集合一元二次不等式c

合集下载

一元二次不等式的解集

一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。

解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。

在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。

一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。

3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。

二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。

在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。

2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。

3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。

三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。

a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。

b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。

c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。

2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。

对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。

4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。

【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)

1 ， 2
由函数 y 4 x 4 x 1的图象为：
2
原不等式的的解集是 { } . 方法二：∵ 原不等式等价于： (2 x 1) 0 ,
2
1 2
地址：西凤街 19 号 3 栋 3 楼附 2 号
联系电话：(028)67208488
都戴氏教育温江校区
∴原不等式的的解集是 { } . （4）方法一：
2 2 因为 0 ，方程 x 4 x 5 0 无实数解，
函数 y x 4x 5 的简图为：
2
所以不等式 x 4 x 5 0 的解集是 .
2
所以原不等式的解集是 . 方法二：∵ x 4x 5 ( x 2) 1 1 0
2
函数 y x 5x 的简图为：
2
因而不等式 x 5x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
方法二： x 5x 0 x( x 5) 0
2
x 0 x 0 或 x 5 0 x 5 0
解得
x 0 x 0 或，即 0 x 5 或 x . x 5 x 5
地址：西凤街 19 号 3 栋 3 楼附 2 号
联系电话：(028)67208488
都戴氏教育温江校区
【经典例题】类型一：解一元二次不等式例 1. 解下列一元二次不等式（1） x 5x 0 ；
2
（2） x 4 x 4 0 ；
2
（3） x 4 x 5 0
2
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：（1）方法一：因为 (5)2 4 1 0 25 0 所以方程 x 5x 0 的两个实数根为： x1 0 ， x2 5

一元二次不等式及其解法

2
返回目录
返回目录
学点四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
返回目录
返回目录
图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
返回目录
3.如何研究根的分布问题？实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二）判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下）（1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
返回目录

m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为

a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
返回目录
不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：

集合中涉及一元二次不等式绝对值不等式、对数不等式、分式不等式,维恩图的应用精练20题(含详细解析)

集合中涉及一元二次不等式、绝对值不等式、对数不等式分式不等式，维恩图的应用精练20题（含详细解析）一、选择题1．已知集合{}{}|3|20A x x B x x =<=->，，则A B ⋂=（）A ．()32-，B ．()23，C ．()03，D ．()3-∞，2．集合{}2Z |1A x log x =∈<，{}2|20B x x x =--≤，则A B ⋂=（）A ．{01}，B ．{1}C ．{101}-，，D ．{1012}-，，，3．已知集合A={y|y=}，B={x|y=lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A∩B ）=（）A ．[0，12）B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞）C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞）4．已知集合{}21012A =--，，，，，()2{|ln 56}B x y x x ==--，则A B =⋂（）A ．{}21012--，，，，B ．{}2-C ．{}012，，D ．{}210--，，5．设集合{|1M x x =≤或3}x ≥，{}2|1N x log x =≤，则集合MN =⋂（）A ．(]1-∞，B ．(]01，C ．[]12，D ．(]0-∞，6．设集合{}0123A =，，，，{}3|1B x log x =<，则R A B ⋂=ð（）．A ．{}0123，，，B ．{}03，C ．{}0D ．{}12，7．设集合{31}{32}A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣，，∣，，U 为整数集，U ()A B ⋃=ð（）A ．{|3Z}x x k k =∈，B ．{31}xx k k Z =-∈∣，C ．{32}xx k k Z =-∈∣，D ．∅8．已知集合(){}(){}22101A x y x y B x y x y =-+==+=，∣，，∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．19．已知集合{}121N 28402x A x B x x x m +⎧⎫=∈<<=-+=⎨⎬⎩⎭∣，∣，若1A B ⋂∈，则A B ⋃=（）A ．{}123，，B ．{}1234，，，C ．{}012，，D ．{}013，，10．已知集合{{02}M xy N x x ===<<∣，∣，则M N =⋂（）A ．{|01}x x <≤B ．{|12}x x ≤<C ．{2}xx <∣D ．{0}xx >∣11．已知集合{301x A x y B x x -⎧⎫===<⎨⎬-⎩⎭∣，∣，则A B =⋃（）A ．()3-+∞，B ．[)3∞-+，C ．()33-，D ．[)33-，12．设集合{}2|01P x log x =<<，{}|2Q x x =≤，则（）A ．P Q ⋂=∅B ．RPQ =⋃C ．P Q⊆D ．Q P⊆13．设全集为R ，集合3|02x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}|1B x x =>，则()R A B =⋂ð（）A ．{}|32x x -≤<B ．{}|31x x -≤<C ．{}|31x x -≤≤D ．{}|12x x <≤14．已知R 为实数集，集合2|11A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}|13x x -<≤B ．{}|23x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x -<<15．若集合{}2|6750A x x x =--<，则R A =ð（）A ．1{|2x x <-或5}3x >B ．1{|2x x ≤-或5}3x ≥C ．5{|3x x <-或1}2x >D ．5{|3x x ≤-或1}2x ≥16．设集合{}2*|20A x x x x N=--<∈，，集合{|B x y ==，则集合A B ⋂等于（）A ．1B ．[)12，C ．{}1D ．{}|1x x ≥17．设全集R U =，集合{}012345M =，，，，，，{|N x y ==，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A ．()2-∞，B ．(]2-∞，C ．{}01，D ．{}012，，18．已知集合{}1|212x A y y x -==≤≤，，(){}|2B x y lg x ==-，则下列结论正确的是（）A ．A B⊆B ．[]02A B ⋂=，C ．(]2A B ⋃=-∞，D ．()R RA B ⋃=ð19．已知全集U R =，集合2{|2}A y y x ==+，集合{}2|90B x x =->，则阴影部分表示的集合为（）A ．[]32-，B ．()32-，C ．(]32-，D ．[)32-，20．已知集合{}0.71,xA x x R=∈，2{|20,}B x x x x R =--<∈，则AB =⋂（）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,2D ．()1,2-答案解析部分1．【答案】A【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法【解析】【解答】解：由题意可得：{}{}|3|33A x x x x =<=-<<，{|2}B x x =<所以()32A B ⋂=-，.故答案为：A.【分析】根据题意求集合A ，再利用交集运算求解.2．【答案】B【知识点】交集及其运算；利用对数函数的单调性比较大小；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：因为集合{}2|1A x Z log x =∈<，所以22log 2log x <，且2y log x =单调递增且0x >所以02x <<，且x Z ∈，所以集合{}1A =，因为集合{}2|20B x x x =--≤，所以()()210x x -+≤，所以12x -≤≤，所以集合{|12}B x x =-≤≤，所以{}1AB =⋂，故答案为：B.【分析】首先对集合A 中对数进行化简，结合对数函数的定义域，得到集合A 的解集，再对集合B 中一元二次不等式进行求解，得到集合B 的解集，最后求出交集.3．【答案】D【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：集合A={y|y=}={y|y≥0}=[0，+∞）；B={x|y=lg （x ﹣2x 2）}={x|x ﹣2x 2＞0}={x|0＜x ＜12}=（0，12），∴A∩B=（0，12），∴∁R （A∩B ）=（﹣∞，0]∪[12，+∞）．故选：D ．【分析】求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果．4．【答案】B【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解： ()2ln 56y x x =--，∴2560x x -->，求得6x >或1x <-，∴{|16}B x x x =-或，∴{}2A B =-⋂.故答案为：B.【分析】先根据对数函数定义域求出集合B ，再根据交集的定义求AB ⋂.5．【答案】B【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法【解析】【解答】由21log x ≤，解得02x <≤，∴{|01}N x x =<≤，∴{|01}MN x x =<≤⋂.故答案为：B【分析】先求出集合{|01}N x x =<≤，再求MN ⋂.6．【答案】B【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数的性质与运算法则【解析】【解答】 31log x <，解得03x <<，∴{}|03B x x =<<，∴{}R |03B x x x =≤≥或ð，∴{}R 03A B ⋂=，ð.故答案为：B【分析】根据交集和补集定义求R A B ⋂ð.7．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】由已知{31}{32}A xx k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣，，∣，分析可知A 为被3除余1整数的集合，B 为被3除余2整数的集合，故当全集为整数，此时U ()A B ⋃ð为3的整数倍，即{|3Z}x x k k =∈，.故选：A.【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补AB ⋃的结果.8．【答案】A【知识点】子集与真子集；交集及其运算【解析】【解答】解：集合B 中圆的半径为1，圆心（0，0）到集合A 中直线的距离212d ==<，所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合A B ⋂中有两个元素，其子集个数为4.故选：A.【分析】集合A 代表直线上点的集合，集合B 代表圆上的点的集合，判断直线与圆的位置关系确定直线与圆的交点个数，即为集合中元素的个数.9．【答案】D【知识点】并集及其运算；交集及其运算；指数函数单调性的应用【解析】【解答】因为{}{}{}11|28|113|22012x A x x x x x +⎧⎫=∈<<=∈-<+<=∈-<<=⎨⎬⎩⎭N N N ，，若1AB ∈⋂，则1B ∈，可得140m -+=，解得3m =，则{}{}2|43013B x x x =-+==，，所以{}013A B =⋃，，.故答案为：D.【分析】根据题意结合指数函数单调性求集合A ，再根据交集结果求集合B ，进而可得结果.10．【答案】A【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法【解析】【解答】因为{{|1}M xy x x ===≤∣，所以{|01}MN x x =<≤⋂.故答案为：A.【分析】根据二次根式的性质化简集合M ，再求解集合的交集即可.11．【答案】B【知识点】并集及其运算【解析】【解答】由{A xy ==∣得{}|3A x x =≥-，由()()303101x x x x -<⇔--<-，得{}|13B x x =<<故A ∪B=[-3，+∞).故选：B.【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解出答案.12．【答案】C【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算【解析】【解答】因为对数不等式201log x <<的解集为{}|12x x <<，所以{}|12P x x =<<，又{}|2Q x x =≤，所以P Q P ⋂=，A 不符合题意；Q P Q ⋃=，B 不符合题意；P Q ⊆，C 符合题意，D 不符合题意；故答案为：C.【分析】化简集合P ，根据集合的运算和集合的关系逐项进行判断，可得答案.13．【答案】C【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】()(){}3203|0||32220x x x A x x x x x x ⎧⎫⎧+-≤+⎪⎪⎧⎫=≤==-≤<⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，又{}R |1B x x =≤ð，(){}R |31A B x x ∴=-≤≤⋂ð.故答案为：C.【分析】求出集合A 中元素范围，再求()RAB ⋂ð即可.14．【答案】C【知识点】交、并、补集的混合运算；指数函数单调性的应用【解析】【解答】图中阴影部分表示R B A ⋂ð，由211x <-，得1x <或3x >，所以{}R |13A x x =≤≤ð，由1242x<<，解得12x -<<，所以{}|12B x x =-<<，故{}R12BA x =≤<⋂ð，故答案为：C ．【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，求得集合A B ，，结合补集和交集概念及运算，即可求解.15．【答案】B【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：依题意，()(){}15|35210|23A x x x x x ⎧⎫=-+<=-<<⎨⎩⎭，则R 1{|2A x x =≤-ð或5}3x ≥.故答案为：B.【分析】根据不等式的解法，求得15|23A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，结合补集的运算，即可求解.16．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】由题得{}{}{}2**|20N|12N 1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，，，{{}{}{}222||0|1|1B x y x log x x log x log x x ===≥=≥=≥，{}1A B ∴=⋂.故答案为：C.【分析】求解一元二次不等式化简集合A ，求出B ，然后直接利用交集运算得答案.17．【答案】C【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解答】集合{}012345M =，，，，，，{{}||2N x y x x ===≥，所以{}U |2N x x =<ð，图中阴影部分表示的集合为(){}U 01M N ⋂=，ð。

一元二次不等式解题格式

一元二次不等式解题格式一元二次不等式是一个包含二次项且含有一个未知数的不等式。

解决一元二次不等式涉及到确定未知数的取值范围，以使不等式成立。

一元二次不等式解题步骤如下：1. 将不等式整理成一般形式。

确保所有项都在同一边，并将不等式的右侧置为零。

形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

2. 找到函数的顶点。

使用公式 x = -b/2a 找到二次项的顶点坐标。

这个顶点是函数的最低点或最高点，视二次项系数a的正负性而定。

3. 确定开口方向。

如果a > 0，则函数开口向上，表示曲线在顶点上方。

如果a < 0，则函数开口向下，表示曲线在顶点下方。

4. 判断解集的范围。

根据开口方向，结合顶点坐标，确定解的范围。

a. 当a > 0时（函数开口向上），如果不等式严格大于0（>），则解集为顶点两侧的实数集。

如果不等式大于或等于0（≥），则解集为顶点左侧的实数集并包括顶点。

b. 当a < 0时（函数开口向下），如果不等式严格小于0（<），则解集为顶点两侧的实数集。

如果不等式小于或等于0（≤），则解集为顶点右侧的实数集并包括顶点。

5. 将解集表示出来。

可以使用数轴图形或集合符号来表示解集。

以下是一个具体的例子：解决不等式 x^2 - 4x - 5 ≥ 0。

首先，将不等式整理成一般形式：x^2 - 4x - 5 ≥ 0找到顶点：x = -(-4)/(2*1) = 2确定开口方向：因为a = 1 > 0，所以开口向上。

判断解集的范围：对于不等式大于或等于零（≥），解集为顶点的左侧和包括顶点：(-∞, 2]最后，用数轴图表示解集。

请注意，以上是一元二次不等式解题的通用步骤。

具体的解题方法可能因不等式的形式而有所不同，所以请在解决具体问题时根据问题要求进行调整。

一元二次不等式全部解法

一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。

要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。

下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。

方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。

以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。

如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。

方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。

然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。

因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。

方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。

2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。

3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。

即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。

方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。

根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。

一元二次不等式6种解法大全

一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。

这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。

解法一：使用因式分解法。

对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。

解法二：使用它的图像解法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

解法三：使用开平方法。

对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。

首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。

解法四：使用代数求解法。

对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。

求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。

解法五：使用数轴法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。

解法六：使用区间法。

将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。

在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。

一元二次不等式的解法与应用

一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。

在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。

本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。

一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。

步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。

步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。

通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。

步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。

根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。

步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。

如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。

通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。

二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。

下面我们将介绍一些具体的应用案例。

1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。

例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。

通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。

2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。

例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。

一元二次不等式

一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。

本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。

一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。

在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。

1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。

当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。

2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。

开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。

在计算中，根据具体问题选择合适的区间。

二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。

1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。

为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。

当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。

然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。

2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。

与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。

3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。

当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。

一元二次不等式的解集表示

一元二次不等式的解集表示一、引言在数学中，一元二次不等式是指一个包含未知数的二次多项式不等式，形式为ax^2 + bx + c >0（或 <0）。

求解该不等式的解集表示是解决不等式问题的关键步骤之一。

本文将介绍一元二次不等式的解集表示方法，以及一些常见的例子和应用。

二、一元二次不等式解集表示方法1. 一元二次不等式的标准形式一元二次不等式的标准形式为 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中 a、b、c 为实数且a ≠ 0。

在求解解集时，首先需要将不等式转化为标准形式。

2. 一元二次不等式的解集表示一般采用数轴上的表示方法，即将解集表示在数轴上的某个区间。

对于 a > 0 的不等式，解集表示为左右两个开区间的并集；对于 a < 0 的不等式，解集表示为左右两个开区间的交集。

例如，对于不等式 x^2 - 3x + 2 > 0，可以通过以下步骤求解解集表示：1) 将不等式转化为标准形式：x^2 - 3x + 2 > 0；2) 求出不等式的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1；3) 判别式大于零，所以不等式的解集表示为实数集中左右两个开区间的并集；即解集表示为 x ∈ (-∞，1) ∪ (2，+∞)。

3. 特殊情况的解集表示在求解一元二次不等式时，也会出现一些特殊的情况，需要特殊的解集表示。

a) 一元二次不等式无解当一元二次不等式无解时，解集表示为∅（空集）。

例如，不等式 x^2 + 1 > 0 在实数集中没有解，因此解集表示为∅。

b) 一元二次不等式有无穷解当一元二次不等式的判别式为零时，不等式有无穷多解。

例如，不等式 x^2 - 2x + 1 > 0 的判别式为Δ = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 0，即判别式为零。

因此，不等式的解集表示为实数集中的全体实数，即解集表示为 x ∈ (-∞，+∞)。

一元二次不等式

一元二次不等式一元二次不等式是指带有二次项的一元方程不等式，其形式可以描述为ax²+bx+c>0，ax²+bx+c<0，ax²+bx+c≥0或ax²+bx+c≤0等，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次不等式的过程与解一元二次方程类似，但要考虑不等号的影响。

1. 一元二次不等式的解集表示解一元二次不等式可以得到它的解集，解集可以表示为一个区间或者多个区间的并集。

例如，对于二次不等式x²-4x+3>0，可以通过求解二次方程x²-4x+3=0的根得到x的取值范围，在x的数轴上标出根的位置，并根据不等号的要求将数轴划分成不同的区间，得到解集。

2. 一元二次不等式的求解方法常用的解一元二次不等式的方法有图像法和代数法。

图像法是将二次不等式转化为对应的二次函数的图像来进行分析。

以一元二次不等式ax²+bx+c>0为例，可以画出函数y=ax²+bx+c的图像，然后根据不等式的要求找到函数图像位于y轴上方的部分，从而确定解集。

代数法是通过运用一些性质和方式来求解一元二次不等式。

例如，可以通过配方法将二次不等式转化为完全平方式，然后利用平方根性质得到解集。

3. 一元二次不等式的常见性质解一元二次不等式时，可以利用一些常见的性质来辅助求解。

（1）一元二次不等式的解具有对称性。

即，如果x是不等式的一个解，那么2a-x也是不等式的解。

（2）一元二次不等式的解具有平移性。

即，对于一元二次不等式ax²+bx+c>0，如果在不等式中同时增加或减小某个数d，那么不等式的解集也分别增加或减小该数d。

（3）一元二次不等式的解具有合并性。

即，如果一个区间内存在不等式的解，那么这个区间内所有的数都是不等式的解。

4. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在数学、物理、经济等领域中具有广泛的应用。

例如，在最优化问题中，需要对一些条件进行限制，而这些限制往往可以通过一元二次不等式来表达。

一元二次不等式的解集

二次项系数与常数项异号
当一元二次不等式的二次项系数与常数项异号时，不等式无解，解集为空集。
解集为全集的情况
• 判别式大于等于零且二次项系数与常数项同号：当一元二次不等式的判别式大于等于零且二次项系数与常数项同号时，不等式有实数解，解集为全集。
解集为单元素集的情况
判别式等于零
当一元二次不等式的判别式等于零时，不等式有唯一实数解，解集为单元素集。
将一元二次不等式因式分解为两个一次因式的乘积，然后根据不等式的性质求解。
适用范围
注意事项
在因式分解过程中，需要注意因式的选择和符号问题。
适用于部分一元二次不等式，特别是那些可以容易地因式分解空集的情况
判别式小于零
当一元二次不等式的判别式小于零时，不等式无实数解，解集为空集。
一元二次函数的零点与一元二次不等式的解集密切相关
一元二次函数的零点是一元二次不等式解集的边界点，通过求解一元二次函数的零点可以确定一元二次不等式的解集范围。
一元二次函数的图像与性质
一元二次函数的图像是一条抛物线
抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴等性质可以通过一元二次函数的系数确定。
一元二次函数的性质包括单调性、最值和对称性
进而求得函数的最大值或最小值。
在实际问题中的应用
求解最优化问题
在实际问题中，经常需要求解最优化问题，如最大利润、最小成本等。这些问题往往可以转化为一元二次不等式进行求解。
判断不等式的解集情况
在实际问题中，有时需要判断一个不等式的解集情况，如是否存在解、解集的范围等。这些问题可以通过求解一元二次不等式得到解决。
解集的概念及表示方法
01
02
03
解集
满足一元二次不等式的所有未知数的集合。

一元二次不等式高中知识点

一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。

以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。

一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。

一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。

一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。

一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。

以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。

一元二次不等式的解法过程

一元二次不等式的解法过程一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数，其解的集合为一段数轴上的区间。

解一元二次不等式的步骤如下：1. 将一元二次不等式转化为标准形式：将不等式中的所有项都移到一边，使不等式的右边为零。

例如，对于不等式3x^2 - 4x + 1 < 0，将其转化为3x^2 - 4x + 1 - 0 < 0。

2. 求解一元二次方程：将不等式中的等号改为不等号，即求解3x^2 - 4x + 1 = 0的解。

使用求根公式或配方法求得方程的解，得到x1和x2。

3. 根据一元二次函数的图像判断不等式的解集：a) 如果a > 0（a为二次项的系数），则抛物线开口向上。

当x在x1和x2之间时，函数的值小于零，即解集为(x1, x2)。

b) 如果a < 0，则抛物线开口向下。

当x在x1和x2之间时，函数的值大于零，即解集为(-∞, x1)并(x2, +∞)。

c) 如果a = 0，则不是一元二次不等式。

4. 检验解的有效性：将不等式中的x值代入原始不等式中，验证不等式的成立性。

若成立，则解有效；若不成立，则解无效。

5. 表示解集：根据步骤3和4得到的解，将解集用数轴上的区间表示。

例如，解集为(x1, x2)时，在数轴上用一个开区间表示。

下面以一个具体的例子来说明一元二次不等式的解法过程：例题：解不等式x^2 - 5x + 6 > 0。

解法如下：1. 将不等式转化为标准形式：x^2 - 5x + 6 - 0 > 0。

2. 求解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

通过因式分解或求根公式得到x1 = 2和x2 = 3。

3. 根据一元二次函数的图像判断解集：由于a = 1 > 0，抛物线开口向上。

当x在2和3之间时，函数的值小于零，即解集为(2, 3)。

4. 检验解的有效性：将x = 2.5代入不等式x^2 - 5x + 6 > 0中，得到2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25，小于零，验证了解的有效性。

一元二次不等式的解集

一元二次不等式的解集一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0），其中 a，b，c 为实数，且 a ≠ 0。

解集即是满足不等式的所有可能解的集合。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，我们可以通过图像、求根和符号法来解决。

首先，我们来看一下图像法。

对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，我们可以先将其对应的二次函数图像画出来。

根据二次函数的凹凸性质，我们可以判断出不等式的解集。

1. 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，图像呈 U 形。

如果二次函数与 x 轴有两个交点，那么解集为两个交点之间的区间，表示为 (x1, x2)。

如果二次函数与 x 轴没有交点，那么解集为全体实数集 R。

2. 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，图像呈倒 U 形。

如果二次函数与 x 轴有两个交点，那么解集为两个交点之外的区间，表示为(-∞, x1)∪(x2, +∞)。

如果二次函数与 x 轴没有交点，那么解集为空集。

接下来，我们来看一下求根法。

对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求出对应的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解，即求出方程的根。

然后，根据根的情况，我们可以判断出不等式的解集。

1. 当方程有两个不相等的实根 x1 和 x2 时，解集为两个根之间的区间，表示为 (x1, x2)。

2. 当方程有两个相等的实根 x1 时，解集为除了 x1 外的全体实数集 R。

3. 当方程无实根时，解集为空集。

我们来看一下符号法。

对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过判别式Δ = b^2 - 4ac 的符号来判断解集的情况。

1. 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，解集为两个根之间的区间，表示为 (x1, x2)。

2. 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，解集为除了根外的全体实数集 R。

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。

例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。

一元二次不等式定义域-定义说明解析

一元二次不等式定义域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它是对一元二次函数的研究和应用。

定义域是一元二次不等式的重要概念之一，它指的是一元二次函数中自变量的取值范围。

本文将对一元二次不等式的定义域进行深入探讨，包括定义域的概念、求解方法以及应用等方面，旨在帮助读者更好地理解和应用一元二次不等式的定义域，为进一步学习和研究提供基础。

部分的内容1.2 文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将会对一元二次不等式的概述进行介绍，同时也会描述本文的结构和目的。

正文部分将会详细讨论一元二次不等式的定义、解法和图像，以及相关的数学概念和定理。

在结论部分，将对一元二次不等式的定义域进行总结，并探讨其在实际应用中的作用，同时也会展望一元二次不等式在未来的研究方向。

整篇文章将会全面而系统地介绍一元二次不等式的相关内容，为读者提供全面的信息和知识。

1.3 目的：本文的目的在于对一元二次不等式的定义域进行深入探讨和分析。

首先，我们将介绍一元二次不等式的定义域的概念和意义，以及为什么需要研究和应用一元二次不等式的定义域。

其次，我们将探讨一元二次不等式的定义域在实际问题中的应用，以及在解决数学和实际生活中的问题时的重要性。

最后，我们将展望一元二次不等式的定义域的研究方向，探讨可能的拓展和应用领域，为相关领域的进一步研究和应用提供一定的参考和启发。

通过本文的研究，旨在加深对一元二次不等式的定义域的理解，拓展其应用领域，促进相关领域的发展和应用。

2.正文2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指一个形式为ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。

在一元二次不等式中，x代表未知数，而a、b、c则是已知的常数。

不等式的解是满足不等式的x的取值范围。

对于一元二次不等式，我们需要找到它的定义域，即使得不等式成立的x的取值范围。

不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)

一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ；若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ；若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ，又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ，综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--，因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立，当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤，所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥，则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-，由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==，所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立，令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠，当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，所以1112m >，则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解，则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ，故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解，设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，，对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号，则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥，关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增，所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<，所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤，则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。

一元二次不等式的基本解法

一元二次不等式的基本解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

解一元二次不等式的基本方法是通过求解二次方程的根和分析二次函数的图像来确定不等式的解集。

下面将分别介绍一元二次不等式的基本解法。

1. 求解二次方程的根我们可以将一元二次不等式转化为对应的二次方程。

例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，我们可以得到对应的二次方程x^2 - 2x - 3 = 0。

然后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式来求解二次方程的根。

根据二次方程的根的性质，根的取值将会对应不等式的解集中的某一部分。

2. 分析二次函数的图像通过分析二次函数的图像，我们可以确定二次函数的取值范围，从而确定不等式的解集。

我们可以计算二次函数的顶点坐标，即x = -b/2a，y = f(-b/2a)。

顶点坐标将告诉我们二次函数的最值和对称轴。

然后，我们可以根据二次函数的开口方向和顶点的位置，判断二次函数在不同区间上的取值情况。

根据不等式的符号，我们可以确定不等式的解集。

3. 综合分析确定解集我们需要综合分析上述求解二次方程的根和分析二次函数的图像的结果，确定不等式的解集。

根据二次方程的根和二次函数的图像，我们可以将数轴分为若干个区间。

然后，我们可以根据不等式的符号和二次函数在每个区间上的取值情况，确定不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，通过求解对应的二次方程和分析二次函数的图像，我们可以得到二次方程的根为x = -1和x = 3，二次函数的顶点坐标为(-1, 4)。

根据二次函数的图像，我们可以得知函数在区间(-∞, -1)和(3, +∞)上大于0，因此不等式的解集为(-∞, -1)和(3, +∞)。

总结起来，一元二次不等式的基本解法包括求解二次方程的根和分析二次函数的图像。

通过综合分析二者的结果，我们可以确定不等式的解集。

集合一元二次不等式c

一元二次不等式的解集

【超级经典】一元二次不等式及其解法(含答案)

一元二次不等式及其解法

集合中涉及一元二次不等式绝对值不等式、对数不等式、分式不等式,维恩图的应用 精练20题(含详细解析)

一元二次不等式解题格式

一元二次不等式全部解法

一元二次不等式6种解法大全

一元二次不等式的解法与应用

一元二次不等式

一元二次不等式的解集表示

一元二次不等式

一元二次不等式的解集

一元二次不等式高中知识点

一元二次不等式的解法过程

一元二次不等式的解集

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳

一元二次不等式定义域-定义说明解析

不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)

一元二次不等式的基本解法

集合中涉及一元二次不等式绝对值不等式、对数不等式、分式不等式,维恩图的应用精练20题(含详细解析)