )